Caroli; Callioli; Feitosa. Matrizes, Vetores E Geometria Analítica.pdf

matrizes vetores geometria analítica •

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teoria e exercícios

ALÉSIO DE CAROLI CARLOS A. CALLIOLI MIGUEL O. FEITOSA

17� edição 1985

LIVRARIA NOBEL S.A. EDITORA

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DISTRIBUIDORA

LOJA 1: RUA DA C ON SO LAÇÃO, 49 ·CEP01301 LOJA 2: RUA MARIA ANTÓNIA. 108 ·CEP01222 LOJA 3 : RUAPEDROSOALVARENGA.704 ·CEP04531 LOJA 4 RUA BARÃOOO TRIUNF0.371 ·CEP04602 O A BALSA, 5 5 9 ·CEP02910 EDITORA: R U A FONES: (PABX) 857-9444 e 257·2144 · SÃO PAULO· SP

Copyright by Livraria Nobel S. A.

e PROIBIDA

A REPRODUÇÃO

Ne nhuma parte desta obra poderá ser reprod uzida, sem a pennissão por escrito dos editores, através de qual quer meio : X EROX, FOTO­ CÓPIA, FOTO GRÁFICO, FOTOMEC ÂNICO. Tamp ou co p oderá ser copia da ou transcrita, nem mesmo tra nsmitida atravé s de meios eletrônicos ou gravações. Os i nfratores ser ã'o punidos atr avés da Lei 5.988, de 14 de De zembro de 1973, artigo s 122-130.

Impresso no Brasil/Printed in Brazil

APRES E N TA Ç ÃO l�

ediç ão

O presente trab alho destina-se pri ncip alme nte ao s alu nos das Fac uldades de E nge nharia e Filosofia, e de o utras Fac uldades de cujo curr íc ulo constem cu rsos de Ge ometria Anal ítica e Cálculo Vetorial . O trab alho de redação foi assim distri buído : Cap ít ulos 1, II, III Capítulos IV, V

-

Cap ít ulos VI, VII

-

Al ésio De Caroli

Carlos Al berto Callioli -

Mig uel O. Feitosa

Esperamos co ntar com as valiosas s ugestões dos pre zad os colegas.

Os autores

ÍNDICE CAPl'fULO

pág. 1

MATRIZES

-

Noção d e mat riz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adição de mat rizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Produto de um número por uma matriz . . . . . . . . . . . . . . 4. Somatórias 5 . Produto de mat rizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Mat riz t ransposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Mat rizes i nve rsív eis . . . . 1.

.

2.

.

CAPITULO li

8. 9. 10. 11. 1 2. 13. 14. 15.

17. 18. 19. 20. 21. 22.

23. 25. 26. 27. 28. 29.

11 13

. . . . . . . . . . ..

16

. . . . . . . . . . .

20 22

31 31 32 33 34

37

41

PRODUTOS

.

-

29

.

B ases orto normais . . . . . . . . . . . . . . Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . Projeção de um vetor . . . .. . .. . . . . Orie ntação do espaço . . . . . . Produto vetorial . . . . . . Produto misto . . . . . . Duplo produto vetorial . .. .. . . . .

CAPITuLO IV

24.

.

VETORES

.

-

9

10

Segme ntos orientados . . . Vetores Soma de um ponto com um vetor . Adição de vetores . . . . . . . . . . . . . Módulo, direção, sentido . . . . . . . . . . . Produto de um número real por um vetor . Depend ência li near . . . . . . . Bases . . . . . . . . . . . . . .

CAPITuLO Ili

16.

-

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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47 50 54

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56

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51 61 63

RETAS E PLANOS

Sistemas de coorde nadas cartesianas . . . ... .. . Trans formação de coorde nadas . . . . .... . .. Equação vetorial da reta . . . . Equações paramétricas da reta Equações simétricas da reta . ... . Equação vetorial do plano . . . . . Equações paramétricas do plano .

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67 69 71 72

73 74 .

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15

30. 3 1. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.

Equação geral do plano . . . . . . . . . Vetor normal a um plano . . . . . . . . Paralelismo entre reta e pl ano . . Paralelismo entre 2 planos . . . . . . Paralelismo entre 2 ret as . . . . . . . Complanaridade de 2 retas . . . . . . Posições relativas de 2 plano s . . . . Ortogonalidade de 2 retas . . . . . . . . Perpendicularismo entre reta e plano . Per pendicularismo entre 2 pl anos . . .

40. 41. 42. 43. 44. 45.

.

' (

\

.

.

Coordenadas polares no pl ano . . . Coordenadas polares no esp aço . . Coordenadas cilíndricas . . . . . . . Cu rva plana . . . . . . . . . . . . . . Equações reduzidas das côni cas . Equações paramétric as das cônicas Equações polares das cônicas . . . Cassinóide . . . . . . . . . . . . . . Cissóide . . . . . . . . . . . . . . . . Concóide; ciclóide . . . . . . . . . . Epiciclóide . . . . . . . . . . . . . . Hip ociclóide . . . . . . . . . . . . . . 53. Estudo elemen tar das cônicas. . .

. . . . . . . . . . . . .

VI

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Vil

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84

84

. . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. . . .................

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ...... .

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95 95 97 99 100 103

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . .

105 106 109 110 111 114 116 122 1 23 124 1 26 1 27 1 27

. ... . ... ................... .. ........ ...... ..... ................... ................ ... ................ ... ......... ....... ... ............. ...... .

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......... ......... ......... . . .

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............. ............. ............. . . . . .

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. . . . . . . . . . . . .

NOÇÔES SOBRE SUPERFÍCTES E CURVAS NO ESPAÇO

. . Superfície . . . . . Curva no espaço; hél ic e cilíndrica . . . . . . . . Superfí ci es particul ares . Inters ecção de u m plano com uma superfíci e . Superfície esférica . . . . . . . . . . . . . . . . Superfície c il índrica . . . .......... Superfície cônica . . . . . . . . . . . . . . . . . Superfície de ro tação . .... ...... Simetria de uma superfície . . . . . . . . . . . . Quád ricas . .

.

CUR VAS PLANAS

-

46. 4 7. 48 . 49. 50. 5 1. 52.

CAPl'rULO

.

76 80 82 83

DISTÂNCTAS, ÂREAS, VOLUMES, ÂNGULOS

-

Distância de dois pontos . . . . . . . Distância de um ponto a um plano. Distância de um ponto a um a reta . Área de um triângulo . . . . . . . . . Volume de um tetraedro Ângu lo de .duas retas no esp aço . . .

CAPl'rULO

.

...... ...... . . . ......

85 88 88 89

.

V

.

............. .... ......... . . . ...... ;......

... ... ... ..

.

.

54. 55. 56. 51. 58. 59. 60. 6 1. 6 2. 63.

.

.

CAPl'rULO '

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,

....... ....... . . . .......

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. 139 . 140 . 143 . 144 . 145 . 146 . 148 . 151 . 155 156 .

CAP ITU LO MATR I Z E S 1. NOÇÃO DE MATRIZ

Defmição 1. Uma matriz de tipo m x n (lê-se : m por n), onde m, n ;;;i, l, mn elementos dispostos em m li nhas e n col unas ; 1, a matriz é dita matriz-coluna; se m = 1..-matriz-linha; se m = n, matriz

é uma tabela formada por se n

=

quadrada de ordem

n.

Os elementos d a matriz podem ser números reais ou comp lexos, pol ín ô­ míos, vetores, funções, matrizes, etc. Só consideraremos matrize 11 formadas por números reais. Exemplos: matriz de tipo 2

matriz-col una 2

x

matriz-linha 1

3

x

x

3

1

matriz quadrada de 3ll- ordem Seja A uma matriz de tipo m x n e sejam i e j dois número s inteiros, com 1 � i � m e 1 � j � n. Indi quemos por a ij o ele mento da matriz A que ocupa a li nha i e a col una j. Assim, por exemplo, a2 3 indica o elemento que perten ce à 2a lin ha e à 3a col una; (no p rimeiro exemplo a2 1 = ./2'). Podemos ent ão e scre ver:

10

CA R OL l-CALL IOL l- FEIT OSA

A=

ª11

ª 12

a2 1

a2 2

ª 1!1

32 n

A matriz A costuma também ser indicada por (aij) (1 � i..;;;; m, 1 :l!O;; j ..;;;; n). Observe-se que as variáveis i e j são aparentes, isto é podem ser substituídas por duas letras qu aisquer; portanto a mesma matriz A pode ser indicada por (ak 5), (1 �k�m. 1 �s � n), ou por ( aj i ) (1:l!O;;j:l!O;;m , 1 :l!O;; i :l!O;; n). (isto

é,

É claro que duas matrizes A = ( a ij) e B = (b ij). de tipo m x n, são iguais coincidem) se e somente se ªij = b ij (1 � i � m, 1 ..;;;; j ..;;;; n).

2. ADIÇÃO DE MATRIZES Definição 2. Dad!ls duas matrizes A = ( a ij) e B = (b ij) de tipo m x n, chama-se soma da matriz A com a matriz B (indica-se A+ B) a matriz C = (qj). onde Cij = ªij + bij ( 1 �i ..;;;; m, 1 :l!O;;j �n).

Note -se que só pode mo s somar matrizes de mesmo tipo ; a soma se obtém somando simplesmente os elementos corresp on dentes. Exemplos:

e

3

:)

•

e

-1

G){D{D (:

2 2

:)

A matriz de tipo m x n que tem todos os e lemen tos iguais a ze ro c ha ma-se matriz nula de tipo m x n e se indica por O. Dada uma matriz A = (a ij). a matriz B = (b ij). em que 1 ..;;;; j ..;;;; n) chama-se oposta de A e se indica p or -A .

( 1 �i ..;;;; m,

b ij = - a ij

MA TRIZES-VETORES-G. A NA L {T/CA

de

11

Chama-se diferença entre a matriz A e a matriz B (indica-se A - B) a soma

A ·com

-'B.

Propriedades da adição

A l. A2. A3. A4.

=

A+B B+A (comutativa) (A+B)+C=A+(B + C) (associativa) A+O= A A+(-A)=O

A verificação das propriedades fica a cargo do leitor. Observe-se que as propriedades da adição de matrizes são as mesmas que as da adição de vetores (capítulo II) ou as da adição de números reais. A operação de multiplicação, no conjunto dos números reais não nulos, goza de propriedades análogas (substituindo + por · , O por 1 e ._A por A"1 ).

= =

3. PRODUTO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ Definição 3. Dada uma matriz A (aij ) e um número real t, chama-se A a matriz B (bij), onde bij = t ªij {l .;;;; i .;;;; m, l
produto de t por

Portanto, para multiplicar uma matriz por um número, basta multiplicar todos os seus elementos pelo número, e o resultado é uma matriz de mesmo tipo.

(2 º)=(-6

Exemplos:

(-3)

1

=(ab)A

-4

Propriedades

Ml. a(bA) M2. a(A+ B) = aA + aB M3. (a + b)A = aA + bA

M4. IA=A

-3

CA ROL l-CA LL IOL l- FEI TOSA

12

Obseive-se que as propriedades da multiplicação de um número por uma matriz são as mesmas que as da multiplicação de um número por um vetor (ver capítulo II). Observação. As propriedades Al, A2, A3, A4, Ml, M2, M3, M4, apesar de parecerem sem interesse, são na verdade importantíssimas. A partir delas ·podem demonstrar-se muitas outras propriedades das operações, sem recorrer à definição dessas operações. A vantagem de tais provas reside no fato de que elas são verdadeiras em todos os casos em que valem as propriedades, mesmo que os objetos considerados não sejam matrizes. É o caso, por exemplo, dos vetores, que serão estudados no capítulo II.

EXERCICIOS 1. Dada as matri zes

A•

a)

2.

e : '. )

Ca lcular

A

+

B•

B

b)

Calcular _!_A e

e)

C alcular

2 2A-3B

4B

(: _: :)

Dad as as matrizes

a) Resol ver a equação b)

{

3X - 2A" B

Resolver o sistem a de equações 2 X - 3Y "A 5 X -6Y

=

B

+ 5X

MA TRIZE S- VE TOR ES-G. ANALITICA

4. SOMATÓRIAS Vamos agora introdu zir uma notação que permitirá reduzir conside ravel­ mente as expre ssões que apare cerão em se guida. Para representar a soma a 1 + ª2 + a3 + a4 + ªs + a6 + a 7 usamos, abreviadamente, o símbolo 7

l

i= 1

ªi

que se lê : "somatória de ªi • i variando de 1 até Tr. O índice i costuma ser chamado de índice mu do. Ele p ode ser substi tuído por qualquer outra letra. Assim, a mesma soma acima tamb ém p ode ser indicada por ou e assim por diante. É frequente, numa demonstração, substi tuir um índice mudo por outro, quando conveniente. Exemplos:

1. A soma dos quadrados dos vinte primeiros n úmeros naturais pode ser indicada por

20

l l k2

k=

2. A soma dos n primeiros termos de uma P. G. de primeiro termo igual a razão igual a

r

pode ser indicada por n

l a ..s-1

S=l

É· claro que essa soma é igual a

a (r º 1) , como é sabido do leitor. r 1 -

-

Quanto vale e sta soma?

a

e

CAR OL l-CA L L IOLl-F EIT OSA

14

A título de exercício podem ser verificad as (ou provad as) as se guintes propriedades: a n

l i=1

dupla

n

l i=I

(ai + bi) =

bi =

n

l (abi) i=1

(1)

l ªi + l bi i=I i=1

(2)

n

n

� comum aparecerem somatóri às dupla s, tripl as, e tc. Assim, a som atória 3

l ªij i,j= 1

indica a soma de todos os termos da mat riz quadrada

Seja

Ai a soma dos termos da linha Ai=

Fazendo agora a soma dos

3

l

j=I

da matriz acima. Então

ªij

A i temos

Mas o primeiro membro é exatamente a soma de todos os termos da matriz. Raciocinando sobre as colunas, chegamos a conclusão an áloga. Temos então: 3

)

1,J=t

3

ªij = _l:

l=I

(

3

3

j=l

3

) ( _l: 3ij )

_l: ªij = _l:

J=I

l=I

­

Estas igualdades mostram que, para calcular uma somatória dupla, pode mos somar primeiro em relação a um dos índices e depois em relação ao outro, ou ao contrário; numa somatória dupla, é indi fere nte a ordem de somação.

MA TRIZES-VETORES-G. ANAL IT ICA

15

Consideremos agora a som as

n

A= l

i =l

ªi

e

e vamos ve rificar a i gualdade

que é uma generalização da propriedade distributiva da multiplicação em rel ação à adição. Para provar, basta aplicar duas v ê zes a propriedade (1):

EXERCÍCIOS

,;.- Desenvo lver 2n a) l i=n

,S:)

5

l

n=t

as

som atóri as

n

f

,b)

sob

k=O

k y n- k

X

n

(n2 + n + 1 )

2. Escrever

l

d)

form a de som atóri a

a) aoxn +a1xn -1 + .. . +an-l x+an

b) 1 + l + !. + !. + _!_ + l_ + l_ 2 6 24 1 20 720 4 3 5 6 32 3 3 3 3 e) 3 + - + - + - + + 22 2 2 2 3 5 4 62 n d) (a+ b) _

-

_

-

l

j=l

ªij bjk

16 3.

CA ROL l-CA L L IOL l-FE I TOSA

Calcular as somatórias: n

a>

(�) i=o I

b)

n

I

<-oi

i =O

(�)

4. f'. verdadeira a igualdade

5. Provar a identidade de Lagrange +

ª1 2

+

5. PRODUTO DE MATRIZES Definição 4. Dada uma matriz A = (aij) de tipo m x n, e uma matriz 8 =(bjk) , de tipo n x p, chama·se produto de A por B (indica-se AB) a matriz C =(Cjk), de tipo m X p, Onde cik =

n

l

j=l

ªij bjk =ªi1 btk + ªi2 b k + 2

· · ·

+ ªin b n k

·

Vemos que o elemento Cik da matriz produto é obtido multiplicando os elementos da linha i da primeira pelos elementos correspondentes da coluna j da segunda, e somando os produtos assim obtidos. Observe-se qull só se podem multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira fôr igual ao número de linhas da segunda. Duas matrizes quadradas só podem ser multiplicadas se tiverem mesma ordem.

( ) (ª' ) = Exemplos:

1.

a

b

e.

d

b'

e'

d'

(

aa'

+ bc'

ab' + bd'

ca' + de'

cb' + dd'

)

MA TRIZES- VETORES-G. ANALITICA

( � _: : ) (� �) ( : ��) ( : -�)e : : ) (� : D C : D(D CD

2.

4

3

J.

3

-1

-3

17

·

··

( : :) (� �) ( : : )

5.

ln

17

=

Definição 5. Chama-se ma triz-unidade de ordem n a matriz quadrada

=

( ô ij}, onde

ô ij =

{I

O

se

se

=j �t=FJ .

( 1 ..;;i,

(ôij chama-se símbolo de Kronecker). Exemplos:

j <:;n)

( º) 1

13

=

o

o

o

o

o 1

Propriedades da multiplicação de matrizes

1.

Associativa. Dadas as matrizes

respectivamente,

tem-se:

A, B e C, de tipos m (AB)C::; A(BC)

x

n,

n

x

p e

p

x r

18

CA R OL l- CA L L IOL 1- FEIT OSA

2 . Distributiva à direita. Dadas as matrizes A, B n x p,- respectivamente, tem-se

e

C de tipos m

x

n, m

x

n e

p, n

x

p e

(A + B)C = AC + 8C 3. Distributiva à esquerda. Dadas as matrizes A, B e C, de tipos n

m

x

n, respectivamente, tem-se

x

C(A + B) =CA + CB 4. Se A

é

uma matriz de tipo m x n, tem-se : AI n =A

5.

Dadas as matrizes A

e

B , de tipos m

x

n

e

n

x

p, tem - se , para· todo real t:

(t A)B = A(t B) = t(A B)

Demonstração da propriedade l .

Sejam A =(aij), B = (bjk) e C = (cks), com l ,;;;;; i ,;;;;; m, l ,;;;;; j ,;;;;; n, l ,;;;;; s,;;;;; r , e ponhamos -

l ,;;;;; k ,;;;;; p,

AB = (di d

(AB)C = (fis)

Devemos provar que fis

=

Sejam

A = (aij),

A(BC) = (ms)

gis

Demonstração da propriedade

l ,;;;;; k,;;;;; p, e ponhàmos

BC = (ejs)

2.

8 = (bij). C = (c jk ) com l ,;;;;; i ,;;;;; m,

l ,;;;;; j

.:;;;

n,

MATRIZES- VETORES-G. A NA L{T/CA

(A

19

B)C = (dik)

+

AC = (eik) BC = (fik)

Devemos p rova r que dik = e ik + fik n n ( dik = l aij+bij) cjk = I ( aij cjk + bij cjk) j=t j=l n =

l

j=t

n ªij cjk +

l

j=t

bij cjk = eik + fik

Demonstração da prop riedade 4. Sejam A = (aij) e l n = (c5jk ) e indiquemos por b ik o elemento gen érico bik =

n

l

j=t

ª ijc5jk = ait c51k+. .

= ªit O+ ·

·

·

·

+ ªik l + ·

·

·

·

·

+ai nc5nk =

·

+ ª in O = ª ik ·

Como bik = aik ( l � i � m, l � k � n), segue-se que · Aln =A. A prova das out ras p ropriedades fica a c argo do leito r. A multiplicação de mat ri zes goza de ou t ras prop riedades in te ressantes.

Em p rimeiro lugar, não podemos fala r em p rop ried ade comutativa , pois se p odemos multiplica r A por B, em ge ral não podemos multiplica r B po r A (se A fôr do tipo m x n e B n x p, com p * m) . Se A e B forem quad radas de ordem n, então podemos fazer os produtos AB e BA, mas estes produtos podem ser dist intos , como se vê no e xemplo ab ai xo :

(: : ) e :) . e :) ( : : ) -

CA R OLl-CALL IOLl- FE I TOSA

20

É evidente que o produto de uma matriz nula por uma outra matriz é uma matriz nula. Isto não surpreende . O que surpreende é o fato de que duas matrizes não nulas podem ter um produ to nulo, como. se p<>de ver no exemplo seguinte.

6. MATRIZ TRANSPOSTA Definição 6. Dada uma matriz A= (aij ) de tipo m x n, chama-se , transposta de A a matriz B = (bji), de tipo n x m, onde b j i = aij ( 1 :,.;; i <; m, 1 :,.;; j :,.;; n). A matriz transposta de A indica-se por A t.

Para achar a matriz transposta de A b asta trocar linhas por colunas.

Exemplos:

G D' G : : ) =

( � � -� ) ( � � � )

(a

b

( :)

<)' =

t

=

8

4

-1

3

4

Propriedades da transposta:

1.

(A+B)t = At+Bt

2.

(XA)t= >..At

3.

(AB)t = et At

4.

(At)t=A

As propriedades 1 e 2 são imediatas. A mais interessante é a terceira. O leitor deve observar a inversão da ordem de multiplicação no segundo membro; esta inversão é essencial, já que a multiplicação de matrizes não é comutativa.

21

MA TRIZES- VE TORES-G. ANAL( T/ CA

Pode-se ve rificar, com um exemplo, que (AB)t * At Bt (aliás, o produto do segundo membro pode nem estar definido). Passemos a prova da propriedade 3 .

Seja A = (aij ) . B = (bjk ) e AB = (aik)· Então At = (ãji) e Bt = (bkj). onde ãji = ªij e bkj = bjk· Sendo BtAt = (dki ) , precisamos provar que dki = Cik· o que se vê facilmente: dki

n =

l

j=J

bkj ãji

n =

l

j= J

ªij bjk

=cik

EXERCÍCIOS l.

Dadas as matrizes 8= a) Calcular A8 e 8A b) Calcular 2A - 38t c) Calcular (A+ 8t)(At - 8)

e

-

1

3

(� : :) (D C )

2. Calcular

+

-

3. Desenvolver, verificando as propriedades aplicadas: (A+ B)3 (A+ 8) (A - 8) 4.

Provar

que,

se

A

e

8 comutam (isto

é,

A8 8A), então =

(A+ 8) 2 =A 2 + 2A8+ 82

(A+ 8) (A - 8) =A 2 - 8 2 (A+ 8)3"' A3+ 3A2B+ 3A82 + 83 (A - 8) (A 2 + A8+ 8 2 ) =A3 - 83 :,. Achar uma matriz não nula A tal que A 2

=O

22 6.

CA ROL l- CA L L IOL l- FEITOSA

Dada a matriz a) Calcular A2, A3 e A4 b) Achar uma matriz X tal que AX 12. =

7.

Achar todas as matrizes de

8.

Para cada

ex

real, seja

3 "1

ordem que comutam com a matriz

ºº:) o:

T

a) Calcular To: T {3 b) Calcular To e 9.

1 0.

=

(

coso:

-seno:

seno:

coso:

)

T-a

Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se At =A; anti-simétrica se At = -A. Provar que, se A .e B são simétricas (anti-simétricas), então A + B e M também o são. O produto de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica? Dada uma matriz quadrada M, provar que a matriz S = M + M t é simétrica e a matriz A M - MI é anti-simétrica. Provar que ioda matriz pode ser decomposta na soma de uma simétrica com uma anti-simétrica. =

relação entre a) dct A e dct (A1)? bl dct A, dct B e dct (ABJ?

1 1. Qual a

7. MATRIZES INVERSIVEIS Definição 7. Uma matriz quadrada A de ordem n se diz inversivel se existe uma matriz 8 tal que AB = BA =ln. A matriz 8 se diz inversa de A e se indica por Aº1• Uma matriz inversível também é dita n ão singular e uma matriz n ão inve rsível é chamada sin gular.

23

MA TR IZES-VE TOR ES-G. ANAL( T/ CA

Se A é inversível, então a sua inversa é unica: com efeito, se B e B' são inversas de A, temos B = B ln = B(AB') = (BA)B' = InB' = B'

Teorema 1. Se A é inversível, então sua inversa é inversível e (A-1)"1 = A. Se A e B são inversíveis, o produto é inversível e (AB)"' = 8"1 A"1•

Demonstração : A primeira parte é imediata. O leitor d�ve observar, na segunda parte, que a inversa do produto é igual ao produto das inversas na ordem contrária (compare com a transposta do produto). Para provar, seja C = AB e D = B"1 A"1• Então CD = (AB) (8"1 A"1) = A(BB"1)A"1 = AIA"1 = AA-1 = 1 Da mesma forma DC

1. Portanto D é a inversa de C.

=

Exemplo :

Seja

donde tiramos

(

a

b

)

d

c

�)

(3

Achar a inversa da matriz

\5

a inversa. Então

e : ) (: :l

3a + e

3b + d = o

= 1

5a + 2c =

O

5b + 2d =

1

Resolvendo os dois sistemas, obtemos: b = -1

a =2

c = -5

d =1

Portanto

:r

( -) 2

l

-5

3

CA ROLl-CA L L IOLl-FEITOSA

24

O processo usado anteriormente para inverter a matriz é muito complica­ do. Para inverter uma matriz de ordem n teríamos que resolver n sistemas de n equações a n incógnitas. Vamos dar adiante um processo um pouco mais simples. Sabemos que a cada matriz quadrada está associado um número real, chamado determinante da matriz. Dada uma matriz A =(aij) (1 =eo; i, j =eo; n), chama-se complemento algébrico (ou cofator) do elemGnto aij de A o produto de (-l)i+j pelo determinante da matriz obtida eliminando de A a linha i e a coluna j. Mais adiante vamos usar os seguintes teoremas, já conhecidos do leitor: 1. A soma dos prodUtos dos elementos de uma linha (coluna) de A pelos seus respectivos complementos algébricos é igual ao determinante de A. Designando-se por A ij o complemento algébrico de aij , esta propriedade (regra de Laplace) pode ser escrita: n

L

j=1

ai j Aij = det A

2. A soma dos produtos dos elementos de uma linha (coluna) de elementos correspondentes de outra linha (coluna) é igual a zero.

A pelos

Em outras palavras: n

l

j=1

aij Akj =O

(i'4=k)

As propriedades 1 e 2 podem ser unificadas na seguinte fórmula: n

l

j=1

a ij Akj =ôik det A

(1)

Para as colunas, podemos escrever, analogamente: n

l

j=I

aj i Ajk =ôik det A

(II)

onde ôik é o símbolo de Kronecker. Dada uma matriz quadrada A, podemos formar uma nova matriz, substi­ tuindo cada elemento por seu complemento algébrico; essa matriz será indicada

MAT RIZES- VET ORES- G. ANA L IT ICA

25

por A. A transposta da matriz A dos complementos algéb ricos é chamada matriz da matriz A .

adjunta

Teorema

2.

Seja

B

a adjun ta da matriz A

e

A B = BA = fj_Jn.

Demonstração : Seja usando (1): cik =

n

l

j=t

cik

ªij bjk

=

/j_ = de t A . Entf o

o elemento genérico de A B . Temos então,

n

l

j=t

ªij A kj = ôik /j_

Como ln = (ôik ), f ica provado que AB = /j_ ln. Para provar que BA = /j_ ln, usa-se a fó rmula (II). Teorema 3. O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes, isto é:

det (AB) = det A det B ·

A demonstração deste teorema é bastante trabalhosa. O leitor in teressado poderá encontrá-la, por exemplo, no livro Lezioni di Analisi, vol 1, pág. 37, de Severi. Observe-se que não é verdade que o determinante da soma de duas matrizes é igual à soma dos determinantes dessas matrizes. Corolário. Se A

é inversível, então : 1 det (A - ) =

Demonstração : Como 1 =

I

_-

det A

ln = AA - 1 , temos, pela propriedade anterior:

det ln = det (AA - 1 ) = det A det (A - 1 ). ·

Teorema 4. Para que a matriz quadrada A seja inversível é necessá rio e suficiente que seu determinante seja diferente de zero.

a) Condição necessária. Resulta do corolário anterior. b) Condição suficiente. Sendo B a adjunta de A , temos A B

=

BA

=

/j_

ln.

26

CAROL l-CA L L IOL l- FEITOSA

Supondo t::. =I= O, podemos escrever

t::,,

t::,,

A( J__ B) = ( J__ B) A = 1n Isto mostra que A é inversível e que

(

Exemplo: Calcular a inversa da matriz

A =

o

3 -2

-1 4

a) det A = 15 =I= O. Portanto A é inversível b) Matriz dos cofatores

-1 5

10

9

-4

6

-1

)

(Ao calcular os cofatores não esquecer de multiplicar por (-l )i+j!) c) Matriz adjunta Ãt =

d) A-1 = _l_

15

c c

5 -15 10 5 -15 10

8

9

-4

_

;)

8

9

-4

_

;)

Aplicação

Vamos aplicar a teoria da inversão de matrizes na resolução de um sistema linear. Consideremos um sistema de n equações lineares a n incógnitas.

MA TRIZES-VE TORES-G. ANA L {T/ CA

ª 1 1 X 1 + a 1 2 X 2 +.

·

·

27

+a 1 nx 0=b 1

ª2 1 X 1 + a22 X 2 +. . . +a2 nx n=b 2

Consideremos as matrizes

b1

�n

A=

B=

X1

b2

X=

bn

X2

xn

O l .º memb ro da i-ésima equação é o elemento da i- ésima linha· da matriz-coluna obtida fazendo o p roduto AX. O sistema pode se r rnpresentado, então, pela equação matricial

AX=B

A- 1

Supondo det A * O, multiplicamos ambos os memb ros à e obtemos a solução

{

Exemplo: Resolver o sistema

A= e -� ) e 4) 2

-2

4

-5

1

X= A - 1 B

1

X+2y- 3z = 8

3x - 2y+ z=O

2x + 4y - Sz = 14

B=

(; )

Como det A = -8 * O, a matriz A é inversível e

"' A =-

�

-2

16

1

-10

o

-8

esquerda,

1 X=A - 1 B=- g

C) CD �:

.

por

28

CA ROL l-CA L L IOL l-FEITOSA

A solução é:

1

X= 1

z = -2

y =2

EXERCÍCIOS

(A01 )t =(A tf1

1. Provar que

2.

