Condensaçao Estatica E Tecnica Das Subestruturas

UNIVERSIDADE DO PORTO

FACULDADE DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

CONDENSAÇÃO ESTÁTICA DE GRAUS DE LIBERDADE e TÉCNICA DAS SUBESTRUTURAS Rui Carneiro de Barros Prof. Associado Agregado do DEC da FEUP (Agregação; Ph.D.; M.Sc.; Engº Civil)

Texto de Apoio Científico, Técnico e Pedagógico à disciplina

Teoria de Estruturas 2 (Obs.: A matéria de condensaçao estática de graus de liberdade escrita formalmente em 2005, é aqui re-incorporada neste capítulo mais geral de 2011 pois é utilizada recursivamente na técnica das subestruturas) (28 páginas)

Porto e FEUP, 12 a 19 de Março de 2011

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

CONDENSAÇÃO ESTÁTICA DE GRAUS DE LIBERDADE Atente-se na divisão e significado da matriz de rigidez de uma barra genérica (i) [ou (m), de structural member m] de estrutura reticulada (ou de qualquer estrutura 2D/3D reticulada ou articulada) através das 4 submatrizes constituintes seguintes:  k EE k ED  k   DE k DD 

No caso de barra genérica (i) (de extremidade esqª E, e extremidade dirª D) já foram ditados (na aula teórica) os significados estruturais das sub-matrizes constituintes.

A sub-matriz k EE representa as forças generalizadas (forças e momentos) segundo os graus de liberdade da extremidade esquerda E da barra (m) (avaliadas positivamente segundo os sentidos positivos desses graus de liberdade) devidas a deslocamentos generalizados unitários (translações e rotações) segundo os graus de liberdade da extremidade esquerda E.

A sub-matriz k DE representa as forças generalizadas segundo os graus de liberdade da extremidade direita D da barra (m), devidas a deslocamentos generalizados unitários segundo os graus de liberdade da extremidade esquerda E.

© 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

2

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

A sub-matriz k ED representa as forças generalizadas segundo os graus de liberdade da extremidade esquerda E da barra (m), devidas a deslocamentos generalizados unitários segundo os graus de liberdade da extremidade direita.

A sub-matriz k DD representa as forças generalizadas segundo os graus de liberdade da extremidade direita da barra (m), devidas a deslocamentos generalizados unitários segundo os graus de liberdade da extremidade direita.

No caso de uma estrutura (reticulada ou articulada, 2D ou 3D), o subcolectivo (E) seria relativo a um determinado sub-conjunto de graus de liberdade da estrutura global, e o sub-colectivo (D) ao sub-conjunto complementar de graus de liberdade.

Frequentemente no cálculo de uma estrutura existem graus de liberdade (GL) sem acções, cuja consideração poderá ser eliminada de modo equivalente na análise. Ou também alternativamente, poder-se-á estar interessado em apenas saber de forma imediata directa determinados graus de liberdade considerados principais ou prioritários (GL – Master M) em detrimento provisório de outros graus de liberdade secundários sacrificiais ou de menor interesse directo imediato (GL – Slave S).

(Esta consideração é perfeitamente geral e transversal a problemas equivalentes de outras engenharias, nomeadamente em áreas afins das Engenharia Mecânica e Engenharia Aeronáutica/Aeroespacial). © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

3

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

Assim, usando exactamente esta notação da bibliografia internacional (Master and Slave degrees of freedom – dof M and S ; GL: Master ou Principais M, Slave ou Secundários/Sacrificiais S), considere-se a seguinte equação de equilíbrio em coordenadas globais de uma qualquer estrutura (com n GL) sob análise: F = F0 +

K

D

⇔

K D = F − F0 = F

(n × 1) (n × 1) (n × n) (n × 1) Usa-se aqui a notação que vem sendo utilizada pelo autor desde que iniciou na FEUP o seu lecionamento nas unidades curriculares TE1/TE2 (respectivamente em 2001/2 e 2002/3), designando quantidades estruturais locais em minúsculas e globais em maiúsculas. Esta notação coerente foi introduzida nas aulas teóricas por si lecionadas nesta matéria e também nas aulas prácticas afins das suas turmas, quer sobre a análise matricial de estruturas elásticas lineares, quer sobre a abordagem matricial de estruturas com não-linearidades geométrica ou até material.

