Resposta Estrutural De Um Tirante A Um Esforço Axial Aplicado.pdf

Resposta Estrutural de um Tirante a um Esforço Axial Aplicado

AII AI

(a)

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10 1/15 0.05 1/30 0.00

αρ (α=7.0) 0.01

0.3 0.5

Comportamento Global do Tirante

0.1

0.2

1 1.42

0.5

ρ [%]

7.14

Relação de rigidezes Estado I/Estado II

1

Resposta Estrutural de um Tirante a uma Deformação Axial Aplicada

K(aço+betão) Abertura da 1ªFenda

K(aço+betão)

K(aço)

K(aço+betão)

Abertura da 2ªFenda

K(aço+betão) K(aço) K(aço+betão)

Comportamento Global do Tirante

K(aço) K(aço+betão)

Simulação da perda de rigidez do tirante com a abertura de cada nova fenda

2

Princípio de Dimensionamento da Armadura Mínima Critério de não plastificação da armadura σs2 σs2 I

I

fy

Patamar de cedência

II

II

σsr,n σsr,1

σsr,1

σsr,n = 1,30 a 1,35 σsr,1

fy Formação de fendas

˜ 0,10

Fendilhação estabilizada

ε imp

ε imp w1 wn

w

w

a) ρ ρmin,y

N = N I = N II

wn = 1,20 w1 b) ρmin,w = ρmin (wadm) > ρmin,y

⇒

Ac × σ c 1 ≈ As × σ s 2

⇒

Ac × f ct ,ef ≈ As × σ sr

f ct ,ef AS ρ= ≥ ρ min = AC fy

3

Armadura para o Controlo dos Efeitos das Deformações Impostas de Acordo com o EC2

As ,min

k c × k × Act × f ct = σs

kc , considera a distribuição de tensões na secção imediatamente antes da abertura da primeira fenda, englobando não só a tracção, mas também a flexão simples e composta; k , considera o efeito não uniforme das tensões auto-equilibradas na diminuição de fct,ef; Act a área de betão traccionada, antes da abertura da primeira fenda.

1.

Armadura mínima - σs = tensão de cedência do aço

2.

Controlo indirecto da abertura de fendas pelo valor da tensão dada no quadro seguinte Tensão no aço

Máximo diâmetro do varão

Máximo espaçamento entre varões*

[MPa]

wk=0,40 mm

wk=0,30 mm

wk=0,20 mm

wk=0,40 mm

wk=0,30 mm

wk=0,20 mm

160

40

32

25

300

300

200

200

32

25

16

300

250

150

240

20

16

12

250

200

100

280

16

12

8

200

150

50

320

12

10

6

150

100

-

360

10

8

5

100

50

-

400

8

6

4

50

-

-

450

6

5

-

-

-

-

* Condição alternativa para a acção de cargas verticais, mas não deformações impostas

4

Efeito da Flexão Composta – Valor de Kc

kc

 σc  = 0,40 × 1,0 − k 1 .(h / h *).f ct 

  ≤ 1,0  

1,00

Estimativa do coeficiente kc

0,80

0,60 Caso 1 - 1,50x0,50 Caso 2 - 1,00x0,40

0,40

Caso 3 - 0,20x1,00

0,20 Tensão média [kN/m2]

0,00 -7500

-6000

-4500

-3000

-1500

0

1500

3000

4500

5

Comportamento à Flexão Simples M Estado I

Mu

0-1

4 Ruptura Fase de plastificação da armadura

3

1-2 Estado II

Mcr,n Mcr

2

Fase de fissuração estabilizada Fase de formação de fissuras

1

2-3

Fase elástica 3-4 0

1/r

III II

(b)

0.60

1

rm 1

rm

=

ε − ε cm M = sm EI m d

= (1 − ζ )

1

rI

+ζ

M ζ = 1 − β . cr   M 

2

0.50

d/h=0.90 ρ1/ρ2=0.25

0.40

1

0.30

r II

0.20

0.10

αρ1 (α=7.0)