Dadas as matrizes

1

a) Calcular A - , B0

1

e

b) Calcular 3(A + B )Aº

1

3. Resolver a equação (em

c· 1

1 1 [(A - 1)° B]° d) Calcu lar A•2

c) Calcular

À)

det (A - ÀI) = O

)

onde

A=

( � �)

(As raízes dessa equação, denominam-se valores próprios da matriz

4.

B=

Do!" m•tri<

Substitu indo a inversa de

o

�

-1

3 1

3

desenvolver o polinômio de 3.0 grau em

F( À)= det (B -ÀI3) À por B <Xº por Bº = 13), verificar que

B.

5. Provar que, se

3

1

(1- Af =

A = O, então

A.)

F(B) = O. Usando este fato, achar

I + A + A 2.

-

t M diz-se ortogonal se MM' 1. Provar en tão que M M = I. Provar que o determinante de uma matriz ortogonal é ou J Provar ci.ue o produ to de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal.

6. Uma matriz

=

7. Provar que, se M é uma matriz ortogonal de

M= (com a2

+

( : -: )

8. Sendo A e

M=

ou

b 2 = 1), conforme

det M = 1

2� ordem

ou -1.

.

então

(:

_:)

B as matrizes do exercício n. o 2, resolver a equação

{

9. Qual a condição para que a matriz

1 0 . R
(� -

-b

3x -

Z = 2 2y + 4z = 5

A(X

-

B) = 3B.

seja inversível? Achar a inversa.

-

x- y + z = l X + 3y

a -e

CAPÍTULO li VETORES 8. SEGMENTOS ORIENTAOOS Um segmen to orientado é dete nninado por um par ordenado de pontos, o primeiro ,.ehamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade. O segmento orientado de origem A e extremidade B será represen tado por AB. Dados dois segmentos orien tados AB e CD, então AB =CD (isto é, AB coincide com CD) se e somente se A =C e 8 = D. (Note-se que AB =F BA). Geometricamente o segmento orientado AB será indicado por uma flecha de A até 8. Segmentos nulos e segm entos opostos. Por extensão, consideraremos segmentos orientados nulos, que são aqueles cuja origem coincide com a extremidade; um segmento nulo é detenninado en tão por um par de pontos coincidentes. Dado um segmento orientado AB , o segmento orientado BA diz-se oposto de AB. Comprimen to. Fixada uma un idade de comprimento, a cada segmento orientado podemos associar um núme ro real (positivo ou nulo), seu comprimento, que é a sua medida em relação àquela unidade. O comprimento do segmento AB indica-se por AB. Os segmen tos nulos têm comprimento igu al a zero. É claro que AB =BA. Direção e sen tido. Dados dois segmentos orientados não nulos AB e CD, dizemos que eles têm mesma direção se as retas AB e CD são paralelas (ou coinciden tes). Só podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção. Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários.

mesmo sentido

sen tidos contrários

CA ROL l-CALL I OL 1- FE I TOSA

30

Segmentos equipolentes Definição 8. O segmento orientado AB é equipolente ao segmento orientado CD se AB e CD têm mesmo comprimento, direção e sentido. Indica-se AB - CD.

Dois segmentos nulos são sempre equipolentes. Se AB e CD são não nulos e não colineares, dizer que AB - CD equivale a dizer que AB // CD e AC // BD, isto é, que ABCD é um paralelogramo. As figuras mostram dois·casos de equipotência de segmentos D

A

B

e

D

A

Propriedades da equipolência 1.

3.

AB - AB

(reflexiva).

Se

AB - CD ,

então

Se

AB - CD

e

Estas

CD

propriedades

CD - AB (simétrica). -

EF,

então

mostram

AB,., EF ( t ransitiva).

que a equi polê n cia

é u ma

equivalência no conjunto de todos os segmentos orientados. 4.

Da do o segmento orientado AB tal que AB CD . ( tr a n spo rte).

e o ponto

C, existe

-

5.

Dois segmentos

6.

Se

AB - CD.

então

BA - DC .

7.

Se

AB - CD ,

então

AC

nulos são

equipolentes.

-

BD. (ve r figu ra ante rior)

um

relação

único

ponto

de

D

MA TRIZES- VE TORES-G. ANAL(T/CA

31

9. VETORES Definição 9. Chama-se vetor dete rminado por um segmento orien tado AB o conjun to c!e todos os segmentos orientados equipolentes a AB. O vetor dete rmi­ nado por AB indica-se por Ã8 ou por B -A.

Dois vetores Ã8 e CD são iguais se e somente se AB - CD. Um mesmo vetor ÃB é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, que são chamados representantes desse vetor, e que são todos equipolen tes entre si . um

Como todos os segmentos nulos são equipolentes en tre si, eles determinam vetor, chamado vetor nulo, que se indica por Õ.

único

Dado um vetor v = ÃB, o ve tor BÃ chama-se oposto de AB e se indica por -ÃB ou por -V. O oposto de ÃB é representado por qualquer segmento DC, onde CD é um representante de ÃB (prop riedade 6). Verificam-se facllmente as seguintes propriedades:

1.

A-A = Õ

2.

Se B - A = D - C, en tão C - A = D -B (regra qüência da propriedade 7 da equipolência).

3.

-(B -A) = A - B

10. SOMA DE UM PONTO COM UM VETOR

do paralelogramo,

con sc­

Dado um ponto A e um vetor v, existe um ú nico ponto B tal que - A =v (isto resulta imediatamente da propriedade 4 da equipolência). O pon to B chama-se soma d o ponto A com o vetor v e se indica por A + v. O vetor A + (-v) se indica simplesmente por A - v. B

As propriedades abaixo são imediatas: 1.

A + Õ=A

2.

Se A + v B + v, então A = B

3. 4. 5.

(A - v) + v = A =

Se A + u = A + v, então Ü = v

A + (B-A)=B.

CA R OL 1-CALL IOL 1- FEI TOSA

32

11.

ADIÇÃO DE VETORES

Consideremos dois vetores u e v e um ponto qualquer A. Tomemos B = A + li e C = B + v. O vetor w = C - A não depende do ponto A, mas somente dos vetores u e v. Com efeito, se tomarmos outro ponto A' e conside rarmos B ' = A' + ii e C' = B' + V, teremos: C - B = C' -B'

B -A = B ' -A'

Usando a regra do paralelogramo, concluímos que A'-A = B '- B B ' - B = C' -C

donde A' - A = C' - C e portanto C -A = C'- A'.

� u

1

Definição 10. O vetor C - A construído acima chama-se soma do vetor u com o vetor v e se indica por ii + v. Propriedades da adição

AI.

Ü+v

v + i.i

(comu tativa)

(u + v) + w = u + (v + w) (associativa) A3. ü+ O = Õ A4. ü + (-ü) = Õ A2.

=

Demonstração de Seja B = A + ü, C = B + v, D = C + i.i. Então B - A = D - C, donde, pela regra do paralelogramo , C -A = D B. isto é, ü + v = v + ü. -

A

33

MAT RIZES- VET ORES-G. ANALIT ICA

Demonstração de 2 Seja B = A+ ii, C= B + v, D=C+w.Então C-A=ii+v e D- A = (li+ v) + w. Por outro lado, D - B = v+ w e D -A= ii+ (v+ w).

A

V

�D B

Diferença de vetores. Dados dois vetores ii e v, o vetor w chama-se diferença de ii e v e se indica por u v.

=

li + (-v),

Se tomarmos A + u B e A + v C e construirmos o paralelogramo A BCD, verifica- se que a soma u + v é representada pelo segmento orientado AD (uma das diagonais) e a diferença u v por CB (a outra diagonal). -

=

=

-

B

A

V

D

V

12. MÓDULO, DIREÇÃO, SENJ'IDO Dado um vetor u, todos os seus representantes têm o mesmo compri­ mento; o comprimento de qualquer um dos representantes de ii chama-se módulo do ve tor Ü se indica por 1 ii 1 . O módulo de um vetor depe nde da unidade de comprimento usada; suporemos, daqui por diante, fixada uma unidade de compri­ mento. De maneira an áloga, direção (sentido) de um vetor não nulo u é, por defin ição, a direção (sen tido) de qualquer um dos representantes de U. É claro que dois vetores são iguais se e somente se têm mesmo módulo, direção e sentido; portanto, o módulo, direção e sentido determinam univocamente o vetor.

Um vetor v diz-se

Chama-se sentido que V.

versar

unitário

se

1 vi = 1 .

d e u m vetor não nulo v o vetor unitário de mesmo

34

CA ROLl-CA L L IOL l-FEITOSA

Dois vetores dizem-se pelo menos, é nulo .

paralelos

se têm mesma direção, ou se um deles,

13. PROD1..JTO DE UM NÜMERO REAL POR UM VETOR Definição 1 1. Chama-se p roduto de um n úm ero real a * O por um vetor v* O o vetor w definido da seguinte maneira: 1) 2) 3)

l w l = l a l lv l ;

A direção de w é a de v (isto é, w é paralelo a v);

O sentido de w é igual ao de v se a > O e contrário ao de v se a <0. Se a = O

ou

v Õ, o produto é, por definição, o vetor nulo. =

O produto de a por v se indica por av. Se a* O , o produto ( _l ) v se a -

indica simplesmente por

�

·

Se v * O, é fácil ver que

1

�I

é o versor de v.

V

----�

2 -;

Propriedades Ml. a(b v) = (ab)V M2.

a(u + v) = a u + a v

M3. (a + b)v=av + bv

M4.

1 v=v As propriedades Ml, M2, M3 e M4 serão admitidas sem demonstração.

O leitor interessado poderá demonstrá-las sem dificuldade (mas com algum trabalho).

As propriedades A 1 , . . . , A4 da adição de matrizes são exatamente as mesmas propriedades A 1, . . . , A4 da adição de vetores. Da mesma forma, as

MA TRIZES-VE TORES-G. ANA L (T/CA

35

propriedades MI, ... , M4 são as mesmas, tanto para os vetores como para as matrizes. Dizemos então que o conjunto dos vetores e o conjunto das matrizes (de tipo m x n, m e n fixos) têm a mesma estrutura, em relação às operações de adição e multiplicação por um número real. Se uma certa proposição fôr demons­ trada utilizando somente as propriedades AI, .... A 4 , MI, ... , M4, a de­ monstração será verdadeira tanto para as matrizes como para os vetores. Um conjunto V munido de duas operações satisfazendo· as propriedades , A 4, MI, ..., M4 é o que se chama um espaço vetorial. O conjunto dos vetores e o conjunto das matrizes, com as respectivas operações, constituem exemplos de espaços vetoriais.

AI, . .

.

Outros exemplos de espaços vetoriais: I) O conjunto C

dos números complexos munido das operações: (a + bi) + (e + di) = (a + e) + (b + d)i r(a + bi) = (r a)+(r b)i

(r real)

2) O conjunto P dos polinômios com coeficientes reais com as operações assim

definidas: se

e então

(r real) Verifique que C e P são espaços vetoriais, isto é, que as propriedades A I , ..., A4, MI, ..., M4 são satisfeitas.

CA R OL 1-CA L l IOL l-FEIT OSA

36

EXERCICIOS 1. Provar as propriedades da multiplicação de um número real por um vetor. 2. Na figura ao lado.

em função de A

DC = 2 AD

-

B e C-B

Exprim ir D -

B B

Solução: D-

B = (D - A) + (A - B) = l. (C - A ) + (A - B) = = l. [ (C - B) 3

= _!_ (C 3

3

-

(A - B)) + (A - B) =

B) - __!_ (A B) .j. (A - B)

Portanto D-B

=

J 1

(C -

J 2

B) +

e

-

3

A

(A - B),

D

A

3. Na figura ao lado; A D é bissetriz do ângulo A. Exprimir D - A em função de B - A e C - A.

B

e

4. Provar que as diagonais de um paralelogramo se encontram ao meio. 5 . Chama-se baricentro dos pontos (

l

À i = À * º>

o ponto G =o+

A 1 , . . . , An

_!_

com massas À 1 ,

.

.

, Àn

•

n

I

À

i=I

À i (A i - 0)

Provar que o baricen tro não depende do ponto

O.

6. Provar que as medianas de um triângulo passam por um mesmo ponto, que é o baricentro dos vértices com massas iguais. (0 ponto médio de um segmento é o baricentro dos

extremos com massas iguais. )

7.

Dados os pontos A1 . . .. , A n. B 1 ....

a n. {3 1 , , BP e os números a 1 , f3p, com l a i = a * º· l {3j (3 * º· a +. (3 * º· sejam A e B os baricentros de A 1 , . . . . A n . com massas a1 ª e de B 1• . . . , B massas n P com .

.

.

.

•

.

•

•

=

•

,� 1

•

.

.

•

,

.

•

•

,

,

f3p , respectivamente. Provar que o baricentro de

com massas a 1 com massas

a

,

.

. , ªn , (3 1,

e (3. •

. . . , f3p

Al

•

•

.

•

,

An ,

coincide com o baricentro de

A

BI

e

•

•

BP

B

MA TRIZES-VE TORES-G. ANA L ITICA

37

8. Aplicar o exercício anterior para demonstrar: a) As retas que unem pontos médios de lados opostos de um tetraedro passam por um mesmo ponto. b) As quatro retas que unem cada vértice de um tetraedro com o baricentro da face oposta passam por um mesmo ponto. c) As retas que unem baricentros de faces opostas de um hexaedro passam por um mesmo. ponto. 9. Determinar os versores das bissetrizes internas e externas de um triângulo. 10.

Demonstrar que o ponto de intersecção das bissetriies internas de um triângulo é o baricentro dos vértices afetados de massas iguais aos comprimentos dos lados.

11.

Mostrar que os pontos médios dos lados de um quadrilátero (reverso) formam um paralelogramo.

14. DEPENDÍNCIA LINEAR

Defutição 12. Dados n vetores v1, v 2 , , vn (n ;;;i: 1), dizemos que eles são linearmente dependentes se existem escalares a1, , 3 n não todos nulos tais que n ªi vi=õ, •

•

•

•

•

•

l

i=1

isto é, ª1 V1 + ª2 v; + . . . + ªn vn = õ. Se os vetores V1' . . . ' vn não são linear· mente dependentes, dizemos que eles são linearmente independentes. Para verificar que v1 , .. ., vn são linearmente independentes basta provar que ª1 v; + . . . + ªn � = cr implica ª1 = ª 2 = . . . = ªn =o.

Definição 13. Dados ªi. , a 2 , . . . , ªn , o vetor v=

n

vetóres

v1 , v2 ,

•

•

•

, vn

e

n

escalares,

n

l 3i vi=ª1 v, + . . . + ªn vn

i=1 chama-se combinação linear

de

v1 .

. .

. , vn

com coeficientes

a1,

•

•

•

, 3n·

38

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA Teorema 5. Dados os vetores v 1 , . . . , vn , se um deles é combinação

linear dos outros, então eles são linearmente dependentes. Com efeito, suponhamos, por exemplo, v 1

temos

(-l)V';

=

a2 Y; + . . .

+

ªn vn.

Então

+ ª2 Y-2 + . . . + ªn vn = Õ

o que prova que eles são dependentes, já que a 1

=

-1 ::/=O.

Teorema 6. Dados n vetores v 1 , , vn , se k desse vetores (l �k�n) forem linearmente dependentes, então eles são linearmente dependentes. .

•

•

Suponhamos, por exemplo, que v 1 , , Yic sejam 1 . d. Então existem ak não todos nulos tais que a 1 v 1 + . . . + ak Vk = Õ. Então + a + O + + O v k Vic vn = Õ, o que prova que v 1 , . . . , � 1 . d. k+1 . . •

a1 , a1 v1 + .

•

.

•

•

,

.

•

•

•

Corolário. Se Vi, . . , �. são linearmente independentes, então k desses vetores também o são (k�n). .

Teorema 7. Um vetor V" é lineannente dependente se e somente se é nulo. Teorema 8� Para que dois vetores sejam linearmente dependentes é necessário e suficiente que eles sejam paralelos.

N) Suponhamos u e v linearmente dependentes. Então ex.istem escalares a e b não ambos nulos tais que aii + bv = Õ. Suponhamos a ::/= O.

Então li = - ( _Q) v e portanto ii e v têm a mesma direção. (Se b a u õ e portanto ii é paralelo a v). =

=

O, então

S) Suponhamos ü e v paralelos.

Se ü ::/= Õ e v ::/= Õ, então os versores têm mesma direção e mesmo módulo (igual a 1 ), donde v _u_ = ± --

lül

1v-1

e portanto 1v1 ii ± 1ü1 v = Õ, o que prova que ii e v são dependentes.

Corolário. Se v ::/= Õ, então, dado um vetor Ü paralelo a v, existe único número real t tal que rr t V.

um

Como u e v são paralelos existem a e b não ambos nulos tais que aú + bv Õ. É claro que a ::/= O (pois se a =O, teríamos b ::/=O e bv = Õ, donde =

=

MA TRIZ ES- VE TORES-G. ANAL(T/CA

39

•

v = Õ).Então u=(--º-)ve t = - -º-·Quan toàunicidade,suponhamos ii = t v = sV. a a En tão (t - s)v = Ô C, <:omo v=l=O, t - s = O e portanto t = s. razão

Se ii e v são paralelos e v =I= O, o número real t tal que ii = tv chama-se dos vetores rr e V. • iül Se E c 1 aro que 1 t 1 = -u =I= O, entao t será positivo ou negativo

1-v1

·

conforme ii e v tenham mesmo sentido ou sentidos cont rários.

Definição 14. Três ve tores são complanares se eles podem se r representadós por segmentos orientados paralelos a um mesmo plano.

Se ii, v e pontos A =O + u, complanares. Dados um deles fôr nulo),

w são complanares, tomando - se um ponto O qualquer, e os 8 = O + v e C =O + w, en tão os pontos O, A, B e C serão três vetores, se dois deles forem paralelos (em particular, se en tão os três são complanares.

Teorema 9. Para que três vetores sejrun linearmente dependen tes é neces­ sário e suficiente que eles sejam complanares.

N) Suponhamos li, v e w l ,d . Então existem escalares a, b, c não todos nulos tais que aü + b v + aw = O. Supondo a =I= O, temos u= ( -b a

-b ) Os vetores ( a

V

) v + C-ac ) w

e e (a W )-

('

-

são complan ares com v e w, e portanto ii também é complanar com v e w (a soma de dois vetores é obviamente complanar com esses ve tores) . i'i,

S) Suponhamos 8 =0+vc C=O+w.

v e

w

B

complanares e tomemos

A = O + li,

Supondo ii e v não paralelos (neste caso seria imediato), tracemos por C a reta paralela a 08 (que encont ra OA no ponto A') e a re ta paralela a OA (que encontra 08 no ponto 8 '). Como li= A - O * Õ e A' - O é paralelo a A - O, temos A' - O = a li. Ana logamente 8 ' - O bV. Sendo w = C - O = (A. - 0) + (8' - O), temos w ai.i + bV. o que prova a dependência. =

=

CA R OL/ -CALL IOL 1-FEI TOSA

40

Corolário . Se li e v são lineaanente independentes, todo vetor w compl anar com u e v se exprime de maneira única como combinação linear de. ü e v, isto é , existe um único par de escalares (m, n) tal que w = mu + nv.

a) Existência .

C omo u, v e w são complanares, eles são l .d. e portanto existem escalares a, b e c não todos nulos tais que ali + bv + cw =O . É claro que c * O (pois se . c =O , teríamos au + bv = O com a e b não ambos nulos e li e v se riam Q d . ) . Então •

b) Unicidade .

Suponhamos w = mu + nv = m'u + n'V. . Então (m m')u + (n - n')v =Õ e, como u e v são Q . i ., m - m' = O e n - n ' =O , donde m =m ' e n = n' . -

Teorema .1 0. Quatro vetores são sempre lineaanente dependentes.

Tomemos quatro vetores u1 , u2 , u3 e v. Se u1 , u2 e u3 forem compla­ nares, eles são Q d. e os quatro também o são . Se u1 , li; e li'; não são complanares, tomemos A 1 =O + u1 , A2 =O + li'; , A3 =O + ü'; e B =O + V. •

·

Por B tracemos o plano para­ lelo a OA2 A 3 , que encontra a reta OA 1 no ponto B ' . Como A 1 - O =Ui * O e B ' - O é paralelo a A 1 - O, temos: ·

Por B tracemos a reta paralela a OA 1 , que encontra o plano OA2 A3 no ponto B ". Como ü; e u 3 são Q i . e B" - O é complanar com ii; e Üj , temos: ·

M as v = B - O = (B' - O) + (B" - O), donde se conclui que v = a , ii; + a2 li2 + a3 u3

o que prova que Ui li; u; e v são Q ,

,

·

d.

Corolário. Se ü; , li; e u3 são lineaanente independentes, todo vetor v se exprime de maneira única, c omo combinação linear de Üj , Ui e Üj , isto é ,

MA TRIZES- VE TORES-G. ANA L ITICA

41

existe uma única terna de escalares (a 1 , a2 , a3 ) tal que : Demonstração análoga à do corolário anterior. 1 5 . BAS�

Definição 15. Uma base no espaço é uma tema (ê; , e; , e';) formada por três vetores linealltlente inclepepdentes. Podemos considerar somente os vetores de um plano. Neste caso uma base é formada por dois vetores desse plano linearmente independentes. Se considerarmos somente os vetores de uma reta, uma base será simplesmente um vetor não nulo dessa reta. Vamos estudar propriedades dos vetores por meio de su� coordenadas em relação a uma base, em três dimensões (isto é, para os · vetores do espaço); mas os resultados obtidos se aplicam também em duas dimensões (isto é , para os vetores de um plano) ou em uma dimensão (vetores de uma reta). A verificação desses casos fica a cargo do aluno. Se os vetores e; , ê; , e; formam uma base, então tddo vetor V se exp.rime de maneira única como combinação linear de êi ' e; ' e3 ' isto é, existe um único terno de escalares (a1 , a2 , a3 ) tais que v= Os escalares •a 1 , a2 e a 3

n

l

i =i

ai êi

chamam-se coordenadas (ou componentes) de v em relação à base (e'; , ê'2 , ê; ) . Reciprocamente , dada uma terna (a1 , a2 , a 3 ) de números reais, existe um único vetor cujas coordenadas são a1 , a2 e a3

Fixada uma base (€7 , e; , e°i), e sendo v = ai ai ej, costuma-se representar o vetor V, por meio da terna (a1 , a2 , a 3 ) ou· ainda, por m,eio da matriz coluna •

Escreve-se então

.

42

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

Teorema. Se ii = (a1 , a2 , a3 ) e v = (b 1 , b 2 , b3 ), então ii + v = (a 1 + b , , ª2 + b2 , a3 + b3 )

3

O conjunto dos temas de números reais (que se indica por R ) é um

espaço vetorial , que pode ser identificado com o conjunto das matrizes-colunas 3 . x 1 ou com o conjunto das matrizes-linh:as 1 x 3. As considerações anteriores mostram que existe uma correspondência biunívoca entre os vetores do espaço 3 e os elementos de R . Essa correspondência é tal que à soma de dois vetores corresponde a soma das ternas correspondentes; e ao produto de um número real por um vetor corresponde o produto desse número pela tema correspondente a 3 esse vetor. Dizemos então que o conjunto dos vetores do espaço e o R constituem espaços vetoriais isomorfos . Para operar com os vetores, basta operar com as suas coordenadas. O leitor observará facilmente que o conjunto dos vetores de um 2 plano é isomorfo ao R .

Teorema 1 1 . Dois vetores Ü = (a1 , a2 , a3 ) linearmente dependentes se e somente se a matriz

tem

e v = (b 1 , b2 , b 3 )

são

característica menor que 2, isto é, se

Demonstração : A condição para que ii e v sejam Q d. é que existam x e y não ambos nulos tais que xif + yV = Õ. Para que isto aconteça é necessário e suficiente que o sistema linear homogêneo •

a1 X + b 1 y = Ü

az x + b 2 y = O a3 x + b 3 y = 0

tenha solução não trivial , ou seja, que a matriz que 2.

M

tenha característica menor

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L ITICA

43

Corolário. Os vetores ü e V são Q i. se e somente se a matriz M tem característica 2 , isto é, se pelo menos um dos menores de 2ª' ordem é diferente de zero. •

Uma maneira mais rápida de verificar que ü e V são dependentes é simplesmente verificar que a1 , a2 , a3 são proporcionais a b 1 , b2 e b 3 , isto é, que, sendo v * Õ.

(no caso em que um denominador seja nulo, o numerador correspondente deve ser nulo).

Teorema 12. Três vetores Ü = (a1 , a2 , a3 ), v = (b 1 , b2 , b3 ) e w = (c 1 , c2 , c3) 1 são linearmente dependentes se e somente se

Os vetores u, v e w são Q d. se e somente se existem escalares x, y e z não todos nulos tais que xu + yv + zw =
ou ainda

a1 x + b1 y + c1 z = O (1)

a2 X + b 2 y + C 2 Z = Ü a3 x + b 3 y + c 3 z

= Ü.

Vemos então que u, v e w são Q d. se e somente se o sistema ( 1 ) tem solução não trivial . Mas para que isso aconteça, é necessário e suficiente que b.. seja nulo. •

Corolário . Para que u, v e w sejam linearmente independentes é necessário e suficiente que b.. -=/= O. Mudança de base

Consideremos duas bases E (e7 , ê'; , e3 ) e F = (f;°, fi são combinações lineares dos vetores ei, isto é : _

=

f;, �). Os vetores

44

CAROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

a11 = i'; = f; 3 e';

r.i

�

ª 1 2 ê1 + !li 2 e'2 + + �3 � + = 1 8

A matriz

-

�

e i + lli 1 e 1 + a3 1 e l

i!'3

ª33 e3 ªn

chama-se matriz de mudança de base E para a base F. Note-se que as coordenadas de cada aparecem como colunas da matriz . Como t; , F; e f'; são Q i., det A =I= O (teorema anterior). A matriz de mudança de B para B é a matriz­ -unidade .

fi

•

Vamos agora ver como se obtêm as coordenadas do vetor v numa base a partir das coordenadas de v em outra base . Sejam x 1 , x2 , X 3 e y3 , as coordenadas de v em relação às bases E e F respectivamente . Então :

? Yi ( ? ªji lJ) = t ( f ªj i Yi eJ) = f ( t ªji Yi lj ) = = f ( t ªji Yi ) eJ

V=

�1 Yi � =

Por outro lado v =

ej, jl j x

3 Xj i=l1 ll_j i Yi =

1

Y 1 , Y2 ,

J

donde

j = l , 2, 3

)( )

Estas relações também podem ser escritas sob a forma matricial

(:J

a13 =

ª2 3 a3 3

Y1

·

Y2 Y3

MAT RIZES-V ET ORES-G. ANALITIGA

45

Teorema 13. A matriz das coordenadas de um vetor v em relaç ão à base E é igual ao produto da matriz de mudança de base de E para F pela matriz das

coordenadas de v em relação a F.

Teorema 14. Sejam E = (e1 , e2 , e3 ) , F = (Í. , 't , f3) e G = (J1 , i2 , g3) três bases. A matriz de mudança de E para G é igual ao produto da matriz de mudança de E para F pel a matriz de mudança de F para G. Seja A = (a!i ) a matriz de mudança de E para F , B = (bj k ) de F para G e C = (c i k) de E para G. Temos então :

ik = � >j k Í;

( l)

fj l ªij e9i

(2)

j

=

Substituindo ( 2) em ( l)

=

M as gk

=

li ( l ªij bjk ej ) = l ( l ªij bjk ) e; j

l ci k ej,

j

donde cik =

l ªij bj k j

o que prova que C = AB. Teorema 15. A matriz de mudança da base E para a base F é a inversa da matriz de mudança da base F p ara a base E .

Sej a A a matriz d e E para F e B a matriz d e F para E . Então A B é a matriz de mudança de E para E, donde AB = I . Analogamente BA = l. Q.E.D.

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

46

EXERCÍCIOS

1. 2.

Provar que n vetores são linearmente dependentes se e somente se um deles é combinação linear dos outros. Provar que, se linear de Vi .

.

Vi

.

. .

. .

. . � .

v. n

sio L.I. e

'V,

•

.

.

•

•

v , n

V são L.D., então V é combinação

ii + v e ii v serão L.I. se e somente u e

3.

Provar que

4.

a) calcular ii + v, ii 2v + 3w b) determinar a e b de modo que a u + b v = w

-

Fixada uma base sejam os vetores

v também o forem.

Ü = (2, l, 3), v = (0, 1 , -1),

w=

(4, 5 , 3)

-

5 . Estudar

a

dependência linear dos vetores

( 1 , 4, 0) e (3 , 1 2 , 1 ) 1 3 , -4) b ) (-14, 9 1 , 56) e ( 1 , T c) (2, 1 , 0), ( 21 . 1 , -1), (3, l , 5 ) d) (2, 4, 6), (-1, 5 , 8 ) e (-3, 22, 35) a)

6. De terminar m d e modo que sejam linearmente dependentes o s vetores a) ( 3 , 5 , 1 ), (2, O, 4) e ( 1 , m , 3) b) (1, 3 , 5) e (2, 1 + m , 10) c) (m , 2, n) e (3 , m + n, m - l )

7.

