Notación Indicial.docx

1.1-Notación indicial. La notación indicial es una notación abreviada que se utiliza para facilitar las escrituras de ecuaciones. Por ejemplo, un vector referido a un sistema de ejes cartesianos 𝐴⃗ con tres componentes (𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 ) en notación indicial se representa por 𝐴𝑖 donde el subíndice 𝑖 toma los valores 1, 2 y 3. Si se quiere representar un conjunto de 9 cantidades, se utiliza doble subíndice 𝐵𝑖𝑗 en donde ambos subíndices 𝑖 𝑦 𝑗 toman los valores 1, 2 y 3. Si el conjunto tiene 27 cantidades, se necesita tres subíndices 𝐷𝑖𝑗𝑘 . Finalmente, si se tiene 3𝑛 cantidades se utilizan 𝑛 subíndices 𝐷𝑖𝑘𝑗𝑙…..𝑛 . Existen dos tipos de subíndices: 1. Índice libre: es aquel que aparece solo una vez y toma los valores 1, 2 y 3. El número de términos que existen en la expresión es 3𝑛 en donde 𝑛 es el número de índices libres. 2. Índice mudo: aparece dos veces e indica una suma de 1 a 3 lo que constituye el convenio de la suma o de Einstein. Como regla general, un subíndice no puede aparecer repetido más de dos veces n un monomio. Así, la expresión 𝐴𝑖𝑗𝑗 está escrita correctamente en notación indicial. El subíndice 𝑖 es el único libre e indica que dicha expresión representa un conjunto de 31 = 3 cantidades (por ejemplo un vector). El subíndice 𝑗, que aparece dos veces, es el índice mudo y representa una suma desde 𝑗 = 1 𝑎 𝑗 = 3. Es decir 𝐴𝑖𝑗𝑗 = 𝐴𝑖11 + 𝐴𝑖22 + 𝐴𝑖33

𝐴111 + = (𝐴211 + 𝐴311 +

𝐴122 + 𝐴133 𝐴222 + 𝐴233 ) 𝐴322 + 𝐴333

Sin embargo, la expresión 𝐴𝑖𝑖𝑖 no es correcta puesto que el subíndice 𝑖 aparece 3 veces. Es importante señalar que la letra con la que se representen los subíndices mudos es indiferente, siempre y cuando se respeten las reglas mencionadas, por lo que 𝐴𝑖𝑗𝑗 = 𝐴𝑖𝑘𝑘 = 𝐴𝑖𝑙𝑙

La diferenciación con respecto a las tres variables independientes 𝑥1 , 𝑥2 𝑦 𝑥3 se indica mediante la coma 𝐴𝑖,𝑗 =

𝜕𝐴𝑖 𝜕𝑥𝑗

Esta expresión esta constituido por 32 = 9 cantidades, puesto que tanto 𝑖como 𝑗 son índices libres. 1

En determinadas ocasiones, existe un doble subíndice pero no se desea indicar suma. Esto se representa introduciendo los índices entre paréntesis. Por ejemplo, los términos individuales de un tensor de orden 2, 𝐴11 , 𝐴22 , etc., se pueden representar mediante 𝐴(𝑖𝑖) . Por último, el convenio de PI sirve para expresar producto. Por ejemplo, el producto de las tres componentes de un vector se expresa 𝐼𝐼𝐴𝑖 = 𝐴1 𝐴2 𝐴3 Como ejemplo se desarrollaran a continuación algunas expresiones escritas en notación indicial. Ejemplo 1.1 𝐴𝑖 𝐵𝑖 En este caso el subíndice 𝑖 es un índice mudo, luego el número de términos es 30 = 1, o sea, un escalar 𝐴𝑖 𝐵𝑖 = 𝐴1 𝐵1 + 𝐴2 𝐵2 + 𝐴3 𝐵3 Efectivamente esta expresión representa el producto escalar de los vectores 𝐴𝑖 𝑦 𝐵𝑖 . Ejemplo 1.2 𝐴𝑖,𝑖 Nuevamente el subíndice es mudo y, por tanto el resultado debe ser una escala que en este caso es la divergente de un vector 𝐴𝑖 𝐴𝑖,𝑖 =