0.00 0.001

0.03 0.05

0.05

0.01

0.05

0.1

0.14

0.71

1.42

0.5 2.85

ρ1 [%]

6

Resposta Estrutural a Deformações Impostas Sobrepostas a Cargas com Efeitos de Flexão Msup(-)

Deformação Imposta com Efeito de Flexão 3 ∆Mid 3

State II

Msup

p

State I

∆M id = ξ M idelast

Msup

2

∆Mid

2

Msup

ξ <1

1

∆Mid

∆Mid

1

Msup

1/Rm

ξ ρflexion 0.3 0.6 1.2

ϕ=0 r ≤ 1 1.5 1 1 1

0.35 0.5 0.7

2 0.2 0.35 0.5

ϕ = 2.5 r ≤ 1 1.5 0.35 0.35 0.4

0.25 0.3 0.35

ρ flexion = 2 0.15 0.25 0.3

r=

As bd

M g + ψ 2q × M q + M id M cr

7

Reserva em Relação à Não Cedência das Armaduras em Situação de Flexão M Estado I

MyB

∆MB = MyB-MP,Loads

Estado IIB

B MP,Loads ˜ MyB K

∆MB B

Msup,Loads

MyA ∆MA

A

Msup,Loads

Estado IIA

∆MA = MyA-MP,Loads A MP,Loads ˜ MyA K

βMcrA= βMcrB

1/Rm

∆M = M y − M loads < M id 8

Deformações Impostas Sobrepostas aos Efeitos de Cargas Verticais

Restrições na extremidade

l

Axial Effect

Caso de um piso elevado restringido, a deformaç deformações axiais livres, livres por paredes isoladas ou de acessos verticais

Restrições laterais

l

Axial Effect

Caso de um piso enterrado (garagem) com restrição às deformaç deformações axiais livres, livres pelas paredes de contenção laterais, principalmente as da maior direcção em planta

9

Resposta Estrutural a Deformações Impostas Axiais Isoladas com Armadura Superior à Mínima s rm

s rm

εi

N

x

N

x

εe x l

l

l

N

I

N

I

[kN]

[kN]

Ncr

II

a)

Ncr

b)

1

Es.As

∆N

Medium extension

f ct/Ec

εff

εm[

‰]

Deformação Imposta Externa (Variação de temperatura)

f ct/Ec

εff

Medium extension

εm[

‰]

Deformação Imposta Interna (Retracção do Betão)

No caso das Deformações Impostas Internas, o esforço axial de fendilhação tem tendência a diminuir devido às tensões autoequilibradas geradas no betão 10

Resposta Estrutural a Deformações Impostas Axiais Sobrepostas a Efeitos de Cargas p Msup

N id

N id

N [kN]

N

I

ξ <1

Nid = ξ Ncr

[kN]

I

II II

Ncr

Ncr

Extensão média

Extensão média

N [kN]

εm[

‰]

I

N [kN]

Ncr

εm[

‰]

I

Isolated Axial Action

Ncr

Indirect Action Superposed with vertical loads

Es.As

Extensão média

Extensão média

εm[

εm[

‰]

‰]

11

Análises Não Lineares com Diferentes Percentagens de Armaduras

only imposed deformation

As,case i

Built-in-end

Built in end axially free - Loads and imposed Deformation Built-in-end - Shrinkage

∆l

l Different Cases

As, adopted/2

Reinforcement percentage[%]

Medium spacing

1

8φ10 (6,28 cm2)

0,52

0,125

2

7φ12 (7,92 cm2)

0,66

0,143

3

9φ12 (10,18 cm2)

0,85

0,111

4

11φ12 (12,44 cm2)

