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Aplicaciones de las transformaciones de Laplace en Sistemas de Control Costa José Ignacio Estudiante de Ingeniería en Sistemas de Computación Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Bahía Blanca, Argentina [email protected]

Febrero 2014 Resumen: En este informe se mostrará una de las aplicaciones de las transformaciones de Laplace en ingeniería, se intentará mostrar como a través del uso de estas transformadas uno puede simplificar de una manera sencilla ecuaciones diferenciales a simples ecuaciones algebraicas. Veremos cómo utilizar las transformaciones de Laplace para los dos tipos de sistemas de control (a lazo abierto y a lazo cerrado) y verificaremos su estabilidad. Palabras clave: derivadas, sistemas de control, transformadas, Laplace.

I.

INTRODUCCIÓN

Antes de desarrollar el tema voy a enunciar algunos conceptos que pueden facilitar el entendimiento de los siguientes apartados para aquellos lectores que no tengan muchos conocimientos en el área. Deben empezar sabiendo que un sistema automático de control es un conjunto de componentes físicos conectados o relacionados entre sí, de manera que regulen o dirijan su actuación por sí mismos, es decir sin intervención de agentes exteriores (incluido el factor humano), corrigiendo además los posibles errores que se presenten en su funcionamiento. Estos sistemas de regulación se pueden clasificar en: • Sistemas de bucle o lazo abierto: son aquellos en los que la acción de control es independiente de la salida. • Sistemas de bucle o lazo cerrado: son aquellos en los que la acción de control depende en cierto modo, de la salida. Una función de transferencia G(s) es la relación entre la señal de salida y(t) y la de entrada u(t) del bloque: Entrada

Salida

Entrada

y(t)

U(s)

Salida

Sist.

G (s)

u(t)

y (t ) G (s) = u (t )

Y(s)

(1)

A la hora de hacer el análisis de un bloque en función del tiempo, las relaciones entre las señales se pueden complicar apareciendo ecuaciones con derivadas e integrales. Para resolver este problema se recurre a la herramienta matemática denominada Transformada de Laplace, que convierte de una manera sencilla ecuaciones diferenciales en simples ecuaciones algebraicas. Lo que realiza la transformada es convertir la variable ordinaria t (tiempo) en una variable compleja s llamada operador de Laplace. Posteriormente para obtener la solución en función del tiempo t hay que invertir la transformación, para pasar del dominio s al dominio t. R(s)

U(s)

V(s) G(s)

G1(s) U(s)

+

G2(s). Y(s)

V(s)

Figura 1. Diagrama de bloques para un sist. de cont. a lazo abierto

X(s)

H(s).

Figura 2. Diagrama de bloques un sist. de cont. a lazo cerrado

II. FUNCIÓN TRANSFERENCIA En este apartado, veremos cómo se aplicarán las transformaciones de Laplace para calcular las funciones que relacionan la señal de entrada y salida del sistema (función de transferencia), veremos un caso de un sistema de lazo abierto y otro a lazo cerrado para, en el siguiente apartado, poder ver la estabilidad con la finalidad de obtener la información de sus ceros y polos. A. Aplicación de la transformada de Laplace en un modelo a lazo abierto: Para poder ver la aplicación de las transformadas en un sistemas a lazo abierto utilizaremos como objeto de análisis un caso sencillo de dos bloques en paralelo, el mismo consiste de una entrada al sistema u(t) que ingresa al primer bloque, y(t) que es la salida del primer bloque que ingresa en el segundo, y por ultimo v(t) que es la salida del segundo bloque, y a su vez la del sistema; de las que se obtienen las funciones transformadas U(s), Y(s) y V(s) respectivamente. (Como muestra la fig. 1) De este sistema podemos obtener las ecuaciones:

V ( s ) = G2 ( s ) ∗ Y ( s ) Y ( s) = G1 ( s) ∗ U ( s)

(2) (3)

De estas dos ecuaciones podemos definir:

V ( s) = G1 ( s ) ∗ G2 ( s ) U (s)

