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EL DESARROLLO DEL RAZONAMIENTO A TRAVÉS DE ACTIVIDADES GEOMÉTRICAS The development of reasoning through geometric activities Ortiz, A. a a

Universidad Pedagógica Nacional, México.

Resumen La incorporación de la geometría en la educación da la oportunidad a los sujetos de desarrollar habilidades dentro y fuera de las matemáticas y la escuela, además de que es indispensable para interpretar y moverse en determinado entorno. El profesor tiene la posibilidad de favorecer el desarrollo del razonamiento de los estudiantes, por ejemplo, modificando e implementando propuestas educativas diseñadas que son producto de trabajos de investigación. En este escrito se dará cuenta de cómo la implementación de una tarea propuesta en un contexto investigativo favorece el desarrollo del razonamiento geométrico en los estudiantes y por ende su razonamiento en general. Palabras clave: razonamiento, tecnologías, exploración, geometría. INTRODUCCIÓN La educación matemática actual se caracteriza, entre muchas otras cosas, por tener un organizador curricular temático que presenta a los objetos propios del cálculo y del álgebra como objetivo final de enseñanza, esto implica que la mayor parte de la formación matemática escolar sea dirigida a sentar las bases necesarias para que en el último año escolar los estudiantes tengan las herramientas necesarias para calcular límites, derivadas y eventualmente integrales. No obstante, es claro que este objetivo (bien fundamentado o no), limita en gran medida el trabajo en otras ramas de las matemáticas sumamente importantes que son la estadística y la geometría. Algunos autores como es el caso de Valero (como se citó en Pachón, 2013) han afirmado que una alfabetización matemática para el contexto histórico y social actual requiere de un reconocimiento crítico de la realidad que rodea al estudiante. Para ello la educación estocástica y geométrica no solo son necesarias sino además fundamentales. La primera de ellas permite realizar lecturas de información en tablas y gráficas de las noticias de actualidad. La segunda, que es la considerada para este estudio, brinda las herramientas para la construcción e interpretación de objetos útiles y necesarios en el mundo actual (Duval, 1998); además que impone un esquema de rigurosidad similar al de las demás ramas de las matemáticas que se puede desarrollar por medio de procesos de Ortiz, A. (2018). El desarrollo del razonamiento a través de actividades geométricas. Universidad Pedagógica Nacional, México.

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visualización, exploración, construcción de hipótesis y verificación en relación con algún objeto en estudio y cuyo resultado es la explicación y demostración formal dentro de un sistema axiomático (Camargo, Samper y Perry, 2006). Autores como Duval (1998) comentan que la geometría permite descubrir y desarrollar diferentes maneras de pensar, pues involucra actividades de: i) interpretación de representaciones para la ilustración de un enunciado, la exploración de algún problema complejo, el reconocimiento de sus componentes y/o verificación de alguna conjetura - lo que denomina como visualización - ; ii) actuación (bien pueden ser acciones de diseño o sobre la figura dada) sobre resultados representativos y observados que están en relación con objetos matemáticos - lo que denomina como construcción - y; iii) elaboración de discursos que en principio pueden ser en lenguaje natural - descriptivo, para luego, a partir de inducciones y ubicados en un marco teórico formal, se construya un discurso teórico - lo que denomina razonamiento -. Como se ilustra en los dos anteriores párrafos, hay unas acciones particulares (visualizar, explorar, identificar, reconocer, verificar, explicar, inducir, demostrar) que se realizan a la hora de involucrarse en actividades geométricas y que permiten descubrir, describir y relacionarse con todos los objetos/ideas que nos rodean o en los que estamos involucrados. El desarrollo de estas acciones no sirve solo a aquellos que imparten clases de matemáticas, geometría o alguna área a fin o aquel implicado en tareas de lectura de representaciones complejas de algún sistema, sino que sirven al desarrollo de habilidades que nos permiten ubicarnos en un espacio, reconocer objetos, establecer relaciones, argumentar, es decir, la geometría potencia habilidades para vivir en un mundo que se debe aprender a leer e interpretar para poder subsistir. Algunos autores como Gutiérrez (1998), Camargo, Samper y Perry (2006) y Sandoval (2009), han investigado sobre qué tareas y recursos apoyan el desarrollo de habilidades geométricas. Gutiérrez (1998) por su parte, propone el uso de material concreto como los módulos multicubo para propiciar en el estudiante la oportunidad de interpretar una figura plana para construir un objeto 3D e interpretar ese objeto 3D para convertirlo en un concepto geométrico (Gutiérrez, 1998). Camargo, Samper y Perry (2006) y Sandoval (2009) mencionan que el uso de la geometría dinámica, específicamente Geogebra permite al estudiante, por medio del arrastre, explorar y descubrir propiedades, y/o generar conjeturas. Hay otros autores que como resultado de un trabajo de tesis o de un proyecto de investigación han demostrado que el diseño consciente de tareas y uso de materiales idóneos apoya el desarrollo de habilidades en geometría, sin embargo estos 2