Dadas as bases

e1 = 2 T. + t

E, F e G

onde

e; = r. r; -

achar todas as matrizes de mudança.

a) Verificar se

< Íi , 1; , f3 )

é uma base

b) Achar a matriz de mudança da nova para a antiga c) Sendo

v= 3e1 5ê2 + 4t3 , -

achar as coordenadas de

v na base nova.

CAP ITU LO

Ili

P RO D U T O S

16. BASES ORTONORMAIS

Definição 16. Uma base ortonormal é uma base fonnada por vetores unitários dois a dois ortogonais. Em geral, uma base ortononnal é indicada por

(T, j, k).

Cabem aqui algumas observações sobre a ortogonalidade de vetores. Dois vetores são ortogonais se podem ser representados por segmentos ortogonais. Isto é, os vetores u e v são ortogonais se, tomado um ponto qualquer A , e sendo B =A' + iT e C = .A + v, o triângulo ABC é retângulo em A. Aplicando o teorema de Pitágoras (e sua recíproca) chegamos à seguinte conclusão: A u B

:C><J

Para que os vetores u e v sejam ortogonais é necessário e suficiente que :

1 u + v 1 2 = 1 ü 12 + 1 v 1 2

O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer ponto. Se ii é ortogonal a v e a w, então ii é ortogonal a v + w. Se ii é ortogonal a v e À é um número real qualquer, então ii é ortogonal a À V.

Vamos agora calcular o módulo de um vetor a partir das suas coordenadas

em relação a uma base ortonormal. -

zk

-

xi

48

CA ROL l-CA L L /Ol l-FEITOSA

Seja

(T, J, k)

uma base ortononnal e

v = x i+ y j + z iê um vetor qualquer.

Como z k é ortononnal a xT + y j, temos

lvl2 = lx T+ y T12 + 1 z k 12 Mas x T 1

y

T.

donde

1 x T+

y

T1 =

1 x T12 + 1 y T 12 e portanto :

lvl2 = l xÍ l2 + l yJl2 + l z k l2 Sendo IÍI = ljl = lk 1 = l , temos finalmente :

1

lv l2 = x2 + y 2 + z2

1

Vejamos a expressão da ortogonalidade de dois vetores, a partir de suas coordenadas em relação a uma base ortonormal. Consideremos os vetores ..... V

ou seja:

= X 1 + Y2 J + Z2 k 2 �

�

.....

Os vetores u e v são ortogonais se e somente se 1u + v 12 = 1 u 12 + l vl2 ,

(x 1 + x 2 )2 + (y 1 + y 2 ) 2 + (z 1 + z 2 ) 2 = x� + y� + z� + x� + y� + z� . Simplificando a expressão acima, temos a condição de ortogonalidade:

1

X1 X2 + y 1 Y2 + Z1 Z2 = o

Mudança de base ortononnal

Sejam E = ( ti ,

e; , °ê; )

e F = (Íi ,

'2 , G)

duas bases ortonormais e seja

MATRIZES-VETORES-G. ANA L ITICA

a matriz de mudança de E para F. A coluna coordenadas do vetor em relação à base E.

�

Comg os vetores

ou seja:

j

dessa matriz é formada pelas

� são unitários e dois a dois ortogonais, 1 � 12 = ª�j + ª�j + ª�j = l ª • j ª •k + �j ª2k + ª3k = o (j * k)

temos:

j=k j .,P k

3

l ªij 3ik = s j k =

(l)

49

i=1

A relação ( l ) mostra que

Mº1 = Mt

donde se conclui que

condição

MtM = I e portanto

MMt = 1.

Definição 17. Chama-se matriz ortogonal uma matriz

M

que satisfaz à

Uma matriz ortogonal é portanto uma matriz cuja inversa coincide com a transposta. Em uma matriz ortogonal o "produto" de uma linha por si mesma é l e o "produto" por outra é zero, o mesmo acontecendo com as colunas. Se E é uma base ortonormal, para que F seja ortonormal é necessário e suficiente que a matriz de mudança de E para F seja ortogonal. Como det M

=

det

t

det M , concluímos que

(MMt)

Mt = (det M)2 1 det M = ± 1 1 =

det M det ·

=

l

O detenninante de uma matriz ortogonal é igual a

1

ou -1.

CA ROL l-CA L L IOL l-FEITOSA

50

.

Vamos estudar as matrizes ortogon ais de 2ª ordem Seja

(: :)

M =

wna matriz ortogonal. Então, como M" I

::: ±

Mt =

temos, igualando M " I

com M t

d=a b = -e

(

(�

-: ) )

�

c

d

b

'

d = -a

ou

b =c

Portanto, uma matriz ortogonal de 2ª ordem é da forma

(:

ou

(com a2 + b 2 = 1 ) conforme o determinante seja 1 ou - 1 . 17. PRODUTO ESCALAR

Fixemos wna base ortonormal Defmição 1 8. Chama-se produto e V = X 2 r+ Y 2 j + Z2 k o número real

1

x

1

(f, f, k). escalar

dos vetores ü = x 1 T + y 1 T + z 1 k

Observe-se que o produto escalar de u e v é o elemento da matriz obti da fazendo o produto da matriz-linha (x 1 y1 zi ) pela m atriz-coluna

(x 2 Y 2 z2 )1 .

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L ITICA

51

A definição anterior aparentemente depende d a base ortonormal fixada. Provemos que isto não acontece. Sej a (â, b, e) uma outra base ortonormal e M a matriz de mudança da base antiga para a nova. Sendo, na nova base,

temo s :

ou seja:

(x , Y1 z , ) = (x , Y1 z, ) Mt (X2 Y 2 Z2 )t = M ( X:2 Y2 Z2 )

Então:

(x , Y 1 z , ) (xl Y 2 Z2 )t = [(x , Y1 z, ) Mt) [M( x2 Y 2 Z2 ) t ] = = ( x, Y 1 z, ) [Mt M I (X:2 Y2 z2 )t =

= ( x, Y 1 Z1 ) (xl Y2 Z2 )t

Na demonstração, usamos o fato de que M é uma matriz ortogonal (isto é , MtM = l ) e a propriedade d e que a transposta d e um produto de duas matrizes é o produto das transpostas na ordem contrária. Uma outra maneira de demonstrar que o produto escalar não depende da base é simplesmente notar que u + v 12 2 [ 1-

v= 1 ux-

-

u 12 1-

-

v 12 l 1-

Propriedades do produto escalar

1 . ux v = vx u 2.

( c omu t a tiva)

a( u x V) = ( a U) xv = u x (av)

(distributiva)

CA R OL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

52

4 . ü X ii ;;;, O;

5 . Ü X U = 1 U 12

uXü=

o � u= o

6. ii x v = O se e somente se ii e v são ortogonais.

7. Se u:F O e v =F O, então, sendo 8 o ângulo de u e v, tem-se ii x v = l u l l v l cos o Todas as propriedades, exceto a última, são de verificação imediata e fi. cam a cargo do leitor.

Quanto à última, apl ic a-se a lei dos cossenos ao triângulo ABC :

O>

B

u

1 u - v 12 = 1 u f' + 1 v- 12 - 2 1 u 1 1 -v 1 cos o

Por outro lado, temos (p roprie d ade s 1 , 3, e 5): U -V) = U X U -� V J· X ( 1 -U - -V· 12 = ( -

donde :

(2)

• +U

U X V -- 2 -

V X V

1 ii - V 12 = 1 ii 12 + 1 V 12 - 2 u X V Basta agora comparar ( 1 ) e (2).

A propriedade 7 permite calcular o cosseno do ângulo de ( n ão nul os) : ux v cos o = ---

l ul 1 v- 1

Observação sobre o ângulo de dois vetores

Dados dois vetores não nulos u e v e tomando A = O + li e B = O + v, o ângulo convexo das semi - retas OA e OB não depende de O, isto é , se tom ar­ mos A' = O' + ii e B' = O' + v, os ângu los conv ex o s AOB e A'O ' B' são

O

B

u

e

v

MA TRIZES-VETORES-G. ANA L ITIGA

53

iguais (congruentes). Qualquer um desses ângulos chama-se ângulo dos vetores e V. Costuma-se também chamar de ângulo dos . vetores ü e V a medida (número real) dos ângulos desses vetores.

u

Sendo 8 a medida em radianos do ângulo dos vetores ii e V. é claro que O � 8 � rr . Se 8 = O, os vetores têm mesmo sentido; se 8 = rr, eles têm sentidos opostos. É claro que o ângulo de u e -v é o suplemento do ângulo de lT e V.

Se 8 =

� , os vetores são ortogonais.

Definição 19. Fixada uma base ortonormal (t7"j, k), chamam-se cossenos diretores do vetor V =fo. O os cossenos dos ângulos que v forma com os vetores da base. eh aman do de a, (3 e 'Y os angul os que e sendo V = X r+ y j+ z k, temos, imediatamente : •

cos a =

... v

1ormam com � J e 1, ....

�

���=x���� •

v' x2 + y 2 + z 2

cos (3

J x2

y + y 2 + z2

•

z

cos 'Y =

J x2 + y 2

Os cossenos diretores de de V. Tem-se então :

•

são precisamente as coordenadas do versor

V

cos2 a + cos2

+ z2

(3 +

cos2

'Y

= 1.

V amos escrever uma expressão do cosseno do ângulo 8 de dois vetores

não nulos

rr

e

V

em função dos cossenos diretores dos mesmos. Como: _y_ = cos ai + cos (3j+ cos 'Y k

I VI

__[__ = cos a ' i+ cos (j' J'+ cos -y ' k 1 rr 1 cos (J =

temos:

rrx \t

1 -u 1 1 v-1

= __jL l ul

X

_L I VI

cos 8 = cos a cos a ' + cos (3 cos (3' + cos 'Y cos -y'

54

CA R OL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

Sejam E (� , é; , ê'; ) e F (f;, Íi , �) duas bases ortonormais. Sendo M a matriz de mudança de E e.ara F , a coluna j de M é precisamente fonnada pelos cossenos diretores de fj em relação à base E; tem-se então =

M

=

(

=

cos ª •

cos 0!3 cos 132

cos /3 1

cos /33

cos 'Y 1

cos "(3

No caso de mudança de base no plano, temos 1 conforme det M 1 ou det M =

=

-

)

.

um

dos casos abaixo,

---

- -As matrizes ficam então (ver n. o 1 6)

(

cos O!

-sen a

sen a

cos a

)

ou

(

cos a

sen a

sen a

-cos a

)

No primeiro caso a nova .base é obtida da antiga por uma rotação e não há mudança de orientação. No segundo por uma simetria, havendo mudança de orientação (ver as observações seguintes). 18. PROJEÇÃO DE UM VETOR

Seja u um vetor unitário e v um vetor qualquer. O vetor v se exprime, de maneira única na forma

u

MA TR IZES-VETORES-G. A NÀ L ITICA onde v1 do vetor

é paralelo a i.i e v

V

55

2 ortogonal a ü. O vetor v1 diz-se projeção

na direção do vetor

ii.

Sendo v1 paralelo a ü, temos V1 = a ii e v = a ü + v • Multiplicando 2 escalarmente por ii, temos, sendo v2 x u = O, v x rr = a rr x rr = a 1 rr 1:.1 = a

Donde finalmente:

v . = ( .. V X U)U -

Se o vetor ii =/= Õ não for unitário , para obter a projeção basta considerar o versor de ii.

EXERCfCIOS 1 . Provar que as diagonais de um losango são perpendiculares. 2. Demonstrar que as bissetrizes de dois ângulos adjacentes (suplementares) são perpendicula· res. 3.

Demonstrar a relação - B) x (C' - D) + (B - C) x (A - D) + (B - D) x (C - A) = O

(A

4. Utilizando a idenmtade anterior, provar que as alturas de um triângulo passam por um oonto.

5. Demonstrar que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos quatro lados; em outras palavras, provar que

1 ü + v 12 + 1 ii - v 1 2 = 2 1 ü 1 2 + 2 l v 1 2

6. Provar que, sendo 8 o ângulo de ii e V,

7. Dados os vetores

u = 2 i-T+ 31ê v = 4 T+ s j+ it w = 3 T- T+ m'k

a) Calcular lü l e l v l b) Calcular ii x v c) Determinar m de modo que u seja ortogonal a w

56

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA d) Calcular o cosseno do ângulo de u e v

e) Achar os cossenos diretores de u e de V.

3 T- j + k

na direção do vetor T + S

8.

Achar a projeção do vetor

9.

Determinar um vetor unitário ortogonal aos vetores

3 T+

j

e

j + 4 k.

4 r-j +

3

k.

ii = 2 r - T + 2 k e V = r + 3 j, determinar uma base ortonormal ( e"i , e'2 , ê;), com e'i paralelo a ii e e; complanar com ii e V.

10. Dados os vetores

19. ORIENTAÇÃO DO ESPAÇO Dadas duas bases (t1 , ê2 , e) ) e ( ( , G , í;), o detenninante da matriz de mudança de base é diferente de O. Se ele fôr positivo, dizemos que as duas bases têm mesma orientação; se negativo, dizemos que elas têm orientações opostas. Desta maneira, as bases ficam separadas em duas classes, de tal maneira que duas bases da mesma classe têm a mesma orientação , e dullS bases de classes diferentes têm orientações opostas. Quando fixamos uma dessas classes, dizemos que estamos orientando o espaço. As bases da classe fixada são ditas, então, bases positivas , as da outra classe , negativas. Usualmente , tomamos como positiva a base formada por 3 vetores cujos sentidos são os dos dedos médio, indicador e polegar da mão esquerda, nessa ordem. Essa escolha é feita por convenção, .pois matematicamente não há nada que pennita distinguir esta orientação da oposta. Daqui por diante consideraremos sempre o espaço orientado dessa maneira.

As bases (Í, J: lC), G'": k, 1) e (k, 1:}) têm a mesma orientação ; o mesmo acontece com (f,i,1), (�t,j) e (k,j,1). M as (l:j,k) e o-: T, k), por e xe mplo , têm orientações opostas (verifique, achando a matriz de mudança).

Se considerarnios bases ortonormais, el as terão mesma orientação se o determinante de mudanç a fôr l ; se fôr - 1 , el as terão orientações opostas. As mesmas observações podem ser feitas no caso do plano. Em geral , representamos graficamente a orientação positiva de um plano por meio de uma flecha no se ntid o de rotação anti-horário. As figuras do n . o anterior exemplificam bases de mesma orientação ( figu ra 1 ) e bases de orientação contrária (fig. 2); no n.0 anterior, para o cálculo das funções trigonométricas (aliás, do seno de cr), o plano está orientado tomando como positiva a base (e1 , e; ).

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L ITICA

57

20. PRODUTO VETORIAL positiva.

Fixemos uma orientação no . espaço e seja

Definição 20. Chama-se produ to

e

v= x2l+ yif+ z2k

1

ii A v =

vetorial

o vetor

O: j, k)

uma base ortononnal

dos vetores ii =

X 1 T + y .j + Z 1 r

Y•

Y1

Y2

Y2

1

k

que é precisamente o desenvolvimento pela primeira linha do detenninante simbólico

i

j

-

X1

Y1

Zt

k

Exemplos: i.

u = 2 T+ f- "k

v=T+ 3 f- 2 "k

-r u A v=

r

-1

2 3

-

-

�

j /\ k = l

k" T= j

J

�

1

�

r

-

-

� = i+ 3j + 5 k

-2

-

= -k k/\ T= -T i/\ -r = -T /\

Vamos provar que o produto vetorial não depende da base ortononnal positiva usada para calculá-lo; só depende de u e v e da orientação fixada. Se mudarmos a orientação do espaço, o produto vetorial muda de sinal. Em outras palavras, só se pode definir produto vetorial em relação a uma orientação do espaço Coisa análoga acontece com a definição de seno de um ângulo, que depende da orientação do plano (o mesmo não acontece com o coss�no).

CA R OL /-CA L L IOL l-FEI TOSA

58

Seja (ê1 , e; , e';) uma outra base ortonormal positiva. Chamemos de M = (ai) a matriz de mudança de primeira para a segunda. Sabemos que det M = 1 ·e Mº 1 = M ' . Sendo, na nova base ,

ii= x 1 ã+ Y-1 ll + z1 ê

V. = x2 ã + Y2 b + z2 ê

temos:

Para x2 , y2 , z2 temos fórmulas análogas, assim como para ã, b e C. Podemos então escrever a seguinte igualdade matricial (alguns elementos são vetores, outros são números):

k) (ª�ll Z1

+

Z2

a3 1

Considerando os determinantes simbólicos e notando que de t M = = det (�j ) = 1 e que o determinante de um produto é o produto dos dete rminantes dos fatores, temos, finalmente :

i

j

r

a

b

X1

Y1

Z1

X2

Y2

Z2

-

-

c

Isto prova que o produto vetorial não depende da base ortonormal positiva. Propriedades do produto vetorial

l . u /\ u = Õ 2.

i.i A v

=

-v /\ u

(anticomutativa)

3 . (a ii) /\ v= i.i /\ (aV) = a ( ii /\ V)

MA TRIZES- VETORES-G. ANA L ITICA 4 . i!

/\ lv1

+ V2 ) = u /\ V1 + li

/\

v2

59

(distributiva)

5 . li /\ v = Õ se e somente se ii e v são linearmente dependentes (ver n . º 1 5 , teorema 11).

6. O vetor u

"

v tem direção ortogonal a

u e V.

7. Se ü e v são lineannente independentes, o sentido de (ü, v, ü /\ v) é uma base positiva.

8. Se

U

-

/\ V é tal que

8 é o ângulo dos vetores não nulos li e v, então

1 u /\ v i = 1 u i 1 vi

Note-se que o produto vetorial l'r' V " j)

-

....

/\ j = k

não /\

...

sen 8

é

associativo.

Com efeito:

..

j = -i

i /\ õ = o JJ = -i /\ (j- /\ �

� propriedades 6, 7 e 8 mostram que u " v está univocamente determinado a partir de ú e v; elas constituem uma outra prova de que o produto vetorial não depende da base. Se Ü e v são unitários e ortogonais, então (ii, v, u /\ v) é uma base ortonormal positiva; portanto , conhecendo dois vetores de uma base ortonormal, o terceiro pode ser obtido por meio do produto vetorial . As propriedades 1 a 5 são conseqüência imediata das . propriedades dos determinantes. Para provar a 6, basta verificar que ii X

(ii " V) = V X (ii " V) = o

Eis a verificação:

X2

Y2

- Para provar a 7' calculemos o determinante de mudança de - (u, v, u " V) Ú = X 1 i + y 1 J+ Z 1 k

V = X2 T+ Y2 T+ Z2 k -

..

...

...

�

U /\ V = A i + B j + C k

Z2

(T, r. k)

para

60

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

onde A =

Y1 1

B =

Y2 D.. =

1

X1

Z1 Z2

1

X2

X1

Y1

Z1

X2

Y2

Z2

A

B

e

C =

1

X1

Y1

X2

Y2

1

Desenvolvendo pela 3 a linha, vem : D.. = A2

+ B 2 + C 2 = I li /\ v 1 2

Como ii " v * Õ (pois u e v são L.I.), concluímos que D.. > O, o que prova que (ii, v, ii /\ V) é uma baSP- positiva.

-

A propriedade 8 é equivalente a

1 Ü A v 1 2 = 1 Ü 1 2 1 v 1 2 sen2 8

Substituindo sen2 8 por chegamos à expressão equivalente 1 li

.1\

'V 1

2

=

1

-

cos2 ()

1 rr 1 2 1 v 1 2

e

1 li 1 1

v1

cos 8

por ux V,

(ii x v )2

que , escrita em coordenadas, é precisamente a identidade de Lagrange (ver exer­ cício). de

um

A identidade de Lagrange pode ser provada diretamente , ou por meio artifício elegante, como faremos a seguir. Usando a notação anterior e o fato de que

( �ii�

Ax 1 + By 1 + Cz 1 = Ax2 + By2 + Cz2 chegamos à seguinte identidade :

( :: :: ::) ( :: :: :) A

B

e

z,

z2

e

=

=

O, üx v

ux v

o

o

61

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L /t/CA

Tomando os detenninantes e observando que as matrizes do 1 .0 membro têm detenninante igual a 1 ii " v 1 2 , conclu ímos que

1 ii

"

v

1 2 1 rr " v1 2

= [ i rr

o que acarreta (supondo ii " v #= O ) 1 rr " v

12 1 v 12

-

{u x

v)2 J

1 u " v 12

= 1 rr 1 2 1 v 1 2 - < u x v) 2

12

O· caso em que ü " V' = Õ é trivialmente verificado.

Geometricamente, o módulo do produto vetorial representa a área do paralelogramo ABCD, onde C - A = v = = D - B e D - C = u = B - A (a demons­ tração fica a cargo do aluno). A propriedade 6 pennite calcular o seno do ângulo de dois vetores: sen 8 =

u

A

B

I li " v i

l u l 1-v 1

----

Esta fónnula pode ser expressa em termos dos cossenos diretores de ii e v: sen 8 =

sen 8 =

1

1 u " vi 1 ü 1 1 vi

cos Q

1

=

cos {3

cos a' cos {3'

u 1 ii 1

12 1 +

v

1 v1

"

cos {3

cos {3'

1

cos 'Y

cos -y '

12 1 +

cos 'Y

cos -y '

cos Q cos a'

12

2 1 . PRODUTO MISTO

Definição 2 1 . Chama-se p roduto misto dos vetores u, v e w o número real ii " V X w. Indica-se também [ U, V, w ) .

Seja

(1: � k)

uma base

ortonormal positiva.

U = X1 j + Y1 j + V

�

W

�

= X2 =

X3

� 1

� 1

+ Y2 � J +

+

y3

J +

�

1k Z k 2

Z

�

Z3

�

-

Sendo

CA R OL 1-CA L L IOL /- FEi TOSA

62

o produto m isto é dado por

[ u, V, w ] =

Yt

Y2

Y3

A demonstração fica a cargo do aluno. Propriedades do produto misto 1.

2. 3.

4.

6.

[ u, v, w J = O se e somente se ii, v e w são linearmente dependentes - -1 = 1 -V, W, -U 1 = 1 W, U, V 1 (cíclica) [ U-, V, W -

-

[ ii, u, w-1 = [ ii, w, u i = [ w, li, rr 1 = o

[ ü, v, w l = - [ V, ii, w ] , etc . . .

[ a ii, V, w l = [ ii, a V, w] = [ ii, V, a w j = a [ li, v, w l

Todas as propriedades são conseqüências imediata das propriedades dos determinantes (contudo, o aluno não deve deixar de verificá-las). Da propriedade cíclica resulta:

(u " v) x w = iix ( v " w) isto é , os sinais

x

e " permutam entre si .

Geometricamente , o produto misto (Ü " v) X w é igu al , em módulo, ao volume do paralelep ípedo de arestas determinadas pelos vetores li, v e W. Com efeito:

h

� u

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L ITICA

63

1 ii " V X w 1 = 1 u /\ V 1 1 w 1 cos

.,o

mas 1 ii /\ v 1 é a área da base do paralelepípedo e 1 w 1 cos .,o é a altura (onde .,o é o ângulo de u /\ v com W). O sinal do produto misto será positivo ou negativo conforme (u, v, w) seja uma base positiva ou negativa (supondo u, v e w linearmente independentes). 22. DUPLO PRODUTO VETORIAL

Definição 22. Chama-se duplo produto vetorial dos vetores u, v e w ao

vetor (ii

/\ v) /\

w.

Como o produto vetorial não é associativo, em geral (u" V)A w * U/\ (v" w).

Sendo o vetor (i:i A V)/\ w ortogonal a ·u /\ v, ele é complanar com u e V, isto é, se li não é paralelo a v, (u /\ V) A w = a u + (3 v. Vamos determinar os coeficientes a e (3.

T � emos uma base ortonormal positiva (f, j, k), com i paralelo a complanar com u e V, e l( paralelo a u A V. Temos então: -

li A V

u=ai

v= b Í+ c j u /\ v = a c k w = x i+ y ) +

(u " v>

"

zk

w = acxT - acy i=

= a b xT + a c xj - a b x T - a c y l = = a X {b T + cn

-

{b X + c y) a r =

= a x v - {b x + c y) u = Portanto:

a = -{bx + cy) = -vx w {3 = ax = ii x w e obtemos a fórmula

1 (ii " -V> /\ -w = ( ü" W> v - (-V x w > ii 1

ii,j

64

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

A fónnula anterior também vale no caso em que u é paralelo a v, como é fácil ver.

EXERCÍCIOS 1 . Dados os vetores

ii = 2 r - 3 j + 2 k e V = 4 T - T + 2 k

a) Calcular ii " v b) Calcular o seno do ângulo de

2. 3.

u e v

Sendo os vetores ii = 2 T + j + 3 k e base ortononn al positiva . ( êj , e;, e';) Calcular o produ to misto dos vetores Esses vetores são complanares?

4. Provar que

v= 4T + j - 3 k com

êi // ii, e'; // v.

ortogonais, determinar uma

T + T + 3 k, 2 T- T + 5 k e

4 r- 3 r+ k .

[ u + V, v + w, ii + w ) = 2 [ ii, v, w )

5 . Sendo u = l+ T.' v = 2 l-T+ 3 k e w = 2 T-k. calcular a área do triângulo volume do tetraedro ABCD, onde B = A + u, C = A + v e D = A + w.

ABC

e o

6. Verificar as identidades:

a) ( ; - b) /\ ( b - ê)

b)

= ã /\ b + b /\ e + ê /\ ã

ãx ã - -b, -c 2 = ãxb ) ãxc

[ a,

ãxb b xb Õx ê

ãx C bxê 'êx ê

7.

Usando o produto m isto, exprim ir v como combinação linear de

9.

Dem onstrar a identidade de Jacobi

e'j , e'; e e'j .

8 . Dados ii = 2 T-j, V = 3 T+ j+ k e w = T+ 4 j+ s k, calcular dire tam ente (u /\ V) /\ w e ii /\ (v A w). E xp rim ir (lt /1. v) /1. w com o combinação linear de u e V.

1 0 . Resolver

as

equações vetoriais

-t'x ll= e

X " ti = V

(1)

(2)

MA TRIZES- VETORES-G. ANA L lTICA

a) Solução de x x Ü = c

65

( ii =#= O)

Consideremos antes a equação homogênea xx ii = O cuja solução é formada por todos os vetores ortogonais ã ü. Para obter todos esses vetores basta fazer x = ii" s

onde s é um vetor arbitrário; tomando dois vetores não paralelos ã e b ortogonais a li, a solução da equação também pode ser escrita x= >..ã+ µti onde À e µ são parâmetros.

equação x x ii = c Notemos que, se conhecermos uma solução

Xo. poderemos obter todas as soluções considerando os vetores x = Xô + t onde T é solu· Passem os agora

à

ção da equação homogênea x x u = O. Com efeito, os vetores x0 + T são soluções de ( l ) . E se x é solução, então fazendo x - Xô = T, resulta tx ii = (x - x0) x u = x x u - x0 x li = = c - c = O. Falta somente achar uma solução particular Xô. Para isso, vamos tomar Xô paralelo a li, donde Xô = À u. Substituindo na equação temos ( À ii) x ii = c , ou seja, À 1 ii 1 2 c donde = ccu À e x o = -1 ii l 2 l u l2 Portanto, a solução geral de (1) é =

-

x= � + -u ,.. s 1 -u 12

ou

.. c U + >.. T + µ b X = -l u l2

(s arbitrário)

( À,

µ

arbitrários)

(ã, b l ii)

Geometricamente, se fizermos P = O + X, onde x percorre as soluções de (1), o ponto P percorre o plano perpendicular a u pelo ponto Po = O + x0. Portanto, a equação (P - 0) x u= c é a equação do plano perpendicular pelo ponto Po = O + � -

lul 2

a

li o

CA ROL 1-CA L L IOL l-FEI TOSA

66 b) Solução de

x

/\

ii

=

(u :F O )

v

Vejam os an tes a solução da equação homogênea x /\ u = O. A solução desta equação é constituida por todos os vetores x paralelos a ii. Portanto

x = Àu

( À arbitrário)

Passemos à equação x /\ ii =V: Esta equação só terá solução se ii l v, isto é, se u x v O. Se conhecermos uma solução particular X(,, poderemos obter todas as outras tomando x Xô + T, onde T é solução da equação homogénea x /\ ii = Õ. =

=

No tem os que todas as soluções de V. Vamos achar uma solução Xô que tam bém seja ortogo­ nal a li. Então ( 2 ) devem ser ortogonais a

Substituindo na equação :

a (u /\ -:) A ii ,; ya ( (uxu) v - (vxu) u ) v a l ii l 2 v = v =

Sendo

v =F Õ, temos

a

=

1

l ii 1 2

x

ponto

-

--

e x0

-

-

Portanto, a solução geral de

Po

(2) é

-

o> "

é a cq uação da reta paralela a

O lei t o r

·

UAV + u À 1 li 1 2

=

Geome tricam en te, se fizermos P percorre a re ta paralela a
UA V I li 1 2

= --

(À

arbitrário)

P = O + x, onde x percorre as soluções de (2), o li pelo ponto P0 O + Xõ. Portanto a equação:

ii r=

ciix v-

ii pelo ponto

p

=

=

º>

Po

= O+

u /\ v

---

lu l 2

podi:rá aplicar as soluç ões das equações acima a exemplo" numéricos.