Considere-se então a resolução de uma tal estrutura com os atrás referidos GL (Master & Slave ou Principais prioritários directos M & Secundários sacrificiais indirectos S) à qual corresponde a seguinte partição matricial (vectorial) da equação de equilíbrio supra-citada, através de:

 K MM K MS   DM   F M   K  D  =  K SS   S   SM  F S  Se for m o número dos GL principais ou Master, e s o número dos GL secundários ou Slave, então para toda a estrutura com n GL será n=m+s. © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

4

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

Entende-se por Condensação Estática dos GL, a re-escrita explícita equivalente (ie, com mesma solução estrutural para a mesma estrutura) da equação de equilíbrio anterior que conduza à determinação directa explícita dos GL principais ou GL Master (master dof) DM .

Tal corresponde a condensar ou reduzir ou eliminar (de forma equivalente) os GL secundários DS nas equações de equilíbrio envolvendo explicitamente os GL principais DM , de um modo semelhante ao realizado na resolução de sistemas de equações algébricas lineares (SEAL) pelo método de Gauss (simples – MG1, com pivotagem parcial por linhas ou colunas – MG2, com pivotagem total por linhas e colunas – MG3).

Para se realizar matricialmente a referida Condensação Estática:

(i)

expande-se explicitamente a equação matricial anterior;

(ii)

exprime-se

alternativamente

a

possível

solução

dos

GL

secundários ou sacrificiais ou Slave DS à custa dos GL principais ou Master DM ; (iii)

substitui-se essa expressão na sub-equação de equilíbrio dos GL principais, assim eliminando ou sacrificando os GL secundários;

(iv)

resolve-se a equação matricial de equilíbrio equivalente (ie, com a mesma solução estrutural) agora apenas explícita nos GL principais ou Master DM .

© 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

5

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

K MM DM + K MS DS = F M K SM DM + K SS DS = F S ⇔

(K

MM

− K MS

[ K SS ]

−1

K SM

)

{DS } = [ K SS ]

−1

{DM }

(m × m) (m × s ) ( s × s ) ( s × m) (m × 1)

=

{F

M

{F

S

− K SM DM

}

[ K SS ]

−1

− K MS

FS

}

(m × 1) (m × s ) ( s × s ) ( s × 1)

Designando

(K

)

− K MS [ K SS ] K SM = K MM * −1

MM

{F

e

} { }

− K MS [ K SS ] F S = F M −1

M

*

da equação anterior resultará de forma equivalente:

*  K MM  ( m × m)

{DM } (m × 1)

{ }

= FM

*

⇔

*  {DM } =  K MM

−1

{F }

*

M

(m × 1)

Após esta determinação explícita equivalente e directa dos GL principais ou

Master M

{DM }

(invertendo uma matriz de rigidez equivalente m x m, em

vez de uma consideravelmente maior n x n), podem-se obter os GL secundários sacrificiais sacrificados ou eliminados (de modo equivalente) ou

Slave S

{DS } , através de:

{DS } = [ K SS ]

−1

© 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

{F

S

− K SM DM

} 6

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação Esta metodologia de condensação de GL estáticos é muito importante em estruturas constituídas por inúmeras barras (ou elementos), sob diversas combinações de acções estáticas.

Também é uma metodologia importante para ser utilizada em Dinâmica de Estruturas e Engenharia Sísmica (5º ano; opção condicionada de Estruturas), ao permitir compatibilizar (ou reduzir à mesma base de descrição de movimentos generalizados) situações estruturais em que à partida existam menos GL dinâmicos (movimentos independentes possíveis através dos quais se desenvolvem forças de inércia não desprezáveis) do que GL estáticos (deslocamentos estáticos generalizados independentes possíveis); mas as equações matriciais de movimento das estruturas só podem ser referidas aos mesmos GL (quando GL dinâmicos coincidem com os efectivos GL estáticos, após condensação ou redução destes últimas à mesma base de referência de movimentos temporais possíveis).

A determinação dos esforços generalizados nas barras (no referencial local ou nas coordenadas locais de cada barra ou elemento) cujos diagramas de esforços (ou distribuições de tensões no caso do MEF) se pretendam, segue a metodologia tradicional à custa dos deslocamentos generalizados entretanto já disponíveis (embora determinados ou disponíveis em dois sub-conjuntos complementares de GL generalizados): DM e DS .

