Problema De Aplicación.docx

UNIVERSIDAD DE BOGOTÁ JORGE TADEO LOZANO

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES E INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL PROBLEMA DE APLICACIÓN CORTE 2

ESTUDIANTE(S) González López, Michael Eduardo Mikly Bejarano, Juan Sebastián Murillo Aguirre, Eduard Ferney

PROFESOR Larry Steven Castrillón Mendoza

Abril 6 de 2017

PROBLEMA #7 ÁREA ENTRE CURVAS, MOMENTOS Y CENTROS DE MASA

Considere las funciones:  

f(x) = 4 - x 2 g(x) = - x + 2

1. Hallen analíticamente los puntos de intersección de ambas funciones. a) Para x: f(x) = g(x) 4 - x2 = - x + 2 0 = x2- x - 2 0 = (x – 2) (x + 1)  

x1 = 2 x2 = -1

b) Para y: f(y) = 2√4 − 𝑦 g(y) = 2 – y f(y) = g(y) √4 − 𝑦 = 2 – y 4 − 𝑦 = 4 – 4y + 𝑦 2 0 = 𝑦 2 – 3y 0 = y (y – 3)

2

 

y1 = 0 y2 = 3

2. Graficar las funciones en el intervalo dado por sus puntos de intersección y señalar la región encerrada.

3. Plantear y resolver la integral que da el área de la región encerrada. a) Utilizando diferenciales verticales (integración respecto a y). 𝑑

A = ∫𝑐 [𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦)] 𝑑𝑦 3

A = ∫0 [−𝑦 2 + 3𝑦] 𝑑𝑦 A= A=

−𝑦 3 3 −33

+ +

3𝑦 2 2 3∗32

3 2 A = −9 + 13,5 A = 4,5

] Evaluada en 0 y 3. -(

−03 3

+

302 2

)

b) Utilizando diferenciales horizontales (integración respecto a x). 𝑏

A = ∫𝑎 [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 2

A = ∫−1[−𝑥 2 + 𝑥 + 2] 𝑑𝑥 A= A=

−𝑥 3 3 −23

+ +

𝑥2

2 22

+ 2𝑥 ] Evaluada en -1 y 2. −(−1)3

+2∗2-(

3 2 A = 3,3333 + 1,1666 A = 4,5

3

+

(−1)2 2

+ (−1 ∗ 2))

4. Calcule los momentos My y Mx de la región respecto al eje y y respecto al eje x, respectivamente. 𝑏

a) My = ∫𝑎 𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 2

My = ∫−1 𝑥[−𝑥 2 + 𝑥 + 2] 𝑑𝑥  2

My = ∫−1[−𝑥 3 + 𝑥 2 + 2𝑥] 𝑑𝑥 −𝑥4 𝑥3 My = ( 4 + 3 + 𝑥2 ] Evaluada en -1 y 2. 4 3 4 3 2 2 −2 2 −(−1) My = ( 4 + 3 + 2 − ( 4 + (−1) + (−1) )) 3 My = 2,25  𝑏1 b) Mx = ∫𝑎 2 {[𝑓(𝑥)]2 − [𝑔(𝑥)]2 } 𝑑𝑥 2

Mx = ∫−1{[4 − 𝑥 2 ]2 − [−𝑥 + 2]2 } 𝑑𝑥 2

Mx = ∫−1{[16 − 8𝑥 2 + 𝑥 4 ] − [𝑥 2 − 4𝑥 + 4]} 𝑑𝑥 2

Mx = ∫−1{𝑥 4 − 9𝑥 2 + 4𝑥 + 12} 𝑑𝑥 2 𝑥5 Mx = ( 5 − 3𝑥3 + 2𝑥 + 12𝑥] Evaluada en -1 y 2. 25 (−1)5 Mx = ( 5 − 3 ∗ 23 + 2 ∗ 22 + 12 ∗ 2 − ( 5 − 3(−1)3 + 2(−1)2 + 12(−1))) Mx = 21,6 Mx = 10,8  5. Calcule el centro de masa (ẋ,ẏ) de la región. a) ẋ = ẋ=

1

𝑏

∫ 𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 𝐴 𝑎 1

2

∫ 𝑥[−𝑥 2 + 𝑥 + 2] 𝑑𝑥 4,5 −1

2

1

∫ [−𝑥 3 + 𝑥 2 + 2𝑥] 𝑑𝑥 4,5 −1

ẋ=

−𝑥4 𝑥3 + + 𝑥2] Evaluada en -1 y 2. 4,5 4 3 4 3 4 1 −2 23 −(−1) (−1) 2 2 ẋ= ( + + 2 − + + (−1) ( )) 4,5 4 3 4 3

ẋ=

ẋ=

1

(

2,25 4,5

ẋ = 0,5 b) ẏ = ẏ=

1

𝑏1

∫ {[𝑓(𝑥)]2 − [𝑔(𝑥)]2 } 𝑑𝑥 𝐴 𝑎 2 1

2

∫ {[4 − 𝑥2 ]2 − [−𝑥 + 2]2 } 𝑑𝑥 (4,5)∗2 −1 1

2

ẏ = ∫−1{𝑥4 − 9𝑥2 + 4𝑥 + 12} 𝑑𝑥 ẏ

9 1 𝑥5 = 9( 5 1 25

2

− 3𝑥3 + 2𝑥 + 12𝑥] Evaluada en -1 y 2. (−1)5

ẏ = ( − 3 ∗ 23 + 2 ∗ 22 + 12 ∗ 2 − ( ẏ

9 5 21,6 = 9

5

− 3(−1)3 + 2(−1)2 + 12(−1)))

ẏ = 2,4 

El Centro de Masa se ubica en (0.5 , 2.4)