Pruebas De Hipótesis Acerca De La Media µ.docx

P RU EB A S D E H IP Ó TESIS ACE RC A D E LA M ED IA µ: V A R IA N Z A 𝟐 SU P U E STA C O N O C ID A ̅ la m edia de una m uestra aleatoria de tamaño n seleccionada de una población con Sea X media µ y varianza supuestamente conocida. Si la población es normal N ( µ,2 ), entonces, la distribución de la estadística ̅ X es exactamente normal N (µ, 2 /n) para cualquier valor de n (n ≥ 2 ). Si la población no es norm al pero el tamaño de la muestra es suficientemente grande ( n ≥ 3 0 ), ̅ entonces, la distribución de X es aproxim adam ente normal N ( µ, 2 /n) .Entonces, La estadística para la prueba acerca de n con varianza 2 conocida es z=

̅ X−µ /√n

Cuya distribución es exacta o aproxim adam ente normal estándar N (0 ,1), según sea la población normal o no. Si se supone verdadera esta hipótesis es entonces:

la

hipótesis

nula: z=

H 0 : µ= µ 0

la

estadística especificada por

̅ − µ0 X /√n

1 Prueba bilateral o de dos colas Si se prueba H 0 : µ= µ 0 contra H 1 : µ≠ µ 0 , dado el nivel de significación α , en la distribución de Z = ( ̅ X- µ 0 ) / ( /√n) , que es normal N (0,1), se determina el valor Z1-α/2 tal que la probabilidad de rechazar H 0 cuando se supone verdadera sea (figura 10.2) P [Z< - Z1-α/2]= α / 2 o P [Z> Z1-α/2]= α / 2 En consecuencia, la región crítica en el rango de variación de Z es: R.C.= {Z< - Z1-α/2 o Z> - Z1-α/2} Por otro lado, la probabilidad de aceptar H 0 cuando se supone verdadera es: P [- Z1-α/2 ≤ Z ≤ - Z1-α/2]= 1 - α Resultando la región de aceptación: R.A. = {- Z1-α/2 ≤ Z ≤ Z1-α/2}

Regla de decisión es: Si Z K = ( ̅ X- µ 0 ) / ( /√n) , es un valor de Z obtenido de la muestra, entonces, se rechazará H 0 con riesgo igual a α , si x̅ ∈ R.C. (o si x̅ ∉ R .A .). No se rechazará H 0 en caso contrario (figura 10.2). Si se rechaza H 0 se dice que el valor Z K es significativo con un riesgo cuyo valor es α .

̅) NOTA. (Región c rític a en X Si se sustituye Z = ( ̅ X- µ 0 ) / ( /√n) de ̅ X:

Donde

en R C resulta la región crítica en el rango de variación ̅< a o X ̅> b }. R.C. = {X

a = µ 0 - Z1-α/2 ( /√n), y

b = µ 0 + Z1-α/2 ( /√n).

̅ : La región de aceptación es el intervalo en X ̅≤ b]. R.A. = [ a ≤ X La regla de decisión es: Si x̅ es el valor de ̅ X obtenido a partir de una muestra aleatoria, se rechazará H 0 con un riesgo α , si x̅ ∈ R.C. (o si x̅ ∉ R .A .). No se rechazará H 0 en caso contrario (figura 10.2). 2 Prueba unilateral de cola a la derecha Si se prueba H 0 : µ= µ 0 contra H 1 : µ> µ 0 , dado el nivel de significación α, en la distribución de Z = ( ̅ X- µ 0 ) / ( /√n) que es normal N (0,1), se determina el valor Z1-α tal que (figura 10.3), P [Z > Z1-α / H : µ= µ 0 verdadera] = α

En consecuencia, la región crítica en el rango de variación de Z es: R.C. = [Z >Z 1-α } R.A = {Z ≤ Z 1-α }

La región de aceptación es:

̅- µ 0 ) / ( /√n) es un valor de Z obtenido a partir de una La regla de decisión es: Si Z K = ( X muestra, se rechazará H 0 si Z K ∈ R.C (o si ZK ∉ R.A.). No se rechazará H 0 en caso contrario (figura 10.3). ̅) NO TA . (R egión crítica en X ̅- µ 0 ) / ( /√n) Si se sustituye Z = ( X ̅ : de X

en R C resulta la región crítica en el rango de variación R.C. = { ̅ X> b 1 }

Donde,

b 1= µ 0 - Z1-α ( /√n)

La región de aceptación es el intervalo: ̅ ≤ b1} R.A. = {X ̅ obtenido a partir de una muestra aleatoria de La regla de decisión es: Siendo x̅ el valor de X tamaño n, se rechazará H 0 con un riesgo α , si x̅ ∈ R.C. (o si x̅ ∉ R .A .). No se rechazará H 0 en caso contrario (figura 10.3).

3 Prueba unilateral de cola a la izquierda Si se prueba H 0 : µ= µ 0 contra H 1 : µ< µ 0 , dado el nivel de significación α , en la distribución de ̅- µ 0 ) / ( /√n) , se puede determ inar el valor Z1-α tal que (figura 10.4) Z = (X P [Z < - Z1-α / H : µ= µ 0 verdadera] = α En consecuencia, la región crítica en el rango de variación de Z es: R.C. = [Z < - Z1-α} Región de aceptación es: R.A. = {Z >- Z1-α}. Regla de decisión: Si Z K = ( ̅ X- µ 0 ) / ( /√n) , es un valor de Z obtenido a partir de una muestra, se rechazará H 0 con un riesgo α , si x̅ ∈ R.C. (o si x̅ ∉ R .A .). No se rechazará H 0 en caso contrario (f i g u r a 10.4).

