- топлотна физика-рачунске вежбе-термодинамика.pdf

Državni univerzitet Novi Pazar računske vežbe iz Toplotne fizike zimski semestar 2018. godine

PRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE Unutrašnja energija je celokupna energija mikroskopskih komponenata sistema (atoma i molekula), tj. principski gledano suma kinetičke i potencijalne energije pojedinih čestica koje taj sistem čine. Tokom promene stanja sistema, promena unutrašnje energije U = U2 – U1 nastaje kao posledica: 1.

dovo enja toplote sistemu, što dovodi do povećanja unutrašnje energije: U = Q,

2.

rada koji sistem vrši nad okolinom, što dovodi do smanjenja unutrašnje energije:

U = A.

Prvi zakon termodinamike: Količina toplote koja se dovodi sistemu delom odlazi na povećanje unutrašnje energije, a delom se troši kroz rad koji sistem vrši nad okolinom: Q

dU

A

Za izolovan sistem (ne postoji interakcija sistema i okoline, nema transfera energije, niti se vrši rad) unutrašnja energija je konstantna (Q = A = 0, U = 0, U = const) . Karakteristični termodinamički procesi: 1.

Adijabatski proces: Procesi koji se odvijaju sa velikom brzinom ili u sistemima koji su tako dobro izolovani da ne dolazi do razmene toplote izme u sistema i okoline ( Q = 0 U= A); Adijabatska ekspanzija se može ostvariti u idealno izolovanom sistemu, kao na slici desno, sporom promenom pritiska, na primer uklanjanjem jednog po jednog olovnog zrnca sa pokretnog klipa. Dodavanjem zrnaca, postupak se odvija u obrnutom smeru (adijabatska kompresija).

2.

Izohorski proces: Procesi tokom kojih se zapremina sistema ne menja (V = const), pa sistem ne vrši rad (A = 0). Celokupan iznos toplotne energije koji se dovodi sistemu odlazi na povećanje unutrašnje energije.

3.

Cikli ki procesi: Procesi kod kojih se nakon razmena toplotne energije i izvršenog rada sistem vraća u početno stanje. U ovom slučaju sve sopstvene karakteristike sistema, pa i unutrašnja energija, imaju nepromenjenu vrednost. Na dijagramu promene pritiska u funkciji od zapremine (pV dijagram), ciklički procesi se predstavljaju zatvorenom putanjom. 4. Slobodno širenje: Adijabatski procesi kod kojih ne postoji transfer toplote izme u sistema i okoline ( Q = 0), ali istovremeno nema ni vršenja rada, niti nad sistemom niti od strane sistema nad okolinom (A = 0). Na osnovu prvog zakona termodinamike, promena unutrašnje energije pri procesima slobodnog širenja (ekspanzije) je jednaka nuli ( U = 0). Na slici levo prikazana je postavka za demonstraciju procesa slobodnog širenja. U početnom trenutku gas se nalazi pod pritiskom u jednoj od me usobno spojenih komora sa ventilom koji reguliše protok gasa izme u komora. Druga komora je vakumirana. Nakon otvaranja ventila, gas se širi i ispunjava prostor obe komore i uspostavlja se stanje termodinamičke ravnoteže. Zbog prisutne izolacije nema razmene toplote izme u gasa i okoline, a kako je druga komora vakumirana prilikom širenja gas ne vrši nikakav rad. Slobodno širenje (ekspanzija) se razlikuje od prethodno pomenutih procesa jer se ne može izvršavati polako i na kontrolisan način. Drugim rečima, slobodno širenje nije povratan proces, odnosno nakon otvaranja ventila i uspostavljanja stanja termodinamičke ravnoteže kada su obe komore ispunjene gasom, ne može spontano doći do povratka u početno stanje kada se gas nalazi samo u levoj komori..

Na slici desno dat je dijagram zavisnosti pritiska od zapremine (pV dijagram), za 1) izobarski proces (p = const), 2) izotermski proces (T = const), 3) adijabatski proces i 4) izohorski proces (V = const) prilikom promene stanja gasa iz stanja i u stanje f.

