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MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN: Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión. Recordando la ecuación diferencial de la elástica:

(

𝑑2𝑦 𝑀(𝑥) ) = 𝑑𝑥 2 𝐸𝐼

En dónde: M

: ecuación de momento de cargar real en cualquier sitio de la viga.

E

: módulo de Young.

I

: momento rectangular de inercia.

(d2y/dx2)

: segunda derivada.

El producto ‘EI’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante. Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos: 𝑥 𝑑𝑦 𝐸𝐼 ( ) = ∫ 𝑀(𝑥). 𝑑𝑥 + 𝐶1 𝑑𝑥 0

Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicará más adelante. Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación: 𝑑𝑦 = 𝑡𝑔𝜃 = 𝜃 𝑑𝑥 De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga.

Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos: 𝑥

𝑥

𝐸𝐼[𝑦(𝑥)] = ∫ (∫ 𝑀(𝑥). 𝑑𝑥 + 𝐶1 ) 𝑑𝑥 + 𝐶2 0

0

Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga. El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que ‘C1’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información. En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones: Del apoyo en ‘A’ puede establecerse: x = LA → y = 0

Debido al empotramiento ‘A’:

Y, debido al apoyo en ‘B’:

x = LA → y = 0

x = LB → y = 0

x = LA → θ = 0

*En éste método no se aplican cargas auxiliares; se toma la viga con sus cargas reales y se siguen los siguientes pasos:  Se resuelve la viga (se hallan las reacciones).  Se halla la ecuación de momento M haciendo un corte en un sitio de la viga en el cual se incluyan todas las cargas aplicadas.  Se hace una primera integración lo cual da la ecuación de las deflexiones de la viga. Como son ecuaciones matemáticas se le puede dar valor a “x” y obtener valores del giro o la deflexión en el sitio que desee, pero se deberán dividir por el que es conocido. Para las constantes de integración que se generan se utilizan “condiciones de frontera” que no son más que sitios de la viga en los cuales se conoce con certeza el giro o la deflexión: los sitios típicos de frontera son los apoyos en los cuales se sabe que no hay deflexión y para el giro, si la viga es simétrica en geometría y cargas, el centro de la luz. Para la ecuación de momento se utilizará paréntesis angular llamado “singularidad”, cuyo significado es que si el contenido de dicho paréntesis es cero o negativo, no tiene validez.