𝜕𝐴𝑖 𝜕𝐴1 𝜕𝐴2 𝜕𝐴3 + + + 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥3

Ejemplo 1.3 𝐷𝑖𝑗,𝑗 Ahora el índice 𝑖 es libre y el 𝑗mudo. El número de términos es de 31 = 3. Desarrollando la expresión

𝐷𝑖𝑗,𝑗 = 𝐷𝑖1,1 + 𝐷𝑖2,2 + 𝐷𝑖3,3

𝜕𝐷11 + 𝜕𝑥1 𝜕𝐷21 = + 𝜕𝑥1 𝜕𝐷31 + ( 𝜕𝑥1

𝜕𝐷12 + 𝜕𝑥2 𝜕𝐷22 + 𝜕𝑥2 𝜕𝐷32 + 𝜕𝑥2

𝜕𝐷13 𝜕𝑥3 𝜕𝐷23 𝜕𝑥3 𝜕𝐷33 𝜕𝑥3 )

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Utilizando notación indicial para los ejes del sistema de cordenadas son designados por la letra x con un subíndice. Por eso 𝑥𝑖 no representa un único valor, sino 𝑖 valores, es decir 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 (si 𝑖 = 1,2,3 ) donde estos valores corresponden (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) corresponden respectivamente a los ejes (𝑥, 𝑦, 𝑧). En un sistema de coordenadas, un vector 𝑎⃗ será representado por sus componentes en la base del citado sistema de la siguiente forma: 𝑎⃗ = 𝑎1 𝑒̂1 + 𝑎2 𝑒̂2 + 𝑎3 𝑒̂3 Donde 𝑒̂1 , 𝑒̂2 , 𝑒̂3 son versores (vectores unitarios), tal y como se muestra en la figura 1.12, y 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 son los componentes del vector. En notación indicial los componentes del vector serán representados por 𝑎𝑖 . Si no se indica el rango del subíndice, se supondrá que adoptan los valores de 1, 2,3. Por tanto los componentes de vector pueden representarse de la siguiente manera: 𝑎1 (𝑎⃗)𝑖 = 𝑎𝑖 = [𝑎2 ] 𝑎3 Componentes del vector unitario: dado un vector𝑎⃗, el vector unitario asociado a esta dirección será un vector 𝑎̂ dado por: 𝑎̂ =

𝑎⃑ 𝑐𝑜𝑛 𝑎̂ = ‖𝑎̂‖ = 1 ‖𝑎⃗‖

Cuyas componentes serán: 𝑎̂𝑖 =

𝑎𝑖 √𝑎12 + 𝑎22 + 𝑎32

=

𝑎𝑖 √𝑎𝑗 𝑎𝑗

=

𝑎𝑖 √𝑎𝑘 𝑎𝑘

Producto escalar: utilizando las definiciones de componentes del vector unitario podemos expresar el producto escalar en notación indicial de la siguiente forma: 𝛾 = 𝑎⃑ ∙ 𝑏⃑⃑ = ‖𝑎⃑‖‖𝑏⃑⃑‖ cos 𝜃 𝛾 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 = 𝑎𝑖 𝑏𝑖 = 𝑎𝑗 𝑏𝑗 (𝑖, 𝑗 = 1,2,3, )

Tensores operacionales. Las operaciones con tensores se facilitan con el uso de la delta de kronecker 𝛿𝑖𝑗 definida como: 𝛿𝑖𝑗 = 1 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗 𝛿𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗 3