-1-

2010 © Jasna Crnjanski

1. Specifi na toplota [zz 502]. Za neki gas su eksperimentalno utvr ene specifične toplote cp = 10,39 kJ/(kg·K) i cv = 6,24 kJ/(kg·K). Odrediti molarnu masu i broj stepeni slobode u gasu. Koji je gas u pitanju? Da li je dobijeni rezultat u skladu sa modelom krutog rotatora? Količina toplote Q potreba da se poveća temperatura mase m date supstance sa T1 na T2 proporcionalna je promeni temperature T = T2 T1 i masi supstance m, sa konstantom proporcionalnosti c koja zavisi od vrste supstance i naziva se specifična toplota: Q

mc T

Ako se radi o malim promenama prethodni izraz se može zapisati u obliku: Q

m c dT

pa je specifična toplota može definisati kao količina toplote koju je potrebno dovesti 1 kg supstance da bi se njena temperatura povećala za 1 K: c

1 dQ m dT

[J/(kg·K)]

Količina toplote se može predstaviti i preko broja molova nm : dQ

nm McdT

pa se može definisati i molarna specifična toplota C = M · c koja predstavlja količinu toplote koju je potrebno dovesti 1 molu supstance da bi se njegova temperatura povećala za 1 K: Specifična toplota idealnog gasa zavisi od načina na koji se ona meri, odnosno odre uje. Ako se prilikom eksperimenta, zapremina gasa održava konstantnom (V = const), dobija se specifična toplota pri konstantnoj zapremini (cV ili CV), dok ako se pritisak održava konstantim (p = const), dobija se specifična toplota pri konstantnom pritisku (cp ili Cp). Odnos specifičnih toplota pri konstantnom pritisku i zapremini uobičajeno se označava grčkim slovom kapa: Cp

cp

CV

cV

Iz I zakona termodinamike, može se dobiti veza izme u molarnih specifičnih toplota pri konstantnom pritisku i zapremini (Majer-ova jednačina): Cp

CV

R

U opštem slučaju parametar kapa zavisi od broja stepeni slobode gasa prema relaciji: j 2 j

Na osnovu definicije parametra kapa i njegove veze sa brojem stepeni slobode, za zadate specifične toplote pri konstantnom pritisku i zapremini, dobija se:

cp cV

j 2 j

j

2 c p / cV

1

3

Iz Majer-ove relacije može se odrediti molarna masa gasa:

Cp

CV

R

M (c p

cV )

M

R (c p

cV )

2 g/mol

Na osnovu odre ene molarne mase, može se zaključiti da je u pitanju vodonik. Me utim, poznato je da je vodonik dvoatomski gas (H2) što nije u skladu sa prethodno odre enim brojem stepeni slobode koji sugeriše da je u pitanju jednoatomski gas. Ovo neslaganje se može objasniti ukoliko su vrednosti specifičnih toplota odre ivane pri veoma niskim temperaturama kada se rotacija može zanemariti. -2-

2010 © Jasna Crnjanski

2. Unutrašnja energija [zz 531]. Odrediti unutrašnju energiju koju ima vazduh na pritisku p = 0,1 MPa u prostoriji zapremine V = 60 m3. Smatrati da je gas idealan ( = cp /cV = 1,4) i da je nulti nivo unutrašnje energije na 0 K. Zapremina prostorije je konstantna (V = const, izohorski proces), pa je rad koji gas vrši nad okolinom jednak nuli:

A F dr

p dS dr

p dV

0

Na osnovu prvog zakona termodinamike, promena unutrašnje energije je jednaka količini toplote koju sistem razmeni sa okolinom:

dU

Q

A

Q m c dT

m cV dT

gde je specifična toplota c = cV jer je u pitanju izohorski proces. Nakon integracije: U

T

dU

m cV dT

U0 0

T 0

za unutrašnju energiju sistema se dobija:

U

mcV T

Iz jednačine stanja idealnog gasa, može se izraziti temperatura vazduha u prostoriji na osnovu poznatog pritiska i zapremine:

pV

nm RT

T

pV nm R

mcV

pVM mR

cV M

pVM mR

pa je unutrašnja energija: U

pV R

Nepoznata molarna masa M i specifična toplota pri konstantoj zapremini cV mogu se odrediti na osnovu poznatih veza:

c p / cV

C p / CV

gde je

i

Cp

CV

CV

R

CV

R 1

McV

Konačno, za unutrašnju energiju dobija se: U

cV M

pV R

CV

pV R

R

pV 1 R

pV 15 MJ 1

-3-

2010 © Jasna Crnjanski

Za vežbu uraditi [zz 532]: Odre ivanje specifične toplote smeše idealnih gasova. Unutrašnja energija smeše idealnih gasova jednaka je zbiru unutrašnjih energija komponenata smeše.

