L9 мт101

Lek 9 Differen ial toolol

• Ulamjlalyn • Zarim

todorxoïlolt

x¶lbar funk iïn ulamjlalyg olox

• Differen ialqlax • Dawxar • Urwuu

x¶lbar dürmüüd

funk iïn ulamjlal

funk iïn ulamjlal

• Parametrt

dürsäär ögögdsön funk iïn ulamjlal

1

Ulamjlalyn todorxoïlolt ∆S f (t + ∆t) − f (t) = lim v = lim v = lim ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t

∆f (x) lim = lim tgϕ = tgα ϕ→α ∆x→0 ∆x buµu

O

∆y tgα = lim ∆x→0 ∆x

y

  uu uu u 1  u uu uu   u u   uu uu   u uu   uuu  u u  u  uuuu u_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ u uu    uu   u  u  u j   u\u u u  uu     u / uu  u  u uu  uu 

y = f (x)M

O

ϕ

M

N

α x

x x+∆x 2

X muj däär y = f (x) funk todorxoïlogdson baïg. X -ääs x äg awq x + ∆x ∈ X baïxaar ∆x öörqlölt Xäräw

x

äg däärx funk iïn öörqlöltiïg argumentiïn öörqlölt

∆x → 0

xar´ uulsan xar´ aanaas ug x¶zgaaryg

f ′(x)

ög´ë.

y = f (x)

funk iïn

∆x-d

üeiïn x¶zgaarx todorxoï or²in baïwal

x

äg däärx ulamjlal xämään närlääd

y′

buµu

gäj tämdäglänä.

∆y f (x + ∆x) − f (x) y = lim = lim . ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ′

Thr:

y = f (x)

funk n´

x

äg däär differen ialqlagdax zaïl²güï nöx öl n´

ug funk mönxüü äg däärää tasraltgüï baïxad or²ino.

3

Zarim x¶lbar funk iïn ulamjlalyg olox 1).

y = loga x. (a > 0, a 6= 1).



∆y = loga(x + ∆x) − loga x = loga 1 + ∆y loga 1 + = ∆x ∆x

=⇒



∆y ∆x = lim loga 1 + lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 x Xärwää

a=e

bol

1  ∆x

∆x x






= loga 1 +

= loga lim

∆x→0

"

1 (ln x)′ = . x

baïna.

4

∆x x

∆x 1+ x

∆x x



1  ∆x 1 1 #x  ∆x x

1 = loga e = x ln a 1 x

2).

y = sin x

x ∈] − ∞, ∞[

=⇒

3).

=⇒

sin ∆x ∆y lim = lim ∆x2 ∆x→0 ∆x ∆x→0 2

y = ax ∀x ∈ R



∆x ∆x cos x + 2 2   ∆x · cos x + = 1 · cos x = cos x 2

∆y = sin(x + ∆x) − sin x = 2 sin =⇒



∆y = ax+∆x − ax = ax(a∆x − 1)

∆y ax(a∆x − 1) lim = lim = ax · ln a =⇒ ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x

5

(ax)′ = ax · ln a.

Differen ialqlax x¶lbar dürmüüd 1. Togtmol funk iïn ulamjlal tägtäï tän üü baïna. 2. Tögsgölög toony differen ialqlagdax funk üüdiïn algebryn niïlbäriïn

ulamjlal n´ nämägdäxüün tus büriïn ulamjlalyn algebryn niïlbärtäï tän üü baïna 3.

u(x), v(x)

funk üüd n´

X

olonlog däär todorxoïlogdson differen ialqlag-

dax funk üüd bol

(uv)′ = u′v + uv ′ baïna. 4.

u(x), v(x)

X olonlog däär todorxoïlogdson differen ialqlagv(x) 6= 0 bol  u ′ u′v − uv ′ = v v2

funk üüd n´

dax funk üüd bögööd

6

Dawxar funk iïn ulamjlal X

muj däär todorxoïlogdson

y = f [ϕ(x)]

y = f (u), u = ϕ(x) funk üüd y = f [ϕ(x)] funk iïn ulamjlal n´ Xäräw

funk awq üz´e.

n´ differen ialqlagdax funk baïwal

y ′ = (f [ϕ(x)])′ = fϕ′ [ϕ(x)] · ϕ′(x) = yu′ u′x. baïna.