Genericamente para qualquer barra ou membro estrutural (i):

f (i ) = f0 + k (i )

(i )

© 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

d

(i )

= f0 + k (i )

(i )

T ( i ) D (i )

7

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

Convirá realçar que estas forças generalizadas locais f (i ) são avaliadas segundo as direcções e sentidos locais dos GL nodais, i.e., segundo o referencial directo local nas extremidades esquerda e direita de cada barra genérica (i). Sendo: eixo dos xx longitudinal no sentido da extremidade esquerda para a extremidade direita, eixo dos yy transversal a +90º, eixo dos zz perpendicular ao plano anterior e no sentido directo.

Assim, no caso genérico de barra (i) de estrutura reticulada 2D – pórtico plano (segundo plano xOy), antes de realizar os diagramas de esforços axiais N, transversos Ty (ou Vy) e momentos flectores Mz da barra será necessário atender ao significado mecânico-estrutural das componentes deste vector de forças locais f (i ) :

f (i )

 f1  − N esquerda    f  +T esquerda  2     f esquerda   f3  − M esquerda  = = =  f f + N 4  direita     direita   f5  −T     direita   f 6  + M direita 

De igual modo, no caso genérico de barra (i) de estrutura articulada 2D ou 3D – SAP ou SAT, antes de realizar os diagramas de esforços axiais N nas

barras constituintes será necessário atender ao significado mecânicoestrutural das componentes deste vector de forças locais f (i ) :  f esquerda   f1  − N esquerda  f (i ) =  = =  f  direita   f 2  + N direita  © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

8

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

Também, no caso genérico de barra (i) de estrutura reticulada 2D – grelha plana (segundo plano xOy), antes de realizar os diagramas de esforços Tz (ou Vz), Mtorsão x e Mflexão y da barra será necessário atender ao significado mecânico-estrutural das componentes deste vector de forças locais f (i ) :

f (i )

  f1  +Tesquerda    f  −M torção −esquerda   2    f esquerda   f3  + M flexão−esquerda  = = =  f  direita   f 4  −Tdireita   f5  + M  torção − direita      f 6  − M flexão− direita 

Finalmente, no caso genérico de barra (i) de estrutura reticulada 3D (com comportamentos de pórtico e de grelha segundo vários planos), antes de realizar os diagramas de esforços Nx, Ty (ou Vy), Tz (ou Vz), Mtorsão x , Mflexão y

e Mflexão

z

da barra será necessário atender ao significado mecânico-

estrutural das componentes deste vector de forças locais f (i ) . Assim, na figura seguinte representam-se os 12 graus de liberdade (GL) locais (3 translações directas e 3 rotações directas no nó da extremidade esquerda da barra; 3 translações directas e 3 rotações directas no nó da extremidade direita). Também se apresenta a matriz de rigidez local (12x12) de barra genérica (i) de estrutura reticulada 3D, relativa aos referidos 12 GL, por síntese de matéria e de comportamentos estruturais (nela contidos),

conforme foi

apresentada e parcialmente deduzida/justificada pelo autor na aula teórica. © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

9

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

© 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

10

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

Assim, em referência aos 12 GL da barra genérica (i) de estrutura reticulada 3D, o significado mecânico-estrutural das componentes deste vector de forças locais f (i ) é:

f (i )

− N   f1   x −esquerda   f  +Ty −esquerda   2    f 3  +Tz −esquerda    − M  x −torção − esquerda  f4     f  + M y − flexão−esquerda   5   f esquerda   f 6  − M z − flexão−esquerda  = = =   f direita   f 7  + N x −direita   f8  −T     y −direita   f 9  −Tz −direita  f     10  + M x−torção−direita   f11  − M  y − flexão − direita      f12  + M z − flexão−direita   

© 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

11

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

Exemplo detalhado de Condensação Estática de Graus de Liberdade Introdução Considere-se o pórtico seguinte com apoios duplos na base, de um piso de altura h e um vão de comprimento L=2h, em que as colunas e vigas têm rigidez flexional respectivamente de EIc e EIv.