3. Izohorski proces [zz 533]. Kiseonik O2 nalazi se u sudu zapremine V = 10 l i na pritisku p1 = 10 bar i temperaturi T1 = 400 K. Ako se gasu promeni temperatura za T = 40 K, odrediti promenu unutrašnje energije i količinu toplote razmenjene sa okolinom. Zapremina suda je konstantna (V = const), pa važi: specifična toplota: c cV gas ne vrši rad: A

p dV

0

Na osnovu prvog zakona termodinamike, unutrašnja energija je:

dU

Q

A

Q m cV dT

što nakon integracije U2

dU

U1

T2

m cV dT

T1

konačno daje:

U

mcV

T

Iz jednačine stanja idealnog gasa, može se izraziti masa gasa u posudi na osnovu poznatog pritiska, zapremine i temperature u početnom trenutku: m RT1 M

p1V

m

p1VM RT1

Za izohorski proces, specifična toplota pri konstantnoj zapremini se može izraziti preko broja stepeni slobode i molarne mase gasa: cV

CV / M

j R 2M

gde je za kiseonik koji predstavlja dvoatomni molekul, broj stepeni slobode:

j

jT

jR

3 2 5

Zamenom prethodnih izraza u izraz za promenu unutrašnje energije dobija se:

U

p1VM 5 R RT1 2 M

T

5 p1V T 2 T1

2,5 kJ

U konkretnom slučaju rad je jednak nuli, pa je promena unutrašnje energije jednaka promeni količine toplote ( Q). Negativna vrednost za promenu količine toplote gasa označava da gas odaje energiju okolini.

-4-

2010 © Jasna Crnjanski

4. Izobarski proces [zz 534]. Dvoatomni idealni gas se izobarno zagreva od stanja 1 do stanja 2 i pri tome izvrši rad A12 = 40 kJ. Koliku količinu toplote je pri tome gas primio? Kolika je promena unutrašnje energije? Na osnovu prvog zakona termodinamike, unutrašnja energija je:

dU

Q

A

što za konačnu promenu stanja sistema iz stanja 1 u stanje 2 može da se zapiše i u obliku:

U

Q12

A12

Proces prelaska sistema iz stanja 1 u stanje 2 je izobarski, što znači da se gas tokom procesa 1 2 nalazi na konstantnom pritisku, pa je specifična toplota c jednaka specifičnoj toploti pri konstantnom pritisku cp i promena količine toplote se može izraziti u obliku: Q12

mc p T

nm C p T

Za idealni gas, unutrašnja energija zavisi isključivo od temperature, U = U(T). Funkcionalna zavisnost unutrašnje energije od temperature može se jednostavno odrediti analizom izohorskog procesa (V = const). Za izohorske procese rad je jednak nuli, pa je unutrašnja energija jednaka razmenjenoj količini toplote:

dU

Q

A

Q nmCV dT .

Ako je gas idealan, promena unutrašnje energije data je izrazom

dU

nm CV dT

bez obzira na to kakav je proces prelaska gasa iz stanja 1 u stanje 2. Zamenom izraza za unutrašnju energiju i količinu toplote u prvi zakon termodinamike, rad tokom procesa 1 2 dobija se u obliku:

A12

Q12

U

nm (C p

CV ) T

nm R T

nm T

A12 R

pa je tražena količina toplote: Q12

nm TC p

A12 j 2 R R 2

j 2 A12 2

gde je iskorišćen poznati izraz za molarnu specifičnu toplotu pri konstantnom pritisku Cp = ( j + 2)R/2. Za dvoatomni idealni gas, broj stepeni slobode je:

j

jT

jR

3 2 5

pa je Q12 = 140 kJ, a U = Q12 – A12 = 100 kJ. Na osnovu brojnih vrednosti za unutrašnju energiju i količinu toplote razmenjenu sa okolinom tokom posmatranog procesa, može se zaključiti da sistem prima toplotu od okruženja i delimično je troši na povećanje unutrašnje energije a delimično tako što vrši rad nad okolinom.