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estudios no se han materializado en el aula de clase. Por ejemplo, en México se realiza una prueba llamada Planea en los distintos niveles económicos y de educación obligatoria cuyo propósito es conocer el logro de los aprendizajes clave establecidos en el currículo. En el año 2015 se aplicó esta prueba y arrojo los siguientes resultados1: Tabla 1. Resultados prueba Planea 2015. Niveles Indicadores 1

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Porcentaje (%) Expresan en lenguaje natural el significado de 65 fórmulas geométricas. No calculan perímetros y áreas Reconocen las relaciones de los ángulos de 24 triángulos y entre paralelas intersecadas por un transversal. Identifican las secciones que se generan al cortar un cono. Calculan en volumen de cuerpos con caras planas Resuelven problemas con el teorema de Pitágoras, 7.5 relaciones de semejanza de triángulos y utilizando propiedades de ángulos en círculos o triángulos Resuelven problemas de solidos de revolución. Calculan el perímetro del círculo y el área de figuras compuestas. Solucionan problemas que requieren de 3.1 transformación de figuras, propiedades de mediatrices, bisectrices y razones trigonométricas. Calcular el área de sectores circulares y el volumen de cuerpos redondos.

Los resultados dejan ver que los estudiantes no tienen las habilidades suficientes para el nivel educativo en el que se encuentran (según los parámetros de esta prueba). Al parecer ha faltado realizar actividades que involucran el desarrollo de la visualización y el razonamiento geométrico en los cursos anteriores a tercero de secundaria. Esto certifica que aquellas investigaciones innovadoras que, por los resultados que muestran, han propiciado el potenciamiento del razonamiento geométrico y por ende, según Bruce y Hawes (2015) del razonamiento en general, no han sido valoradas en la escuela por alguna razón.Una observación en esos resultados es que en cada nivel hay un indicador de cálculo de perímetros, áreas y volúmenes que no es realizado por un gran porcentaje de estudiantes, cuando en la escuela, según Benítez y Cárdenas (como se citó en Garzón, Cárdenas, Forero, Becerra y Martínez, 2014) particularmente en primaria, se centran en desarrollar el pensamiento matemático a partir de actividades que implican memorización y aplicación de fórmulas en polígonos prototípicos. Faltaría indagar porque ocurren estos 1

Se incorporaron los resultados relacionados con geometría. 3

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problemas en la escuela y si es significativo para los estudiantes entender las matemáticas como una memorización de reglas y aplicación de fórmulas (que según los resultados no es un camino que evidencie el conocimiento aprendido). Ahora bien, en función de la importancia de enseñar geometría, de potenciar habilidades de razonamiento y, considerando los hallazgos de las investigaciones realizadas por Sandoval (2009) y Camargo, Samper y Perry (2006), en este trabajo se muestran los resultados de una tarea aplicada a un estudiante de primer año de preparatoria. Su diseño fue realizado por el grupo de Aprendizaje y Enseñanza de la Geometría2 (Æ•G) que considero el uso del software Geogebra. Esta tarea supone la construcción del concepto de mediatriz a través de procesos de visualización, exploración, construcción y verificación de conjeturas. En los siguientes apartados se describe el marco con el cual se analizan las producciones del estudiante, la tarea implementada y los resultados. PERSPECTIVA TEÓRICA Para este trabajo, se retoma el constructo actividad demostrativa desarrollado por el grupo Æ•G quienes lo consideran desde dos procesos: acciones involucradas en la construcción

de conjeturas y acciones que impliquen la justificación de conjeturas. Para los intereses de este escrito, se considera el primer proceso. En el proceso de construcción de conjeturas se involucran acciones de índole heurístico como son: i) la visualización: detecta, percibe o evoca propiedades geométricas en una figura; ii) la exploración: descubre propiedades o relaciones entre propiedades; iii) la formulación de conjeturas: explica en términos matemáticos un hecho geométrico; y iv) la verificación: pone a prueba el resultado obtenido (Camargo, Samper y Perry, 2006). El grupo Æ•G menciona que el desarrollo del razonamiento está inmerso en todas las acciones involucradas en la actividad demostrativa. En la descripción de resultados se pretende dar cuenta de las acciones realizadas por el estudiante para identificar una propiedad del objeto mediatriz. METODOLOGÍA La tarea se implementa a un estudiante de 15 años quien cursa primer grado en la preparatoria del Colegio de Ciencias y Humanidades de la UNAM y se toma de un conjunto de actividades diseñadas por el grupo Æ•G en el marco del proyecto de investigación Geometría: vía al razonamiento científico. Los enunciados de la tarea son:

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Es un grupo de investigación de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia que se ha preocupado por la enseñanza y el aprendizaje de la geometría en los distintos niveles educativos. 4

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a. Dado un punto A ¿cuántas circunferencias pueden construirse que pasen por A? b. Dados dos puntos A y B ¿cuántas circunferencias pueden construirse que pasen por A y por B simultáneamente? c. Dados tres puntos A, B y C no colineales ¿cuántas circunferencias pueden construirse que pasen por A, por B y por C simultáneamente? La tarea propuesta es posible que defina como objetivo que el estudiante transite de lo general (por un punto pasan infinitas circunferencias) a lo particular (por tres puntos pasa una única circunferencia), pues se utiliza Geogebra, un programa de geometría dinámica, que permite construir cada uno de los literales y notar por medio del arrastre las infinitas soluciones generadas en el literal a y b y la única solución en el literal c. En el primer literal3, se espera que el estudiante construya un gran número de circunferencias con un punto en común y concluya que estas son infinitas con las condiciones dadas; además que permite al estudiante conocer la interfaz y las herramientas de Geogebra necesarias para resolver la tarea. En el literal b, se espera que la exploración y el uso de la herramienta arrastre guíe al estudiantes a identificar dos conjeturas: i) por dos puntos pasan infinitas circunferencias cuyos centros se alinean y ̅̅̅̅) o ii) forman un recta perpendicular que pasa por el punto medio del segmento 𝐴𝐵 (𝐴𝐵 los centros (puntos azules de la figura 1.b.) de dichas circunferencias equidistan de los puntos 𝐴 y 𝐵. Dependiendo de las respuestas de los estudiantes y la guía del maestro, se decide cuál de las conjeturas será definición y cuál teorema de la mediatriz. El último literal tiene una solución, pues por tres puntos no colineales pasa una única circunferencia. Este es un caso que se resuelve con los conocimientos generados en el literal b.; la intersección de las mediatrices de los segmentos formados por los tres puntos de la circunferencia es un punto (llamado circuncentro) que equidista al mismo tiempo de 𝐴, 𝐵 y 𝐶. b.

c.

a.

Figura 1. Representaciones – solución de la tarea. 3

Las afirmaciones de las actividades, son interpretaciones de la autora de este escrito. 5

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Particularmente en este trabajo se hace un breve análisis de las acciones que posibilitan la construcción de alguna conjetura del literal b. Los resultados presentados surgen al revisar la videograbación de la sesión en la que se implementó la actividad, esta tuvo duración de una hora. Los primeros diez minutos fueron usados para clarificar asuntos de orden técnico en el manejo del software y en el resto de la sesión, se desarrolló la tarea propuesta. DESCRIPCIÓN DE RESULTADOS Y DISCUSIÓN La tarea se desarrolló en su totalidad. El estudiante evidenció desconocimiento del objeto mediatriz, pues en principio no reconoció sus propiedades y expreso no haber escuchado sobre el objeto (no significa que la temática no la hubiese visto, es posible que no lo recuerde), lo cual lleva a considerar que sus respuestas son producto de la tarea. El estudiante, por medio del arrastre y las intervenciones del profesor, identificó tanto la primera como la segunda conjetura del literal b. Para este escrito, se comentaran dos momentos que dan cuenta de la construcción de conocimiento acerca del objeto mediatriz. El primero está relacionado con el reconocimiento de la recta (mediatriz) que se forma con los centros de la circunferencia y el segundo con el descubrimiento que la recta obtenida es perpendicular al segmento 𝐴𝐵. Primer momento El estudiante realizó los dos puntos (indicados con circunferencias punteadas - ver figura 2.1), hizo la primer circunferencia, luego hizo la segunda (ver figura 2.2) y finalmente la tercera (indicada con un cuadro punteado - ver figura 2.3). La figura 2.3 da cuenta de cómo el estudiante iba haciendo la construcción arrastrando los centros de la circunferencia, es decir, estaba en un momento de construcción en el cual no tenía conciencia sobre las propiedades de los centros en relación a los dos puntos construidos al inicio.