Considere-se que este pórtico de grau de indeterminação unitário (i.e., grau de hiperestaticidade gh=1) é constituído por barras de rigidez axial infinita (BRAI) pelo que se poderá admitir que as colunas e vigas são axialmente indeformáveis. Nesse sentido, para uma eventual análise da estrutura pelo método dos deslocamentos, trata-se de uma estrutura com 3 graus de liberdade estáticos (GLE ou grau de híper-geometria; em inglês, degrees of freedom ou dof): a translação lateral D1 do piso ou andar, e as rotações D2 e D3 dos nós de piso.

Para análise dinâmica deste pórtico para acções laterais, admita-se que apenas existe massa considerável (inércia translacional) ao nível do piso (associada principalmente à massividade da laje e vigas, e eventualmente adicionada de metade da massa dos pilares) e que portanto as colunas são de massa desprezável. Assim, pela inexistência de inércia de rotação dos nós, a estrutura terá apenas 1 grau de liberdade dinâmico (GLD ou dynamic dof).

© 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

12

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

Assim, enquanto para uma análise estática deste pórtico a matriz de rigidez elástica K será de 3x3, para uma análise dinâmica apenas se poderá formular o movimento para o grau de liberdade dinâmico único (GLD=1) correspondente a D1, sob a forma:

Nesta equação M será a massa do piso massivo (incluindo, se necessário, metade das massas dos pilares, se não forem desprezáveis) pelo que representará a rigidez equivalente do pórtico segundo o GLD D1 , obtida condensando (de modo equivalente) a matriz de rigidez estática K (3x3) para a direcção única de movimento dinâmico D1. Isto é, realizando uma condensação estática da matriz de rigidez elástica K (3x3) aos graus de liberdade principais (ou master dof), neste caso do exemplo escolhido realizando uma condensação estática dos GL secundários (ou slave) D2 e D3 reduzindo (de modo equivalente) a descrição das forças elásticas apenas segundo a direcção do GLD D1.

Determinação da Matriz de Rigidez Elástica correspondente aos GLE

Para a determinação da matriz de rigidez elástica K (3x3), recorre-se à informação contida nas tabelas das forças de fixação de barras uniformes de comprimento L e rigidez flexional EI (tabela T1 para barras de extremidades bi-encastradas, para obter os dados provenientes da viga; tabela T2 para barras de extremidades encastrada-articulada), cujos dados se sintetizam nas figuras seguintes. © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

13

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

Para rotação unitária da extremidade encastrada dos pilares (tabela T2):

Para translação unitária da extremidade encastrada dos pilares (tabela T2):

Assim, pode-se agora realizar a determinação da matriz de rigidez elástica correspondente aos 3 GLE, por consideração sistemática ou ordenada das configurações unitárias dos GLE. Por uma questão apenas de simplicidade numérica, considere-se que as rigidezes flexionais das colunas e viga são iguais (EIc = EIv). Configuração D1=1 (D2=D3=0) obtendo a 1ª coluna da matriz de rigidez:

© 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

14

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

Configuração D2=1 (D1=D3=0) obtendo a 2ª coluna da matriz de rigidez:

Configuração D3=1 (D1=D2=0) obtendo a 3ª coluna da matriz de rigidez:

Assim, a matriz de rigidez elástica correspondente aos 3 GLE é expressa por

a partir da qual se formula o equilíbrio estático elástico através de K D = F.

© 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

15

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

Note-se que, sob o ponto de vista estático, o 2º membro poderá ser interpretado (de acordo com a notação e formulação do método dos deslocamentos) como a diferença F-F0 entre o vector F das forças actuantes segundo (em correspondência com) os GLE da estrutura e as forças de fixação segundo os mesmos GLE (reações nodais às acções nas barras); ou alternativamente, a soma F+(-F0) do vector F das forças actuantes segundo os GLE da estrutura com o vector (-F0) das forças nodais equivalentes às acções nas barras.

Assim, o equilíbrio estático K D = F, é expresso por

e como o GLD único é D1 será agora designado ou escolhido como GL principal ou Master, enquanto os GL secundários sacrificiais ou Slave serão o colectivo D2 e D3. Note-se que na análise dinâmica que será considerada neste exemplo, os próprios GL D2 e D3 não seriam solicitados ou excitados dinamicamente (isto é, F2=F3=0) porque os nós não possuem inércia à rotação suficiente que o justifique (ausência da designada rotatory inertia).

