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Cálculo Vectorial Nombre: Steven Palacios NRC: 3321 Fecha: 07/12/2016 Tema: Trabajo de investigación Curvatura de una curva en el espacio (R3) Introducción Muchas veces no sabemos dentro de estas funciones vectoriales como va a comportarse nuestras curvas, y esto puede saberse debido a los vectores de la misma. Un uso importante del parámetro longitud de arco es hallar la curvatura, la medida de cuán agudamente se dobla una curva. Podemos pensar en una curva C como la Trayectoria que describe un punto moviéndose en el espacio, considerando las coordenadas (x, y, z) en R3, las coordenadas del punto P de la curva vendrían expresadas en función de un parámetro que podemos denotar con t y que toma valores en cierto intervalo I. Definición de una curvatura Tenemos que al parametrizar: 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), 𝑧 = 𝑧(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼. Entonces la curva C es el conjunto de puntos de R3 con coordenada (x(t), y(t), z(t)) con 𝑡 ∈ 𝐼. Proponiendo en la forma general al vector 𝑟⃗: 𝐼 → 𝑅 3 , tal que: 𝑟⃗(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) la llamaremos representación paramétrica de la curva C.

Formas de determinar la curvatura en el espacio R3 Para encontrar la curvatura debemos comprender que existen dos modos de resolver, estos son: Forma A: Sea C una curva suave (en el espacio) dada por r(s), donde s es el parámetro de longitud de arco. La curvatura K en s está dada por: 𝑑𝑇 𝐾 = ‖ ‖ = ||𝑇 ′ (𝑠)|| 𝑑𝑠

𝐾=

⃗⃗′(𝑡)‖ ‖𝑇 ‖𝑟⃗′(𝑡)‖

⃗⃗(𝑡) = 𝑇

𝑟⃗′(𝑡) ‖𝑟⃗′(𝑡)‖

Forma B: 𝐾=

‖𝑟⃗ ′ (𝑡)𝑥𝑟⃗′′(𝑡)‖ ‖𝑟⃗⃗⃗⃗′ (𝑡)‖

3

Si la curva está parametrizada por el parámetro de longitud de arco, la anterior ecuación se reduce simplemente a: 𝑋(𝑠) = ‖𝑟⃗′′(𝑠)‖ Con ambas formas resultaría el mismo resultado, pero debemos analizar con cuál tendremos menos complicaciones al momento de efectuar su uso y optimizar espacio para facilitar la resolución. Ejemplo: ⃗⃗(𝒕) =< 𝒕, 𝒕𝟐 , 𝒕𝟑 > en el punto (0, 0, 0). Hallar la curvatura de la curva 𝒓 Solución: Procedemos a encontrar la derivada de 𝑟⃗(𝑡) y ‖𝑟⃗′(𝑡)‖, entonces: ⃗⃗ 𝑟⃗(𝑡) = 𝑡𝑖⃗ +𝑡 2 𝑗⃗ + 𝑡 3 𝑘 ⃗⃗ 𝑟⃗ ′ (𝑡) = 𝑖⃗ + 2𝑡𝑗⃗ + 3𝑡 2 𝑘 ‖𝑟⃗′(𝑡)‖ = √1 +4𝑡 2 + 9𝑡 4 Al ver las dos formas de realización, procedemos a utilizar la forma 2 por tener menos complicaciones en su resolución, entonces volvemos a ubicar todos los datos que tenemos y completar los restantes para la forma 2: Forma B: 𝐾=

‖𝑟⃗ ′ (𝑡)𝑥𝑟⃗′′(𝑡)‖ ‖𝑟⃗⃗⃗⃗′ (𝑡)‖

3

Así que: ⃗⃗ 𝑟⃗ ′′ (𝑡) = 2𝑗⃗ + 6𝑡𝑘 𝑟⃗

′ (𝑡)𝑥

⃗⃗⃗𝑟

′′ (𝑡)

𝑖⃗ = |1 0

𝑗⃗ 2𝑡 2

⃗⃗ 𝑘 2 2 2 ⃗⃗ ⃗⃗ 3𝑡 2 | = (12𝑡 − 6𝑡 )𝑖⃗ − (6𝑡)𝑗⃗ + 2𝑘 = 6𝑡 𝑖⃗ − 6𝑡𝑗⃗ + 2𝑘 6𝑡

‖𝑟⃗ ′ (𝑡)𝑥𝑟⃗′′(𝑡)‖ = √36𝑡 4 + 36𝑡 2 + 4 ‖𝑟⃗′(𝑡)‖3 = (√1 +4𝑡 2 + 9𝑡 4 )3 3

‖𝑟⃗′(𝑡)‖3 = (1 +4𝑡 2 + 9𝑡 4 )2 Entonces al reemplazar en la fórmula, tenemos: √36𝑡 4 + 36𝑡 2 + 4

𝐾=

3

(1 +4𝑡 2 + 9𝑡 4 )2 P(0, 0, 0) ^ 𝑟⃗(𝑡) =< 𝑡, 𝑡 2 , 𝑡 3 > 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 𝑡 2 , 𝑧 = 𝑡 3 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑡 = 0 𝐾(0,0,0) =

√36(0)4 + 36(0)2 + 4 3

(1 +4(0)2 + 9(0)4 )2 𝐾(0,0,0) =

√4 3

(1 )2 𝐾(0,0,0) = 2 Observación: Un círculo tiene la misma curvatura en todos sus puntos. La curvatura y el radio del círculo están relacionados inversamente. Es decir, un círculo con un radio grande tiene una curvatura pequeña, y un círculo con un radio pequeño tiene una curvatura grande. Existe una fórmula para calcular la curvatura en dado caso que no tengas la curva parametrizada.

Fuentes Bibliográficas: F. Costa, M. Gamboa, A. M. Porto, Ejercicios de Geometría Diferencial de curvas y superficies, Sanz y Torres, 1998. Pastor, J. A. (2010). Un curso de Geometría Diferencial. Madrid: CSIC. Rocha, A. (10 de Marzo de 2011). Hallar la curvatura de una curva en el espacio. Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=m8Rbx-h2T2c