301301 – 359 – Momento 2..docx

Trabajo Colaborativo Uno.

Presentado por, Diana Patricia Moreno – 1065236261 Camilo Armando Quintero Ave – 1090457212 Oscar Enrique Ramírez Rico – 91279411 Emilce Solano Rueda – 63519106

Presentado a, Tutor, Oscar Darío Ordoñez Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica.

Universidad Nacional Abierta y a Distancia ECACEN Programa de Administración de Empresas. Bucaramanga, octubre 2016

Introducción

El estudio de las matemáticas es un espacio tan amplio que permite al interesado en ellas reconocer elementos propios del área basándose en habilidades aritméticas ya adquiridas con el fin de darle solución a problemas o incógnitas con planteamientos numéricos cuyo fin es hallar el resultado de una igualdad, en el caso algebraico es de gran importancia reconocer la estructura de una ecuación como base expresiva o punto de partida para hallar soluciones a problemas compuestos por una igualdad previamente conformada por datos, conocidos en el planteamiento como números y de incógnitas representadas en letras, a esta estructura de ecuación se le conoce como expresión algebraica, dentro del estudio del componente teórico de algebra también se encuentras conceptos relacionados con inecuaciones cuya estructura algebraica es la misma de una ecuación pero su resultado difiere del cálculo de las ecuaciones, y concepto de Valor Absoluto en donde el valor de un número real será siempre el valor asignado sin importar la procedencia negativa o positiva.

En el siguiente informe, la base y estructura del desarrollo de los ejercicios propuestos para esta actividad buscan ser resueltos basándose en los previos conceptos y en conceptos matemáticos de solución de problemas, aquí se expone de forma detallada la solución de cada uno de los problemas y el porqué de su procedencia.

Objetivos.

- Objetivo General. - Reconocer los conceptos teóricos de una ecuación, inecuación y Valor Absoluto, su importancia en el desarrollo de problemas algebraicos y la estructura del mismo desarrollo de ejercicios basándose en un comienzo matemático que presenta una o varias incógnitas.

- Objetivos Específicos. - Reconocer el desarrollo sistemático de problemas algebraicos basándose en conceptos teóricos y de desarrollo planteados en la unidad de estudio. - Desarrollar una serie de ejercicios sugeridos con el fin de dar solución a incógnitas presentes en la redacción de estos, con el fin de dar evidencia del desarrollo práctico aprendido durante el desarrollo teórico de la unidad.

Ejercicios. - Problema Número 1. Determine el Valor de la variable x de la siguiente función. 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑥 + 1 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 (𝑥 3 − 27) − + =𝑥−1 (𝑥 2 + 3𝑥 + 9) (𝑥 + 1)2 (𝑥 + 2)2

Empezamos en la primera ecuación factorizando el cuatrinomio cubo perfecto, en la segunda es una reducción de numerador y denominador (de una suma de cuadrados) y en la tercera factorizamos el cubo perfecto y luego aplicamos nuevamente reducción de numerador con denominador 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑥 + 1 (𝑥 + 2)2 (𝑥 − 3)(𝑥 2 + 𝑥 ∗ 3 + 32 ) − + =𝑥−1 (𝑥 + 2)2 (𝑥 + 1)2 𝑥 2 + 3𝑥 + 9

(𝑥 − 3)(𝑥 2 + 3𝑥 + 9) (𝑥 + 1)3 − 1 + = 𝑥−1 (𝑥 + 1)2 𝑥 2 + 3𝑥 + 9

(𝑥 + 1)3−2 − 1 + 𝑥 − 3 = 𝑥 − 1

𝑥+1−1+𝑥−3=𝑥−1

2𝑥 − 𝑥 = −1 + 3

𝑥 = −1 + 3

𝑥=2

- Geogebra, Problema 1.

- Problema Número 2. Resuelva la siguiente ecuación y compruebe su solución. 𝟒𝒙 + 𝟓 = 𝟒{−𝟐[𝟐(𝒙 − 𝟏) − 𝟑(𝒙 + 𝟓)]}

4𝑋 + 5 = 4(−2(2𝑋 − 2 − 3𝑋 − 15))

Eliminamos los paréntesis realizando multiplicación 4𝑋 + 5 = 4(−2(−𝑋 − 17))

4𝑥 + 5 = 4(2𝑥 + 34)

4𝑥 + 5 = 8𝑥 + 136

4𝑥 = 8𝑥 + 136 − 5

4𝑥 − 8𝑥 = 131

−4𝑥 = 131

𝑥=

131 −4

𝑥=−

131 4

Comprobación: −131 −131 −131 4( ) + 5 = 4 {−2 [2 ( − 1) − 3( + 5)]} 4 4 4 −126 = −126

- Geogebra, Problema 2.