Segundo esta perspectiva a equação de equilíbrio estático poderá ser partida ou segmentada apropriadamente, evidenciando as sub-matrizes e subvectores constituintes resultantes da divisão dos GLE em Master (M) ou principais e Slave (S) ou secundários; resultando de modo equivalente, e com as evidentes identificações ou correspondências, a seguinte equação matricial: © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

16

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

Obtêm-se as identificações seguintes para as sub-matrizes da matriz de rigidez:

A rigidez lateral condensada equivalente ao pórtico de 3 barras flexíveis (de rigidezes flexionais

e

é então obtida pela formula geral

deduzida anteriormente e será (neste exemplo):

A inversa

da matriz

é obtida pela formulação

de Cramer através de

enquanto a matriz dos co-factores é determinada pela fórmula de Laplace através de © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

17

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

sendo

o valor do determinante menor que se obtém eliminando a linha i

e a coluna j que se cruzam no elemento da matriz original cujo elemento cofactor se pretende determinar. Assim, directamente

Como neste exemplo apenas existe D1 como GLD --- o GL principal ou Master (M) considerado --- a força

que segundo ele actuará será obtida

da formulação geral

Assim a equação de movimento lateral do piso massivo deste pórtico flexível é: isto é © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

18

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

TÉCNICA DAS SUBESTRUTURAS Entende-se

por

Técnica

das

Subestruturas

ou

Subestruturação

Estrutural (do inglês substructuring techniques), a divisão de uma estrutura em sub-estruturas constituintes para alcançar simultaneamente objectivos de: (1) maior eficiência computacional na resolução de grandes sistemas de equações algébricas resolventes; mas também de: (2) melhor identificação ou correspondência física com as partes constituintes (a tipologia) da estrutura inicial sob análise. Este método era muito importante (nas décadas de 1960’s e 1970’s) quando as capacidades computacionais eram muito limitadas, e tinham que ser utilizadas o melhor possível (nessa altura temporal da análise estrutural) para resolver grandes estruturas ou problemas estruturais elásticos. Ainda poderá ser significativa hoje em dia quando se abordam grandes problemas de análise em computadores pessoais, ou mesmo quando se abordam grandes problemas estruturais com facilidades computacionais de relevo mas com um grau de pormenorização até hoje em dia não realizada. Sabe-se que a matriz de rigidez desenvolvida através duma formulação pelo método dos deslocamentos (ou equivalente) é em banda, com largura de semi-banda que deverá ser minimizada através duma numeração conveniente dos graus de liberdade para evitar armazenar “zeros” desnecessários. © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

19

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

Mesmo recorrendo a técnicas de “skyline”, para evitar armazenar esses termos nulos da matriz de rigidez, há situações em que a tipologia estrutural não mais permitirá uma banda de elementos não-nulos uniformemente estreita (isto é, de pequena largura de semi-banda igual para toda a estrutura).

Nas figuras seguintes apresentam-se duas situações estruturais com tipologias que originam situações desse tipo, entre inúmeros exemplos possíveis do sector da construção de edifícios e pavilhões na engenharia civil.

O primeiro exemplo trata-se de um edifício de vários pisos de tipologia uniforme em altura (o que permitirá uma numeração optimizada dos graus de liberdade para minimizar, na parte acima da base ou do solo, a largura da semi-banda da matriz de rigidez), mas também apresentando uma parte mais larga na base (o designado pedestal do edifício) para parqueamento (subterrâneo ou não) ou até pisos comerciais iniciais (para a qual se realizam considerações equivalentes quanto à numeração dos graus de liberdade, face à tipologia desta parte da estrutura global).

Este pedestal de implantação estrutural da torre de vários pisos causará, mesmo para uma numeração optimizada dos graus de liberdade, um alargamento da semi-banda da matriz de rigidez global correspondente às duas sub-estruturas constituintes [1] e [2].

© 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

20

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

O universo ou vector colectivo de graus de liberdade na fronteira comum é aqui designado genericamente de Df , sendo explicitamente indicado pelo índice f que esses serão graus de liberdade de fronteira ou na interface das sub-estruturas consideradas.

No outro exemplo apresenta-se um esqueleto estrutural possível dum auditório desportivo, ou similar, de muito grandes dimensões.