-5-

2010 © Jasna Crnjanski

5. Politropski proces [zz 535]. Helijum He (idealni gas) mase m = 4 kg trpi politropsku ekspanziju tokom koje pritisak padne = 8 puta, a zapremina poraste = 4 puta. Odediti vrednost specifične toplote za ovaj proces. Kolika je razmenjena količina toplote i koliki je rad gasa pri ovoj ekspanziji, ako je promena temperature u procesu t = 150 °C? Molarna masa helijuma je M = 4 g/mol. Kolika je promena unutrašnje energije? Politropski procesi opisuju se funkcionalnom zavisnošću: pV n

const

gde je n stepen politropskog procesa. Politropski procesi su oni kod kojih nisu uvedena nikakva ograničenja u načinu promene stanja gasa i u izolovanosti sistema od okoline (u pitanju je opšta promena stanja gasa). Za specijalne vrednosti stepena politrope n: n=1

pV = const (izotermski proces)

n=0

p = const (izobarski proces, C = Cp)

n=

pV = const (adijabatski proces, C = 0)

n=±

V = const (izohorski proces, C = CV)

Za proces prelaska iz stanja 1 u stanje 2 (1

p1V1n

p1 p2

p2V2n

V2 V1

2) važi: n

p1 p2

ln

n ln

V2 V1

pa se stepen politrope n može odrediti izračunavanjem:

n

ln( p1 / p2 ) ln(V2 / V1 )

ln ln

1,5

Za idealni gas, unutrašnja energija zavisi samo od temperature i data je izrazom:

dU

mcV dT

a za politropski proces, razmenjena količina toplote u procesu 1

Q

2 je:

mcdT

gde je c specifična toplota za dati politropski proces. Rad koji se izvrši prilikom prelaza sistema iz stanja 1 u stanje 2: A

p dV

može se odrediti diferenciranjem jednačine stanja idealnog gasa i jednačine politropskog procesa. Diferenciranjem jednačine stanja idealnog gasa dobija se: p dV V dp

m RdT , M

a diferenciranjem jednačine politropskog procesa pV n = const :

p nV n 1dV V n dp 0

V dp

-6-

n pdV

2010 © Jasna Crnjanski

Zamenom u diferenciranu jednačinu stanja, dobija se: m RdT M

pdV

npdV

što konačno daje rad izvršen tokom procesa 1

A

2:

mRdT M (1 n)

pdV

Zamenom izraza za rad, unutrašnju energiju i razmenjenu količinu toplote tokom procesa 1 2 u izraz za prvi zakon termodinamike:

mcV dT

mRdT M (1 n)

mcdT

može se odrediti specifična toplota politropskog procesa

c cV

R M (1 n)

R M(

1)

R M (n 1)

R (n ) M ( 1)(n 1)

gde je za He (jednoatomski gas) parametar kapa:

j 2 j

3 2 3

5 1,67 3

Zamenom brojnih vrednosti, specifična toplota za politropski proces iznosi:

c

R (n ) M ( 1)(n 1)

1054

J kgK

Treba primetiti da specifična toplota kod politropskog procesa, u opštem slučaju, može biti i pozitivna i negativna. Negativna specifična toplota odgovara situacijama kada se pri ekspanziji gasa ne dovodi dovoljna količina toplote za ekspanziju, već se odre eni deo energije mora obezbediti na račun smanjenja unutrašnje energije. Praktično, temperatura opada iako se energija dovodi, pa specifična toplota mora biti negativna.