- Problema Número 3. Resuelva la siguiente ecuación con radicales y compruebe su solución. √2𝑥 − 3 − √𝑥 + 2 = 1 (√2x − 3)2 = (1 + √x + 2)2 (𝒙 − 𝟔)𝟐 = (𝟐√𝒙 + 𝟐)𝟐 𝑥 2 − 2(𝑥)(6) + 36 + 4𝑥 + 8 𝑥 2 − 12𝑥 + 36 = 4𝑥 + 8 𝑥 2 − 16𝑥 + 28 = 0 (𝑥 − 14)(𝑥 − 2) = 0 𝑥 = 14

- Geogebra, Problema 3.

𝑥=2

- Problema número 4. Resolver el siguiente Sistema de ecuaciones y compruebe su solución. 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 2 𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 1 2𝑥 − 3𝑧 = 4 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑 𝑀𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑎𝑚𝑒𝑟

X

y

z

3 2 −1 ∆𝑠 = 1 −4 2 2 0 −3

𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑟𝑟𝑢𝑠 − 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑟 3 2 −1 1 −4 2 2 0 −3 3 2 −1 1 −1 2

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙, 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 = (36 + 8) − (8 − 6) = (44) − (2) = 44 − 2 = 42 T.I

Y

Z 2 2 −1 ∆𝑥 = 1 −4 2 4 0 −3

𝑅𝑒𝑝𝑖𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 2 2 −1 2 2 1 −4 2 1 4 4 0 −3 4 0

∆𝑥 = (24 + 16 + 0) − (16 + 0 − 6)

(40) − (10)

∆𝑥 = 30

3 2 ∆𝑦 = 1 1 2 4

−1 2 −3 3 1

= (−9 − 4 + 8) − (−2 + 24 − 6) = (−5). (16) = −21 X

Y

TI

3 2 23 ∆𝑧 = 1 −4 1 1 2 0 42

2 −4 0

∆𝑍 = (−48 + 4 + 0) − (−16 + 0 + 8) = (−44). (−8) ∆𝑍 = −36

𝑋=

∆𝑋 14 = = 0,71 ∆𝑆 30

𝑌=

∆𝑌 −21 = = −0,5 ∆𝑆 42

𝑍=

∆𝑍 −36 = = −0,85 𝐴𝑆 42

2 −1 1 2

- Geogebra, Problema 4.

- Problema Número 5. La suma de 3 números es 9, el primero, 5 veces el Segundo y 3 veces el tercero suman 5, por otro lado 5 veces el primero más 2 veces el Segundo, menos 4 veces el tercero equivalen a menos 6. ¿Cuáles son los números?

𝑥+𝑦+𝑧 = 9 { 𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 5 5𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = −6

𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3

Igualamos ecuación uno y tres 𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 5

𝑥 = 5 − 5𝑦 − 3𝑧

𝑥+𝑦+𝑧 =9

𝑥 = 9−𝑦−𝑧

5 − 5𝑦 − 3𝑧 = 9 − 𝑦 − 𝑧 Despejamos y −5𝑦 + 𝑦 = 9 − 𝑧 + 3𝑧 − 5 −4𝑦 = 4 − 2𝑧 −2 − 𝑍 =𝑦 2

Resolvemos ecuación 3 con la 2 5𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = −6

5𝑥 = −6 − 2𝑦 + 4𝑧 𝑥=

−6 − 2𝑦 + 4𝑧 5

Ecuación 2 𝑥 =9−𝑦−𝑧 −6 − 2𝑦 + 4𝑧 =9−𝑦−𝑧 5

−6 − 2𝑦 + 4𝑧 = 5(9 − 𝑦 − 𝑧) −6 − 2𝑦 + 4𝑧 = 45 − 5𝑦 − 5𝑧 −2𝑦 + 5𝑦 = 45 + 6 − 4𝑧 − 5𝑧 𝑦=

51 − 9𝑧 3

Confrontamos resultados de las dos ecuaciones −2 − 𝑍 =𝑦 2 𝑦=

51 − 9𝑧 3

3(−2 − 𝑧) = 2(51 − 9𝑧)

−6 − 3𝑧 = 102 − 18𝑧 3𝑧 + 18𝑧 = 102 + 6

𝑧=

→𝑧=

108 36 = 5 5

36 5

Ahora reemplazamos el valor de z en la ecuación 𝑦=

−2 − 2

36 5

=−

46 23 =− 10 5

Reemplazamos el valor de y en la ecuación para hallar x 𝑥 =9−𝑦−𝑧 →

9 (−

23 36 45 + 23 − 26 32 )− = = 5 5 5 5 𝑥=

32 5

- Geogebra, Problema 5

- Problema Número 6. Resuelva la siguiente inecuación y compruebe su solución.