CAP ITU LO

IV

23 . SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS

Um sistema de coordenadas cartesianas no espaço é um conjunto f onnado por um ponto O e por uma base ( ê; , e; , ê; ). Indica-se por : (O, e; , c2 , e; ). O ponto O chama-se origem do sistema. As retas orientadas que passam pelo ponto O e têm os sen tidos dos v �tores ê; , ê; , ê; , denominam-se , respectivamente : eixo das abscissas, eixo das ordenadas e eixo das co tas. Fixado um sistema de coordenadas (O , ê; , ê2 , ê; ) , denominam-se P , em relaç ão a esse sistema , as coordenadas do vetor um pon to P - O, em relaçãoàbase (t; , ê'; , e; ) . Nestas condições, se P - O = xê; + ye"; + z ê; , então, x , y e z são as coordenadas de P . Assim , a cada ponto P do espaço correspondente univocamente um terno ordenado ( x , y , z) de números reais; Escrevemos P = (x , y, z). Inve rsamente , dado um temo ordenado (x, y , z) de núme ros reais, existe um único pon to P cujas ordenadas são x, y e z, p recisamen te o ponto P = O + x "ti + y e; + z êj . As coordenadas x, y e z de P são denominadas, respectivamente , abscissa, ordenada e cota de P.

coordenadas de

Frequentemente consideraremos sistemas de coordenadas cartesianas ... .... . .. . � isto é , sistemas (O, i , j , k), em que a base (i, j , k) é ortonormal.

ortogonais,

As seguintes p ropriedades são de fácil verificaç ão, supon do-se fixado um sistema (O, e1 , êi , ê; ) :

P - Q = (x 1 - X2 , Y 1 - Y2 , z 1 - z 2 ) 2.

·se P = (x, y , z)

e

v = (a, b , e), então:

P + 't = (x + a, y + b , z + e).

Da mesma m an e ira que introduzim os sistemas de coordenadas no espaço, podemos introduzir sistemas de coordenadas no plano e na reta. No primeiro caso teremos um sistema (O, ê, , e; ) e no segundo (O , l; ). (O aluno poderá refazer a teoria nestes c aso s ) .

CA ROL l-CA L L IOL l-FEITOSA

68

EXERCICIOS

(0, tj , ez , êj)

Fixado um sistema de coordenadas

1.

Dados

os

pontos

P = (3 ,

5,

2),

Q

=

a) Calcular as coordenadas dos vetores

(1 ,

2 , -1 )

e

resolver os seguintes exerc ícios :

R =

(-1 ,

3 , -2 ) :

P - Q, Q - R e R - P;

A = P + (Q - R) e B = Q + (R

b) Calcular as coordenadas dos "pontos:

2 . Dados os pontos A = (x i . y 1 , z 1 ) e B = (x2 . Y2 . z2 ) determinar baricentro G de A e B, afetados de massas iguais.

- P).

as coordenadas do

Obs. : Como já foi visto anteriormente, o baricentro G de A e B , afetados de massas iguais, coincide com o ponto médio do segmento AB. A = (2 , 1 , 5) segm ento AB.

3. Dados

4 . Dados os pontos ba ric e n tr o G de

e

B = (4 , 3 , 1 ), determ inar as coordenadas do ponto médio do

A = (2 , - 1 , 3 ) e B = (3 , l , 4) determinar as coordenadas do A e B afe tados de ma ss as 1 e 3, respectivamente.

5 . Dados os pontos A =

(x i . Y t . Z 1 ),

coordenadas do baricentro G

B = (x2 , Y 2 . z 2 ) e C = (x 3 , y 3 , z 3 ) , determ inar as dos pontos A, B e C , afetados de massas iguais.

Obs. : Com o já foi visto an t eri o rm ente , medianas do triângulo ABC .

coincide com o ponto de encontro das

G

A = ( 1 , 2 , 1 ), B = (-1 , 2 , -3 ) e C = (3 , l , -2 ), determinar as coordenadas do baricen tro dos pontos A, B e C afetados de massas l , 2 e 5, respectiva­ mcntc.

6. Dados os pon tos

7.

Mostrar que os pontos

a) A b) A

=

=

O . -1 , 2), 0.

1,

-2 ) ,

A, B e C

são colineares, nos seguintes casos :

B = (0, 1 , l ) , c = (2 , -3 , 3 ) B

=

H , O , -4 ) ,

C

=

(5 , 3 , 2 ) .

8 . Dados os pontos A = ( 1 , 2 , 1 ) , B = ( 1 , O , 0), C tais que A, B e C sejam colineares. 9. Dete rm i n ar o pon to simé trico do ponto

P

coordenadas.

=

=

( 1 , y , z), determinar

( 1 , 2 , -3)

y

e

z,

em relação à origem de

1 0. Mos trar que os pontos A = (2 , 6, 3 ), B = (3 , 2 , 2 ) , C = (0, 5, 4) e D = ( 1 , 1 , 3) são os vértices de um p aral e log ram o , e de t e rm i n ar quais são os pares de lados paralelos. 1 1 . Em rel aç ão

---

a

um sistema ortogonal de coordenadas (0, i, j , k), mostrar que os triângulos cuj os vértices são A, B e C , são re tângulos , nos seguintes casos: a) A = ( l . - 1 . 0 ) ,

8 = (4 , 3 , 5 ) , C = ( 3 , 0 , -2 )

b ) A = ( 3 , - 1 , -2 ), B = (2 , 1 , 0 ), C = ( l , O , - 1 )

MA TRIZES- VE TORES-G. A NA L ITICA

69

24 . TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS ..

Sejam S = (O , e; , 'ê; , ê; ) e ordenadas cartesianas no espaço. Sejam um ponto P em relação a S e S ' pode obter os x, y, z em função dos

-

..

S' = (O ' , f1 , f2 , f3 ) dois sistemas de co(x, y , z) e (x', y', z') as coordenadas de respectivamente . Vamos verificar como se x ' , y', z' e vice-versa. Chamemos S de sistema antigo e S ' de sistema novo. O sistema novo é fixado dando-se as coordenadas a, b , c da origem O e as coordenadas dos vetores Íi , '2 , f3 em relação ao sistema antigo: '

o

Designemos por M a matriz (ai} • isto é , a matriz de mudança da base antiga para a base nova:

Temos então:

P - O = x êi + y 'ê; + z ê; O' - O = a êj + b êi + c e';

P - O' =: ( x - a ) "t; + (y - b) ê; + (z - c) ê; -

-

P - O' = x' f1 + y ' f2 + z' � r3

CA R OL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

70

As coordenadas "antigas" de P O' são dadas em função das "novas" pela fórmula matricial (ve r mudança de base): -

( I) donde se tira :

( 2) fórm ula que dá as coordenadas antigas de P em função das novas; esta fórmula tam bém pode se r escrita explicitamente : x = a 1 1 x' + a 1 2 y ' + a 1 3 z' + a y = a2 1 x ' + a2 2 y ' + a2 3 z ' + b

z = a3 1 x' + a32 y ' + a33 z ' + c

A transformação inversa é dada pela fórmula

onde M " 1 é a inversa de M e a' , b', c' são as coordenadas de O no sistema novo. Note-se que , como foi visto , no caso de mudança de sistema ortogonal para ortogonal , a matriz M" 1 coincide com a transposta de M . EXERCÍCIOS S, os pontos A = (0, O, 0), 1 . Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas B = ( 2 . O, 0), C = ( 2 . O, 2) e D = (0, O. 2) são vértices de um quadrado. A origem do novo sistem a ortogonal S' ê o cen tro E do quadrado. Os novos eixos x· e z' são rcspectivamente as diagonais orientadas pelos vetores equaç ões de mudança.

E

-

A

e

E

-

B. De �erminar

as

71

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L ITICA

2. Seja S(O, i, T. k ) um sistema ortogonal de coordenadas. Dados: a) determinar um sistema S'(O, fi . f2 , f3 ) f1 é ortogonal a ê2 , êj

e; e;

b)

é

é

tal

que:

- -

ortogonal a e 1 . e 3

ortogonal a ej , êi

determinar as fórmulas de mudança de

s

para S'.

25 . EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA

Seja r uma rl: ta que passa pelo ponto A e que tem a di reção de um vetor não nulo V. Para que um ponto X do espaço pertença a reta r é necessário e su ficiente que os veto re s X - A e v sejam linearmente dependentes , isto é , que exista um número real t, tal que

X - A = t V. Para cada ponto X de r tem-se um valor para t, e quando X descreve toda a reta no sentido do vetor V, t varia no conjunto R dos números reais de - oo a + oo , fato esse que será denotado por t e R. Assim a equação :

X = A + tv

( t e R)

(1)

é denominada equação vetorial da reta r. Se a reta r fôr determinada por dois pontos distintos A e B, a direção de r será dada pela direção do vetor B - A, e a equação vetorial da reta r se rá:

X = A + t {B - A)

( t e R)

(2)

No caso da geome tria plana, dada a reta r que passa por um ponto A e tem a direção de um vetor v * Õ do plano, a equação vetorial de r será precisamente a ( 1 ) ; no caso da reta ser definida por dois pontos A e B distintos, a equação vetorial de r será a (2).

CA ROL l-CA L L IOL l-FEITOSA

72

26. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RET.t\ Seja (O, ê; , e2 , ê3 )

wn

sistema de coordenadas no espaço.

Sej am X = (x , y , z), A = (x0 , y0 , z0 ) e v= (a, b , c), respectivamente pon to genérico de ,_ r, um ponto dado de r e wn vetor v não nulo de direção paralela à reta r. um

Da equação vetorial da reta r: X = A + tv vem :

( t e R)

( : : :: : : :

(x, y, z) = (x o , Yo , Zo ) + t{a, b, c)

Logo:

(3)

( t e R)

z = z0 + t c

em que a, b, c não são todos nulos, pois o vetor v * Õ. As equações (3) dizem-se equações paramétricas da reta r, em relação ao sistema de coordenadas fixado . Reciprocamente , dado o sistema de equações lineares (3), com a, b e c não todos nulos , ele representa uma reta r do espaço, pois a reta que passa pelo ponto de coordenadas {x0 , y 0 , z0 ) e tem a direção do vetor não nulo de

(

coordenadas (a, b, c), terá como equações paramétricas as (3) . No caso da reta r ser definida por dois pontos A = (x 1 , y 1 , z i ) e 8 = (x2 , y2 , z 2 ) as equações paramétricas de r serão: x = x , + t (x2 - x i ) Y = y 1 + t (yz - y i )

(t e R)

z = z 1 + t (z2 - z 1 )

No caso da geometria no plano, sendo (O, ê1 , ê2 ) um sistema de coordenadas, as equações paramétricas de uma reta r que passa pelo ponto A = (x�, y0 ) e tem a direção do vetor não nulo v = (a, b), serão:

(4)

{ : : : : ::

(teR)

73

MA TRIZES- VE TORES-G. A NA L JTICA

Se a reta

{ r

fôr definida por dois pontos distintos A = ( x 1 , y 1 ) e

B = (x2 , y 2 ) , as equações paramétricas de r serão:

x = X 1 + t (x2 - x i )

(t e R)

y = y 1 + t (Y 2 - y i )

em

relação ao sistema fixado.

27.

EQUAÇÕES DA RETA NA FORMA SIMÉTRICA

Nas fórmulas (3) do n .º X - Xo

supondo abc :;é O, tem-se :

26, V

a

-

Z - Zo

Yo

(5)

e

h

que são denominadas equações da re ta r na fonna simétrica.

Se um dos números a, b, c , é zero, por exemplo a, se bc :;é O, as fórmulas (5) ficam (6)

{

X = Xo

Z - Zo

Y - Yo

c

b

Se

(5) ficam:

dois dos números a, b,

(7)

{: : ::

e

são nulos, por exemplo se c

:;é

O, as fórmulas

EXERCICIOS Fixado um sistema de coordenadas (0,

Ci, � , Ci>. resolver os seguintes exerc ícios :

1 . Dar as equações paramétricas da re ta que passa pelo ponto A do vetor �= ( 2 , 3, 4 ).

= (1,

2. Dar as equações da reta na forma simétrica nos seguintes casos :

a) que passa pelos pontos A = ( l ,

l, l)

e

B

= (2 ,

3 , -5 )

l , l ) e tem a direção

74

CA R OL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

2

b ) q ue passa pelos p ontos

A = (3,

.: > q u e passa pelos pontos

A = (l, 1, 1)

, l)

e e

B = ( 3 , l , -2 ) B = ( 1 , 1 , -5 )

3 . Dar a i n te rprl'lação geométrica d a reta cuj as equações são a s fórmulas

d o n. o 2 7.

(6 )

4. Dar a i n te rp re tação geomé trica da reta cujas equações são as fórmulas ( 7 ) do n. o 2 7 .

5 . Dar as equações paramé tricas da r e t a determ in ada pelos pontos A = ( 1 , 1 , 1 ) e 8 = ( 2 , 3 , 5 ) . 6 . Fsc'rever ª' equações das retas que con tém as diagonais do paralelogram o de vé rtices A = l l . - l , 2 ) ; 13 13 = ( 2 , 3 , -4 ) , C = (2 . l , - l ), D = ( l , l , - 1 ) nas formas paramétrica e simétrka. 7.

Repres-c n t ar gra ficamente a reta

r

de equações

x - l

2-

-

e•

8.

_

-

-=! Y

z - 2 = -3

dl· t c rm i n ar as i n tersecções com os planos coorde nados.

Dar a equação ve torial da re ta

r

que passa por

v= 1J. 1 . - l l.

P = ( l , 1 , 1)

e é paralela ao ve tor

9 . D a r a equação vetorial e a s eq u aç ões param é tricas d a re ta r determ i n ad a pelos pontos A = ( 2 , 1 . 3) e B = ( 1 , 1 , -1 ). 1 O . D a r as equações vetoriais e as eq u ações p aram é tricas dos e i xos coorde nados. 1 1 . Dar a e q u ação da reta

x- 1 =y = 2

-z

n a form a ve torial .

28. EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO Sej am A um ponto de um plano rr, v1 e Y; dois vetores linearmente independentes paralelos a rr. Nestas condições os vetores V. , Y; e (X A) com X e rr , são sempre linearmente dependentes e assim , para cada X e rr existem semp re dois núme ros reais t 1 e t2 , tais que : -

75

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L ITICA

de modo que, se t1 e t2 percorrem o conjunto R dos números reais , fato denotado por t1 , t 2 eR, o ponto X do espaço percorre o plano rr. Assim a equação:

( 5) é denominada equação vetorial do plano

rr.

Reciprocamente, o conjunto dos pontos X do espaço tais que :

com Vi e Y; linearmente independentes, é um plano que passa pelo ponto A e é paralelo às direções dos vetores Vi e Y; .

No caso do plano rr ser determinado por três pontos A , B e C não colineares, a direção do plano rr será dada pelo par de vetores B A e C A linearmente independentes, e a equação vetorial do plano rr fica: -

-

29 . EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO

Sejam (O, e'; , e; , e'; ) um sistema de coordenadas no espaço e rr um plano que passa pelo ponto A = (x0 , y 0 , z0) e tem a direção $fada pelos vetores Vi = (a 1 , b 1 , c i ) e Y; = (a2 , b 2 , c 2 ) (lembrar que Vi e Vi são linearmente inde­ pendentes) . Sendo:

{

em relação ao sistema de coordenadas fixado tem-se: (x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + t 1 (a1 b 1 c i ) + t2 (a2 , b 2 , c 2 ).

Logo :

(5)

X

= .

Xo

+ t1 a1

t-

t 2 a2

y = y o + t 1 b 1 + t2 b 2 Z

-'

Zo

+

t 1 C t + t2 C 2

que são denominadas equações paramétricas de

rr .

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

76

Reciprocamente , dado o sistema de equações lineares (5), ele representa o plano 1T do espaço que contém o ponto de coordenadas (Xo , y 0 , z0 ) e tem a direção do par de vetores ( a 1 , b 1 , c i ) e (a2 , b2 , c2 ) linearmente independentes, em relação ao sistema de coordenadas fixado.

No caso do plano 1T ser determinado por três pontos A ( x 1 , y 1 , z 1 ), , z2 ) e e = (x3 , y3 , Z3 ) , não colineares, sendo (x2 - X 1 ' Y 2 - Y 1 ' Z2 - zi ) e (x2 , y2 B= (X3 - X 1 , Y 3 - Y 1 ' Z3 - Z 1 ) as coordenadas dos vetores B - A e e - A da direção de 7T, as equaç õe s paramétricas de Tr, serão: =

{

X = X 1 + t 1 (X2 - xi ) +

t1 (X3

- xi )

Y = Y 1 + t 1 (y 2 - y i ) +

t1 (y3

- Y1 )

z = Z 1 + t 1 (Z2

em relação ao sistema de

- z i ) + t2 (Z3 - z i ) coordenadas fixado.

30. EQUAÇÃO GERAL DO PLANO Sejam (O, êi , ê; , e';) um si stem a de coo rden a d a s e 1T um plano que passa pelo ponto A = (x0 , y0 , Zo) e tem a direção dos vetores Vi (a1 , b 1 , c i ) e Y; = (a2 , b2 , c2 ) l inearmente independentes. Para que um ponto X (x , y, z) pertença ao plano 1T é necessário e suficiente que X - A, Vi e V';" sej am =

=

linearmente dependentes,

isto

é,

que:

X - Xo

z - zo

(7)

=0

Desenvolvendo

(7) por Laplace segundo a primeira linha e

de a, b e d tem-se :

os coeficientes de

(8)

ax +

x,

by

y,

z

+ cz

+

d

=

O

com a, b e c não simultaneamente nulos, pois os vetores indep endentes.

A

equação

denominando-se

e o termo independente , respectivamente ,

V. e Vi" são linearmente

(8) denomina-se equação geral do plano

Tr.

MA TRIZES- VE TORES-G. A NA L ITICA

77

Reciprocamente , o conjunto dos pontos X do esoaço. cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas fixado, satisfazem a (8), com coeficientes a, b, c não simultaneamente nulos, é um plano. (A demonstração fica a cargo do

aluuo).

No caso do plano rr ser definido por três pontos A = (x 1 , y 1 , z i ) , B = (x 2 ' Y 2 ' Z2 ) e e = (X3 ' Y l ' Z3 ) , não colineares, a direção do plano 7r será dada pelos vetores B - A = (x 2 - X 1 ' Y 2 - Y 1 ' Z 2 - z i ) e e - A = (x3 - x , , y 3 - y 1 , z3 - z i ) , linearmente independentes e para um ponto X = {x, y , z) per­ tença ao plano rr, os vetores X - A, B - A e C - A devem se r linearmen­ te dependentes óu como no caso anterior:

X

1í

(9)

A

B

X - X1

y - y,

z - z,

X2 - X 1

Y2 - y ,

Z2 - Z 1

X3 - X 1

Yl - y ,

Z3 - Z 1

=0

Aplicando à fórmula (9) algumas propriedades dos determinantes obtém-se: X

y

z

=0 Yl que é uma fórmula, em analítica, muito útil para se obter a equação de um plano rr conhecendo três de seus pontos, não colineares, em relação ao sistema de coordenadas fixado.

CA R OL l-CA L L IOL /_;_FEI TOSA

78

No caso da geometria plana, sendo (O, 'êj , e; ) um sistema de coordena­ das, para se determinar a equação de uma reta r que passa por um ponto A = (x0 , y0) e tem a direção de um vetor não nulo v = (a1 , b i ) procede-se de maneira análoga ao anterior, isto é, para que um ponto X = (x, y), pertença à

reta r, é necessário e suficiente que X - A, e v sejam linearmente dependentes , isto é , que : ( 1 0)

1

X - Xo

1

ª1

Desenvolvendo ( 1 0), tem-se: b 1 x - a1

Y

- b 1 Xo + a1

Yo

e fazendo b 1 = a, -a1 = b

e

-b 1

vem : (1 1)

ax + b y + c

=

Xo

=

o

=O + a1 Yo = c,

O,

Com a e b não ambos nulos , pois v =t- Ô.

A equação ( 1 1 ) denomina-se equação geral da reta r. Reciprocamente, o conjunto dos pontos X· do plano, cujas coordenadas, em relação ao sistema de coordenadas fixado , satisfazem a ( I1) com coeficientes a e b não ambos nulos é uma reta (A demonstração fica a cargo do aluno).

No caso da reta r ser definida por dois pontos distintos A = (x1 • y i ) e B = (x2 , y2 ), a direção de r será dada pelo vetor B - A = (x 2 - X 1 , Y 2 - Y 1 ) não nulo . e para que um ponto X = (x, y) pertença à reta r, os vetores X - A e B - A devem ser linearmente dependentes , ou como no caso anterior:

,

MA TRIZES- VE TORES-G. A NA L ITICA

79

X - X1

y - y.

X2 - X 1

Y2 - Y 1

ou:

X

y

z

X1

Y1

Z1

X2

Y2

Z2

1 =0

=0

que é a fónnula da equação da reta detenninada por dois pontos em relação ao sistema de coordenadas fixado . (Esta fórmula já é conhecida do curso cient ífico) .

EXERCICIOS Fixado um sistema de coordenadas (0,

e1 , êi . ê3 ), resolver os seguin tes e xerc ícios.

1 . Dar as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A

vetores v1

e V2

a) A = ( 1 , 1 , 1 ), b) A = (-1 , O,

c) A =

d) A =

0) ,

(0, O, 1 ) , (0, O, 0),

( v1 e v2 Q . i), nos seguin tes casos :

b) A = (2, O,

0),

= (0, O,

3 . Dada a equ ação do plano paramétricas de rr.

rr

A, B, C , nos seguintes casos:

+

+

3y

z

-

2 = O, detenninar um sistema de equações

4. No exerc ício l dar a equação geral do plano nos casos

5.

Mostrar que a equação do p lano ax

+

+

by

a forma ..!. + l'... + .!... = 1 onde p = s q p equação do plano na fonna scgmentária). -

6.

Dar as posições do plano nos seguin tes casos: 1

li Ili IV

-

ax

+

direção dada pel os

C = (2 , 3 , - 1 )

1 ),

2x

a

e = H. - 1 , -2 ) .

8 = (3 , 2, 5 ) , B

tem

v2 = ( 3 , - l . 2 ) v2 = (2 , 1 , - 1 ) v2 = ( 3 , 2 , O) Vi = ( ! , º· 0).

v1 = ( 2 , 1, - 1 ) , Vi = (0, 1 , 1 ), v1 = O . 2 , - 1 ) , Vj = ( 0 , º · 1 ) ,

2 . Dar a equação geral do plano que passa pelos p on tos a) A = O . 1 , 1 ) ,

e

by

+

cz

+

a),

b),

c)

e

d).

+

d = O onde abcd * º pode ser escrita sob d d �, q= b s = 7 (que é denominada a cz

-

,

-

d = O em relação ao sistema de coordenadas,

bcd * O a = O, d = O, ac * O b = O, abc 4= 0, d =O d = O. c = O, ab * O,

80

7.

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

{

Dctcnninar a equação geral do plano detenninado pelo ponto reta r de equações:

P

= (2, l ,

-1)

e pela

X = 2t y=l + t z = -1 t -

8. Detenninar a equação geral do plano que passa pelo ponto P = detenninada pelos pon tos A = ( 2 , l , - 1 ) e B = ( 3 , 2 , - 1 ) .

(Vj e

( l , l , l ) e con tém a reta r

9 . Dar a s equações paramétricas do plano q u e passa pelo ponto A

aos vetores

v1 = (-1 , 2, - 1 ) e v2 = (3, O, -2 )

1 0. Dar a equação geral do plano que contém as retas : r:

X -2

y

-

-

3

-

2

l

= z

e

s:

= (2 , l , - 1 ) e é paralelo

v2 Q . i.).

� =y-1 =� 5

3

1 1 . Dar as equações paramétricas do plano determinado pelas re tas ·paralelas . r:

y-1 = 2

x-2 3

z

e

s:

� = � =z+ l 2

3

1 2 . Achar a direção do plano 2x - Sy + 4z - l = O. Calcular uma base ortonormal

da direção.

3 1 . VETOR NORMAL A UM PLANO

Se o plano

é dado por sua forma vetorial

X = A + t 1 Vi + t 2 v; ,

t 1 t 2 e R um vetor nonnal a rr será dado por w = v 1 " Y; . rr

rr:

Se o plano rr é dado por sua forma geral ax + by + cz + d w = (a, b , e) (denominado vetor coeficiente do plano, em relação a ortogonal de coordenadas) é nonnal ao plano rr .

=

C.

mn

o vetor sistema

MA TR IZES- VETORES-G. A NA L (T/CA w

81

= (a, b , e)

1í

De fato, sendo A = (f 1 , y 1 , z i ) e X = (x , y , z) pontos genéricos de tem-se, w x (X - A) = a(x - x 1) + b(Y - Y 1 ) + c(z - z 1) =

n,

= ax + by + cz - (ax 1 + by 1 + czi ) =

= ax + b y + cz + d = O

c.q.d.

EXERCÍCIOS Fixado um sistema ortogonal de coordenadas

(0,

T, T, k),

resolver os seguintes exerc ícios.

l . Determinar o ve tor ·normal ao plano dado pelos pontos não coli neares

seguintes casos : a) A = ( l , l , l ) , B = (2 , 0 , -3 ) , C = (0, - 3 , - l ) b ) A = ( 2 , l , l ),

B = ( 3 , l , - 1 ) , C = (0, l , - 1 )

2 . Determinar o vetor normal ao plano

a) b) e)

+

+

c)

nos segui n tes casos:

71':

X = ( 1 , l, l)

71' :

X = (0, O, l ) + À(O, O, l ) + µ ( 1 , O, - 1 )

71' :

À ( 2 , l, - 1 )

µ ( 3 , -2 , - 1 )

X = À ( i , 0, - l ) + µ (O, - l , 3 )

{ {

3 . Determinar o vetor norm al ao plano

a)

1T

71' :

71':

7T

x = l +2À + µ Y =

z

= 3 + À

x =À +

y

-À + 3µ

= 1 -

iJ.

À

z =À + µ

+ 2µ

{

nos seguintes casos:

b)

71' :

x = 2- 3 À - µ

y z

=

=

l +

À + 2 µ.

-À

- µ

A, B e C, nos

CA R OL l-CALLIOL l- FEIT OSA

82

4 . Dar

o

TT

vetor n o r m a l ao p l a n o

b)

+ y - z = O '. - y + 5 = 0

d)

". + I

nos segu i n tes c aso s :

a) 2 \

e) \ = O

=Ü

5 . Se n d o w = ( 2 . 1 . -1) o ve t o r norm a l ao p l a no �screver as e q uações paramc; t r icas d e TT 6.

Dar a v e t or casos :

normal w

da plana determi nado r:

a ) A = ( 1 . 1 , 1 ),

r:

h ) A = (0, O, 1).

C) A = (Ü. - 1 , 0) ,

r:

d) A = < l . 1 . 0),

r:

{d X

Y

= -À

z

.\

=

=

b) A = (0, O, 1 ),

32.

-y =

ponta A

e

p ela

A

=

(1. 2 , 2).

reta r. n o� segui n tes

À

� ' - 1

+

À< O . º· 1 )

d e t e rm i na d a pelos pon tas não c a l i n e ar c s A . B e C nos

7T

B = < l , 3 , - 1 ) . C = H . -2 . 0 )

B = < 1. O, 0),

8 . D a r a vet or n o r m a l d o p l a n o r:

+

1

p e lo

q u e passa pe l o p o n to

O)

X = ( 1 , O. 0 )

7 . V dor normal w do p l a n o se gui n te s c as a s : a) A = ( l . 2 . 1 ) ,

( 2 , -1 .

=

rr

X = (l. 1. 1)

+

C

7T,

= (0.

1 . 0)

d e te rm i nado p ,·_l as

À(2. 1 . -1 )

e

s:

re tas

.'.'..:-_l = � = z - 1 2

3

PARALELISMO ENTRE RETA E PLANO

Sej am r uma reta que passa por um ponto A e que tem a direção do vetor v 11ão 11ulo , e rr o plano que passa pelo ponto B e tem a direção dos vetore s v1 e v2 li11ear111e11te i11depe11de11tes . A re ta r é paralela ao plano rr , se somente se os vetores v, v1 e v2 fo rem li11ear111e11te depe11de11tes ( os vetores v, v1 e Vi d evem se r complanares) . E m re la'íão a o sistem a de coordenadas ( 0 . e, . c2 • c.i ) . sendo v ( Q , m , n ) + by + c 1. + d = O . equação d o plano rr . a condição a11ahtica d e paralelismo de rr se rá . =

e

r

ax

e

( 1 3)

a� +

bm

+ cn = Ü

MA TRIZES- VE TORES- G. ANA L lllCA

83

Em relação ao sistema ortogonal de coordenadas ( O , T, J: k), se ndo e ax + by + cz + d = O equação do plano ir, sendo w = ( a , b, c) um vetor normal do plano, para que r seja paralelo a ir ,

v = (Q, m, n)

ou

vx w = O

aQ + bm + cn = O

Como se pode observar, a fórmula ( 1 3) não depende do tipo de sistema de coordenadas fixado . Se o pon to A pe rtence ao plano então r está con tida n o plano.

ir,

e a re ta r é

paralela

ao piam' .