1,04

0,091

C25/30: Ec=30.5 MPa fct=2.5 MPa

S500: Es=200 MPa fyk=500 MPa

1.00m As 2

Pormenorização de Armaduras h=0.24m As 2

Level 1 – permanent

0.50

x

Level 2 –quasi permanent

quasi-

Case 4 kN/m

Case 1

Case 2

Case 3

kN/m

kN/m

kN/m

3.61

4.31

5.13

5.94

7.22

8.62

10.25

11.88

Níveis de Cargas verticais associados às diferentes quantidades de armadura

12

Resultados das Análises Não Lineares para Deformações Impostas Exteriores 1000

N [kN]

900

Ncr⇒

1000

800

700

700

Ncr⇒

600

500

400

400

300

300 200

ρ=0.52%

100

Mcqp

ρ=0.66%

100

ε m [‰ ]

0

ε m [‰ ]

0 0

1200

Ncr⇒

1.0 x

600

500

200

Mcqp

N [kN]

900

800

0.50 x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 1200

N [kN]

1000

1000

800

800

Ncr⇒

600

400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

N [kN]

600

400

ρ=0.85%

200

ρ=1.04%

200

ε m [‰ ] 0

ε m [‰ ] 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Para valores correntes de εid=0.30‰ ‰ a 0.50‰ ‰ a redução do esforço axial é significativa em relação 13 ao caso sem sobreposição de efeitos de carga

Resultados das Análises Não Lineares para Deformações Impostas Interiores 700

Ncr

N [kN]

700

600

Ncr

500

300

300

200

200

100

100 0

0

700

Ncr

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

N [kN]

ε m [‰ ]

ε m [‰ ] 0.6

Mcqp

ρ=0.66% 400

0.4

1.0 x

600

400

0.2

Mcqp

500

ρ=0.52%

0

0.50 x

0

2

N [kN]

700

Ncr

600 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

N [kN]

600 500

ρ=0.85%

400 300

300

200

200

100

100

ε m [‰ ] 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

ρ=1.04%

400

2

ε m [‰ ] 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

As reduções de esforço axial são ainda mais significativas (Nid bastante mais pequeno que Ncr)

2

14

Resultados dos Casos da Sobreposição de Efeitos Tensões (σs) e Abertura de fendas (w) – Deformações Impostas Externas

• Caso de Carga 2 (ρ = 0.66%)

only imposed deformation

A

• Distribuição não uniforme de tensões ao longo do vão • Valores máximos de σs e w com valores razoáveis

ε ≈ 0.50‰ ‰ 400

σs = 350 MPa

350

300

Armadura Inferior

Armadura Superior

250

σs [MN/m2]

200

σs [MN/m2]

400

500 150

100

400

350

σs = 350 MPa

300

50

250

300

0 0

1

2

3

4

5

6

7

0,120 0,336

200

Armadura Inferior

200 1,031

150

2,325

0,552 0,791

100

1,031

εm [‰] 0 0,00

350

σs = 300 MPa

300

σs = 300 MPa

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

3,021

100

3,332 3,668

50 0 0,00

3,908 4,219

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,00000

0 250

0,00005

0,0001

0,00010

200

0,0002

0,00015

150

0,0003

0,00020

100

0,00025

0,0004 50

0,00030 0,0005

0 0

1

2

3

4

5

6

7

0,0006

Armadura Inferior

w = 0.40 mm w [m]

0,00035 0,00040

w = 0.35 mm

0,90

εm [‰]

15

Resultados dos Casos da Sobreposição de Efeitos Tensões (σs) e Abertura de fendas (w) – Deformações Impostas Internas

• Caso de Carga 2 (ρ = 0.66%)

only imposed deformation

A

• Distribuição não uniforme de tensões ao longo do vão

ε ≈ 0.50‰ ‰ 300

• Menores tensões σs mas valores semelhantes de w

σs = 260 MPa

250 200

Armadura Inferior

Armadura superior

150 100

σ s [MN/m2]