Figura 2. Primera construcción del estudiante del literal b. 6

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Est: Prof: Est:

Prof:

También podrían ser infinitas pero infinitas y que más No sé, como que siempre van para arriba […] para arriba, para abajo, siempre están en vertical. [El profesor colocó los puntos en distinta orientación y le cambio el color a rojo para diferenciarlos de los demás puntos] Con esa construcción, cómo harías construyendo las circunferencias para que fueran infinitas

Figura 3. Segunda construcción del estudiante del literal b. ¿Cuáles son las características que tienen las circunferencias respecto de los dos puntos que son fijos? […] ¿Qué pasa con los centros de la circunferencia? Est: este… están alineados Prof: Forman una línea recta, ¿verdad? Est: Recta Fragmento 1. Prof:

Terminada la primera construcción (ver figura 2), concluyó que al igual que en el literal a, en este caso también habían infinitas circunferencias que cumplían las condiciones dadas. Además, noto que los centros de las circunferencias estaban dispuestos verticalmente, lo cual dio lugar a realizar la segunda construcción solicitada por el profesor (ver figura 3.), siendo consciente de la posición de los centros de la circunferencia. En la figura 3.1., hay dos puntos rojos (colocados por el profesor) y una circunferencia pequeña con centro identificado con el color azul. El centro de esta circunferencia estaba ubicado de tal forma que equidistaba de los puntos rojos. En la figura 3.3., se encierra en una circunferencia punteada el puntero del programa que es donde el estudiante se ubica para realizar la siguiente circunferencia, este punto parece estar ubicado de tal forma que equidista de los puntos rojos. No se tiene evidencia que el estudiante sea consciente de la equidistancia, pero se infiere que los coloca en esta posición porque infiere que están verticales (idea de perpendicularidad) al segmento 𝐴𝐵. Segundo momento El estudiante realizó más circunferencias ubicando los centros de tal forma que se alinearan con los otros colocados, luego el profesor cuestionó sobre las características de los centros en relación con los puntos rojos y le solicitó dibujar la línea que visualizaba 7

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en la construcción (ver figura 4). El estudiante concluyó que la recta contiene a los centros de la circunferencia y que “va a estar siempre a 90°”, es decir identificó la perpendicularidad de la recta. Prof:

[…] ¿Puedes dibujar la línea recta por la que pasan esos centros?

Figura 4. Dibujo del estudiante de la recta que pasa por los centros de la circunferencia. Prof:

Y esa línea recta, si la tuvieras que describir o de cierta manera como, como explicar, eh… que podrías decir de esa línea recta, en función digamos de los dos puntos que pusimos al principio. Est: El centro siempre va a estar en esa línea recta. Prof: Esa línea recta pasa por el centro, ¿qué más? […] Est: Yo digo que, que si los puntos están… de este [señala con el puntero, el punto rojo del lado derecho de la recta] a este [señala con el puntero, el punto rojo del lado izquierdo de la recta] son 180°. De este punto a este son 180°, entonces va a estar siempre a 90° Fragmento 2.

En este segundo momento, la intervención del profesor permitió que el estudiante explicará y por tanto se tuviera evidencia que la verticalidad a la cual hacía referencia, en términos geométricos era la perpendicularidad. REFLEXIONES FINALES El arrastre, en un software de geometría dinámica, es un herramienta que permite explorar y validar una construcción para generar una conjetura (Arzarello et al. y Olivero, como se citó en Sandoval, 2009) y en este caso, aunque no se generó una conjetura formal, por medio del arrastre, el estudiante exploró, visualizó y notó la perpendicularidad de la recta. Es posible que haya identificado que los centros equidistan de los puntos 𝐴 y 𝐵 (reconocidos por el estudiante como los puntos del color rojo) pues la ubicación consciente de los centros de la circunferencia daría cuenta de esto, sin embargo, no se tiene evidencia de esta aserción, sólo se podría afirmar que reconoce que los puntos de los centros de las circunferencias están alineados, pertenecen a una misma recta perpendicular al segmento 𝐴𝐵. 8