N O TA . (Región c rític a en ̅ X) ̅- µ 0 ) / ( /√n) , en RC se obtiene la región crítica en el rango de Si se sustituye Z = ( X ̅: variación de X ̅< a 1 } R C = [X Donde,

a1= µ 0 - Z1-α ( /√n)

̅ > a 1 }. Región de aceptación: RA = {X Regla de decisión es: Si x̅ es un valor de ̅ X obtenido a partir de una muestra aleatoria de tamaño n, se rechazará H 0 con un riesgo α si x̅ ∈ R.C. (o si x̅ ∉ R .A .). No se rechazará H 0 en caso contrario (figura 10.4).

P RU EB AS D E H IP Ó TESIS A CERC A D E LA M ED IA µ : V ARIA N Z A 𝟐 SU P U ESTA D ESC O N O C ID A 2 Población no normal Si la población no tiene distribución normal y si la varianza es desconocida, para probar hipótesis acerca de la media µ, sólo si, el tamaño de la muestra es grande ( n ≥ 30). Se suele utilizar la estadística ̅ X − µ0 z= /√n

Cuya distribución es aproxim adamente puntualmente por s .

N ( 0.1).

La desviación estándar



se

estima

Luego, las regiones críticas de la pruebas de H 0 : µ= µ 0 contra cualquiera de las tres alternativas H 1 : µ< µ 0 o H 1 : µ≠ µ 0 son las mismas (aproximadamente)

2 Población normal Si la población tiene distribución normal N ( µ , 2 ) , donde µ y 2 son parámetros desconocidas, para n ≥ 2 la estadística de la prueba acerca de la media µ es: ̅ X−µ T= s/√n Cuya distribución es t-Student con n-1 grados de libertad. Si se supone verdadera la hipótesis nula: H 0 : µ= µ 0 , la estadística especificada por esta hipótesis es entonces, ahora: ̅ X − µ0 T= s/√n N O TA . La estructura de la prueba es idéntica que en el caso de  conocida, sa l v o que el valor de  se estim a por s y la distribución normal estándar se sustituye por la distribución t de Student con n - 1 grados de libertad. -

Prueba bilateral o de dos colas

Si se prueba H 0 : µ= µ 0 contra H 1 : µ≠ µ 0 dado el nivel de significación a en la distribución ̅- µ 0 ) / ( s/√n) ~ t ( n - 1), se determ inan los valores ± t 1-α/2, n-1 tales que la de T = ( X probabilidad de rechazar H 0 cuando se supone verdadera sea (figura 10.6) P [T<-t1-α/2, n-1]=α/2 o P [T>t 1 -α / 2 ,

n - 1 ]=α/2

Luego, la región crítica en el rango de variación de T es: R.C.={T<-t1-α/2,n-1 o T >t 1 - α / 2 ,

n-1 }

La región de aceptación es el intervalo R .A. = {-t1-α/2, n-1 ≤ T ≤ t1-α/2, n-1} Regla de decisión: Se rechazará H 0 con riesgo α , si t K ∈ R.C. N o se rechazará H 0 en caso contrario.

(o si tK ∉ R .A )

̅- µ 0 ) / ( s/√n) en R.C se obtiene la región crítica en el rango de N O TA . Si se sustituye T = ( X variación de ̅ X : R.C. = { ̅ X
o

̅ X rel="nofollow"> b ]

Donde a = µ 0 - t1-α/2,n-1 ( s/√n) , y b = µ 0 + t1-α/2,n-1 ( s/√n) ̅ obtenido a partir de una muestra aleatoria de Regla de decisión: Siendo x̅ el valor de X tamaño n, se rechazará H 0 con un riesgo α . Si x̅ ∈ R.C. (o si x̅ ∉ R .A . = (R. C. )C ). No se rechazara H 0 en caso contrario (figura 10.6). -

Prueba unilateral de cola a la derecha

Si se prueba H 0 : µ= µ 0 contra

H 1 : µ> µ 0 dado el nivel de significación α,en la distribución

de

T = (̅ X- µ 0 ) / ( s/√n) - t(n - 1), se determ ina el valor t1-α,n-1 tal que: (figura 10.7) P [T> t1-α/2,n-1/ H 0 : µ= µ 0 Verdadera]=α

Luego, la región crítica en el rango de variación de T es: R C = {T > t1-α, n-1 } La región de aceptación es el intervalo: RA= {T≤ t1-α, n-1 }

Regla de decisión. Se rechazará H 0 si H 0 en caso contrario. N O TA . La región crítica en α/2, n-1 ( s/√n) -

t K ∈ R.C.

̅ (figura 10.7) es: X

(o si t K ∉ R .A ) .

No

se rechazará

̅> b 1 }, donde b 1 = X ̅ < µ 0 - t1RC = { X

Prueba unilateral de cola a la izquierda

Si se prueba H 0 : µ= µ 0 contra H 1 : µ< µ 0 , dado el nivel de significación α, en la ̅- µ 0 ) / ( s/√n) ~ t ( n — 1) se determ ina el valor t1-α/2, n-1 tal que; (figura distribución de T = ( X 10 8) P[T < - t1-α/2,n-1 / H 0 : µ= µ 0 verdadera] = α Luego, la región crítica en el rango de variación de T es. RC = {T < -t1-α/2, n-1} La región de aceptación es el intervalo: RA = {T ≥- t1-α/2,n-1 }

Regla de decisión: Se rechazará H 0 si H 0 en caso contrario (figura 10.8). NO TA . La región crítica en ̅ < µ 0 - t1-α/, n-1 ( s/√n) a1= X

̅ X

t K ∈ R.C.

(figura 10.8) es

(o si t K ∉ R .A ) .

No

̅< a 1 }, donde RC = { X

se rechazará