33 . PARALELISMO ENTRE DOIS PLANOS

Sej am ir1 um plano que passa por um ponto A e tem a direção dos vetores Vi e Vi Q.i. e ir2 um plano que passa por um ponto B e tem a direção dos vetores u1 e u 2 Q.i. Os planos ir1 e ir2 se rão paralelos, se e somente se v1 e v2 forem com binações lineares de u1 e u2 • Em relação ao sistema de coordenadas (O, êi , e; , e; ) sendo a 1 x + b 1 Y + c 1 z + d1 = 0 e a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 as equações dos planos ir 1 e ir2 , rcspectivamente, a condição anahtica de paralelismo de ir1 e ir2 será :

(que o aluno deduzirá como exerc ício) . Em relação ao sistema ortogonal de coordenadas (O, T, T, k), sendo a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e a 2 x + b 2 y + c 2 z + d2 = 0 as equações dds planos ir 1 e ir 2 , respectivam ente, e sendo W'; = ( a 1 , b 1 , c i ) e w2 = (a 2 , b2 , c2 ) os vetores normais de ir 1 e ir 2 , respectivamente , para que ir 1 e ir 2 sejam paralelos é necessário e su ficie nte que os vetores w1 e Wi sejam lineann en te dependentes, isto é, que exista um número rreal t, tal que :

ou

84

tipo

{

CA R OL l-CA L l /Ol l-FE/ TOSA

ª 1 = t ª2 b 1 = t b2 C 1 = t C2

Também neste caso se observa que de coordenadas fixado .

as

fónnulas ( 1 4) não dependem do

Note-se ainda que os dois planos 7T 1 e 7T2 , paralelos , podem ser coinci­ dentes. - As posições relativas de dois planos no espaço serão estudadas mais adiante . No caso da geometria plana, para se obter a condição anal ítica de para­ lelismo de duas retas procede-se como no caso de paralelismo de dois planos no espaço, e também para este caso sendo a1 x + b 1 y + c1 = O e a2 x + b2 y + c2 = O as equações das duas retas, as condições de paralelismo são:

não dependem do sistema de coof
34. PARALELISMO DE DUAS RETAS (no espaço) Sejam r 1 uma reta que passa por um ponto A e tem a direção de um vetor v1 * O e r2 uma reta que passa por um ponto B e tem a direção de um vetor v2 * O . A reta r 1 é paralela a reta r2 , se e somente se , existir um número real p , tal que : A condição anaUtica se obtém facilmente , e como se pode observar não depende do tipo de sistema de coordenadas fixado.

35 . CONDIÇÃO DE COMPLANARIDADE DE DUAS RETAS NO ESPAÇO Sejam r1 uma reta que passa por um ponto A e tem a direção de um vetor v1 * O e r2 uma reta que passa por um ponto B e tem a direção de um vetor v2 i= O .

MA TR IZES- VE TORES-G. ANAL {T/CA

85

Uma condição necessana e suficie nte para as re tas r 1 e r2 sej am compl an ares é que os ve tores B - A , V'; e V'; seja m lin earmen te dependentes (teorema já demonstrado em álgebra ve torial ) . sis tema

Pode-se exprim ir a condição d e complanaridade dada e m rel ação a (O , e1 , e2 , C) ) de coordenadas . onde

A = ( x , , y , , z i ), B = (x2 . Y 2 . Y 3 ), V. = ( a , , b , , c i ) e Y; = ( a 2 , b2 , c2 )

( I S)

um

por:

= Ü

Em rel ação ao sistema ortogonal de coordenadas ( 0, T, J: k ) , obtém-se a mesm a condição ( 1 S ) aplican do a condição de complanaridade por meio do produto m isto , isto é ,

tes ,

36 .

Note-se q u e s e o s vetores B as retas r 1 e r2 são reversas.

-

A, Vi e V'; forem linearmente independen­

POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS PLANOS dois planos de equações:

( 16 )

a1 x + b1 y + c1 z + d1 = Ü

a 2 X + b1 y + C 2 Z + d 1 = Ü

CA R OL 1-CA L L IOL 1-FEI TOSA

86

em relação ao sistema ortogonal de coordenadas (O , T, J: utilizado neste capitulo e nos posteriores.

k)

-

que será o sistema

O estudo das posições relativas de dois pla.11o s, reduz-se à resolução de um sistema de equações lineares, de duas equações com três incógnitas.

e do tip� 2 x 4 e ma triz incompleta do tipo 2 x 3, respectiva.mente, segundo o teorema de Rouché o sistema admite soluções, quando a característica da Me fôr igual à característica da matriz M 1 . Chamando-se p a característica de M e e q a de M 1 , tem-se os seguintes casos:

matriz completa ,

1) p

= q =

2

O sistema é possível, terá grau de indeterminação 1 , e admitirá, portanto, uma infinidade de soluções, isto é, os pia.nos 1T1 e 1T2 intercepta.m-se segundo uma reta i.

Sendo w1 = (a1 , b 1 , c i ) e w2 = (a2 , b2 , c2 ) os vetores normais dos planos 1T 1 e 1T 2 , respectivamente , a direção da reta i será a do vet � r w1 /\ w2 não n u lo , pois w 1 e 'Wi são , neste caso, linearm ente independentes. A equa­ ção vetorial da reta i, será : X

=

A + t w1

/\

Na prática , como w1 e w2 são planos ?T1 e 1T2 se interceptem , w1 i= p de zero.

2) p

=

l;

q =

A

w2

( t e R).

linearmen te

w2 , onde

p

independentes, para que os é um número real diferente

2

O sistema é imposs ,.vel, nestas condições os planos 1T1 e 1T2 e 1T 1 e 1T2 são denominados paralelos distintos.

pon tos comuns ,

não

têm

MA TRIZES- VE TORES-G. ANA L ITICA

w1

=

Sendo w1 = ( a 1 , b 1 , c 1 ) e w2 = (a 2 , b 2 , c 2 ), então w1 p w2 , onde p é um número real diferente de zero , e

87

/\

w2

=

O , ou

os planos são paralelos distintos, ou ( 1 8).

Essa condição ( 1 8) é obtida mesmo quando o sistema fixado é qual que r. 3) p

=

q

=

1.

O sistema é possível, terá grau de indetenninação 2 . Neste caso 7T 1 e 1T2 são paralelos coincidentes , isto é existe um número real p =1= o tal que : w1 = p w�

os planos são paralelos coincidentes e ( 1 9)

Essa condição ( 1 9) é obtida em qualque r sistema fixado. No caso da geometria plana pode-se estudar por processo análogo as posições relativas de duas retas, ficando o mesmo a cargo do aluno.

CA ROL l-CA L L I OL l-FEI TOSA

88

37. CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE DE DUAS RETAS

Sejam : e

( t e R)

X = A + t v1

(t e R)

X = B + t v2

as equações vetoriais de duas retas no espaço. A condição para que as duas retas sejam ortogonais é que os vetores não nulos Y; e Vi , das direções das retas, sejam ortogonais, isto é :

S e as duas retas são ortogonais e têm um ponto comum , denominam-se perpendiculares.

Em relação ao sistema ortogonal de coordenadas (O, T, ]: k) sendo 111 1 , n i ) e Vi = (fl2 , m2 , n2 ) , a condição anall'tica para que as duas retas sejam ortogonais (ou perpendiculares) é que :

v1 = ( ll 1 ,

(20)

38. PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO

A

Sejam : e

X = A + tv

( t e R)

X = B + t 1 V. + t2 Vi

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L ITICA

89

as equações vetoriais de uma reta e um plano, no espaço, respectivamente . Para que a reta r seja perpendicular ao plano Tr , os pares de vetores v, v1 e v, V2 devem ser ortogonais, isto é , vx Vi = o

vx v; = o,

e

fato que pode ser expresso por:

v = P Vi " V2

com p número real diferente de zero : (v e Vi dependentes).

/\

V2

devem ser linearmente

Em relação ao sistema ortogonal de coordenadas (O, T, T, k) se o plano 7r é dado por sua equação ax + by + cz + d = O e v = (Q, m, n) é o vetor da direção da reta r, a . condição de perpendicularismo de r e 7r fica: --ª-

Q

=

_g_ = _f_

(20)

n

m

pois, o vetor v = (Q, m, n) da r!!ta e o vetor w = v1 são lineannente dependentes.

"

v2 normal ao plano 7r

39. PERPENDICULARISMO DE DOIS PLANOS

Sejam: e

X = A + t i Vi + t 2 Vl

X = B + t 1 u1 + t 2 'ii2

as equações vetoriais de dois planos 7r 1 e Tr2

(t1 , t 2 e R)

(t 1 , t 2 e R) no espaço, respectivamente.

Sendo W1 Vi " v2 e w2 ii1 /\ ii2 , os vetores normais a Tr 1 e Tr2 , respectivamente, a condição necessária e suficiente para que os dois planos sejam perpendiculares é que w1 e Wi sejam ortogonais, isto é , que : =

=

Em relação ao sistema ortogonal de coordenadas planos Tr 1 e 7r2 são dados por suas equações

(O,

T, j, k)

e respectivamente a condição de perpendicularismo será: a1 a2 + b 1 b 2 + C 1 C2 = 0

{2 1 ) .

se os

90

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

No caso da geometria pla11a , sendo a 1 x + b 1 y + c 1 = O e a2 x + b 2 y + c 2 = O as equações de duas retas r 1 e r2 , respectivamente , em Felação ao sistema ortogonal de coordenadas ( O , T, ]), a condição de perpendicularismo das duas retas será : (obtida por processo análogo ao do perpendicularismo de dois planos) . EXERCICIOS

{x-y+z+l =O y � �=

Fixado um sistem a or togonal de coorde nadas, resolver os seguintes e xercício s :

1 . Dada a rL·ta r:

X+

- 2z = Ü

a) escrevê-la na forma ve t o rial. b) escrevê-la na forma simétrica. c) escrevê-la na forma paramét rica. 2 . Achar a intersecção da reta

=

-z com o plano

x + 2y + z - 9 = O.

3 . Achar a equação do plano que passa pelo ponto A = ( 1 , 1, -2') e é perpendicular à reta r:

X = À ( J , - 1 , -3 ) .

{

4 . Ach ar a eq uação d o p lano q u e passa por P = ( 1 , 2 , reta y = 3x - 2 r: z = O.

{

5 . Achar a eq uação do plano que co ntém a re ta 3 x - 4y +

z - 12 = 0

4x - 7y + 3z + 4 = O

e passa pela origem .

{; : \

6. Ach ar a equação do plano q ue passa pela re ta

r:

z

e

é perpendicular ao plano :

=

2 +À

x - 2y + z - 1 = O .

l)

e cujo traço com o plano z = O é a

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L (T/CA

{

7 . Achar a equação do plano que passa pela reta s·

r:

91

x

=

y

= -z

e é paralelo à re ta

x=z+ l y = 3z - 2.

{ _: :

8 . Dado o triedro cujas arestas são a s retas

�

y

z : =

X = -3 y

= 2z

achar as equações dos planos das faces 9. Achar a equ ação do plano que passa por P = ( 2 , ! , 3 ) .! paralelo à reta X = ( 1 , + À ( ! , 2, - 1 ) e perpe ndicular ao plano x - y + 2z - 4 = O .

2, 3)+

1 0 . Achar as equações da reta que passa pelo ponto :

P X

11.

-

ao plano

Achar as equações da reta que passa pelo ponto

P r:

1 2.

= (2, 1 , 1 ) e é perpendicular = À(2, 1 , - 1 ) + µ ( 3 , 2, -5 ) . = (2, 1, - 1 ) e é perpendicular X = (2, O, 0) + À ( 3 , l , -1).

à reta

Achar a s equações d a reta que passa pela origem, é paralela a o plano 3 x intercepta a reta y+2 x - J = -- = Z

- 2y + z - 2 = O

e

3

13.

14.

x-3

�

_ z-2 _ 5 -! secção com os planos coordenados.

Dada a reta

2

_

_

, determ inar a s coordenadas dos pontos de inter.

Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto intercepta as retas reversas

{

x=z- 1 y = 2z - 3

{

e

P = ( ! , -2, - 1 )

e

X=Z-2 y

=

-z +

l

1 5 . Determinar as equações paramétricas da reta perpendicu lar comum às retas reversas :

r:

{

x - 1 = .!...:..!_ = � 2 -1

e

s:

{

�

=y=

-:.2

92

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

--

x-4 Y -= 2 = z - 6 e X = ( l , l , l ) + À(2, l , 3 5

1 6 . Verificar se as retas

-3)

são coplanares.

1 7 . Determinar o ponto comum das retas e

À

1 8 . Achar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P = (2, 1 , - 1 ) e é paralela aos dois planos

1T :

X = X = (0, O, 0) +

l 9. Determinar o ponto simétrico de a ) c m relação à reta

( l , 1 , 1 ) + µ ( 3 , - 1 , 2) e 7T2 : 2 x - y + 5z - 2 = O.

P = ( l , 2, - 1 )

x- l = Y=Z

b) em relação ao plano

2x - y + z - 1 = O

20. Determinar a equação do plano que passa pelo ponto P = ( 3 , 2 , - 1 ) e que intercepta os eixos do x e do y em segmentos iguais, respectivamente, a 1 e a -3. 2 l . Determinar a equação vetorial do plano

r:

(

x=5

y X + 2y - Z + 1 = 0

{

e

2 2 . Achar o plano que passa pela reta três planos :

r

1T

.

que contém as retas

{ x-y+z+ l =O

s:

x-2 = 3

7x + 6z + 8 = O y+ 3 2

=z

e pelo ponto comum aos

x + y + 2z + l = 0 3x - y + z - 1 = O x - 4y + 2z + 2 = 0

2 3 . Pelo ponto

P=

(1 ,

1. -1)

determinar a reta perpendicular ao plano

7T: X = À ( l , 1, 5) + µ (0, O, - 1 ) . 24. Achar a equação do plano que passa pelos pontos A = paralelo à reta x = -y = z.

{ X= À + µ

(2,

2 5 . Determinar as coordenadas do ponto de intersecção da reta com o plano 7T: y = l - ;\ + 2 µ

z = - 1 - ;\ + 3 µ

1 , - 1 ) e B = (0, 3, -2) e r : X = ( l , 1 , l ) + À(3,

é

2, - 1 )

MA TRIZES- VETORES- G. A NA L (T/CA

93

26. Escrever a equação vetorial da reta que passa pelos pontos A = ( 1 , 2 , 1 ) e B = ( 5 , O, - 3 ) e

verificar se os pontos C = ( 1 , 1 , 1 )

D = ( O, O, - 1 ) pertencem à essa reta.

e

27. Escrever a equação vetorial do plano que passa pelos pontos A = ( 2 , 1 , 0), B = ( 1 , 2 , 0) e C = ( 1 , 1 , 0) e verificar se o ponto D = (4 , 4, 0) pertence a esse plano.

Verificar, também, se a reta que passa pelo ponto v = (1, 1, 0), está con tida no plano

E = (3, 3, 0)

e cuja direção é

ABC.

28 . Dados os pontos A = (0, 1 , - 1 ) , B = ( ! , 1 , C ) e C = (- 1 , 1 , 2 ) de uma reta r e os pontos A' = ( 3 , - 1 , 4), B' = ( 5 , O, 1), C' = ( 1 , -2, 7) de uma reta s, reversa com r, demonstrar que as três retas que passam por um mesmo ponto P = ( 1 , 1 , 1 ) e interceptam os pares de retas AB' e A ' B , BC' e B'C, CA' e A'C, respectivamente, estão num mesmo

plano.

29. Dadas duas retas revcrsas

r : X = (O, l , - l ) + À ( l , 0, 1 ) e s : X = ( 3 , - l , 4) + µ ( 2 , l , - 3 ) , determinar o lugar geométrico dos pon\Os médios dos segmen tos que se apoiam c m r e s.

30. Dado o plano rr: X = (0, O , 1 ) + À ( ! , - 1 , - 1 ) + µ (- 1 , -2, -4) e a reta AB, sen­ do A = (0, O, 0) e B = ( 1 , 1 , 1 ) , determinar a equação do plano que passa pelo ponto onde · a reta AB fura o plano 7r e é paralelo ao plano rr1 : x - 3 = O. 3 1 . Dar as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto P = ( 1 , 1 , 1 ) é paralelo a reta X = (0, 2, 3) + À ( 1 , - 1 , 0) e perpendicular ao plano rr: x - 2y + z = O. 32. Sejam dados os planos

7r 1 :

X

+ Y +

7r2 :

X

7r3 :

2y -

-

Z

Z

=0

=0 z

=o

Seja

s i a reta que passa pela origem e é perpendicular ao plano 7rj (i = l , 2, 3 ). Seja r 1 = 7r2 n rr3 , r2 = 7r 1 n rr3 e r3 = 7r 1 n 7r2 . Mostrar que os planos determinados pelos

pares de retas

(r 1 , s 1 ),

(r2 , s2 )

e

(r3 , s3)

passam por uma mesma reta.

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

94

3 3 . Decompor o vetor v ( l , 2 , 1 ) em dois vetores ii e W, tal que Ü seja paralelo à re­ ta r : X = ( 2 , 1 , - 1 ) + À ( 2 , 1 , -3) e W perpendicular a r. (ver projeção de u m vetor). =

34. Decompor o vetor v = (2 , - 1 , 3) em dois vetores ii e W, tal que ii seja paralelo ao plano 7T: 2x y + z 3 = O e w perpendicular ao plano 7T. -

-

CAPfTULO V D ISTÂNCIAS, ÁREAS, VOL UMES, ÂNG ULOS 40. DISTÂNCIA DE DOIS PONTOS

Em relação ao sistema ortogonal de coordenadas A = ( x 1 , Y 1 , z i ) e B = (x2 , y 2 , z2 ) tem-se :

(Ó, T, J,

k),

sendo

B - A = (x 2 - x 1 , Y 2 - Y 1 , z2 - z i )

e

é a expressão analitica da distância de dois pontos no espaço, em relação ao sistema ortogonal fixado.

e sendo

No caso da geometria plana , considerando-se o sistema ortogonal (O, T, J) A = (x 1 , y i ) e B = (x2 , y 2 ) a fórmula analítica da distância será:

4 1 . DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO

Seja (O, T, ], k) um sistema ortogonal de coordenadas no espaço. Em relação a esse sistema sejam P = (x 0 , y 0 , z0 ) um ponto do espaço, ax + by + cz + d = O equação de um plano rr e A = (x 1 , y 1 , z 1 ) um ponto qualquer de rr. O vetor normal ao plano rr será indicado por w = (a, b, e). Seja ü=

-

_Y'!_

1 wl

o versor do vetor w. A distân-

p

P'

A

eia procurada será ó = I P - P' I, onde P' é o pon to de intersecção da reta s que passa por P e é perpendicular ao plano rr. Mas P - P' é precisamente o vetor projeção ortogonal do vetor P - A na reta s. Nestas condições:

96

CA ROL l-CA l l I Ol 1-FEI TOSA

1

ó = 1 p - P' 1 = (P - A) X w

U= tem - st:: .

ó =

ax 1

+

lwl

J ª2 + b 2 + c2 '

lwl

J a2 + b2

�;:::= :: ==;---

+c

2'

1

(a , b , c)

l a(x 0 - x i ) + b( y0 - y i ) + c(z0 - z i ) 1

Como o ponto A = (x 1 , y 1 , z i ) pertence ao plano 1T , b y 1 + cz 1 + d O e portanto d - (ax 1 + by 1 + cz i ), vem : =

=

ó =

1 ax0 + by 0 + cz 0 + d 1

J ª2

+ b

2 + c2 '

--;;:= :;; ==;;;:;­ ;;:-

que é a fórmula analítica da distância de um ponto a um plano. No caso da geometria plana, o problema consiste em se determinar a distância de um ponto P a uma reta r.

Seja (O, ax

+

by

T, j)

um sistema ortogonal de coordenadas no plano.

Em relação à esse sistema sejam P = (x 0 , y0 ) um ponto do plano, equação de uma reta r e A = (x 1 , y 1 ) um ponto qualquer de r.

+ e �O �

p

O vetor normal à reta r será indicado por w = (a, b). Seja

u

-

=

;1

o

vetor W. A distância procurada será ó = I P - P' I, onde P ' é o ponto de intersecção da reta s que passa por P e é perpendicular àreta r. Mas P - P' é o vetor projeção or!agon al do vetor P - A sob re a reta s. Nestas condições :

ve •�o r

do

1

MA TRIZES-VETORES-G. A NA L (T/CA

l

ô = I P - A l = (P - A) x

Como P - A = ( Xo - X 1 , Yo

-

yi ) e

w 1w1

97

1

�-� = -;::: 1_ w :::: :- :;::: I J a2 + b 2 ' �

tem-se , procedendo de maneira análoga ao caso anterior: ô=

1 ax o + b y o + c 1

Ja 2 + b 2 '

--;::==�­

que é li fórmula anal ítica da distância de um ponto a uma reta, no plano. 42. DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA NO ESPAÇO

Seja

(O,

T, j, k)

um sistema ortogonal de coordenadas n.o espaço. p

Em relação a esse sistema sejam P = (x0 , y0 , z0 ) um ponto do espaço, X = A + t V, t e R, eguação vetorial de uma reta r, onde A = (x 1 , y 1 , zi ) e

v = (2, m, n).

A distância d do ponto P à reta r é dada por : d=

M

=

1 (P

-

A) A v i

l vl

No caso da reta ser dada por dois pontos (x2 , y 2 , z2 ) , temos v = M - A e a fórmula fica: d=

1 (P

-

A) A (M - A) 1 IM -AI

A = (x 1 , y 1 , z 1 )

e

CA ROL /-CA L L IOL l-FEI TOSA

98 Como P v

M-

em : I (P - A)

A =

A

( xo - X 1 , Yo - Y 1 , z o - Z 1 )

A = ( x o - X 1 , Y o - Y 1 , z0 - z i )

(M - A) 1 2

=

faze n d o :

d13

d12 v

=

=

=

Zo - Z 1

Yo - Y 1

+

d2 3

,

2

Xo - X 1 +

Yo - Y2

Zo - Z 2

Xo - X 1

Yo - Y1

Xo - X2

Yo - Y2

2

Xo - X 2

Yo - Y 1

Zo - Z 1

Yo

Zo

Yo - Y 2

Z2

Y1

Z1

Zo

Xo - X 1

Zo - Z 1

Xo

Zo

X1

Z1

X2

Z2

Xo

Yo

X1

Y1

X2

Y2

-

Xo - X2

Zo - Z 2

Xo - X 1

Yo - Y1

Xo - X 2

Yo - Y2

Y2

Zo - Z 1 + Zo - Z 2

Z2

em :

que é a fórmula anal ítica da distância de um ponto à uma reta, no espaço.

99

MA TRIZES- VETORES- G. ANAL ITICA

43 . ÁREA DE UM TRIÂNGULO (0.

T. j, k ) u m

sistema o r t o g o n al de coorde n adas n o espaç o . E m

rel ação a esse sistema t re s p o n t o s A = ( x0 • y 0 . Sej a

não col i n e a res.

dada p o r :

A área

Como

do triângu l o

A BC

10

).

B

= ( X 1 . y1 •

e ( " = ( X 2 . \. 2 . 1 2 ) .

('

será

'

1 S = 1- l ( B - A ) A ( C - A J I . e

B - A = ( x 1 - x o . Y 1 - Yo · 1 1 - 10 )

Z1 )

'

,. '

'

'

'

'

'

'

.'\

C - A = ( X 2 - X o . Y 2 - Y o · 1 2 - lo )

t e m-se : l (B - A) A (C - A) l

2

=

+

Z1

Y2 - Yo

Z2 -

X 1 - Xo

Y1

X2 - Xo

Y 2 - Yo

denominando de : d2

dl

3

3

d12

t e m-se :

=

=

Y 1 - Yo

1 1 - lo

Y2 - Yo

12 -

X 1 - Xo

l. 1

X2

X1

=

l (B - A)

- X o

(C - A ) I

=

l.o

- Yo

Y1

lo

lo

X1

11

X2

l. 2

- Yo

Xo

Yo

Y 2 - Yo

X2

X 1

+

X 2 - Xo

li

- 'º

-

lo

+

1 1

"º

..;
21

lo

12

- l .o

X 1 - Xo

2

Y2

Y1

- X o

+

Yo

12 - lo

X2 - Xo

A

- lo

Y 1 - Yo

2 1 2 d u +
) 1 Yi

:.

S

que é a e x p ressão da área de u m t riângulo no espaç o .

=

1 1

..; d 21 2

+

2 1 2
CA ROL 1-CA L L IOL 1-FE1 TOSA

100

No caso da geometria plana, sejam (O, T, J) um sistema ortogonal de coordenadas e A = (x0 , Yo ) , B = (x 1 , y i ) e C = (x2 , y2 ) três pontos não colineares. e

A área do triângulo ABC será dada por :

S=

A....;.I_ B_ -_ -'-l_ · h_

2

Sendo B - A = (x 1 - xo , Y t - Yo ) e

h = I C - C' 1 distância do ponto C à reta AB, vem : 1B-A1=

./(x 1 - xo )

2

+ (Y 1 - Yo )

21

e

h=

Xo

Yo

X1

Yt

X2

Y2 2

.Ji(x 1 - xo ) + (y 1 - Yo )

2

S= 1

2

1

Xo

Yo

X1

Yt

X2

Y2

que é a expressão anal ítica da área do triângulo no plano.

44. VOLUME DE UM TETRAEDRO

Seja (O, T, T. k) ortogonal de coordenadas.

um sistema

B = (x 1 , y 1 , zt ) , A = (x0 , y0 , z0 ) , e = (X2 , Y2 . z2 ) e D = ( X3 , y 3 , Z 3 ) quatro pontos do espaço três a três não colineares e os quatro não situados no mesmo plano. O volume do tetraedro ABCD será igual à sexta parte do volume do paralelepípedo que é dado por : l ( B - A) A (C - A) x (D - A) I .

D

e

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L (T/CA

Nestas condições o volume do tetraedro ABCD , será : V=

i

1 (B - A)

A

(C - A) x (D - A) 1 .

Como B - A = (x 1 - xo , Y 1 - Yo . Z1 - zo ) e - A = (x2 - Ao , Y2 - Yo . Z2 - Zo )

D - A = (x3 - X o , y3 - Yo . Z3 - Zo ) ,

e

V= 1 6

X 1 - xo

Yt - Yo

X2 - Xo

Y2 - Yo

X 3 - Xo

Y3 - Yo

ou :

V = __!_ 6

Xo

Yo

zo

Xt

y

Zt

Xz

Y2

Z2

X3

Y3

Z3

que é a fórmula analítica do volume de um tetraedro no espaço.

EXERCICIOS 1 . Determinar as distâncias dos seguintes pares de pontos:

a)

A = (0, O, 0)

e

e)

M

= (0, 2 ,

B = (2 , - 2 , l )

e -3) e

b) P = ( l , l , - 1 )

Q=

(3, -5 ,

2)

N = (- 1 , 2 , -4) .

2.�onstrar que o triângulo ABC é isósceles, nos seguintes casos: a) A = (- 1 , -3, 4), B = (-2 , l , - 4) , e = (3 , - 1 1 , 5 ) b) A = (2 , - 1 , 2 ) ,

B

=

( l , 2 , 0),

C

=

(4 , O ,

-1 ) .

101

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

102

3 . Determinar a distância entre o ponto

{ x- l

a) P = ( l , 2, - 1 ) e r b) P = (2, l , -3) e

2

r:

c) P = ( 1 , - 1 , 0) e r·

d ) P = (0, O, 2) e

P = (1,

l , l ),

e a reta

r, nos seguintes casos:

z+2 = L = -, l 3

{ X = ( 1 , l , l ) + À (2, l , -3)

{x {�.x 2

- y + z=O

3x + y

-

2z + l = O

=z+ 1

r

y = 2z - 2

4 . Determinar a distância do ponto

a)

P

7r:

b) P = ( 2, l , -3),

7r:

c) P = (0, o, - 1 ),

7r:

d) p = (3, l , - 1 ),

7r :

P

ao plano

7r,

nos seguintes casos:

{ 2x - y + z - l = O { X = 0:. 2 , - 1 ) + À (3, 2, - 1 ) + µ ( l , O, O)

{

X = 2À + µ y = -A - µ z = l - 2µ

{�+�

+ z = l.

5 . Determinar a distância do ponto P = ( l , B = (2, 3 , - 1 ).

O,

-2)

à reta

AB,

sendo A = ( 1 , l , l ) e

6. Determinar o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos dois planos d�dos

{ 2x - y + z - l = O : { +Y-Z+ 2 = 0

7r1 :

7r2

X

{�

7. Determ inar a distância m ínima das retas reversas :

e

s:

5

=Z

y = z - l.

8 , Determinar o lugar geométrico dos p ontos eqüidistantcs dos pontos B = ( 1 , - 1 , -3 ) e C= ( 2 , 3, -4).

A = ( 1 , 1 , 1 ),

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L (TJCA

9. Dado um tetraedro cujos três vértices são

103

A =
· determinar o lugar geométrico descrito pelo vértice no plano X +

2y

-

7. +

D

B = ( 1 , O, 1 ), (' = ( 1 , - 1 . 0), que varia mantendo-se sempre

1 =0

e de modo que o volume do tetraedro A BCD permaneça constante. 1 0. Determinar o ponto simét rieo do ponto .

r+

{ - .1 = X

r:

3

(

1 2 . Dar a área do triângulo

e)

+

y

A = CO. O, 1 ), A = 1 2, 2 , 01.

-

z

cm relação à reta

=

( 3 , - 1 . 2 J cm relação ao plano

- 1 = o.

ABC, nos segu intes casos :

B = l 2 , l , -3),

a l A = ( 1 , 1 , 1 ), b)

h

1 . -3)

2 = z.

1 1 . Determinar o ponto simétrico do ponto P 7T:

P = (2.