σs [MN/m2] 300

50 0 0

-50

1

2

3

4

5

6

7

σs = 260 MPa

200

250

σs = 170 MPa

150

200

-100

100 150

-150

50

Armadura superior

100

0,120 0,312 0,552

50

0,791 1,055

200

0 0,00

σs = 170 MPa

0,10

0,20

0,30

0,40

-50

150

0.50

0 0,00005

100

50

2

3

-50

4

5

6

7

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

2,349 2,661 3,141

0,80

3,620 5,346

-100

0.50

0

0,00025

0,0002

0,0003

0,00025

0,00035 -100

ε m [‰]

0,20

0,00015

0,0002 1

0,70

0,10

-50

0,0001

0,00015

0

0,60

ε m [‰]

0,00005

0,0001

0

0,50

0 0,00

0,0003

0,0004 0,00045

-150

0,0005

Armadura inferior

w = 0.40 mm

0,00035 0,0004

w [m]

w = 0.35 mm 16

Critério de Dimensionamento Proposto
Considerando uma deformação imposta isolada:

N

N = Ncr ≤ As x σs σs função directa de Ncr

Indicações do EC2
Considerando sobreposição de efeitos:

M

N

N = ξ x Ncr

σs =fsyk

Critério de não cedência

σs < fsyk φ ≤ φcode

Controlo indirecto da abertura de fendas

Cálculo da tensão do aço

N cs = ξcs × N cr

N ∆T = ξ ∆T × N cr ∆ε∆T

0.10‰

0.30‰

0.50‰

0.50 %

0.35

0.55

0.65

0.80 %

0.35

0.55

1.00 %

0.35

0.60

ρ

∆εcs

0.10‰

0.30‰

0.50‰

0.50 %

0.30

0.45

0.50

0.70

0.80 %

0.25

0.40

0.45

0.80

1.00 %

0.25

0.35

0.40

ρ

17

Abertura de fendas Estado I εc1=εs1

Fissura

c N=Nf

Comprimento de transição

φ

hef

Ac,ef

c Escorregamento

l

σc1=fct

f ct Ac ,ef φ 1 φ l0 = . 2 . = .κ . τ bm φ .π 4 4 ρef 4

0

Tensão de aderência

τbm τb Abertura de Fendas de acordo com o Eurocódigo 2

w = sr ,max .(ε sm − ε cm ) ε srm = ε sm − ε cm

s rm ,máx = 3,40 c + 0,425 × k 1 × k 2 ×

σ f ct = s − kt (1 + n × ρ ef ) Es E s ρ ef

φ ρ ef

K1 = 0.8 a 1.6 (aderência) K2 = 0.5 a 1.0 (flexão/tracção) Kt = 0.4 a 0.6 (curta/longa duração)

18

Avaliação da Abertura de Fendas Deformação Imposta Externa (Variação de temperatura)  wm = srm . εsrm = srm . τ εload+cs  s2 

cs εload+ = s2

;

σs2 (Mg+ψ2q, ξ∆T Ncr) Es

Deformação Imposta Interna (retração do betão)  wm = srm . εsrm = srm . τ εload+cs + |ε |  cs s2 

;

εload+cs = s2

σs2 (Mg+ψ2q, ξcs Ncr) Es

Deformações Impostas (Externa e Interna)

wm = srm . εsrm = srm . τ εload+∆T+cs + |εcs| s2

;

εload+∆T+cs = s2

σs2 (Mg+ψ2q, ξ∆T+cs Ncr) Es

ξ∆T+cs = k ξ∆T + (1 – k) εcs De uma forma simplificada (Estado II puro 0.35 l0 para cada lado da fenda): srm . τ ≅ 0.7 l0

(Favre, et al) 19

Distribuição Assimétrica de Armadura p.p.= 6.00 kN/m r.c.p.= 1.50 kN/m Sc= 4.0 kN/m

pcqp=8.30 kN/m 1.75 m 8φ10 - Caso A 3φ10 - Caso B

11φ10

11φ10

8φ10

Esforço Normal [kN]

7.00 m

∆l

800

Caso A

700 600


No caso A, verifica-se um bom comportamento estrutural em

500

flexão composta;

400


No caso B, com menos armadura na face superior (meio vão),

300 200

apresenta um mau comportamento estrutural submetido à acção

100

ε m [‰ ]

indirecta isolada.