Y el símbolo de permutación ∈𝑖𝑗𝑘 definido como: ∈𝑖𝑗𝑘 =

1 (𝑖 − 𝑗)(𝑗 − 𝑘)(𝑘 − 𝑖) 2

Es decir: ∈𝑖𝑗𝑘 = 0 𝑠𝑖 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑗𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 ∈𝑖𝑗𝑘 = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1,2,3,1,2,3 …. ∈𝑖𝑗𝑘 = −1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3,2,1,3,2,1 …. El operador delta de kronecker 𝛿𝑖𝑗 sirve para cambiar el subíndice de un tensor tal y como se muestra en los siguientes ejemplos: 𝛿𝑖𝑗 𝐴𝑖 = 𝛿1𝑗 𝐴1 + 𝛿2𝑗 𝐴2 + 𝛿3𝑗 𝐴3 = 𝐴𝑖 Ya que 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 1 → 𝛿11 𝐴1 + 𝛿21 𝐴2 + 𝛿31 𝐴3 = 𝐴1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 2 → 𝛿12 𝐴1 + 𝛿22 𝐴2 + 𝛿32 𝐴3 = 𝐴2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 3 → 𝛿13 𝐴1 + 𝛿23 𝐴2 + 𝛿33 𝐴3 = 𝐴3 O igualmente 𝛿𝑖𝑗 𝐷𝑖𝑘 = 𝛿𝑖1 𝐷1𝑘 + 𝛿𝑖2 𝐷𝑖2 + 𝛿𝑖3 𝐷𝑖3 = 𝐷𝑖𝑘 Siguiendo un razonamiento análogo 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1 → 𝛿11 𝐷1𝑘 + 𝛿21 𝐷2𝑘 + 𝛿31 𝐷3𝑘 = 𝐷1𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 2 → 𝛿12 𝐷1𝑘 + 𝛿22 𝐷2𝑘 + 𝛿32 𝐷3𝑘 = 𝐷2𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 3 → 𝛿31 𝐷1𝑘 + 𝛿32 𝐷2𝑘 + 𝛿33 𝐷3𝑘 = 𝐷3𝑘 Este operador sirve también para demostrar interesantes propiedades de los cosenos directores. El producto escalar de dos vectores unitarios puede ser expresado en función de 𝛿𝑖𝑗 𝛿𝑖𝑗 = ⃑⃑⃗ 𝑒𝑖, ∙ ⃑⃑⃗ 𝑒𝑗, Recordando las leyes de transformación de vectores (tensores de orden 1) 𝛿𝑖𝑗 = ⃑⃑⃗ 𝑒𝑖, ∙ ⃑⃑⃗ 𝑒𝑗, = (𝑎𝑖𝑘 𝑒⃗𝑘 ) ∙ (𝑎𝑗𝑙 𝑒⃗𝑙 ) = 𝑎𝑖𝑘 𝑎𝑗𝑙 (𝑒⃑⃑⃑⃑⃗𝑘, ∙ ⃑⃑⃑⃗ 𝑒𝑙, ) = 𝑎𝑖𝑘 𝑎𝑗𝑙 𝛿𝑘𝑙 Ahora bien 𝑎𝑗𝑙 𝛿𝑘𝑙 = 𝑎𝑗𝑘 Por lo tanto 𝛿𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑘 𝑎𝑗𝑘 Si 𝑖 = 𝑗 y se suma solo en el índice 𝑘 4

2 2 2 1 = 𝑎(𝑖)𝑘 𝑎(𝑗)𝑘 = 𝑎𝑖1 + 𝑎𝑖2 + 𝑎𝑖3

Que escriba en forma desarrollada 2 2 2 1 = 𝑎11 + 𝑎12 + 𝑎13 2 2 2 1 = 𝑎21 + 𝑎22 + 𝑎23 2 2 2 1 = 𝑎31 + 𝑎32 + 𝑎33