B = C O , 1 , 0 ). B = ( 0 , 2, 1 ),

C' = C0, 1 , - I J C' = C l , 0, 0 ) C

= ( 2 , O,

1 ).

45. ÂNGULO DE DUAS RETAS NO ESPAÇO

Dadas as re tas r e s (não orien tadas ! ) t omemos li da di reção de r e v

da d i rec,:ào de s. Sej a O o ângulo de ü e v ( ve r. ângulo de dois ve tore s ) . Logo O é

também o ângulo de

-Ü e v. En tão ou

ü e

O �o -

-v � �

.

E O ' = 7T - O é ou

o � o· �

o

�

ângulo de ü e -v bem como de

104

8'

é

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

No primeiro caso 8 é denominado ângulo de r e s e no segundo caso o ângulo de r e s. Logo o ângulo das retas r e s é o ângulo o: tal que : cos O'. =

l iix v l

i ü l · l vl

O ângulo das retas r e s também pode ser determinado pela fórmul a :

1 ii " -v 1 1 cr 1 - 1 v-1

sen o: = ----

Ângulo de reta e plano

plano

É o complemento do ângulo da reta

rr.

r com qualquer reta normal ao

Ângulo de dois planos Ângulo de dois planos

rr 1 e rr 2

o ângulo das respectivas retas normais.

é

EXERCÍCIOS X - 1 - = y = -Z 2

1.

Dar o ângu lo das re tas :

2.

Dar o ângulo da reta :

r:

3.

Dar o ângulo dos planos

rr1 : 2x - y - z = 0

4.

D a r as equações da re ta q u e passa pelo ponto P

r:

formando um ângu l o de

5.

x = -y = z

�·

s:

e

com o plano e

rr2 : =

X = ( 1 , O,

0) + À ( 2, 1 , - 1 ).

rr: 2x - y - z - 1 = O

X = (l, 1 ,

l ) + À(2, l , 3 ) + µ ( 1 , - 1 , 2).

( 1 , O, 1 ), i n terccpta a reta t :

Pel a re ta PQ, P = ( 1 , - 1 , 0). Q = (O, - 2 , - 1 ) , conduzir o plano qtlc com o plano x + 2y - 3z + 2 = O.

faz

x= y=z+ l

um ângulo de .'.!

6. Determinar as eq u ações da reta que passa pela origem e forma um ângu lo de re ta X - J

� = Y = -Z.

3

450

com

a

CAP fTU LO

VI

CURVAS P LANAS

46. COORDENADAS POLARES NO PLANO Consideremos um plano orientado referido a um sistema cartesiano ortogonal. Seja P escrever:

=

(x, y) um ponto do plano distinto da origem. Podemos então y p y X

o

{

(!) ou ainda:

{

X

0

X =

p

y

p sen O

P =

=

COS

J x2 + y2 '

tg O = L (x =;t O) X

onde p > O é a distância de P a O e O (O =E;; O < 21T) é a medida do ân­ gulo formado pelo semi-eixo positivo Ox e pela semi-reta OP.

Para cada par ordenado (p , O), c om p > O e O =E;; O < 21T, podemos de­ _ terminar um e um só par ordenado (x, y) por meio das fórmulas ( l ) ; reciproca­ mente , fixado o par (x, y) * (O, O), obtém-se um único par (p , O) pelas fórmulas

(2).

106

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

Definição. Os números p e () chamam-se coordenadas polares do ponto P. O ponto O chama-se polo e o semi-eixo Ox, eixo polar. O número p chama-se raio vetor e () argumento.

As relações ( 1 ) e (2) são as fórmulas de transformação de coordenadas cartesianas ortogonais em coordenadas polares e vice-versa.

EXERCÍCIOS· 1.

Determinar as coordenadas cartesianas dos pontos cujas coordenadas polares são as seguintes: (5 ,

: );

(2, rr);

�rr ) ; (5, ;rr ) c ../3'. �rr ); < V'i. ; > (3,

2. Determinar as coordenadas. polares dos pontos cujas coordenadas cartesianas são: (0, 5) ; (0, -5) ; (-3, 0) ; (3, O) ; ( 1 , 3) (3, 3); ' (-3, 3); (-3, -3); (3, -3); (3, 4 ) 3. Representar em coordenadas polares o conjunto dos pontos que satisfazem à equação: a) P = 4 4.

1f b) () = 6

Qual a equação polar da reta

c) x +

P=

2y - 1

=

n

(n =

l,

2,

3)

O.

5. Quais as equações cartesianas que correspondem às seguintes equações polares: b) p cos 8 = 5 a) 3p cos () - p sen () = 2 d) tg () = 1._ c) p sen () = 3 _

3

47. COO�ENADAS POLARES NO ESPAÇO Consideremos no espaço orientado um sistema cartesiano ortogonal positivo e seja P = (x, y , z) um ponto distinto da or�gem.

MA TRIZES- VE TORES-G. A NA L (T/CA

{

107

Podemos então escrever: p

x = p seil l/J cos () y

=

p sen l/J sen ()

(1)

z = p cos 1/)

/

/

/

/

ou

=

P

tg fJ

J =

cos 1/)

x

2

L

y +

z2'

(x * O)

X

=

2

+

x

2

+

z 2 y

+

(2)

z2

onde p > O é a distância de P a O, () (O E;; () < 211) é a medida do ângulo forma­ do pelo semi-eixo positivo Ox e pela semi-reta OP' , sendo P' a projeção de P sobre o plano xOy, e l/J (O E;; l/J E;; 11') é a medida do ângulo formado pelo semi-eixo positivo Oz e pela semi-reta OP (ver figura). Os números p , () e '{I denominam-se coordenadas polares do ponto P; chama-se raio vetor, () latitude e '{I longitude (ou colatitude). As fórmulas ( l ) e (2) são as fórmulas de transformação coordenadas cartesianas ortogonais em coordenadas polares e vice-versa.

p

EXERCICIOS l . Determinar as coordenadas cartesian as dos pontos cujas coordenadas polares são :

(0,

o,

(6, o,

(1

'

1T 2 )·'

; );

1T (0, 3

4 ),

(5 , O, 11') ;

� ..!!.. ) · (3 ' 2 ' 3 '

1T

•

(2,

o,

( 2 . 11', O) ;

1T 0) ; (2, 2 ' 0) (5 '

..!!.. 4

..!!.. )· ' 4

o

•

_1!_ ) 6

1T ) ( 1 , 3 1 5º, 1 20º) ( . q , 3 11' y .t. 4 · 4 · ·

108

2.

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

Determinar as coordenadas polares dos seguintes pontos: (4,

o, 0) ;

(0, 4 , 0) : (0, O,

-(0, - 4 , 0) ;

(0, o, 4 ) :

-4);

(1,

(-4, o, 0) l, l); (1 , -1, l)

� ' '(!' ' .Ji'>; (- f ' f ' ..fi'> (- f· - f ·..fi>;< f· - f. -.,/r>;(- f·- f·VJ>; ( ..;;. f· - .Ji'> (1, l,

- 1 ) ; (- 1 ,

1 , -1 );

(

3. Quais os conjuntos de pontos representados a) P = 4

por: b)

c) 8 = !!..._

8=o

d) 8 = �

2

2

e) 8 = .!:!!... 4 g) l/J = ..!! 3

f) I/) = o h) 1/)

= 1!!. 4

4. Representar em coordenadas polares: a) X + y + Z - l = 0 b) 2x - 3y - z + 4 = O C)

X=y=Z

{

d) � = 2

e)

y- 2 =z+ l 3

x = 3t + l y = 2t - 3 z = 4t

{

5. Determinar a longitude do ponto de ábscissa 2 da reta

6. E scre ve r

(0,

cm

-2, 0)

e

X = 2t Y=t+ l z = -t + 3

coorde nadas polares a equação do plano que passa pelos pontos (3, O, 0).

(0, O,

3),

109

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L (T/CA

48. COORDENADAS CILÍNDRICAS Dado um ponto P = (x, y, z), não coincidente com a origem, no espaço referido a um sistema cartesiano ortogonal, podemos escrever: p

x = p cos 8 y = p sen 8

( I)

Z=Z ou

P=

J x2 + y 2'

Z=Z onde_ p > O é a distância de P' a O, sendo P' a projeção de P sobre o plano xOy, e 8 é o ângulo detefl"linado pelo semi-eixo positivo Ox e pela semi-reta OP'. Os números p, 8 e z denominam-se coordenadas cilíndricas do ponto P. As relações ( I) e (2) são as fórmulas de transformação de coordenadas cartesianas ortogonais em coordenadas cilíndricas e vice-versa.

1 10

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

EXERCÍCIOS 1 . Determinar as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos dados em coordenadas

cilíndricas : O) ;

(3 , o, ( 3,

:

'"

'

2) ;

( 3 , o,

-2) ;

(3,

: ' l);

(3 ,

3 '" 2

, O) ;

3 '" , 4

(3,

2)

(2, 60º, -1 ) ; (2, 2 1 0º, 5)

2. 0l'krminar as coordenadas cilíndricas dos pontos:

3.

(0, O, - 1 )

( 1 , u, 0) ;

(0, 1 , O);

º· 1.

c- 1 . 1 . l ) ; º · 1 . - 1 ) ; c vr

l);

(0, O, l ) ;

•

...;;

.

4

)

Quais os conjuntos de pontos do espaço representados por :

a) P = S

b) () =

.!!...

d) z = 3

c) () = 3rr

2

f)" z = O

e) z = -3

4

4. Achar as equações em coordenadas cilíndricas dos planos : a) 2 x - y + z = O b) 3x + y + 2z = 1 5 . Quais as equações a) X = y = Z b) � 2

=

y+

3

=

em

z

-

coordenadas cilíndricas das retas: 1

49. CURVA PLANA Sejam x = f 1 ( t) e y = f2 ( t) ( l ) duas funções reais da variável t, definidas num conjunto c de núme ros reais. o conjunto 'Y dos pontos que se obtém no plano xüy, quando t percorre C, denomina-se curva plana. A variável t chama- se parâmetro e as equações ( l ) constituem uma representação paramétrica da curva 'Y . A

eliminação de t entre as equações ( 1 ) conduz y = F(x)

ou

IP (x , y) = O

a

uma equação d o tipo

(2)

111

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L {TJCA

Qualquer uma das equações (2) chama-se equação não paramétrica ou simples­ mente equação da curva 'Y · Exemplos a) X = 4t + l y = 2t - l

com

teR

é uma representação paramétrica d a reta d e equação

X - 2y - 3 = Ü

b) X = r COS 8 y = r sen 8 é uma representação paramétrica da circunferência

x

2

+ y2

=

rz

Definição. Uma curva diz-se algébrica quando a sua equaçã� fôr algébrica. Defmição. Chama-se ordem de uma curva algébrica o grau do polinômio correspondente a sua equação. As curvas algébricas de primeira ordem são as retas; as de segunda ordem chamam-se cônicas e as de terceira ordem cúbicas, etc. Se a equação da curva não fôr algébrica a curva diz-se não algébrica. No curso secundário foram estudadas elementarmente as curvas não algébricas y = a x , y = Ioga x , y = sen x, etc. Valem as seguintes propriedades das curvas algébricas : ' l ) Uma reta genérica do plano (não contida na curva) intersepta- a em um número de pontos que não supera a sua ordem.

2) A ordem de uma curva algébrica é um invariante · (não muda) por uma transformação de coordenadas cartesianas.

50. EQUAÇÕES REDUZIDAS DA ELIPSE, Hµ>ÉRBOLE E PARÁBOLA

a) ELIPSE E HIPÉRBOLE

Definição : l ) Chama-se elipse o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distãncias a dois pontos dados F e F' do plano é uma constante 2a > FF'. -

1 12

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

Definição: 2) Chama-se hipérbole o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias a dois pontos dados F e F' do plano é uma constante 2 a < FF'. -

Obs. : Os pontos F e

F' chamam-se focos.

Vamos deduzir as equações da elipse e da hipérbole, partindo das definições anteriores. y

Tomemos o sistema de coordenadas de modo que o eixo Ox contenha os focos e o eixo Oy seja a mediatriz do segmento FF'.

p

De acordo com as definições (1) e (2), temos :

PF' ± PF = 2a

F'

F

o

(1)

Pondo F( c, o), P(x, y) segue-se

F'(-c, o)

e

J(x + c)2

1 ± y2 ±

J(x + c)2

1 + y 2 = 2a ±

J(x - c)2

+ y2

1

J(x - c)2

± 2a + y2

1

elevando ao quadrado e simplificando vem : c x - a2 = ± a

J(x - c)2

+ y2

1

elevando ao quadrado novamente , obtém-se : x2 (c2

_

a 2 ) - a 2 y 2 = a2 (c 2

_

a2 )

(2)

A equação (2) tanto representa elipse como hipérbole .

ELIPSE Para a elipse vale a relação mé­ trica a 2 = b 2 + c 2 , onde a e b repre­ sentam as medidas dos semi-eixos.

b

X

1 13

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L (T/CA

HIPÉRBOLE

y

Para a hipérbole a relação mé­ trica é c 2 = b 2 + a2 ou c 2 - a2 = b 2 . Substituindo obtém-se : 2 _JL ± 2 ª

na equação (2)

y2 = l b2

-

X

o

que é a equação reduzida da elipse ou hipérbole .

A constante .f.- > l chama-se a

excentricidade.

b) PARÁBOLA

Definição: 3) Parábola é o lugar geométrico dos pontos de um plano eqüidistantes de uma reta dada e de um ponto dado que não se pertencem. O ponto chama-se foco e a reta diretriz. -

Consideremos o sistema de coordenadas com o eixo Ox passando pelo foco e pi:rpendicular a diretriz. O eixo. Oy é a mediatriz do segmento do eixo Ox que vai do foco à diretriz.

d

y

A

o

Temos por definição PF = PP'. Pondo F( X+�=

2

J(x

-

1 · O),

tem-se :

X

_E_ ) 2 + y 2 1

2

elevando ao quadrado e simplificando, segue-se : y 2 = 2px,

é a equação reduzida da parábola. A excentricidade da curva é, por definição, igual a l .

1 14

SI.

CA ROL l-CA L L IOLl-FEI TOSA

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA ELIPSE, DA HIPÉRBOLE E DA PARÁBOLA

a) ELIPSE Sejam C e C' duas circunfe­ rencias de raios OA = a e 08 = b, conforme a figura. Traçando-se por 8 a paralela ao eixo Ox e por A a paralela ao eixo O y , fica determinado o ponto P intersecção dessas retas. Sendo () o ângulo A'Ô A, para cada valor de (), O � () < 21T corres­ ponde um e um só ponto P. Conside­ rando os triângulos retângulos OAA' e 088' podemos tirar: OA' =

88' =

x

= OA cos 8 = a cos 8

y

= 08 sen () = b sen ()

onde (x, y) são as coordenadas de P. As equ ações

X

=a

COS

y

=

sen ()

b

()

S

representam parametricamente a elipse . Com efeito, elevando ao quadrado e somando as relações: .X.

a

� obtém-se

x2 ª2

= cos () =

-

Fazendo tg

� = t,

sen () y2 = l b2

+ -

obtemos uma nova representação paramétrica para a elipse : x=a

�2 l +t

y=b

2t l

+ t2

1 15

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L ITICA

b) HIPÉRBOLE

A

Consideremos a seguinte construção :

B

Sejam x = a e x = b duas retas, com a, b < OF = c e seja ainda OQ = x > c. Coin centro em O e raio OQ tomemos o arco de circunferência QA, onde A pertence a reta x = a.

/

/ /

I

/ /

/

/ /

/

/

/

1

p

- - - -- - - - -

,

1 1 1 1 1

1

/ o B'

o

A'

1

r

Q

Seja B a intersecção da reta x = b com a reta OA; as paralelas ao eixo Ox por B e ao eixo Oy por Q determinam o ponto P. Para 8 variando de zero a 2tr, excluídos os valores

3{

,

�

e

obtemos para cada valor de 8 um

único ponto P. Considerando os triângulos retângulos OAA'

e

OBB' podemos escrever:

OA = OQ = x = a sen 8 BB' = QP = y = b tg 8 , onde (x, y) são as coordenadas de P. As equações x = a sec 8 y = b tg 8 constituem uma rep1esentação paramétrica da hipérbole . De fato, elevando ao quadrado e subtraindo as expressões : ..X.. = sec 8 a

f = tg 8 obtém-se

� ª2

1 16

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

Fazendo nas equações paramétricas anteriores tg nova representação paramétrica : x=a

1 + t2 1 - t2

y=b

2t 1 - t2

�

= t, obtemos uma

Uma outra forma paramétrica da hipérbole é dada por : x = a ch 8 y = b sh 8 onde.

8 8 eh () = e 2+ e8 -8 sh () = e 2- e

denominam-se funções hiperbólicas e satisfazem a condição : eh 2 8

-

sh2 8 = l .

e) PARÁBOLA Uma representação paramétrica da parábola obtém-se imediatamente fazendo na equação y 2 = 2px y = t; obtém-se : x=

t2 2p

y=t

52. EQUAÇÕES POLARES DA ELIPSE, DA HIPÉRBOLE E DA PARÁBOLA. a) ELIPSE Tomemos o polo coincidente com o centro e o eixo polar com Ox.

A transformação obtém-se fazendo

x = p cos ()

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L (T/CA

y = p sen e na equação

1 17

y2 = 1 x2 + 2 b2 ª

Chega-se à expressão ---"b p=

e cos 2 (J 1

___

J1

-

Tomemos o polo num dos focos y

Calculemos inicialmente a distância do ponto P(x, y) ao foco F(c, o). Temos :

PF. = da equação

J (x - c) 2 + /

2 y 2 = 1 tem-se + ' 2 ª b2

�

ª2 b 2 - b 2 x2 y2 = ª 2

portanto PF =

'

J(

ex - a ) 21 a

PF = ± (ex - a); como e < 1

e

-a � x � a

tem-se fi na lme n t e : p = a - ex

observando que :

x = c + p cos O ,. teremos p = a - e(x + cos O ) obtemos ec p = 1 +3 e- cos (J

pondo •

p -- 1 + ep cos O

a - ec = p

1 18

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

Para O = foc o.

�

segue-se que p = a

- ec = p, sem i-corda d a e lipse correspondente ao

b) HIPeRBoLE Tomemos o polo n o ce n t ro. x2

Basta fazer na equação

Y

2

7 - 17

X=p

COS

=

l.

0

y = p se n o

obtém-se

p =

b

J e c os 2 O

-

11

Tomamos o polo coincidente co.n u m dos focos. Procedendo como no caso da e lipse , calculamos em primei ro lugar a distância de um ponto P(x, y) d a curva ao foco. 1 c x - c )2 + y 2 FP =

J

onde

b2 = c2

e

PF = como

e

J

a 2 x 2 - 2a 2 c x + a 2 c2 + (c 2 - a 2 ) (x 2 - a) 2 2 ª

1 x 1 ;;;.,, a

ne =

�

> 1, e p > O

Para

x>a

=::9

para

x<

=::9 p

a

_

ª2

1 = ± (ex - a )

tem-se :

p = ex - a = a - ex

(1)

( li )

Conside rando o caso (1) e orientando o eixo p o l a r no sentido contrário ao do eixo Ox, segue-se : X= p

=

C - COS 0

e( c - cos O ) - a

1 1S

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L (TICA

ec - a P = 1 + e cos 8 ' pon d°

ou tem-se :

p 1 + e cos 8

p=

ao foco.

Fazendo 8 =

ec - a = p

; , p = ec - a = p, semi-corda da hipérbole correspondente

Partindo da equação II obtém-se a forma polar d,o outro ramo da curva . .:) PARÁBOLA

a) Polo no vértice Basta substituir na equação

y

2

x = cos 8 ,

= 2px y

= sen 8 ,

segue-se p = 2p cotg 8 cossec 8

b) Polo no foco p = FP = E: + X 2 no

d

y

Orientando o eixo polar como caso da hipérbole, temos

x = _E_ - p cos 8 2 p = p - p cos o ou p = Para 8 =

;, p=

p,

portanto p 1 + cos o

o

A

X

semi-corda

da parábola correspondente ao fo­ co. Observemos que tanto a elipse como a hipérbole e a pàrábola tem para equações reduzidas, equações do segundo grau. Como a ordem é invariante para transformações de coordenadas, podemos concluir que mesmo que estas curvas fossem dadas numa posição qualquer em relação ao sistema de coorde­ nadas, as equações representativas das mesmas seriam ainda do segundo grau. Foi visto no curso secundário que também a circunferência é representada analiticamente por utpa equação do segund0 grau. Todas essas curvas se denominam cônicas.

120

CA ROL 1-CA L L IOL 1-EEI TOSA

EXERCÍCIOS 1.

Duas retas r e s, que se encontram num ponto M, passam respectivamente por dois pontos dados A e B; sen do r' e s' as perpendiculares correspondentes à r e s em A e B, escrever a equação do lugar geométrico do ponto C de intersecção de r' e s', quando M percorre uma reta dada perpendicular à reta AB. Seja o sistema xOy com Ox = AB e Oy coincidente com a reta dada que contém o ponto M. Tome A(a, 0), B(b, 0) .e M(O, m). Seguem-se as equações de r, r', s e s' r)

s)

a

+�

=

1;

r')

.!..

+L=

1;

s')

X

b

m

m

y

y=� m (x - a)

.Y =

b . m (x - b)

M

Eliminando-se m lugar geométrico.

entre as equações de

r'

e s' temos, para a =# b , x = a + b é a equação do y

7..

Escrever a equação do lugar geométrico descrito pelo vértice A do ângulo reto, de um triângulo dado, q u an do os dois ou tros vértices B e C, deslocam-se sobre duas retas perpendiculares xOy. Consideremos o plano referido ao sist e m a cartesiano xOy . Observamos que o quadrilátero OBAC é inscri t ível, e portanto, os ângulos A ê B e AÔB são iguais por serem inscri tos num mesmo arco : resulta en tão que os triângulos ACB e AOP (onde AP é perpendicular a Ox) são semelhantes.

A

C

o

p

B

X

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L (T/CA

Segue-se

PA AD

OP AC

12 1

sendo

A(x, y), AC = b

e

AD = e, temos

ex - by = O , = e b o lugar é uma reta passando pela origem. �

3.

y

Escrever a equação do lugar geométrico dos centros dos retângulos inscritos em um triângulo dado. Consideremos o sistema cartesiano xOy em que Ox contém o lado AD e Oy a altura relativa a este lado. y

X

Sejam os elementos dados: A = (a, 0), D = (b, 0) e (C =

(0,

e)

Determinamos as equações das retas AC e DC ; temos:

sendo

y= m

e a +�

AC)

�

DC)

�

b

a equação . da reta

+

!_

e

=

1

=

1

M N,

(e - m)a ' m), e (e - m)b N=( ' m) e

obtemos imediatamente os pontos (e m)a e (c m)b N' = ( e M'

M= (

e

=(

-

' 0) ' 0)

122

CA ROL 1-CA Ll. IOL 1-FE/ TOSA

ComG P(x, y) é ponto médio de MN', segue-se (a + b)m + bc + ac X= 2c m Y=2

(1)

Eliminando-se m entre as relações

(1)

e (2) temos

2cx - 2(a + b)y - ac - bc = O é a equação do lugar geométrico. É o lugar geométrico dos pontos d e u m plano cujo produto das distâncias a dois pontos dados do plano é uma constante k 2 . Os pontos chamam-se focos. Tomando o sistema de coordenadas de modo que o eixo Ox passe pelos focos e o eixo Oy seja a mediatriz do segmento FF', temos

4. Cassinoidc

-

y p

X

PF · PF' = k 2 ou pondo F'(-a, 0) e P(x, y)

F(a, 0) tem-se

[ (x + a) 2 e desenvolvendo o produto:

(x 2 + y 2 ) 2

+

_

y2 ] [ (x - a) 2 2a 2 (x 2

_

+

y2 ]

y 2 ) + ª4

_

=

k4

k4 = 0

123

MA TRIZES- VETORES- G. A NA L ITICA

A cassinóide é portanto uma curva de · quarta ordem, isto é, uma quártica. Se k2 - a 2 = O, isto é, se k = ± a a cassinóide toma o nome de Lem!Jtiscata de Bemouilli� Em coordenadas polares tem-se :

e

S.

p4 - 2a2 p2 cos 20 + a4 - k4

=O

equação de Cassinóide

p2 - 2a2 cos O = O

Cissóide de Diocles (séc.

II.

da Leminiscata.

A.C.)

Consideremos uma circunferência de raio dado, e o diâmetro

AB,

dessa circunferência.

Por B tracemos a tangente à circunferência e por A uma semi-reta que encontre a circunferência em C e a tangente em D. Tomemos AP = CD. D

B A

O lugar geométrico de P quando a semi-reta se desloca no plano em tomo de A chama-se Cissóide de Diocles. Vamos deduzir a equação da Cissóide em coordenadas polares. Seja A o polo e a semi-reta AB .o eixo polar. Pondo p = AP, (J BAP e AB = a

Temos: AP = p = AD - AC Dos triângulos retângulos ABD e ABC podemos tirar : =

AD

ou

= __!__ AC = a cos (J cos (J

p = -ª- - a cos O cos (J p

=

ª

sen2 (J cos (J

que é a equação polar.

124

CA ROL l-CA L L IOL l-F EI TOSA

Passando para a forma cartesiana tem-se (x 2 + y 2 )x = ay 2 • A Cissóide de Diócles é uma CJJrva de terceira ordem. Uma representação paramétrica simples da Cissóide pode ser obtida fazendo y = mx na sua equação cartesiana; obtemos: am 2 x = --1 + m2 3 am Y= 1 + m2 ---

OBS. : - A principal curiosidade apresentada por essa curva é que ela permite a resolução do problema da duplicação do cubo, problema esse não resolúvel por régua e compasso. 6. Concôide da reta

ou de Nicomedes (séc.

li

Dadas uma reta r e um ponto A fora dela, consideremos uma semi-reta de origem A e que encontre r em C; tomando-se sobre a semi-reta AC um ponto P tal que CP seja igual a um segmento dado m, o lugar geométrico de P quando a semi-reta AC gira em torno de A chama-se Concóide da reta. Vamos deduzir a equação da Concóide em(} coordenadas polares. Seja AP = p BAP = e AB = a; podemos escrever

A.C.)

A

-+--------

""'---....---..

p = AP = AC ± m

do triângulo retângulo ABC, temos AC = -ª­ (} cos S egue-se p = obtém-se

a (} cos

+

-

m, equaçao po 1ar da -

eonco1 ' 'd e. passan do

. para ,.iorrna cartesiana

A Concóide é uma curva algébrica de 4l.I ordem. O principal interesse dessa curva está no fato dela permitir a resolução geométrica do problema da trisecção do ângulo, problema esse que não tem solução por régua e compasso. 7.

Ciclóide � uma curva descrita por um ponto P ligado a uma circunferência, quando esta rola sem escorregar sobre uma reta dada chamada base. Quando o ponto P está sobre a circunferên­ cia a Ciclóide denomina-se normal, enquanto que ela se chama achatada ou alongada

MA TRIZES- VETORES-G. ANA L ITICA

125

conforme a distância de P ao centro da circunferên.::ia fôr menor ou maior que o raio da mesma. Para deduzir a equação da Ciclóide vamos supor que na origem do movimento o ponto P esteja alinhado com o centro O e com o ponto A de contato da circunferência corn a reta base. y

o

A

A'

D

X

Seja O' uma nova posição do ponto O, conforme a figura, e x, y as coordenadas de P' . . temos: x = AD = AA' - DA' y = DP' = DC + CP' OP = a, OA = O' A' = CD = r. De acordo com a definição segue-se : comprimento AA' = comprimento A'B ; A'B = r (}

mas no

Ll O'CP'

DA' = a cos ( 0 - _.!I_ ) = a sen (} 2

CP' = a sen ({} - !!... ) = -a cos O portanto:

r = r (} - a sen (} = r - a cos (} 2

y equações paramétricas da Ciclóide.

sen (} = r Oa - x rr-y cos O = a y O = arc cos a --­

elevando ao quadrado e somando: ( r (}a

-

X

)2

+.

)2 (� a

=

l

126

CA ROLl-CALLIOLl-FEJ TOSA

portanto :

r (a

r-y

arc cos -a

-

x 2 8 )

r-y 2 + ( -- ) = 1 a

é a equação cartesiana da Ciclóide ; é uma curva não algébrica.

8.

Epiciclóide

t a curva descrita por um ponto P ligado a uma circunferência que rola externamente sem escorregar sobre uma outra circunferência fixa chamada base.

y

X

Sejam

R

e r os raios e suponhamos que no in ício do movimento as duas circunferências

tenham os seus centros sobre o eixo Oy, o qual também contém o ponto P que vai descrever a curva, conforme a figura. Sejam x, y as coordenadas de um ponto P' genérico do lugar.

Podemos escrever : x

Por outro lado :

= OS =

OT - ST = OT - DO "

y = SP' = SD + DP' =

TO" + DP'.

comprimento AA" = comprimento A"A' comprimento AA" = R O portanto, A"Ô"A' =

RO r

DÔ"A' =

e

R O - ( J! - 0 ) r 2

Ainda, de acordo com a figura podemos escrever·

OT = (R + r) sen O O DO " = a cos [ �

-

( � - 0)

} = a sen

(
MA TRIZES- VETORES-G. ANA L ITICA

segue-se

x = (R + r) sen 8 - a sen

DP' = a sen

127

( R+r

8 ).

r

TO" = (R + r) cos 8

[ R8 - ( .!!.. - 8 ) J = -a sen [.II.. - 8 r

temos

R8 ] = -a cos ( R + r r R+r Y = (R + r) cos 8 - a cos ( 8) r 2

2

r

8)

R+r 8) r R+r Y = (R + r) cos 8 - a cos ( 8) x = (R + r) sen 8 - a sen (

equações paramétricas da epiciclóide onde

a

r

é a distância

O'P.