0 Esforço Normal [kN]

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

2

800

Caso B

700


Numa situação de sobreposição de efeitos, o comportamento até um nível de extensão de 0.50‰, é idêntico ao caso anterior, ficando

600

comprometido, após o aparecimento de tracções na fibra superior;

500 400


A distribuição das quantidades de armadura deve obedecer ao

300

andamento do diagrama de momentos flectores, de acordo com uma

200 100

análise de tensões.

ε m [‰ ]

0 0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

2

20

Metodologia Proposta
Dimensionamento Corrente aos E.L. Últimos, sem consideração das deformações impostas;
Avaliação dos Esforços axiais gerados, devido às restrições exteriores ao elemento em análise, tendo em conta o módulo de elasticidade ajustado; kN/m 700

Nelastico

600

Ncr

500 400

ξ X Ncr

300 200

ξ X Nelastico

100

105.0 105.0

97.5

90.0

82.5 82.5

75.0 75.0

67.5 67.5

60.0 60.0

52.5 52.5

45.0

37.5 37.5

30.0 30.0

22.5 22.5

15.0 15.0

7.5 7.5

0.0

0


Análise em Serviço da Combinação das Cargas Verticais (comb. quase-permanente), com o nível de esforço axial reduzido N (r,e(‰));
Avaliação do nível das tensões nas armaduras, para o par de esforços (N,M), em secção fissurada;
Eventual reforço das quantidades definidas em 1, segundo o critério definido para a armadura (não cedência da armadura ou controlo da abertura de fendas)

21

Caso Prático – Situação de um Piso Enterrado com planta de 105.0mx45.0m e Espessuras 0.20m com Capiteis 0.35m

C25 /30 ; S500

Distribuição de armadura para os estados limites últimos e “armadura mínima de tracção” A

C

D

[kN/m]

800 Esforço Axial [kN/m]

Esforço Axial [kN/m]

B

700 600 500 400

800 700 600 500

Nelastic

400

300

300

200

200

100

Ncr

100 [m]

[m]

0

0 0,0

7,5

15,0

22,5

30,0

37,5

45,0

0,0

7,5

15,0 22,5

30,0

37,5

45,0

52,5 60,0 67,5 75,0 82,5 90,0 97,5 105,0

Esforços axiais para uma retracção de 0.3‰ e Ec,adj = Ec,28/3

22

N id = ξ × N cr = 0.6 × N cr

if N id > N cr

N id = ξ × N cr = 0.6 × N id

if N id < N cr

800

Esforço Axial [kN/m]

Esforço Axial [kN/m]

Aplicação dos Critérios de Controlo dos Efeitos das Deformações Impostas

700 600 500

ξ Avaliado para ρ = 0.80% e considerando uma deformação imposta exterior

800

Nelast

700

Ncr

600 500

400

400

300

300

200

200

min(ξ Nelast.; ξ Ncr)

100

100 [m] 0

[m]

0 0,0

7,5

15,0

22,5

30,0

37,5

45,0

0,0

7,5

15,0 22,5 30,0 37,5 45,0 52,5 60,0 67,5 75,0 82,5 90,0 97,5 105,0

•

Para o critério de não cedência de armadura, a pormenorização definida anteriormente é suficiente

•

Para a limitação da abertura de fendas aproximadamente a 0.30mm, as armaduras na maior direcção e na menor junto às paredes: Inferior φ10/0.15 ⇒ φ10/0.10 Superior φ12/0.20 ⇒ φ12/0.20 + φ10/0.20 Sobre os pilares sem modificação

23