Dichas ecuaciones son las condiciones de normalidad de los cosenos directores. Si 𝑖 ≠ 𝑗 0 = 𝑎𝑖𝑘 𝑎𝑗𝑘 = 𝑎𝑖𝑙 𝑎𝑗𝑙 + 𝑎𝑖2 𝑎𝑗2 + 𝑎𝑖3 𝑎𝑗3 Y expandiendo completamente la ecuación anterior 𝑖 = 1; 𝑗 = 2 → 0 = 𝑎11 𝑎21 + 𝑎12 𝑎32 + 𝑎13 𝑎33 𝑖 = 1; 𝑗 = 3 → 0 = 𝑎11 𝑎31 + 𝑎12 𝑎32 + 𝑎13 𝑎33 𝑖 = 2; 𝑗 = 1 → 0 = 𝑎21 𝑎11 + 𝑎22 𝑎12 + 𝑎23 𝑎13 𝑖 = 2; 𝑗 = 3 → 0 = 𝑎21 𝑎31 + 𝑎22 𝑎32 + 𝑎23 𝑎33 𝑖 = 3; 𝑗 = 1 → 0 = 𝑎31 𝑎11 + 𝑎32 𝑎12 + 𝑎33 𝑎13 𝑖 = 3; 𝑗 = 2 → 0 = 𝑎31 𝑎21 + 𝑎32 𝑎22 + 𝑎33 𝑎23 Que son las condiciones de ortogonalidad de los cosenos directores. Escritas con notación indicial, estas ecuaciones son: 𝑎𝑖𝑘 𝑎𝑗𝑘 = 1 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗 𝑎𝑖𝑘 𝑎𝑗𝑘 ≠ 1 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗 De manera análoga se podría demostrar, haciendo la transformación inversa 𝑎𝑘𝑖 𝑎𝑘𝑗 = 1 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗 𝑎𝑘𝑖 𝑎𝑘𝑗 ≠ 1 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗 Por su parte el símbolo permutación ∈𝑖𝑗𝑘 , entre otras aplicaciones, sirve para expresar el producto vectorial de dos vectores 𝐴𝑗 𝑦 𝐵𝑘 ∈𝑖𝑗𝑘 𝐴𝑗 𝐵𝑘 =∈𝑖𝑗1 𝐴𝑗 𝐵1 +∈𝑖𝑗2 𝐴𝑗 𝐵2 +∈𝑖𝑗3 𝐴𝑗 𝐵3 Y desarrollando ahora la suma indicada por el índice 𝑗 ∈𝑖𝑗𝑘 𝐴𝑗 𝐵𝑘 = 0+∈𝑖12 𝐴1 𝐵2 +∈𝑖13 𝐴1 𝐵3 +∈𝑖21 𝐴2 𝐵1 + 0 +∈𝑖23 𝐴2 𝐵3 +∈𝑖31 𝐴3 𝐵1 +∈𝑖32 𝐴3 𝐵2 + 0 Y dando valores al subíndice 𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1 → 𝐴2 𝐵3 − 𝐴3 𝐵2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 2 → 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 5

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 3 → 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 Efectivamente son las componentes del producto vectorial de los vectores ⃑⃗ (𝐵1 , 𝐵2 , 𝐵3 ). 𝐴⃗(𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 ) 𝑦 𝐵

1.2- Operaciones con tensores Para los tensores se definen operaciones de adición, sustracción y producto. En el caso de la adición y sustracción el rango de los tensores involucrados en la operación deberá ser el mismo y estas operaciones se realizan término a término. Al hacer referencia a las propiedades es conveniente recordar la factibilidad de representar a los tensores de primer orden como vectores (matrices renglón o columna), a las díadas (tensores de segundo orden) como matrices de 3x3 y a los tensores de cuarto rango como matrices de 9x9, entonces las propiedades con respecto a las operaciones serán las mismas que las descritas para las matrices. 

Conmutatividad 𝑎+𝑏 = 𝑏+𝑎 𝑎 − 𝑏 = −𝑏 + 𝑎



Asociatividad con respecto a la adición (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)



Asociatividad, distributividad y conmutatividad: con respecto a la multiplicación por un escalar. Sean ∝ 𝑦 𝛽 escalares (tensores de rango cero) y A, B tensores de rango superior, entonces: 𝛼(𝛽𝐴) = (𝛼𝛽)𝐴 = 𝛽(𝛼𝐴) = 𝐴𝛼𝛽 𝛼𝛽 = ∅ → (𝛼𝛽)𝐴 = ∅𝐴 Por otra parte: (𝛼 + 𝛽)𝐴 = 𝛼𝐴 + 𝛽𝐴 𝛼(𝐴 + 𝐵) = 𝛼𝐴 + 𝛼𝐵



Asociatividad de la adición: con respecto al producto entre tensores de dimensión superior a la cero. Al igual que con las matrices no existe conmutatividad en la operación producto. Sean 𝑇, 𝑆 tensores de rango dos (diadas) y 𝑎 un tensor de rango uno, entonces: (𝑇 + 𝑆)𝑎 = 𝑇𝑎 + 𝑆𝑎 (𝑇 + 𝑆)𝑎 ≠ 𝑎(𝑇 + 𝑆) La adición de los tensores realizara a término, del tal forma que: 𝑇+𝑆 =𝑊