Em geral a epiciclóide é uma curva não algébrica, no entanto

uma curva algébrica.

para R = r ela se reduz a

9. Hipociclóide

É a curva descrita por um ponto P ligado a uma circunferência que rola internamente sem

escorregar, sobre outra circunferência fixa chamada base.

A dedução das equações param�tricas da hipociclóide é análoga à da epiciclóide. Dcixamo-la a cargo do al uho .

53. F.STlJDO ELEMENTAR DAS CÔNICAS

Defmição: Chama-se cônica o lugar geométrico dos pontos de um plano cujas coordenadas satisfazem a uma equação do segundo grau do tipo 2 2 (1) f(x, y) ª 1 1 X + ª22 Y + 1a 1 2 XY + 2 a 1 3 X + 2a2 3 y + 333 o =

=

O determinante

A =

chama-se determinante da cõnica.

128

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

Observemos que na equação ( 1 ) os cinco coeficientes a 1 1 , a2 2 , a 1 2 , a 1 3 e não podem ser simultaneamente nulos, assim, dados cinco pontos a2 3 P(x i y i ), (i = 1 , 2, 3, 4, 5) cujas coordenadas a satisfaçam, obteremos o sistema linear homogêneo nas seis incógnitas a1 1 , a2 2 , a 1 2 , a 1 3 , a2 3 e a33 : a 1 1 x f + ª 2 2 Yf + 2a 1 2 x i yi + 2a 1 3 X i + 2a 2 3 yi + a33 = O que, em geral, permite determiná-las, a menos de um fator de proporcionalidade não nulo. Podemos pois afirmar que por cinco pontos de um plano passa semp11:: uma cônica e em geral uma só.

CÔNICAS DECOMPoNfvEIS EM RETAS Se o polinômio do primeiro membro da equação ( 1 ) fôr decomponível em dois fatores do primeiro grau, isto é, se ·

a equação

f(x, y) = (ax + by + c) (a 1 x + b 1 y + c 1 ), f(x, y) = O

se decompõe nas equaçõe� e

ax

+ by + c = O

a 1 x + b 1� + c 1 = 0

cada uma das quais representa uma reta. Os pontos dessas duas retas coincidem com todos os pontos da cônica, a qual se diz decomponível nas duas retas. Teorema: Condição necessária e suficiente para que uma cônica seja decomponível em retas é que o seu determinante A seja nulo. Para demonstração dessa propriedade vamos nos basear na seguinte identidade (2) sáo os complementos algébricos dos t:lementos a2 2 , a 3 3 e a2 3 , respectiva."lle nte , da matriz de A.

A demonstração da identidade (2) pode ser feita diretamente pelo desenvolvimento do seu segundo membro, e deixamos como exercício.

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L (T/CA

1 29

a) Suponhamos a 1 1 ::/= O; segue-se que o primeiro membro da equação ( 1 ), que pode ser escrito : 2 2 ª 1 1 X + 2(a 1 2 y + a 1 3 )x + a2 2 Y + 2 a 1 3 y + a3 3

(3)

é um trinômio do segundo grau em x, cujos coeficientes a 1 2 y + a 1 3 a22 y2 + 2 a 1 3 y + a 3 3 são em geral dependentes da variável y.

�

e

Seja /:::,. o discriminante de (3). Temos :

= ( a 1 2 y + a 1 3 ) 2 - ª 1 1 (a22 Y2 + 2a2 3 y + a 3 3 ) = - A3 3 Y 2 + 2Az 3 Y - Ãz 2 · (4)

Ora, a condição para que o trinômio (3) seja decomponível em fatores do primeiro grau é que (4) seja um quadrado perfeito a menos de uma constante. 1) Suponhamos A 33 = O, segue-se que a expressão 2A2 3 y - Az 2 será quadrado perfeito, a menos de uma constante , só e somente quando A2 3 = O; levando em conta a identidade

Segue-se

A = O, o que dá a condição de decomponibilidade para o caso.

2) Suponhamos A 3 3 ::/= O. A expressão (4) é um trinômio do segundo grau em y, a condição para que esse trinômio seja decompon ível é que o seu discriminante !:::,.' seja nulo. Ora,

segue-se então que tal condição está verificada para A = O.

b) Sejam a 1 1 = a22 = O, necessariamente a 1 2 ::/= O a equação .( 1) reduz-se: ou onde

xy + ax + by + c = O

(5)

130

CA ROL l�CA L L IOL l-FEI TOSA

Temos

o

A

l 2 ...!..

2

l 2

...!..

2 b

o

2

_.!?._

- 4 - 4

_

ab

c

c

2

Observemos que o primeiro membro da equação ( 5) é decomponível nos fatores x + b e y + a quando ab = c, e, para isso basta que A seja nulo.

Reciprocamente, pode-se demonstrar diretamente que se o polinômio do primeiro membro da ( l ) for decomponível, isto é, se f(x, y) = (ax + by + c) (a1 x + b 1 y + c i )

o seu determinante A resultará nulo.

CLASSIFICAÇÃO DAS CÔNICAS NÃO DECOMPONfvEIS Dada a cônica:

Suponhamos que o seu determinante A * O e consideremos o comple­ mento algébrico do elemento a 3 3 , isto é :

Definição: A cônica representada pela equação ( 1 ), chama-se elipse, hipérbole ou parábola conforme o determinante A3 3 é respectivamente positivo, negativo ou nuio. Se em particular A 33 > O, a 1 1 circunferência.

=

a2 2 e a 1 2

=

O a elipse denomina-se

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L ITICA

13 1

COMPORTAMENTO DA EQUAÇ Ã O DE UMA CÓNICA EM RELAÇ ÃO A UMA MUDANÇA DE COORDENADAS

Teorema 1 . Uma translação de eixos não altera os coeficientes dos termos de segundo grau da equação de uma cônica. Com efeito, fazendo na equação ( 1 ) x=X+a y=Y+b se obtém:

ou seja: a u X2

+

a2 2 Y2 + 2a 1 2 XY + 2(a 1 1 a + a 1 2 b + a 1 3 ) X + . . . . , = O c.q.d.

Teorema 2. Uma rotação dos eixos coordenados não altera o termo independente da equação de uma cônica. A demonstração é feita de modo análogo a anterior, substituindo na equação ( 1 ) x = X cos a

-

Y sen a

y = X sen a + Y cos a .

Teorema 3. A expressão x 2 + y 2 transforma-se e m X2 + Y 2 para toda transformação do tipo x = X cos a y

=

-

Y sen a

X sen a + Y cos a .

A demonstração é imediata. Os três teoremas anteriores mostram que : e

x2 + y 2

não mudam por convenientes transformações de coordenadas. Baseando-se nestas considerações vamos demonstrar que as expressões:

132

CA ROL l-CA L L IOL 1-FEI TOSA

A3 3

e

A

=

=

r

..

ª1 1

ª12

ª12

ª13

,

ª12

ª1 3

ª12

ª2 2

ª2 3

ª1 3

ª2 3

a3 3

também são invariantes para transformações de coordenadas cartesianas efetuadas na equação ( 1 ) da cônica. Com efeito fazendo-se na equação ( 1 ) a transformação : x = X cos o: temos

-

Y sen o:

y = X sen o: + Y cos a

a 1 1 x 2 + a2 2 y 2 + 2a 1 2 xy + 2a 1 3 x + 2a2 3 y + a 33 = a� 1 X 2 + a; 2 Y2 + 2a� 2 XY + 2a� 3 X + 2a; 3 Y + a;3

(2)

onde representamos por a� . , a; 2 , a� 2 , a� 3 , a; 3 e a;3 os coeficientes da equação transformada. ·

Ora, pelos dois últimos teoremas tem-se

(3)

e

x2 + y 2

= x2 + y 2

(4)

Somemos à ambos os membros da (4) multiplicados por um oarâmetro m arbitrário, ambos os membros da (2), temos : ( a 1 1 + m)x 2 + ( a2 2 + m)y 2 + 2a 1 2 xy + 2a 1 3 x + 2a2 3 y + a33 = = (a 1 1 + m)X2 + (a; 2 + m)Y2 + 2a� 2 XY + 2a 1 3 X + 2a; 3 Y + a;3 ( 5)

Cada um dos membros da ( 5) igualado a zero representa a mesma cônica, referida primeiro ao sistema xOy e em seguida ao sistema XOY. Para cada valor de m temos uma bem determinada cônica, assim, para certos valores de m obteremos elipses, hipérboles ou parábolas.

1 33

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L ITICA

Se quisermos os valores de m que fornecem parábolas podemos utilizar independentemente a equação em x, y ou em XY. Assim, pela primeira temos: ª1 1 + m

=0

ou seja :

(6) e, pela segunda

A; 3 ou

=

a� 1 + ª� 2

m

a; 2 a; 2 + m

(7) como as equações (6) e (7) são equivalentes temos : (8)

(9) Segue-se que as expressões (8) e (9) são invariantes na transformação efetuada.

Um terceiro invariante obtém-se impondo a condição para que as cônicas obtidas da (2) sejam decompon íveis em retas.

=

0

ou { 1 0) Para a equação referida a XOY temos:

134

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

ª� 1 + m

=0

ou

(I l ) que :

Como as equações ( 1 0) e ( l l ) são equivalentes, e ainda a'33 = a33 , segue-se C = C'

e

A = A' Assim, demonstramos que as expressões : 1,

A33

e A

( 1 2)

são invariantes para uma rotação de eixos. Facilmente conclui-se que as expressões ( 1 2) são invariantes em relação a uma translação. Com efeito, a invariança das duas primelras decorre do teorema ( l ) o qual afirma que os coeficientes a 1 1 , a2 2 e a 1 2 d a equação d a cônica não alteram por uma translação. Quanto ao detenninante A pode-se demonstrar a sua invariança diretamente pela substituição x=X+a y=Y+b

na equação

2 2 ª 1 1 X + ª 2 2 y + 2a 1 2 X Y + 2a 1 3 X + 2a 2 3 Y + ª 3 3 = o.

APLICAÇÃO DOS INVARIANTES PARA DETERMINAÇÃO DAS EQUAÇÕES REDUZIDAS DAS CÔNICAS Aplicando os invariantes podemos detenninar a fonna da equação de uma cônica ; seja a equação : 2 2 ª 1 1 X + ª 2 2 Y + 2a 1 2 X Y + 2a 1 3 X + 2 a2 3 y + ª33 = o.

a ) Suponhamos que a cônica representada seja uma elipse ou uma hipérbole. Lembrando que a equação reduzida de qualquer uma dessas curvas é da fonna: 2

mx 2 + ny + p = O

(m, n, p não nulo)

·

135

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L ITICA

ternos o sistema: rn + n = ª 1 1 + ª 22 = 1 n · n = A33 rn · n · p = A o qual permite determinar os coeficientes rn, n e p. b) Se a cônica representada fôr urna parábola, a sua equação reduzida assume

urna das seguintes formas :

rn x 2 + n y = O

ou

m y2 + n x = O

da primeira, por exemplo, temos:

M=1 m

o

o

o

o

n

o n

2

n2 = 4 = -rn · 4

o

2

das quais determinam-se rn e n .

Exemplo: Classificar a cônica: x 2 + 2y 2 - 2xy - 2x + 4y

-

l =O

e determinar a sua equação reduzida. 1 ) Temos

A =

-1

-1

-l

2

-2

-l

-2

-l

A33 = l > O

= -1l

1= 1 +2=3

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

136

Trata-se de uma elipse ; a sua equação reduzida é da forma: m x2 + n

onde

y2 -t

p=O

A = m·n ·p A3 3 = m · n 1

=m+n

Temos então: m·n·p=-ll m·n= 1 m+n= p= -1 1

De onde resulta

m = _l__±J_

2

n=

3-5

-2-

e finalmente ou

EXERCÍCIOS

+

1 . Classificar as seguintes cônicas

a) x 2

+ 2y 2 - x - y

l

=

O

2 b) 3x 2 - 2y + 2xy - x + 2y - 3

e) d)

e)

+ 4xy - 2x = O O x 2 - 4xy + y 2 2 O x + 2xy + y 2 - l

x 2 + 4y 2

=

=

3

=

O

3-5

ou

m=

ou

n= 3+5

2

-2-

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L (T/CA

a

2. Dada a equação :

x2 + 4y2 + 2mxy - 1 = O

elipses, hipérboles e parábolas.

Resposta :

-2 < m < 2 elipses ;

m >2

137

determinar os valores de m correspondentes e

m < -2 hipérboles ;

m = ±2

retas

Determinar as equações reduzidas das cônicas

3.

a)

x2

+ 4y'2 - 4xy - 3x - y - 1 = O + 3y 2 + xy - 2x + 4y - 5 = O c) 4x 2 - 3y 2 - 2x - 3y - 5 = O

b)

y

x2

O

4.

plano está referido a um sistema de coorcartesianas ortogonais. Seja P um ponto da circunferência de raio dado R e centro num ponto C do eixo Ox, e seja ainda M a projeção de P sobre uma reta dada r de equação x = a. A reta OP en­ contra r em A; a reta OM encontra a R11falela ao eixo Ox por A em B. Mostrar que a equação do lugar geométrico do ponto B quando o ponto P descreve a circunfe­ rência dada é uma cônica. Discutir.

denadas

·

M

.

B1

I I

/

'/ I I I

I I

I

Sejam e = (c, 0) e p = (m, n)

A equação da circunferência de centro C e raio R é (x - c) 2 + y 2 = R 2 . As coordena­ das do ponto M são, (a, n). A reta OP tem equação

O ponto anterior

.!_

�=

n

m

·

A obtém-se fazendo-se na equação x=a

A = (a, _..!!.. a)

X

o

m

A equaça-o da reta OM é � = .l:'.. ; faz endo-se nesta y = � a obteremos as coordenadas Jli n m ' a B que são : X=

m

Por outro lado, o ponto Eliminando-se

m

e

n

a2

P

y =

(1)

n rn

satisfaz a relação :

a

(m - c)2 + n2

entre as equações

( _!__ 2

X

- c) 2 +

( 1 ), (2) e (3) 2 2 ...!....1'._ = R 2 X

(2)

=

obteremos :

2

(a2 - cx) 2 + a2 y 2 R2 x 2 (C - R2 )x 2 + a2 y 2 - 2a2 cx + a4 =

t

fácil verificar que para (sendo

a

:# 0)

c2 - R 2 > 0

temos

c2 - R 2
temos

c2 - R2

=

O

com

.

=

O

uma elipse uma

c

:#O

hipéri,o1e

parábola

R2

(3)

138

S.

CA R OL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

r

Determinar o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja razão das distâncias a um ponto F e a uma reta r desse plano, é uma constante positiva k . Consideremos Oy = r e F sobre Ox. Segue-se imediatamente 2 2' I y (x - a) + y = k 1 x 1

P(x, y) p•.

·

ou

6.

7. 8. 9.

y

- - - - - - - - - - -- - -

"7

I

I

I (x - a) 2 + y 2 = k 2 x 2 I 2 2 2 2 I x (1 - k ) + y - 2ax + a = O I I Se a * º e K 2 < 1 temos elípse I I Se a * º e K 2 > 1 temos hipérbole Se a * º e K 2 = 1 temos parábola. F(a, 0) o 2 Dada uma parábola y 2px e a reta de equação y = a; seja P um ponto da reta e .Q um ponto da parábola. Determinar o lugar geométrico do ponto médio do segmento PQ quando a este se desloca paralelamente a Oy. Discutir. x2 - Y 2 = 1 são x = ± ...!.. y Mostrar que as equações das assíntotas da hipérbole 2 b ª b2 Transformar a equação cartesiana da hipérbole tomando como novos eixos às assíntotas. x2 + 9 y 2 1 de maneira que o centro seja o ponto Transformar a equação da elípse 4 =

=

curva paralelos aos primitivos. 2 2 1 0 . Qual a nova equação da hipérbole x = 1 quando se efetua uma rotação (no sentido positivo) de no sistema de coordenadas, sem que haja mudança de origem. ( x - m)2 ± (y - n) 2 - l 1 1 . As cônicas dadas pelas equações a2 b2 são elipse ou hipérbole de centro no ponto (m, n). Justificar. 2 2 1 2 . Determinar uma rotaçao para a qual o termo retangular da equação x + y + 3xy - 4 = O desapareça. 1 3. Determinar a excentricidade da hipérbole: 2x 2 - 4y 2 - xy - x - y + l O. (- 1 , 2 )

mantendo os eixos

da

+

:

=

14. Determinar os comprimentos dos eixos da elipse 3X 2 + y 2 - X - y - 2 = 0 1 5 . Calcular a distância do foco à diretriz da parábola x2

+

y2

+

l

2xy - x - 2y - = O.

CAP ITU LO

VI I

NOÇÕES SOB R E SUPE R F ÍC I ES E CU RVAS NO ESPAÇO 54. SUPERFÍCIE

(1) y = f2 (u , v) e z = f3 (u, v) três funções reais definidas num conjunto e d e pontos do plano (u, v). Sejam x = f 1 (u, v),

z

V

z

y y u

Quando o par (u, v) percorre C o ponto P(xyz) correspondente a ele percorre um conjunto S de pontos do espaço. O conjunto S denominam-se superfície . As variáveis u e v chamam-se parâmetros e as eauações ( I ) constituem uma representação paramétrica da superfície S. Suponhamos que existam condições algébricas que permitam assegurar que o sistema das três equações ( 1 ) possa, por eliminação das variáveis u e v, conduzir-se a uma equação do tipo F(x, y, z) = O

ou

z = f(x, y)

(2 )

Qualquer uma das equações ( 2 ) chama-se equação não paramétrica de simplesmente , equação de S.

Exemplos: 1 ) As equações

X = a1 U + b1 V + C1

y = a 2 U + b 2 V + C2

com (u, v)eR2

S, ou

140

CA ROL /-CA L L IOL l-FEI TOSA

quando tem característica 2 representam um plano.

A condição algébrica anterior permite a eliminação dos parâmetros u e v, obtendo-se a equação: ax

+ by + cz + d = O

2) São ainda exemplos de equações de superfícies os seguintes:

a) 4x + 3y + z - 3 = O (plano) b) x 2 + y 2 + z2 = 4 (superfície esférica) 2 (paraboloide) c) z = 4y - 5x + 3 d) z = sen x + sen y.

Oefinição : Uma superfície se diz algébrica quando a sua equação fôr algébrica. Defmição: Chama-se ordem de uma superfície algébrica o grau do polinô­ mio correspondente à sua equação. As superfícies algébricas de primeira ordem são os planos; as de segunda ordem denominam-se genericamente quádricas. Se a equação da superfície não fôr algébrica ela se diz transcendente. As três primeiras superfícies dadas no exemplo anterior são algébricas, a última é uma superfície não algébrica ou transcendente. Valem as seguintes propriedades das superfícies algébricas: a) Uma reta genérica do espaço (não contida na superfície) intercepta-a em um

'lúmero de pontos que não suoera a sua ordem.

b)

1....

ordem de uma superfície algébrica é um invariante por uma transformação de coordenadas cartesianas.

55. CURVA NO ESPAÇO

Sejam ,x = f 1 (t), y = f2 (t), z = f3 (t) ( 1 ) três funções reais da variável t, definidas num conjunto C de números reais. O conjunto 'Y dos pontos P(x, y, z)

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L (T/CA

14 1

que se obtem no espaço fazendo t percorrer C� chama-se c u rv a . A variável t chama-se parâmetro eaas equações ( 1 ) constituem uma representação paramétrica de 7. Suponhamos que existam condições algébricas que permitam assegurar a eliminação de t entre as equações ( 1 ) de maneira a se obter duas equações do tipo : F(x, y) = O G(x, z) = O

(2)

As equações (2) representam (como veremos adiante) respectivamente superfícies cilíndricas de geratrizes paralelas ao eixo Oz e ao eixo Oy. A curva pode ser considerada agora como a intersecção das referidas superfícies. Em geral, a· intersecção de duas superfícies de equações F(x, y, z) = O

e

G(x, y , z) = O

é uma curva no espaço. Dizemos que as equações das duas superfícies constituem as equações da curva. HÉLICE CILINDRICA

Um exemplo de curva espacial importante é fornecido pelas equações: X = r COS 8 y = r sen 8 z

(1)

= k8,

onde r e k são constantes positivas e 8 é um parâmetro real. A curva representada pelas equações ( 1 ) chama-se hélice cilíndrica e pode ser definida da seguinte maneira. É a curva gerada por um ponto animado de movimento circular uniforme de centro numa reta fixa e, simultaneamente, de movimento retilíneo uniforme cuja direção é a mesma reta, · chamada eixo da hélice. A constante r denomina-se raio da curva. Pelas equações ( 1 ) verifica-se que qualquer ponto da curva está situado sobre a superfície cilíndrica de equação x 2 + y 2 = r2 de eixo Oz. As equações ( l ) poderão ser facilmente deduzidas a partir da definição .anterior:

142

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

z

Seja Oz o eixo da hélice e r o seu raio. Sendo O o parâmetro, w a velocidade angular (constante) de P e v a velocidade (constante) do movimento de translação, temos : X = r COS 8 y = r sen O

mas

Z =Vt

O=wt

portanto : fazendo logo :

t = -º-w

r .....

';� p -- - --- - -- --

Z = _J_ O w ' ...::!._

w

= k ' temos

- - -

y

1 1

'

z = kO X = r COS 8 y = r sen O z

= kO

Eliminando-se O entre as equações anteriores obtemos : x = r cos

z

y = r sen

{

k

(2)

As equações (2) representam respectivaménte, superfícies cilíndricas de geratrizes paralelas ao eixo O y e Ox e mostram que as projeções da hélice sobre os planos x = O e y = O são senóides.

Chama-se passo da. hélice o número 2k7T que da a distância de dois pontos consecuti".OS da curva situados sobre a mesma geratriz da superfície cilín­ drica sobre a qual está a curva. Sendo t o vetor tangente à hélice em cada ponto P da mesma, verifica-se P que esse vetor forma ângulo constante com o plano xOy .

Com efeito, supondo que o triân­ gulo elementar APP' seja desenvolvido no plano, e pondo tP = P ÂP', temos:

143

MA TRIZES- VETORES-G. ANA L ITICA

tg cp = Portanto

tg w =

O

cp

56. Casos

a)

ângulo

�· :,

r

PP' = V t

onde

AP' = r w t

= constante.

chama-se inclinação

particulares da equação

F(x,

da

y,

hélice.

z) = O.

que a equação F(x, y , z) = O seja independente de y e z, isto é, uma equação do tipo F(x) = O.

Suponhamos se

reduza

a

Por exemplo:

x2 - Sx + 6 = O

temos

x2 - Sx + 6 = (x - 2) (x - 3) = O

portanto

x=2

e

x=J

são equações de dois planos paralelos ao plano

y Oz.

Uma equação F(x) = O que tenha para raizes um conjunto de planos cujas equações são

a 1 , a2 , a 3

X = a3

x = a1 ,

. . . . .

.

•

•

.

•

representa

.

todos paralelos ao plano . coordenado yOz. De maneira análoga verifica-se que as equações f(y) = O e cp(z) = O , representam, em geral, planos paralelos aos planos xOz e xOy ; respectivamente.

b) Vamos supor agora F(x, y, z) = O se

re du za à forma F(x, y) = O, isto é, seja independente da variável z. No plano xOy a equação F(x, y) = O representa uma curva "f· Sendo P = ( x, y, z) um ponto qualquer de uma reta paralela ao eixo Oz e que se apoie em "( , as du as primeiras coorde­ nadas de P; satisfazem a equação F(x, y) = O. Como a referida equ ação não depende de z podemos concluir

que

a equação

z

P(x, y, z)

y

7 44

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

que todo ponto nas condições anteriores possui coordenadas que satisfazem a equação F(x, y) = O, e somente esses. Assim a superfície representada por essa equação é uma superfície cilíndrica de geratrizes paralelas ao eixo Oz. Analogamente, verifica-se que as equações f(y, z) = O e .P(x, z) = O representam superfícies cilíndricas de geratrizes respectivamente paralelas ao eixo Ox e ao eixo Oy. Exemplos :

x2 + y2 =

4

representa a superfície cilíndrica circular de raio 2 e eixo Oz. x 2 - z2 = 1 representa uma superfície cil índrica hiperbólica de geratrizes paralelas ao eixo Oy. y = sen z representa uma superfície cil índrica cujas gerntrizes paralelas ao eixo Ox, se apoiam numa senoide do plano yOz (assemelha-se a uma placa ondulada). c) Seja agora a F(x , y, z) = O uma equação homogênea. É fácil mostrar que nesse caso tem-se uma su perfície cónica de vértice na o rigem. Basta lembrar que se F(x , y, z) = O é homogênea de grau m, sendo k i= O uma constante qualquer tem-se F(kx, ky, kz) = km · F(x, y , z). Assim, se ( x 1 , y 1 , z 1 ) é um ponto da superfície, (kx 1 , ky 1 , kz i ) também pertence a ela. Mas os pontos (x 1 y 1 z i ) e (kx 1 ky 1 kzi ) estão alinhados com a origem (O, O, O), logo a superfície é constituída de retas que passam por (O, O, O). Exemplos :

x2 + y2 - z2 +

xy

X + y - 2z = Ü

=O

57. INTERSECÇ ÃO DE UM PLANO COM UMA SUPERF ÍCIE A intersecção de um plano com uma superfícir. quando não é o próprio plano ou um conjunto discreto de pontos, é uma curva chamada secção plana da superfície.

145

MA TRIZES- VE TORES-G. A NA L (T/CA

EXERCÍCIOS

1 . Determinar o conjunto de planos que compõe as seguintes superfícies. c) sen it = l , xyz = O

a) x 2 - 1 = O ; b) y 2 - 7y + 1 2 = O 2.

Interpretar as seguintes equações:

x = ez e) y = log z f) x2 + y 2 - 3xy - x - y + 1 = O

a) x2 - 3y2 = 1 b) 4xy = 3 c) 4y2 - z = O

3. Determinar a)

X

as

d)

intersecções das seguintes superfícies com os três planos coor4enados

2 + y 2 + z2

b) x2

-

4

=

z eR

d)

=

1

x2

4)

-

16

e) x 2

4yz + 2

2 + z2 = 4 c) x2 - L

+

+

y2

-

z2

- =

9

1

y2 - z2 = O

f) xyz = O

9

Observe-se que a secção plana de uma quádrica

é,

em geral, uma cônica.

58. SUPERFÍCIB ESFÉRICA

Seja C(a, b, c) o centro e R o raio da superfície, aplicando a definição temos:

(x - a)2 ou

x2

+

y2

+

z2

+

(y - b) 2

+

(z

-

- 2ax - 2 b y - 2cz

c)2 =

+

R2

a2 + b 2 + c 2 - R 2 = O .

(I )

Logo, a superfície esférica é uma quádrica.

Se o centro coincidir c:>m a origem do sistema de coordenadas, tem-se :

x2

+

y2

+

z2

=

R2

As secções planas da superfície esférica são circunferências . Para que uma equação do segundo grau nas variáveis x , y , z represente uma superfície esférica é necessário e suficiente que ela possa ser conduzida à forma ( 1 ). O estudo da superfície esférica é semelhante ao da circunferência no plano.

146

CA R OLl-CALLIOLl- FEIT OSA

EXERCICIOS 1.

Ve r i fi car se as segu i n tes equações são de superfícies esféricas. 1kt.:rminar o centro e o raio. a) b)

2.

x

2

2x

+ y 2

2

2

+ z

+ 2y

2

c) 4 x

- z = 0

+ 2z

2

d)

= 1

x

2

2

+ 4y

+ y

2

2

+ 4z2 - 2 x - 8 y - z - 1 = O

+ z

2

+ 2 xy - 3 = 0

E s c re ver a equ ação da su pe rfície esfé rica que passa pelos pontos. ( 0, 1 , 0 ) ; 1 2 , 1 , 3 ) .

3. Escrever a equação do plano tangente à su perfíc ie esfé rica

pelo ponto

4.

No caso afirmahv.o ,

Al2, 2. 2

x

\!f' ) .

Escrever a equação d o plano tangen te à su perfície esférica pelo pon to (O, O, 4 ) da superfície.

x

2

2

+ y

+ y

2

( 0 , O, 1 ) ; ( l , 2

+ z

+

2

z2

=

O, 0 ) ;

1 6 , passa nd o

- 4z = O

passand o

S. Dete rm inar as coordenadas do centro da circu nfe rência que se obtém seccionando a 2 2 2 superfície esférica de equação x + y + z = 1 6 com o plano x + y + z = 1 .

6 . Quais as equações polares e cil índ ricas das segu intes superfícies esféricas.

a)

x

2

+ y

b ) (X - 1 )

2 2

+ z

2

+ y

2

=

16

+

(Z +

2)

2

= 4.

59. SUPERFÍCIES CIUNDRICAS

Vamos deduzir a equação da superfície cil índrica utilizando a sua defini· ção geral 1 1 1 . Sejam f(x, IP(x,

y, y,

z) = O

z) = O

(1)

as equações da diretriz· e ( Q , m, n). Um vetor paralelo a geratriz.