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El uso del software no fue el único elemento que influyó en la construcción de conocimiento del estudiante, pues el diseño de la tarea secuencial y la participación del profesor jugaron un papel determinante. Es posible que las preguntas realizadas por el profesor hayan ayudado al estudiante a tomar consciencia de las propiedades de la recta encontrada. La tarea le permitió al estudiante realizar acciones propias de la actividad demostrativa, pues exploró y visualizó una propiedad del objeto en estudio. Al igual que esta actividad, hay muchas otras, producto de la investigación, que han relatado cómo el uso de tecnologías, el diseño de tareas y la intervención del profesor permean en el desarrollo del razonamiento de los estudiantes. Una manera de reducir un poco la brecha entre la investigación y las aulas de clase puede ser aplicando y analizando estas propuestas en la escuela. Mi intención al aplicar una actividad ya elaborada, es mostrar cómo el estudiante va razonando y desarrollando habilidades de visualización, que cómo lo menciona Duval (1998) nos da herramientas para aprender a leer e interpretar el mundo. Al llevar esta actividad al aula, es posible que genere más de una respuesta diferente, lo que podría aprovechar el profesor para generar un debate y permitir que los estudiantes contrasten, comparen y socialicen sus producciones y estrategias entre ellos, esto dejará ver las múltiples soluciones que se generan al resolver alguna situación. Además, al socializar y trabajar en conjunto, la construcción del conocimiento no sería impuesta, no se aferran a la memorización de nombres y propiedades de los objetos. Es más sencillo mostrar a un estudiante qué es una mediatriz y cuáles son sus propiedades, que darle la oportunidad a la construcción de ese conocimiento, pero los aprendizajes que permiten el desarrollo del razonamiento son aquellos que se generan al explorar y experimentar con artefactos las regularidades y particularidades de los objetos en estudio. La investigación se ha encargado de mostrar diferentes formas de ayudar al desarrollo del razonamiento del ser humano y el papel del profesor se describe como crucial y determinante, sin embargo, el profesor está inmerso en diferentes actividades impuestas que restan tiempo a la preparación de las clases, es por esto, que él podría, por ejemplo, hacer uso de aplicativos encontrados en la página de Geogebra, que ha modificado la interfaz de su plataforma, donde encuentra, por diferentes niveles educativos y temáticas, programas que permiten al estudiante explorar y visualizar; además puede revisar lo que investigadores como Gutiérrez (1998) y Perry, Samper, Molina y Camargo (2017) han documentado que potencian diferentes tecnologías y cómo utilizarlas (referenciadas en este documento). 9

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Para concluir, considero que se puede lograr una mejor educación en matemáticas si se utilizan, modifican (según la población y cambios que el profesor considera mejora la enseñanza y el aprendizaje de determinado objeto) y aplican en el aula las propuestas educativas que surgen de la investigación, pues se han desarrollado múltiples materiales, actividades, softwares educativos, por nombras algunos, y que tienen fácil acceso. En principio es posible que no se vean resultados significativos, pero experimentando y analizando las mejoras de estas propuestas en el aula, se mostrará un desarrollo del razonamiento de los estudiantes. Referencias Bruce, C. D., y Hawes, Z. (2015). The role of 2D and 3D mental rotation in mathematics for young children: what is it? Why does it matter? And what can we do about it?. ZDM, 47(3), 331-343. Camargo, L., Samper, C., y Perry, P. (2006). Una visión de la actividad demostrativa en geometría plana para la educación matemática con el uso de programas de geometría dinámica. Lecturas Matemáticas, volumen especial, 371-383. Duval, R. (1998). Geometry from a cognitive point of view. En C. Mammana y V. Villani (Eds.), Perspectives on the teaching of geometry for the 21st century (pp. 37-52). Garzón, Cárdenas y Martínez (2014). Teselaciones para niños: una estrategia para el desarrollo del pensamiento geométrico y espacial de los niños. Educación matemática, 26(2), 135-160. Gutiérrez, A. (1998). Las representaciones planas de cuerpos 3-dimensionales en la enseñanza de la geometría espacial. Revista Ema, 3(3), 193-220. INEE (2017). Planea. Resultados nacionales 2017, 3° de secundaria, Lenguaje y Comunicación y Matemáticas. Instituto Nacional para ña Evaluación de la Educación, México. Pachón, Y. (2013). El pensamiento crítico en la enseñanza de las matemáticas. In Trabajo presentado en VII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática de la Sociedad de Educación Matemática Uruguaya, Montevideo, Uruguay. Perry, P., Samper, C., Molina, Ó., & Camargo, L. (2017). Geometría plana: un espacio de aprendizaje. Universidad Pedagógica Nacional. Sandoval, I. T. (2009). La geometría dinámica como una herramienta de mediación entre el conocimiento perceptivo y el geométrico. Educación matemática, 21(1), 5-27.

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