Também para esta estrutura global, e a título de exemplo pedagógico, consideram-se duas subestruturas constituintes – as sub-estruturas [1] e [2], com nós de fronteira comuns (#1 e #7) – com o já referido universo de graus de liberdade Df na fronteira de interface.

© 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

21

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

Nesta estrutura a numeração dos graus de liberdade, do anel poligonal fechado de travamento superior dos pilares, causará um alargamento da semi-banda da matriz de rigidez da estrutura global (isto é, sem a subestruturação em estruturas constituintes).

Apresentam-se nas figuras seguintes exemplos adicionais de discretizações de estruturas para suas resoluções pelo método dos elementos finitos MEF (de uma casca fina de revolução , de uma porção de asa de avião, e de uma ponte de vários tramos ou vãos intermédios) as quais poderão ter implícitas técnicas de substruturação apropriadas a cada estrutura correspondente: (1) quer pela sucessiva hierarquia de pormenorização dentro de partes ou sub-estruturas constituintes; (2) quer na eliminação por condensação estática (mas com equivalência estrutural) de graus de liberdade secundários (slave degrees of freedom, ie, slave dof) com ênfase resolutiva inicial para os graus de liberdade principais (master dof). © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

22

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

© 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

23

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

Para os dois exemplos iniciais gerais atrás considerados (com duas subestruturas [1] e [2]), e também indirectamente para os outros exemplos de modelação pelo MEF, a Técnica de Subestruturação Estrutural aplica-se sistematicamente do modo exposto a seguir.

De acordo com o que já foi abordado para o significado físico das submatrizes, nas: – matriz de rigidez de uma barra de extremidades esquerda e direita – Kee Kde Ked Kdd – matriz de rigidez de uma estrutura com graus de liberdade principais ou master M e secundarios ou slave S – KMM KSM KMS KSS (em que os graus de liberdade secundários são eliminados por condensação estática) para cada subestrutura constituinte, neste caso [1] e [2], as equações de equilíbrio são subdivididas pelas designações dos seus graus de liberdade efectivamente livres (não condicionados; isto é 1 ou 2, respectivamente para os das sub-estruturas [1] e [2]) e pelos seus graus de liberdade em fronteiras de interface (de índice f).

Para a subestrutura [1] a equação de equilíbrio do método dos deslocamentos será:

K1 S1T  D1  F1     =   S K 1f   1  Df  F1 f 

(1)

(Obs.: Note-se que K1 será uma sub-matriz K11 da subestrutura 1, S1 será uma sub-matriz Kf

1

da subestrutura 1, S1T será uma sub-matriz K1f da

subestrutura 1, e K1f será uma sub-matriz Kf f da subestrutura [1]). © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

24

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

Realizando a condensação estática dos graus de liberdade livres D1 obtémse: &&& D = F &&& K 1f f 1f

(2)

&&& = K − S K −1S T  K 1f 1f 1 1 1  &&& −1  F1 f = F1 f − S1 K1 F1

(3)

em que

Para a subestrutura [2] a equação de equilíbrio do método dos deslocamentos será:  K2 f  T  S 2

S 2   D f   F2 f   =   K 2   D2   F2 

(4)

(Obs.: Note-se que K2 será uma sub-matriz K22 da subestrutura 2, S2 será uma sub-matriz Kf2 da subestrutura 2, S2T será uma sub-matriz K2f da subestrutura 2, e K2f será uma sub-matriz Kf f da subestrutura [2]). Realizando a condensação estática dos graus de liberdade livres D2 obtémse: &&& D = F &&& K 2f f 2f

(5)

&&& = K − S K −1S T  K 2f 2f 2 2 2  &&& −1  F2 f = F2 f − S 2 K 2 F2

(6)

em que

As equações (2) e (5) traduzem equilíbrios parciais (equivalentes) de cada uma das subestruturas [1] e [2], expressos à custa dos deslocamentos comuns Df na fronteira de interface. © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

25

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

Mas, para que exista equilíbrio, as forças generalizadas nas fronteiras de interface, isto é, as expressões de F1 f e F2 f no equilíbrio global original (sem subestruturação) terão que ser iguais e opostas.

Portanto, por exemplo, poder-se-ão designar as forças generalizadas na fronteira de interface por Ff = F1 f = − F2 f

, que por equilíbrio são

antissimétricas.