(1)

Chama-se superfíc ie cil índrica a o lugar ge o m ét r i c o dos pon tos perte ncen tes as retas q u e s e apoiam n u m a c u rva d a d a e s e m a n tém paralelas a u m a mesma reta d a d a . A c u rv a dada chama-se d i re t riz ; qualquer re ta da su perfície d e n o m i n a-se gerat riz (: claro que a cu rv a e a reta devem ser escol hidas de m o d o q u e pe rmi tam a geração da superfície .

147

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L ITICA

Sendo P(X Y Z) um ponto qualquer da superfície cilíndrica e Q(x, y, z) o ponto da diretriz que pertence a geratriz que contém P, pode­ mos escrever :

x = Qp + X y

= mp + Y

(2)

z = np + Z equações estas que exprimem· as coorde- Q(x, y, z) nadas do ponto Q(x, y , z) em função das coordenadas X, Y, Z do ponto genérico da superfície (equações paraméP(x, y, z) tricas da reta PQ). Segue-se que x,

y,

z das (2) satisfazem as ( 1 ), isto é :

f( Qp + X, m p + Y , np + Z J = O

cp ( Qp + X, mp + Y, np + Z) = O. Eliminando-se o piarârnetro p entre as duas últimas equações obtém-se :

F(X, Y, Z) = O que é a equação da superfície cilíndrica.

Exemplo: Escrever a equação da superfície cilíndrica cuja diretriz é x 2 + y 2 = 4, z = O, e cujas geratrizes são paralelas a reta

X = 2t + 1 '] y = 3t z = St

-

x2

2

Temos: Equações da diretriz +

z=O

y

=4

(1)

148

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

as coordenadas de um vetor paralelo a uma geratriz m=3

n

=

5

De acordo com o raciocínio anterior, vem: X = 2p + X y = 3p +Y Z= Sp + Z

Substituindo

x, y,

(2)

z das (2) em ( 1 ), segue-se (2p + X)2 + (3p + Y)2 = 4 Sp + Z = O

Eliminando p entre as duas últimas equações, p=- �

portanto

F(X, y' Z) = ( - 2l + X)2 + ( 35Z + Y)2 - 4 = O

é a equação da superfície. 60. SUPERFÍCIE CÕNICA

Como no caso das supe rfície s cilíndricas, vamos deduzir a equação da superfície cônica geral utilizando a sua definição < 1 ) . Sejam f(x,

y,

z) = O

'l'(x,

y,

z) = O

(1)

as equações da diretriz e V(a, b , c) o vértice da superfície.

(1)

Chama-se superfície cônica o lugar geométrico dos pontos pertencentes as retas que se apoiam numa curva dada e passam sempre por um mesmo ponto dado. A curva chama-se diretriz e o ponto chama-se vértice da superfície. � claro que a curva e o ponto dado devem ser escolhidos de modo que permitam a geração da superfície.

MA TR IZES- VETORES-G. A NA L ITIGA

149

Como no caso anterior, sendo P(X, Y, Z) um ponto genérico da super­ fície e Q(x, y , z) o ponto da diretriz que pertence a geratriz que contém P, podemos escrever: x = (X - a)p + a

(2)

y = (Y - b)p + b z = (Z - c)p + c

onde , de modo análogo ao caso anterior, os valores de x, y, z das (2) satisfazem as ( 1 ), isto é : f [(X - a)p + a, (Y - b)p + b , (Z - c)p + cJ = O IP [(X - a)p + a, (Y - b)p + b , (Z - c)p + c ] = O onde, eliminando-se o parâmetro p , obtém-se F(X, Y, Z) = O que é a equação da superfície cônica.

Exemplo: Escrever a equação da superfície cônica de vértice diretriz é x 2 - y 2 = 1 , z = O.

( 1 , 3, -2)

De acordo com a exposição anterior temos : x2 - Y2 = 1 Z=Ü

x = (X - l )p + 1 y = (Y - 3)p + 3

(1)

z

= (Z + 2 )p - 2

(2)

Substituindo os valores de x, y, z das (2) em ( 1 ), segue-se

portanto : e

[ (X - 1 )p + 1 ] 2 - [ (Y - 3) n (Z + 2 )p - 2 = O

- 2 P- Z+2

+

3j 2 = 1

[ 2(X - l ) + l] 2 - [ 2(Y - 3) + 3] 2 = l Z+2 Z+2

é a equação da superfície cônica.

cuja

160

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

EXERCICIOS 1 . Escrever a equação da superfície cilíndrica de geratrizes paralelas y = 3t + 2; z = t + 1 e que sejam tangentes à superfície esférica

Sendo

(X, Y,

à

Z) um ponto genérico da superfície tem-se X = 2p + X y = 3p + y

Z·=

reta x = 2 t - 1 ; x 2 + y 2 + z3 = 4.

( 1)

p+ Z

na equaçio dit superfície esférica, segu e-se :

equações paramétricas de uma geratriz qualquer. Substituindo o s valores d e x, y, z 2

(2)

2 (2p + X) + (3p + Y) + (p + Z) = 4 2

Como cada geratriz é tangente à superfície esférica, a (2) dá uma equação do segundo grau em p, com raizes iguais, portanto o �eu discriminante é nulo. 2 2 2 Assim, 14p + p (4X + 6 V + 2Z) + x + Y + z 2 - 4 = o 2 2 2 6. = (4X + 6Y t 2Z) - 56 [x2 + Y + Z - 4 ] = o

que é a equação da superfície. 2. Escrever a equação da superfície cônica de vértice 2 2 2 tangentes a superfície esférica x + y + z = 1.

(4, 5 , 7)

e cujas geratrizes são

3. Escrever a equação da superfície cilíndrica cuja diretriz é a elípse de focos (2, O, 0) e (-2, O, 0) e vértices (4, O, 0) e (-4, O, O) sabendo que as geratrizes são. paralelas ao vetor (4, -3, 5). 4. Escrever a equação da superfície cônica cuja diretriz é a elipse do exercício anterior vértice é o ponto (-1 , -3, 4).

5.

Escrever a equação da superfície cilíndrica circular de eixo x = y = z (3, 2, -4 ) , sabendo que

e

cujo

e raio 5.

6. Escrever a equação da superfície cônica circular de vértice ( 1 , 2, 0), cujo eixo é paralelo

ao vetor

a

ângulo de uma geratriz com o eixo é

60º.

MA TRIZES- VETORES-G. ANA L ITICA

151

6 1 . SUPERFÍCIE DE ROTAÇÃO

É a superfície gerada por uma curva qualquer quando gira em tomo de uma reta fixa de modo que cada ponto da curva descreva uma circunferência de centro na reta e pertencente a um plano perpendicular a referida reta. A reta fixa chama-se eixo de rotação. Cada uma das circunferências descritas pelos pontos da curva chama-se paralelo da superfície. A curva chama-se geratriz. A intersecção da superfície com um plano passando pelo eixo denomina-se meri­ diano da superfície. Se a curva e o eixo pertencerem a um mesmo plano, qualquer meridiano pode ser escolhido como ge ratriz. Se existir um paralelo de raio mínimo, este chama-se gola da superfície. Vamos considerar em primeiro lugar o caso da curva geratriz ser complanar com o eixo. Tomemos como eixo de rotação um dos eixos do sistema de coordenadas, por exemplo o eixo Oz e suponhamos que no in ício da rotação a geratriz pertença ao plano xOz. z

y

152

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

A equação da geratriz, no plano é z = f(x).

1 Como z Z e x Jx 2 + Y 2 para uma posição genérica de P(X Y Z) num paralelo qualquer, temos 1 Z = f( J x2 + Y2 ) =

=

a equação da superfície.

Exemplo:

Escrever a equação da superfície de rotação gerada pela elipse 2 2 _.!_ + � = 1

4

9

do plano xOz quando gira em torno do eixo Oz.

De acordo com o raciocínio anterior basta observar que x 2 = X 2 + Y 2 e z = Z, logo, a equação da superfície é x2

+

4

y2 +

z2 9 = l

(um elipsoide).

EXERCÍCIOS

1 . Escrever a equação das superfícies de rotação geradas pelas curvas do plano xOz em torno

do a) b)

eixo Oz. x2 + z2 = 4 x 2 - z2 = 1

c) (x - 5 ) 2 + (z - 3) 2 d) 4z 2 - 3x = O

=

1

2. Resolva os exercícios anteriores fazendo girar as curvas em torno do eixo Ox. 3. Considere as equações reduzidas das três cônicas .sobre cada um dos planos coordenados e faça a rotação em torno dos respectivos eixos; serão obtidas quádricas denominadas elipsoides, hiperboloides e paraboloides. 4. Escrever a equação da superfície de rotação que se obtém girando a reta que passa pelos pontos (3, O, 4), (0, O, -2) em tomo do eixo Oz.

153

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L ITICA

CASO GERAL Consideremos urna curva qualquer dada pelas equações f(x, y, z) = O

(1)

v>(x, y , z) = O quando gira em torno de uma reta r dada por x = Q t + x0 y = mt + y0 z = n t + z0 escolhida como eixo de rotação.

Um paralelo genérico da superfície pode ser obtido como sendo a inter­ secção de urna superfície esférica de centro no eixo com um plano perpendicular ao eixo. Sendo (x0 Yo z0 ) o ponto escolhido no eixo temos: (X - X o ) 2 + (Y - Yo) 2 + (z - Zo ) 2 = À2 e Qx + my + nz = µ

(2) (3)

são as equações do referido paralelo, onde À e µ são parâmetros variáveis em intervalos convenientes. Como o pon­ to Q(x, y , z) pertence à geratriz ( 1 ) e ao paralelo considerado, é possível elimi­ nar x , y e z entre· as equações ( l ), (2) e (3), o que conduz à equação

F( X. µ ) = O,

(4)

que dá a condição que deve existir entre À e µ para que a circunferência obtida pelas equações (2) e (3) seja um paralelo da superfície. Substituindo os valores de À e µ das (2) e (3) na (4), tem-se :

F(

.Jcx - x o )2 + (y - Yo ) 2 + (z - zo )2 �

equação da superfície de rotação.

Q

x + my + nz) = O

154

CA ROL l:._CA L L IOL l-FEI TOSA

Exemplo: Escrever a equação da superfície de rotação gerada pela reta X = 2t + 1

y= t- 1

z = 3t + 2 quando gira em tornó da reta x = y = z. Eliminando o parâmetro t, nas equações, da geratriz, temos: X = 2y + 3

(1)

z = 3y + 5 Como o eixo passa pela origem podemos escrever que x2 + Y 2 + z2 = À2

( 2)

x + y + z =µ

(3)

são as equações de um paralelo genérico. Eliminando x y z entre as equações ( 1 ), (2) e (3) vem :

ou

F( À ' µ ) = (

Substituindo À e

µ

-8 2 ) +( 3

µ

� 8 )2 + ( µ ; 8 )2

�

À2 = O

1 4µ2 - 36 >..2 - 224µ + 8 96 = o µ

(4)

tirados das (2) e (3) na ( 4), tem-se

1 4(x + y + z) 2 - 36(x 2 + y 2 + z2 ) - 224(x + y + z) + 8 96 = 0 que é a equação da superfície. EXERCÍCIOS 1. E s.:rcvcr a equação torno da reta

da superfície de

rotação x

y

z

gerada pela reta

=

t+ 1

=

2t St

=

-

l

x

=

y

= z

em quando gira em

155

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L (T/CA

2.

Escrever a equação da superfície de rotação gerada pela circunferência x2 + y2 + z2 = 1 x+y+z= l quando gira em torno da

reta

x=9 y = -z - 8. 62. SIMETRIA DE UMA SUPERFfcm

plano

Uma superfície S de equação f(x, 'y, z) = O é simétrica em relação ao xOy se substituindo z por -z a sua equação se mantém a mesma.

Exemplo:

x2 X2

+

y2

+

z2 = 4

z2 y2 + 5 - 9 = 1

não se alteram quando se substitui z por -z. Isto significa que se uma reta, perpendicular ao plano xOy encontra S num ponto P, fora desse plano, a mesma reta encontra S num ponto P' do semi-espaço oposto, de modo que P e P' são equidistantes de xOy. Analogamente se define a simetria de uma superfície f(x, y , z) = O em relação aos planos coordenados xOz e yOz.

S

de equação

Se uma superfície S fôr simétrica em relação aos planos xOy e xOz então ela é simétrica em relação ao eixo Ox ; neste caso verifica-se que na sua equação se mantém inalterada quando se substitui y por -y e z por -z. Os dois exemplos anteriores são de superfícies simétricas em relação aos três planos coor­ denados. Quando uma superfície é simétrica em re_lação a três planos passando por um mesmo ponto, então verifica-se que ela é simétrica em relação a esse ponto.

CA ROL 1-CA l L IOL 1-FEI TOSA

156

63. QUÃDRICAS Veremos agora algumas propriedades das quádricas representadas analitica­ mente por um grupo particular de equações do segundo grau em x , y, z que chamaremos equações reduzidas das mesmas. ·

ELIPSOIDE O lugar geométrico dos pontos do espaço cujas coordenadas satisfazem uma equação x 2 + y 2 + .!l._ = l (l) 7 b2 c2 onde

a, b e c

são três números reais positivos, é chamado elipsoide real.

Trocando-se x por -x , y por -y e z por -z na equação ( l ) ela se mantém inalterada, isso mostra que o elipsoide é uma superfície simétrica em relação aos três planos coordenados e portanto em relação aos três eixos coorde­ nados e à origem . os

Fazendo-se respectivamente z = O , y = O e x = O na ( l }, verifica-se que três planos xOy , xOz e yOz cortam o elipsoide ( 1 ), segundo às elipses: 2 2 � + L = l 2 b2 ª

x2 + z2 = l 2 c2 ª

e

-

L b2

+

z2 c2

=

1,

cujos eixos tem para comprimento ordenadamente os pares (2a, 2b), (2a, 2c) e (2b , 2c). Os três núme ros elipsoide dado.

2a, 2b e 2c

são os comprimentos dos eixos do

Fazendo-se z = k em ( l ), tem-se x2 2 ª

-

+

y2 b2

-

_ -

c2

_

c2

k2

--- -

(2)

onde , o primeiro menaoro sendo uma soma de quadrados, para que a (2) admita soluções reais não nulas é necessário que c 2 - k 2 > O ou -c < k < c. Para cada valor de k no intervalo anterior vê-se que o plano intercepta o elipsoide segundo uma elipse dada pela equação (2).

z

=

k

MA TRIZES- VETORES-G. ANA L (T/CA

157

De maneira análoga, mostra-se que, os planos y = k e x = k interceptam o elipsoide em elipses de equações

r + z2 = 2 ? ª

e

_r b2

+

..:t.._ c2

=

2 2 ª +k 2 ª

quando k varia respectivamente nos intervalos -b < k < b e -a < k < a.

Fazendo na equação ( 1 ) x y = O tem-se z = ± e, isto é, os pontos (O, O, -c) e (O, O, c), de intersecção da quádrica com o eixo Oz ; analogamente, fazendo-se em ( l ), sucessivamente x = z = O e y = z = O tem-se os pontos (O, -b, O), (O, b, O), (a, O, O) e (-a, O, O) de intersecção da superfície com os eixos =

Oy e Ox elipsóide.

respectivamente . Os seis pontos assim obtidos chamam-se vértices do z

(0, b, 0)

y

X

Se dois dos números a, b, c forem iguais entre si, o elipsóide é uma superfície de rotação. Por exemplo, se a = b, o elipsoide de equação x2 + y 2 + z2 = l 2 c2 ª

-=--"--

é a superfície de rotação que se obtém girando a elipse 2 2 .!._ + � = l 2 c a2 do plano xOz em tomo do eixo Oz. Se a = b > e o elipsoide de rotação (ou de revolução) resulta da rotação da elipse em tomo do seu menor eixo e denomina-se elipsoide achatado ou

158

CA ROL /-CA L L IOL 1-FEI TOSA

também esferóide achatado, se a = b < c o elipsoide resulta da rotação da elipse em torno do seu eixo maior e é chamado elipsoide alongado ou ainda esferóide alongado. Se a b c o elipsoide é uma superfície esférica. Se a, {3, 'Y e p forem quatro números positivos e x0 y0 , z0 três núme­ ros reais quaisquer a equação =

=

,

a- (x - X o ) 2 + {3(y - Y o ) 2 + -y (z - Zo ) 2 = p

(3)

representa um elipsoide de eixos paralelos aos eixos coordenados e centro no ponto (x0 , y0 , z0 ). É claro que uma equação do segundo grau do tipo a- x :z + {3y 2 + -y z 2 + 0: 1 x + il1 Y + -r 1 z + 8 = 0

que se possa reduzir anteriores.

a

forma (3) é equação de um elipsoide nas condições

Os comprimentos dos semi-eixos do elipsoide (3) são dados por: e

As retas de equações y os eixos do referido elipsóide .

=

y0 , z

=

z0 ,

x

=

x0 , z

=

z0 , y

=

y0 , z

=

z0 são

EXERCÍCIOS 1.

Dado o elipsoide

4x 2

+

9y 2

+

16z 2 = 25 ,

determinar:

a) os comprimentos dos eixos b) as equações das intersecções do mesmo com os planos x

=

l,

y

=

1 · -1, z = � 2

2. Determinar o centro e as equações dos eixos dos segu intes elipsóides : 2 2 2 a) 9x + 36y + 4z - 1 8 x + 144y + 1 1 7 = O b) c)

3.

3x 2 x2

+

+

4y 2 + Sz 2 + 6 x + 1 6z - lOy - l = O 1 2y 2 + 15z 2 - 3z = O

Escrever a equação de u m elipsoide de centro na origem e cujos eixos tem para compri­ mentos 20, 1 2 e 8 unidades. (Dar as três possibilidades).

4. Escrever a equação de um elipsóide de centro no ponto (4, -1 , 2) e cujos eixos tem para comprimentos 6 , 4 e 10 unidades , sabendo que a superfície é simétrica em relação aos três planos x = 4 , y = -1 e z = 2.

159

MA TRIZES- VETORES-G. ANA L ITICA

·

SUPERFÍCIE CÔNICA DE SEGUNDA ORDEM O lugar geométrico dos pontos cujas coordenadas (x, y, z) satisfazem uma equação do tipo xl

2 ª

+

y - z =0 2 2 2

b

2

(I)

c

onde a , b e c são três números reais não nulos, é como sabemos, uma superfície cônica de segunda ordem, com vértice na origem. z

y

Verificam-se imediatamente as seguintes propriedades : 1 ) a ( 1 ) é simétrica em relação aos três planos coordenados.

2) A intersecção da ( 1 ) com um plano qualquer z = k, k * O, é uma elipse ; se k = O é o próprio vértice. A intersecção da superfície com um plano x = k, k * O (ou y = k), é uma hipérbole.

3) Qualquer plano passando pela origem encontra a superfície num único ponto ou segundo duas retas. 4) Se a = b, a superfície cônica ( 1 ) é uma superfície de rotação. A equação a(x - x o ) 2 + (y - Y o ) 2 - (z - zo ) 2 = O onde a, (3 e 'Y são três números reais positivos, representa uma superfície cônica de vértice no ponto (x0 , y0 , z0 ) simétrica em relação aos planos x = x0 , y = y0 e z = z0 .

160

CA ROL l-CA L L /Ol l-FEI TOSA

EXERCICIOS 1 . Verificar qual a)

2 L 7 - b2 x2

b) -

x2

a posição das sui:crfícies cônicas dadas pelas equações

2

+ � 2

c

y2

- + -. ª2

b�

+

=

22 c2

0

- =

o

em relação ao sistema de coordenadas. Qu ais com

as

intersecções das su perfícies anteriores c om pla n os de equação

k <: R .

x = k, y = k,

z =

k,

2 . Determinar a s coordenadas do vértice e a� equações dos eixos de simetria das seguintes

superfícies cônicas : a) b) c)

x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4 y - 1 2z = O 9 x 2 + 2Sy 2 + 1 6z 2 - 4 x - 1 S y = O 3x 2 + S y 2 + z 2 - 3 x + 2y - z = O

HIPERBOLOIDES

O lugar geométrico dos pontos cujas coordenadas (x , y , z) satisfazem a uma das seguintes equações:

x 2 + y2 ª2 b2

-

-

� ª2

-

z2

-

-

� + 2

L

-

b

c2

2 c2

=

=

l

(1)

l

(2)

onde a, b e e são três números reais positivos chama-se hiperboloide.

l ) Hiperboloide de uma folha O hiperboloide representado analiticamente pela equação ( 1 ), denomina-se hiperboloide de uma folha. São fáceis de verificar as seguintes propriedades: 1) A superfície ( 1 ) é simétrica em relação aos três planos coordenados, e, portanto aos três eixos coordenados e à origem.

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L (TJCA

161

z

y

2) A intersecção da superfície { l } com um plano

equação

z

= k, k e R é uma elipse de

y2 = 1 + k2 x2 + 2 c2 b2 ª 3) A intersecção do hiperboloide de uma folha com um plano x = k (ou y = k } , k * ± a, (ou k * ± b ), é uma hipérbole de equação :

_r_ _ ± = 1 - � c2 ª2 b2 4) Fazendo-se y = z = O, obtemos x = ± a, isto é, os pontos (-a, O, O} e (a, O, O) de intersecção do eixo Ox com a superfície. Analogamente, fazendo x = z = O, tem-se y = ± b, ou {O, -b, O) e (O, b, O) pontos onde o eixo Oy corta a superfície. O eixo Oz não intersepta o hiperboloide ( 1 ) . 5) Se

a=b

o hiperboloide ( 1 ) é uma superfície de rotação de eixo Oz.

p 6} A equação o: (x - x0 ) 2 + {3 (y - y0 ) 2 - -y (z - z0 ) 2 = p onde o: , {3 , 'Y e são números reais positivos, representa um hiperboloide de uma folha de centro no ponto {x0 , y0 , z0 } simétrico em relação aos planos x = xç . y = y0 e z = z0 . Toda equação do segundo grau da forma : o: 1 x 2 + {31 y 2 + -y 1 z2 + 0:2 x + �2 y + -y2 z + c'> = 0,

com o: 1 , f3 1 , 'Y t , o:2 , (32 , -y2 e e'> reais que se possa reduzir à forma anterior, representa um hiperboloide de uma folha.

162

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

2) Hiperboloide de duas folhas

A equação (2) representa um hiperboloide de duas folhas. 1 ) Como nos casos anteriores a (2) é simétrica em relação aos três planos coordenados, portanto, em relação aos três eixos e à origem. 2) A intersecção da superfície (2) com um plano z

=

uma elipse de equação :

2 l+ ª2

y2 b2 _

k, k > c ou k < -c, dá

k2 c2 c2 _

-

z

y

3) A intersecção com planos x

=

equação

.K c2

r b2

-

ª 2 + k2 ª2

=

k (ou y (ou

=

c2

k), k e R dá uma hipérbole de 2

-

X 7

=

b2

+

a2

k2 )

4) Fazendo-se x y O, obtemos z ± c, isto é , (O, O, -c) e (O, O, c), pontos de intersecção da quádrica com o eixo Oz. =

5) Se a

=

=

=

b o hiperboloide (2) é

uma

.J:!._

superfície de rotação de eixo Oz.

6) A equação - a (x X o ) {3(y Yo ) + 'Y (z - zo ) -

-

-

=

p

com a, {3, 'Y e p reais positivos, representa um hiperboloide de duas folhas de centro no ponto x0 , y 0 , z0 e simétrico em relação aos planos x x0 , =

MA TRIZES- VETORES-G. A NA L (TICA

y

=

y0

e z

=

163

z0 . Toda equação do segundo grau da forma:

2 2 2 a1 x + f3 1 Y + 1 1 z + a2 x + f32 Y + 12 z + li = 0

com a 1 , {3 1 , 'Y i , a2 , {32 , 'Y2 e li reais e que se possa reduzir à forma anterior, representa um hiperboloide de duas folhas.

EXERCÍCIOS 1 . As seguintes superfícies são hiperboloides:

2 2 22 y x - -+ - = l 4 9 16 2 2 22 x Y - - = 1 b) - - + 4 16 9 a)

-

2 2 c) 3x + 9y

- Sz2

2 2 d) -3x + S y +

-

z2

=4 = -1

Verifique quais são hiperboloides de uma, e quais os de duas folhas. Determine as intersecções com os planos de equações x = 10, y = 1 0 e z = 1 0. Determine as intersecções dos eixos coordenados com cada uma delas.

2.

Oassificar e dar o centro e os eixos de cada uma das seguintes superfícies:

2 2 a) x + 2y - z 2 + Sx - 3y + 10 = O 2 2 2 b) x - 3y - z + 4x - 6y + S z + 9 = O 2 2 2 c) 4x + 4y - 3y + x - y + z = O d)

2x 2 - 2y 2 - 3z 2 +

1 6y +

z=9

3. Escreva a equação da superfície de rotação gerada pela reta x=t y= l

z

= 4t

quando gira em tomo do eixo Oz. Verifique que é um hiperboloide de uma folha. 4. Escreva a equação da superfície de rotação gerada pela reta do exercícfo anterior quando gira em torno da reta X = -2 y=3 Determine os plano� de simetria, os eixos e o centro.

164

CA ROL l- CA L L IOL l-FEI TOSA

PAR A BOLOIDES

Cada uma das seguintes equações: y2 = z x2 + ª2

b2

e.

(1)

(2)

representa uma superfície denominada paraboloide . A ( 1 ) chama-se paraboloide el ítico enquanto que a (2), paraboloide hiperbólico. z

y

Como vemos, os paraboloides ( 1 ) e (2) são superfícies simétricas em relação aos planos coordenados xOz e yOz, porém não são simétricas em relação ao plano xOy, por isso não admitem centro de simetria. PARABOLOIDE ELITICO

1 ) A intersecção do parabolóide elítico com um plano z = k, k > O, é uma elipse de equação

2

�2 + L = k ª2

b2

2) A intersecção do mesmo parabolóide com um plano x = k ( ou parábola para qualquer valor de k.

y

= k) é uma

3) Fazendo-se x = y = O, resulta z = O, o que mostra que· a superfície passa pela origem, a qual denomina-se vértice do parabolóide .

4) Se

a = b , o parabolóide el ítico é uma superfície de rotação de eixo

Oz.

MA TRIZES- VETORES-G. ANA L ITICA

165

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO 1 ) Observa-se imediatamente que a intersecção do paraboloide hiperbólico (2) com um plano z = k, k * O, é uma hipérbole de- equação

� 2 ª

_r_ 2 = k.

_

b

z

y

Para k

= O a intersecção conduz 2 -1L :z a

-

2 L b2

= O isto é '

às retas

� + L a

'

�

a

b

-

L

b

=O

z=O

=0

z=O

do plan<> xOy.

2) A intersecção do mesmo parabolóide com um plano parábola, qualquer que seja

k real.

x

= k (ou y = k) da

3) É fácil verificar que o paraboloide hiperbólico não pode ser considerado como superfície de rotação.

EXERCÍCIOS 1 . As equações: a) c)

x2 z2 9 + 4 =y

J y2 - z2 = x

b) d)

x2 z2 4 - 9=Y

5 y2

+ z2 = X

são paraboloides. Determine as intersecções com os planos

x = 3, y = 2

e

z

=

5.

166

CA ROL l-CA L L IOL l-FEI TOSA

Indique quais as que representam paraboloide hiperbólico ou parabolóide elítico. Faça o esboço do desenho das superfícies representadas pelas equações a e b.

2. Verificar que existe uma translação para a qual a quádrica de equação se

4x

a

red u z

2

+

9z2

+

18z - 36y - 63

=

O

SUPERF ÍCIES CILINDRICAS DE SEGUNDA ORDEM As

cilíndrk:as

formas mais simples

de

a que se podem reduzir as equações das superfícies segunda ordem são as seguintes : QX QX

o.ide

a,

(3

2 + 2

-

(3 y2 = p

(1)

(3 y2 = P·

(2)

x 2 = -yy

(3)

e p são três números reais positivos e

1

é um número real não nulo.

As três equações anteriores são de superfícies cilíndricas de geratrizes paralelas ao eixo Oz. A ( 1 ) denomina-se cilindro elítico e as (2) e (3) cilindro hiperbólico e parabólico, respectivamente . As intersecções das superfícies ( 1 ), (2) e (3) com planos paralelos ao plano xOy dão respectivamente el ípses, hipérboles e parábolas.

EXERCÍCIOS l.

As superfícies dadas pelas equações: a) ax 2 + {3z2 b) ax 2 - {3z2 c)

Qy

Q,

{3,

2 1

+ {3z2

=

p

= p =

p

d) a y 2 - (3 z2 e) y 2 f) z 2

= =

-y z - -y x

=P

e p números reais positivos

São superfícies cil índricas de geratrizcs paralelas a eixos. Verifique quais são os planos e os eixos de simetria de cada uma delas. Estude as intersecções das mesmas com planos de equações x = k; y = k e z = k.

MA TRIZES- VE TORES-G. ANA L {T/CA

2 . Uma superfick gerada por re t a d iz-se regrJda . anteriormente, quais são as regradas?

1 67

Dos exemplos de su perfícies d a do s

3 . Dada a equação

(1) onde a, {3, 'Y são números reais não todos nulos e a 1 • {3 1 , 'Y t e ô números reais quaisquer. Demonstre que existe uma translação mediante a qual é possível conduzir a equação ( l ) a uma das equações reduzidas das quádricas anteriores. 4.

' Determine a translação a que se refere o exercício anterior para cada uma das equações : ai

Jx

2

+ 2y 2 - z 2 - z - x -

1 =O

2 b) X + y - 2z + J y + 1 = 0 2 2 2 e) 4x + 5 y + 2z - 5z + 2 = O 2

d)

2 2 2 x - y - z - 2 x - 4y - 5 z + 3

=

O.