En notación índice 𝑇𝑖𝑗 + 𝑆𝑖𝑗 = 𝑊𝑖𝑗 6

𝑇11 𝑇𝑖𝑗 = (𝑇21 𝑇31

𝑇12 𝑇22 𝑇32

𝑇13 𝑇23 ) 𝑇33

𝑆11 𝑆𝑖𝑗 = (𝑆21 𝑆31

𝑆12 𝑆22 𝑆32

𝑆13 𝑆23 ) 𝑆33

Donde, desde luego, el tensor W tiene el mismo rango de sus predecesores 𝑇11 + 𝑆11 𝑊𝑖𝑗 = (𝑇21 + 𝑆21 𝑇31 + 𝑆31



𝑇12 + 𝑆12 𝑇22 + 𝑆22 𝑇32 + 𝑆32

𝑇13 + 𝑆13 𝑇23 + 𝑆23 ) 𝑇33 + 𝑆33

Producto de tensores

Asociatividad de la operación producto. Como ya antes fue mencionado no existe conmutatitividad en esta operación. (𝑇𝑆)𝑎 = 𝑇(𝑆𝑎) 𝑇𝑆 ≠ 𝑆𝑇 (𝑇(𝑆𝑉))𝑎 = 𝑇((𝑆𝑉)𝑎) = 𝑇(𝑆(𝑉𝑎)) (𝑇𝑆)(𝑉𝑎) = 𝑇(𝑆(𝑉𝑎)) 𝑇(𝑆𝑉) = (𝑇𝑆)𝑉 

Operaciones con la transpuesta del tensor 𝑎𝑇𝑏 = 𝑏𝑇 𝑇 𝑎 En el caso de que el tensor sea simétrico 𝑇 = 𝑇𝑇 → 𝑎𝑇𝑏 = 𝑏𝑇 𝑇 𝑎 = 𝑏𝑇𝑎 𝑒𝑖 𝑇𝑖𝑗 𝑒𝑗 = 𝑒𝑗 𝑇𝑗𝑖 𝑒𝑖 𝑎𝑖 𝑇𝑖𝑗 𝑏𝑗 = 𝑏𝑗 𝑇𝑗𝑖 𝑎𝑖 𝑇𝑖𝑗 = 𝑇𝑗𝑖

El tensor T (de 2°rango) se describe como 𝑇 = 𝑇𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑇 = 𝑇11 𝑒1 𝑒1 + 𝑇12 𝑒1 𝑒2 + 𝑇13 𝑒1 𝑒3 + ⋯ + 𝑇33 𝑒3 𝑒3 Expresando en forma matricial 𝑇11 𝑒̂1 𝑒̂1 𝑇𝑖𝑗 = (𝑇21 𝑒̂2 𝑒̂1 𝑇31 𝑒̂3 𝑒̂1