Assim: - somando membro a membro as equações (2) e (5) - substituindo as forças no 2º membro pelos valores das expressões correspondentes nas equações (3) e (6) - atendendo à antissimetria entre os pares de forças generalizadas na fronteira de interface obtém-se: &&& + K &&& ) D = F &&& + F &&& = −( S K −1 F + S K −1 F ) (K 1f 2f f 1f 2f 1 1 1 2 2 2

Os deslocamentos generalizados na fronteira de interface serão então obtidos através de: &&& + K &&& ) −1 ( F &&& + F &&& ) = −( K &&& −1 + K &&& −1 ) ( S K −1 F + S K −1 F ) Df = (K 1f 2f 1f 2f 1f 2f 1 1 1 2 2 2

(7)

em que todas as sub-matrizes terão ordem de grandeza associada aos graus de liberdade presentes em cada subestrutura (e não a ordem de grandeza mais elevada que teriam se não fosse aplicada a técnica de subestruturação). © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

26

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

A inversão de matrizes de menor ordem inerente à Subestruturação Estrutural, em complemento com as expressões derivadas da condensação estática de graus de liberdade, traduzir-se-á por maior eficiência e rapidez das operações matriciais de cálculo estrutural. Tal facto será tanto mais relevante quanto maior for a complexidade e extensão da tipologia da estrutura global inicial.

Também de cada uma das equações de equilíbrio (2) e (5), e substituindo parte das expressões (3) e (6), obtém-se independentemente: &&& −1 F &&& = K &&& −1 F − K &&& −1 ( S K −1 F ) Df = K 1f 1f 1f 1f 1f 1 1 1 &&& −1 F &&& = K &&& −1 F − K &&& −1 ( S K −1 F ) Df = K 2f 2f 2f 2f 2f 2 2 2

Igualando estas duas expressões, e atendendo à antissimetria das forças generalizadas na fronteira de interface ( Ff = F1 f = − F2 f ), permitirá obter uma expressão para determinar precisamente a grandeza dessas forças generalizadas, através de: &&& −1 + K &&& −1 ) F = K &&& −1 ( S K −1 F ) − K &&& −1 ( S K −1 F ) = [2º membro] (K 1f 2f f 1f 1 1 1 2f 2 2 2

Ff = F1 f = − F2 f =

&&& + K &&& ) (K × [2º membro] = 1f 2f 14243 mesmas dimensões, porque são K das ff respectivas sub-estruturas [1] e [2]

    − 1 − 1 − 1 − 1 &&& + K &&& )  K &&& &&& K1 = (K ( S1 F1 ) − K ( S2 K2 F2 )  1f 2f 1f 2f { { { { { { { 14243 {  n × n n × n n × n n ×1 n × n n × n n × n n × 1  n ×n f 1 1 1 1 f 2 2 2 2 f f f f  (n f × 1) f f  © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

27

FEUP/DEC: Teoria de Estruturas 2 - Condensação Estática e Substruturação

Com os deslocamentos generalizados na fronteira de interface já obtidos através da equação (7), determinam-se os restantes deslocamentos generalizados nos graus de liberdade efectivamente livres (não condicionados) de cada uma das subestruturas [1] e [2], através de equações matriciais intrinsecamente incorporadas nas equações de equilíbrio (1) e (4). Nomeadamente: D1 = K1−1 ( F1 − S1T D f ) D2 = K 2 −1 ( F2 − S 2T D f )

indicando que os deslocamentos generalizados D1 D2 ... nas subestruturas constituintes [1] [2] ... serão obtidos (em algum programa pessoal eficiente de análise estrutural, ou nos modernos pacotes comerciais – software – de análise e projecto de estruturas) pela mesma algoritmia e programação resolutiva.

Estas

considerações

aqui

apresentadas,

para

uma

determinada

Subestruturação Estrutural em duas subestruturas constituintes, podem ser generalizadas a casos mais gerais englobando mais subestruturas, mas com adaptações equivalentes ponderadas e racionais envolvendo equilíbrio e compatibilidade.

Obs.: A matéria de condensaçao estática de graus de liberdade escrita formalmente em 2005, foi aqui re-incorporada neste capítulo mais geral de 2011 pois é utilizada recursivamente na técnica das subestruturas. © 2011 – Prof. Rui Carneiro de Barros

28