Ji²ää

y = sin x2

y = f (u) = sin u,

funk iïn ulamjlalyg ol.

u = ϕ(x) = x2 ′

yu = cos u, Ändääs

′

′

′

′

u = 2x

yx = yuux = cos u2x = 2x cos x2 7

Urwuu funk iïn ulamjlal Xaril an nägän utgataï buulgaltyn xuw´d tüüniï urwuu or²in baïdag. ’uud ba urwuu funk üüdiïn xuw´d ulamjlalyn xoorond daraax xolboo or²dog.

y = f (x) n´ X däär differen ialqlagdax x = g(y) gäsän urwuu funk or²in baïwal

Xäräw gadna

x′y

1 = ′ yx

baïna. nöx öliïg xangana.

Ji²ää

y = arctgx

funk iïn ulamjlalyg ol.

Ögögdsön funk iïn urwuu n´

x = tgy

Iïmd ′

xy =

bolno.

1 cos2 y

tul urwuu funk iïn ulamjlal olox dürmäär 8

bögööd

f ′(x) 6= 0

baïxaas

′

yx =

Ji²ää

:

1 1 1 1 2 = cos y = = = 1 + tg2y tg2(arctgx) 1 + x2 x′y

y = ax

funk iïn ulamjlalyg ol.

y = ax . x′y ⇒

Ji²ää

⇐⇒ x = loga y

1 1 = · loga e = y y ln a

yx′ = (ax)′ =

1 y x = a = ln a ′ xy loga e

y = uv . funk iïn ulamjlalyg ol. u = u(x), v = v(x) n´ differen ialqlagdax funk üüd baïg.   ′ u y ′ = (uv )′x = uv · v ′ · ln u + · v . u Xäräw u = v = x bol y ′ = (xx)′ = xx · (1 + ln x)

9

Parametrt dürsäär ögögdsön funk iïn ulamjlal x = ϕ(t) y = ψ(t)



t0 ≤ t ≤ T.

,

ϕ(t), ψ(t) n´ differen ialqlagdax, t = F (x) gäsän urwuu funk täï baïg. yx′

x′ = ϕ′(t) 6= 0

nöx öliïg xangadag, mön

Tägwäl

ψ ′(t) = ′ . ϕ (t)

xälbärtäï oldlono.

Ji²ää

x = a cos t y = b sin t yx′



0≤t≤π

bol

yx′ =?

ψ ′(t) (b sin t)′ b cos t) b = ′ = = = − ctgt. ϕ (t) (a cos t)′ a(− sin t) a

10

I. Zärgiïn funk . 1. y = xα y ′ = α · xα−1 2. y = x y ′ = 1 √ 1 ′ 3. y = x y = √ 2 x 1 1 4. y = y′ = − 2 x x III. Trigonometriïn funk . 1. y = sin x

y ′ = cos x

2. y = cos x

y ′ = − sin x

3. y = tgx 4. y = ctgx

1 cos2 x 1 ′ y =− 2 sin x

y′ =

II. Iltgägq, logarifm funk . 1. y = ax y ′ = ax · ln a 2. y = ex y ′ = ex 1 ′ 3. y = loga x y = x ln a 1 4. y = ln x y ′ = x IV. Trigonometriïn urwuu funk . 1 ′ 1. y = arcsin x y = √ 1 − x2 1 ′ √ 2. y = arccos x y = − 1 − x2 1 3. y = arctgx y ′ = 1 + x2 1 ′ 4. y = arcctgx y = − 1 + x2

11