𝑇12 𝑒̂1 𝑒̂2 𝑇22 𝑒̂2 𝑒̂2 𝑇32 𝑒̂3 𝑒̂2

𝑇13 𝑒̂1 𝑒̂3 𝑇23 𝑒̂2 𝑒̂3 ) 𝑇33 𝑒̂3 𝑒̂3 7

O simplemente 𝑇11 𝑇𝑖𝑗 = (𝑇21 𝑇31 

𝑇12 𝑇22 𝑇32

𝑇13 𝑇23 ) 𝑇33

Multiplicación de tensores  Producto vectorial (producto cruz) A través de esta operación se define un nuevo tensor del mismo rango de sus predecesores. Esta operación se le relaciona comúnmente a tensores de rango uno, de tal forma que se da lugar a un nuevo vector el cual es normal al plano definido por sus factores. 𝑎𝑥𝑏 = 𝑐 Donde 𝑐 ⊥ 𝑎, 𝑏 𝑎 𝑥 𝑏 = −𝑏 𝑥 𝑎 𝑎 𝑥 𝑏 = (|𝑎||𝑏|𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑒̂𝑖 𝜃: 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑎, 𝑏 𝑒̂𝑖 : 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑎, 𝑏  Producto interno o producto punto Si bien este producto, como se definirá más adelante, se describe para cualquier tensor de rango mayor a cero, es usual su aplicación en tensores de rango uno; para los cuales representa la proyección de uno en otro ƞ = 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 = |𝑎||𝑏|𝑐𝑜𝑠𝜃 Donde 𝜃 representa al angulo menor definido entre los vectores 𝑎, 𝑏. En notación índice equivale a 𝛼 = 𝑎𝑖 𝑏𝑖 𝛼 = 𝑎1 𝑏1 (𝑒̂1 𝑒̂1 ) + 𝑎2 𝑏2 (𝑒̂2 𝑒̂2 ) + 𝑎3 𝑏3 (𝑒̂3 𝑒̂3 ) ∴ 𝛼 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 𝑎∙𝑏 =𝑏∙𝑎 =𝜆 𝑎𝑖 𝑏𝑖 = 𝑏𝑖 𝑎𝑖 = 𝜆

Producto punto vector-diada 𝑎∙𝐸 =𝑏 𝑎𝑖 𝐸𝑖𝑗 = 𝑏𝑗 8

𝐸11 [𝑎1 𝑎2 𝑎3 ] [𝐸21 𝐸31

𝐸12 𝐸22 𝐸32

𝐸13 𝐸23 ] = (𝑎1 𝐸11 + 𝑎2 𝐸21 + 𝑎3 𝐸31 )𝑒̂1 𝐸33 +(𝑎1 𝐸12 + 𝑎2 𝐸22 + 𝑎3 𝐸32 )𝑒̂2

+(𝑎1 𝐸13 + 𝑎2 𝐸23 + 𝑎3 𝐸33 )𝑒̂3 Producto punto díada-vector 𝐸∙𝑎 =𝑐 𝐸𝑖𝑗 𝑎𝑗 = 𝑐𝑖 𝐸11 [𝐸21 𝐸31

𝐸12 𝐸22 𝐸32

(𝐸11 𝑎1 + 𝐸13 𝑎1 𝑎 𝐸23 ] [ 2 ] = [(𝐸21 𝑎1 + 𝐸33 𝑎3 (𝐸31 𝑎1 +

𝐸12 𝑎2 + 𝐸22 𝑎2 + 𝐸32 𝑎2 +

𝐸13 𝑎3 )𝑒̂1 𝐸23 𝑎3 )𝑒̂2 ] 𝐸33 𝑎3 )𝑒̂3

El triple producto escalar representa el producto punto de dos tensores de rango uno, donde uno de ellos es a su vez resultado de un producto vectorial. Donde el resultado representa el volumen (V) del prisma definido a través de los vectores a, b, c. 𝑎 ∙ (𝑏𝑥𝑐) = (𝑎𝑥𝑏) ∙ 𝑐 = 𝜆 = 𝑣 Por razones de operación es evidente que primero se deberá realizar el producto cruz.

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BIBLIOGRAFIA

(s.f.). Obtenido de http://www.ptolomeo.unam.mx:8080/xmlui/bitstream/handle/132.248.52.100/2182/ 05Cap%C3%ADtulo1F-ene2013.pdf?sequence=10 Cela, J. J. (1999). Mecanica de los medios continuos . Univ. de Castilla La Mancha. Martinez, N. C. (s.f.). Introduccion al Calculo Vectorial. Universidad de Oviedo servicios de publicaciones, Edjuno. Nilo C. Bobilo Ares, c. D. (2005). Introduccion al calculo tensorial. Universidad de oviedo.

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Cuadro resumen En el siguiente cuadro se resumen las operaciones más comunes en algebra y calculo tensorial y sus expresiones en notación indicial. En toda la tabla φ es una función escalar, a, b, c son vectores y R,S,T son tensores de orden dos. operaciones Notación tensorial Igualdad de vectores a=b Igualdad de tensores T=S Delta de Kronecker Tensor de permutación Producto escalar Producto vectorial Suma de vectores Suma de tensores Producto tensor, vector Producto tensor trans., vector Producto tensor, tensor Producto externo Doble contracción Traza de un tensor Determinante Gradiente de f. escalar Gradiente de f. vector Divergencia de un vector Divergencia de un tensor Rotacional de un vector

Notación indicial

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