𝑥−5 𝑥+3 ≥ 7 3 3𝑥 − 15 ≥ 7𝑥 + 21 3𝑥 − 7𝑥 ≥ 21 + 15 −4𝑥 ≥ 36 𝑥 ≤ −9 Comprobación: −9 − 5 −9 + 3 ≥ 7 3 −2 ≥ −2

- Geogebra, Problema 6.

- Problema número 7. Resolver la siguiente inecuación racional. 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎 <0 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝑥 2 + 7𝑥 + 10 <0 𝑥 2 − 2𝑥

(𝑥 + 2)(𝑥 + 5) <0 𝑥(𝑥 − 2)

𝑥 > −5 { 𝑥 < −2 𝑥>0 𝑥<2

Aplicamos diagrama de signos, el cual dice que se toman los polinomios de los factores y se identifica cual valor hace que dichos polinomios sean cero ,a ese valor se llama valor critico y a cada polinomio se hace una recta real donde se ubica el valor critico y se coloca positivo donde sea positivo y signo negativo donde sea negativo

(𝑥 + 2)(𝑥 + 5) <0 𝑥(𝑥 − 2) X+2=0

VALOR CRITICO X= -2

-------------(-2)++++++++++++++++

X+5=0

VALOR CRITICO X=-5

---(-5)++++++++++++++++

X

VALOR CRITICO X=0

-------------------------------0+++++++++++++++++

X-2=0

VALOR CRITICO X=2

------------------------------------------------2++++++++++++

(-5,-2)U(0,2) {−5 < 𝑋 < 2,0 < 𝑋 < 2}

- Geogebra, Problema 7.

- Problema Número 8. Resolver la siguiente ecuación con Valor Absoluto. |𝑥 2 − 6𝑥 − 38| = 2 Por teorema de ecuaciones de valor absoluto: |𝑥| = 𝑎 ⇒ 𝑥 = 𝑎,∨, 𝑥 = −𝑎 Entonces: |𝑥 2 − 6𝑥 − 38| = 2 Parte uno: 𝑥 2 − 6𝑥 − 38 = 2 𝑥 2 − 6𝑥 − 38 − 2 = 0 𝑥 2 − 6𝑥 − 40 = 0 (𝑥 − 10)(𝑥 + 4) = 0 𝑥1 = 10 𝑥2 = −4 Parte dos: 𝑥 2 − 6𝑥 − 38 = −2 𝑥 2 − 6𝑥 − 38 + 2 = 0 𝑥 2 − 6𝑥 − 36 = 0 Por formula general de la ecuación de segundo grado: 𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

𝑥=

−(−6) ± √(−6)2 − 4(1)(−36) 2(1)

𝑥=

6 ± √36 + 144 2

𝑥=

6 ± 6√5 2

𝑥 = 3 ± 3√5

- Geogebra, Problema 8.

- Problema Número 9. Resuelva la inecuación por Valor Absoluto. |𝑥 + 4| ≥ 9 Por teorema de inecuaciones de valor absoluto: |𝑥| ≥ 𝑎 ⇒ 𝑥 ≤ −𝑎,∧, 𝑥 ≥ 𝑎 Entonces: |𝑥 + 4| ≥ 9 Parte uno: 𝑥 + 4 ≤ −9 𝑥 ≤ −9 − 4 𝑥 ≤ −13 Parte dos: 𝑥+4≥9 𝑥 ≥ 9−4 𝑥≥5

- Geogebra, Problema 9.

Conclusiones.

- Todo desarrollo práctico de ejercicios de estructura algebraica requiere de un conocimiento previo en cuestiones teóricas cuyo fin es dar un norte a los procesos a seguir durante la búsqueda de la solución del problema.

- La solución de los ejercicios sugeridos dentro del estudio de la presente unidad busca orientar al estudiante dentro del proceso algebraico de solución de problemas basándose en herramientas propias del área como el uso de fórmulas provenientes de la teoría y herramientas sistemáticas como el software geogebra capaz de aclarar dudas al estudiante sobre la veracidad del resultado obtenido durante la construcción del desarrollo o la solución de cualquier ejercicio.

Bibliografía.

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J.

(2013). Sistema

de ecuaciones lineales 2

x

2.

Recuperado

de:

http://hdl.handle.net/10596/7689

- Rondón, J. (2006). Matemáticas Básicas. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. entarias:Páginas 1 – 239. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7692