Sätze über Stetige Funktionen
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- Words: 355
- Pages: 14
Sätze über stetige Funktionen Von Maximilian Gruber
Inhalt • • • •
Satz von Rolle Mittelwertsatz Übungsaufgabe Quellen
Satz von Rolle • Ist f auf dem Intervall [a;b] stetig und auf ]a;b[ differenzierbar und ist f(a) = f(b), so gibt es mindestens eine Stelle x0 zwischen a und b (d.h. a<x0
Veranschaulichung
Beweis des Satzes von Rolle • für f auf [a;b] konstant f‘(x) =) • Für x ∈ ]a;b[ mit f(x)≠f(a) und f(x)≠f(b) und oBdA f(x)>f(a) und f(x)>f(b) • da f stetig auf [a;b] Gines Satz • f(x)>f(a), daher wird ein Maximum bei x0 angenommen (x0 liegt innerhalb [a;b])
• f(x0) – f(x0+h) ≥ 0 für alle (x0 + h) ∈ [a;b] y • f(x0) f(x0+h) • f f(a)=f(b) • • x a x0 x0+h b • • für alle h>) und für alle h<0
• da f auf ]a;b[ differenzierbar ist, gilt: • • • oder anders geschrieben: • •
• h gegen null von links ) f(x) 0 ≤ 0 • h gegen null von rechts 0f(x00 ≥ 0 • da lin) s) und rechtsseitiger Gren) wert gleich sind bei differen0ierbaren Fun0tionen
Übergang zum Mittelwertsatz • Durch Überlagerung einer Funktion f(x) mit einer linearen Funktion g(x) entsteht eine neue Funktion. • Welche Steigung besitzt die neu entstandene Funktion h an den Stellen an denen f waagerechte Tangenten besitzt? • h(x) = f(x) + g(x)
Mittelwertsatz • Ist eine Funktion f stetig auf [a;b] und differenzierbar auf ]a;b[, so gibt es mindestens eine Stelle x0 ∈ ] a;b[ mit
Veranschaulichung
Aufgabe • Gibt es für die Funktion f(x) = √(x) im Intervall ]0, 4[ eine Tangente an den Graphen, die die gleiche Steigung wie die Sekante durch die Intervallendpunkte aufweist? • Berechne den Schnittpunkt der Tangente mit f(x) und die Tangentengleichung t(x)
Vorüberlegungen • Ist f(x) auf (0;4) differenzierbar und damit auch stetig? ( ! [0;4] ≠ ] 0;4[ bzw. (0;4) !) • Ja ) ittelwertsat) mindestens eine Tangente mit beschriebenen ) igenschaften • Rest siehe Derive
Quellen • Mathematik 12.1 (Leistungskurs) S. 110-113 • http://home.arcor.de/enibuddy/mathe /
Inhalt • • • •
Satz von Rolle Mittelwertsatz Übungsaufgabe Quellen
Satz von Rolle • Ist f auf dem Intervall [a;b] stetig und auf ]a;b[ differenzierbar und ist f(a) = f(b), so gibt es mindestens eine Stelle x0 zwischen a und b (d.h. a<x0
Veranschaulichung
Beweis des Satzes von Rolle • für f auf [a;b] konstant f‘(x) =) • Für x ∈ ]a;b[ mit f(x)≠f(a) und f(x)≠f(b) und oBdA f(x)>f(a) und f(x)>f(b) • da f stetig auf [a;b] Gines Satz • f(x)>f(a), daher wird ein Maximum bei x0 angenommen (x0 liegt innerhalb [a;b])
• f(x0) – f(x0+h) ≥ 0 für alle (x0 + h) ∈ [a;b] y • f(x0) f(x0+h) • f f(a)=f(b) • • x a x0 x0+h b • • für alle h>) und für alle h<0
• da f auf ]a;b[ differenzierbar ist, gilt: • • • oder anders geschrieben: • •
• h gegen null von links ) f(x) 0 ≤ 0 • h gegen null von rechts 0f(x00 ≥ 0 • da lin) s) und rechtsseitiger Gren) wert gleich sind bei differen0ierbaren Fun0tionen
Übergang zum Mittelwertsatz • Durch Überlagerung einer Funktion f(x) mit einer linearen Funktion g(x) entsteht eine neue Funktion. • Welche Steigung besitzt die neu entstandene Funktion h an den Stellen an denen f waagerechte Tangenten besitzt? • h(x) = f(x) + g(x)
Mittelwertsatz • Ist eine Funktion f stetig auf [a;b] und differenzierbar auf ]a;b[, so gibt es mindestens eine Stelle x0 ∈ ] a;b[ mit
Veranschaulichung
Aufgabe • Gibt es für die Funktion f(x) = √(x) im Intervall ]0, 4[ eine Tangente an den Graphen, die die gleiche Steigung wie die Sekante durch die Intervallendpunkte aufweist? • Berechne den Schnittpunkt der Tangente mit f(x) und die Tangentengleichung t(x)
Vorüberlegungen • Ist f(x) auf (0;4) differenzierbar und damit auch stetig? ( ! [0;4] ≠ ] 0;4[ bzw. (0;4) !) • Ja ) ittelwertsat) mindestens eine Tangente mit beschriebenen ) igenschaften • Rest siehe Derive
Quellen • Mathematik 12.1 (Leistungskurs) S. 110-113 • http://home.arcor.de/enibuddy/mathe /
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