(4)

G1(s) y G2(s) son las funciones transferencia del sistema, donde:

G ( s) =

P( s) Q( s)

(5)

con P(s) y Q(s) polinomios y U(s) generalmente una función racional. B. Aplicación de la transformada de Laplace en un modelo a lazo cerrado: Para poder calcular la función transferencia en lazo cerrado utilizaremos como objeto de análisis un sistema de dos bloques con conexión en anillo que tiene realimentación a través del segundo elemento. Este sistema consiste de una entrada al sistema u(t) que ingresa al primer bloque, v(t) que es la salida del sistema que a su vez es realimentada a la entrada a través de un segundo bloque, x(t) es el resultado de aplicarle la función transferencia del segundo bloque a v(s) y por ultimo r(t) es la entrada u(t) después de recibir como realimentación x(t); de las que se obtienen las funciones transformadas U(s), V(s), X(s) y R(s) respectivamente. (Como muestra la fig. 2) Las funciones de cada elemento son:

R(s) = U (s) − X (s) X (s) = H (s) * V (s) V (s) = G ( s) * R(s)

(6) (7) (8)

Primero sustituimos R(s):

V ( s ) = G ( s ) * [U ( s ) − X ( s )] = G ( s ) * U ( s ) − G ( s ) * X ( s )

(9)

Cambiamos X(s) por su valor y después de acomodar la función obtenemos que la función transferencia es:

M ( s) =

V ( s) G(s) = U ( s ) [1 + H ( s ) * G ( s )]

(10)

III. ESTABILIDAD DEL SISTEMA En este apartado, se estudiará la estabilidad de los sistemas de control, utilizaremos la función de transferencia obtenida en el apartado anterior del sistema a lazo cerrado, para obtener la información de sus ceros y polos. En esta función sus polos serán los ceros de su denominador, llamémoslo F(s).

F (s) = 1 + H (s) * G (s)

(11)

Los polos de su numerador G(s), que potencialmente también podrían agregarse, se cancelarán en realidad con los polos de F(s), ya que coinciden con éstos (salvo si H(s) tuviera ceros coincidentes con polos de G(s)). En conclusión, la estabilidad de M(s) puede estudiarse determinando si F(s) tiene ceros en el semiplano real positivo, Re(s) > 0. Para ello, se aplicara el principio de variación del argumento: (12) N =Z−P Donde Z son los ceros y P son los polos de F, encerrados por una curva C en el plano complejo y N son las veces que circunda al origen el contorno C' = F(C) (transformada de C a través de F). Si partimos de la suposición razonable de que G(s) y H(s) son estables, entonces F(s) no tendrá polos con parte real positiva, por lo tanto, es decir, el número de vueltas que dará C’ = F(C) alrededor de 0 coincide con el número de ceros de F(s) dentro de C. Si este número es mayor que 0, habrá por lo menos un cero y el sistema realimentado será inestable.

IV. APLICACIÓN En este apartado, lo que se hará, será mostrar la aplicación de la transformada de Laplace en un sistema de lazo cerrado, encargado de controlar un motor o servomotor, muy utilizado, por ejemplo, en industrias y en robótica en particular. A. Diagrama de bloques En la figura 3, puede apreciarse que se aplica una señal de referencia, (r), que en este caso, es un cierto valor de tensión en corriente continua, la cual pasa por un sumador, del que se desprende una señal de error (e) correspondiente a la diferencia entre la señales de referencia y de salida del sistema, esta es “inyectada” a un mecanismo controlador (PID), que puede ser diseñado con amplificadores operacionales, encargado de disminuir dicho error, de esta manera, la tensión que se la aplicará al motor, o servomotor, será la señal de control, (u). Por último, a la salida será censada una señal, (y), que mediante la retroalimentación se envía devuelta a la entrada del controlador. B. Modelo matemático Basándonos en la definición de la función de transferencia, aplicaremos una señal escalón al sistema, hallaremos las ecuaciones de cada variable en el dominio del tiempo, las llevamos al dominio de Laplace, y la relación salida/entrada será el modelo matemático del mismo. Para poder estudiar esta relación; mediante una experiencia de mediciones, se aplicará un pulso de tensión, en corriente continua, al bloque de proceso, luego se medirá la diferencia de potencial, en un cierto intervalo de tiempo, a un potenciómetro conectado al motor, para de esta manera, obtener una señal a la salida de pendiente m y función: (13) y (t ) = m * t Cuya transformada Laplace será:

Y ( s) =

m s2

(14)

La señal de entrada corresponde a una señal escalón de amplitud igual a la del voltaje de c.c. aplicado:

u (t ) = V

Controlador

r +

-

Proceso u

e PID

Referencia

(15)

Motor / Potenciómetro Señal retroalimentada

Figura 3. Diagrama de bloques un sist. de cont. a lazo cerrado.

y

Cuya transformada Laplace será:

U (s) =

V s

(16)

El modelo matemático, será la función de transferencia del sistema, es decir:

m Y ( s) G(s) = = V U ( s) s

(17)

El modelo obtenido no presenta ceros y tiene un polo en el origen, lo que representa un sistema del tipo 1. Llamemos G(s) a la función de trasferencia del conjunto motor/potenciómetro y H(s) es la función de transferencia del lazo de retroalimentación, que en nuestro caso es unitaria. Donde la ecuación de error queda dada por:

E ( s) =

1 * R(s) 1 + G ( s) * H ( s)

(18)

Y por lo tanto, como H(s) = 1, de la ecuación “(18)” y “(17)” se tiene:

E ( s) = 1+

1 m

* R( s) (19)

V s

Si la entrada es un escalón de amplitud “V” (la transformada de Laplace de la función escalón, es V/s), el error en estado estacionario será:

ess = lim s→0 s * 1+

1 m

V s

*

V s

(20)

El error de la ecuación “(20)” tenderá a cero, esto quiere decir que el sistema de lazo cerrado responderá ante una orden de ubicación en cualquier posición angular, con gran exactitud.

V. CONCLUSIÓN: En este informe se puede apreciar que las transformaciones de Laplace nos brindan una facilidad a la hora de resolver ecuaciones diferenciales lineales ya que las convierten en ecuaciones algebraicas simples. Así se logran hacer mucho más sencillos los cálculos para ver la estabilidad en algo tan común como un sistema de control, ahorrando así tener q hacer largos cálculos de derivadas o complejas integrales. Después de investigar un poco en el tema uno se da cuenta la cantidad de aplicaciones, casi infinitas, que se resuelven fácilmente gracias al uso de esta técnica. Para ver un poco la magnitud de lo que estamos hablando, los sistemas de control pueden encontrarse en las casa (ya sea en lavarropas, heladera, aire acondicionado), en las calles (con el sistema de iluminación, control de caudal en una tubería), en los campos (control de nivel en los silos, sistemas de riego, control de temperatura en establos) y en muchos otros lugares con muchísimas aplicaciones más. Esto nos da una idea clara de la relevancia del modelo matemático estudiado en los sistemas de hoy en día.

REFERENCIAS [1] J. A. Contreras, “Introducción a la Implementación de Controladores PID Análogos” [en línea] , disponible en http://www.automatas.org/hardware/teoria_pid.htm, [consultada el 20 de febrero de 2014]. [2] “SISTEMAS AUTOMÁTICOS DE CONTROL” [en línea], disponible en http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~23005153/d_tecnologia/bajables/2%20bachillerato/SISTEMA S%20AUTOMATICOS%20DE%20CONTROL.pdf [consultada el 20 de febrero de 2014]. [3]“Sistemas Automáticos” [en linea], disponible en https://docs.google.com/presentation/d/1z4_6nafpp4urj7oVe2JXy89Y0q4yQiiHX6KY4Ul2KU/edit?hl=ca#slide=id.p11 [consultada el 20 de febrero de 2014].