Zamenom brojne vrednosti za specifičnu toplotu u izraze za količinu toplote, unutrašnju energiju, dobija se:

Q12

mc T

U 12

m

R M (

mcV T

m

n T 1)(n 1) j R T 2M

632,86 kJ

1870,65 kJ

Konačno, na osnovu prvog zakona termodinamike, rad izvršen tokom procesa 1 2, iznosi:

A12

Q12

U12

2502,7 kJ

-7-

2010 © Jasna Crnjanski

6. Broj stepeni slobode [zz 503]. Pronaći broj stepeni slobode krutih molekula u gasu čija je molarna specifična toplota c = 12,47 J/(mol·K) u procesu TV = const. Koristiti činjenicu da je za promene stanja oblika pVn = const stepen politrope n dat relacijom n = (C Cp)/(C Cv) Modifikacijom jednačine politrope:

pV n

const

uz korišćenje jednačine stanja idealnog gasa, može se doći do oblika koji povezuje temperaturu i zapreminu:

pV n

pV V n

m RT V n M

1

TV n

1

1

m R TV n M

1

const

Upore ivanjem dobijene jednačine politrope sa zadatim procesom TV = const, može se zaključiti da je stepen politrope za zadati proces n – 1 = 1, tj. n = 2. Na osnovu zadate veze izme u stepena politrope i molarnih specifičnih toplota, dobija se:

n

C Cp

C

C CV

nCV

Cp

n 1

Korišćenjem veza sa brojem stepeni slobode:

Cp CV

j 2 R 2 j R 2

za broj stepeni slobode, dobija se:

j

2 (C R) 5 R

Za vežbu uraditi [zz 536]: politropski proces oblika p = izotermskog procesa za realan gas.

V i [zz 537]: rad tokom

-8-

2010 © Jasna Crnjanski

7. Entropija pri politropskom procesu [zz 540]. Pronaći zavisnost apsolutne temperature T idealnog gasa od entropije S za politropski proces koji je karakterisan specifičnom toplotom c. Uzeti da je vrednost entropije S0 kada je temperatura T0. Skicirati T = T(S) za c < 0 i c > 0. Entropija je veličina stanja sistema koja predstavlja kvantitativnu meru stanja haotičnosti sistema. Promena entropije tokom infinitezimalnog reverzibilnog procesa na apsolutnoj temperaturi T definiše se sa: Q T

dS

Reverzibilni (povratni) procesi su idealizovani procesi tokom kojih je sistem u stanju termodinamičke ravnoteže sam sa sobom i sa okolinom, pa se svaka promena stanja može odvijati u oba smera, malom promenom uslova pod kojima se sistem nalazi. Procesi kao što su prenos toplote sa konačnom temperaturskom razlikom, slobodno širenje gasa ili koverzija rada u toplotu su nepovratni (nereverzibilni procesi). Promena entropije za bilo koji reverzibilni proces može se dobiti ako se proces predstavi kao serija infinitezimalnih reverzibilnih koraka: 2

S 1

Q T

II princip termodinamike: Entropija izolovanog sistema nikada ne opada. Ona ili ostaje konstantna (za reverzibilne procese) ili se povećava (za ireverzibilne procese)

Na osnovu definicije entropije:

dS

Q T

mcdT T

Prethodna diferencijalna jednačina se može rešiti integracijom, uz odgovarajuće početne uslove: S (T )

T

dS S0

T0

mc dT T

S

T ( S ) T0 exp

S

S0

mc ln

T T0

S0 mc

Za vežbu uraditi [zz 541]: Entropija pri izobarskom i izohorskom procesu.

-9-

2010 © Jasna Crnjanski

8. Entropija pri izotermskom procesu [zz 542]. Entropija nm = 4 mol nekog idealnog gasa poraste pri izotermnoj ekspanziji za S = 36,54 J/K. Koliko puta se pri tome promeni zapremina gasa? Za izotermski proces T = const, unutrašnja energija je konstantna (dU = 0) pa je na osnovu prvog zakona termodinamike:

Q T

dS

S1

pdV T

dS

S0 V1

S

V0

V1 V0

pdV T

pdV T

Na osnovu jednačine stanja idealnog gasa, za izotermski proces dobija se:

pV

p1V1

p1V1 V

p

nm RT1

nm RT1 V

pa je promena entropije:

S

V1

nm RT1 dV T1 V V

nm R ln

0

V1 V0

Konačno, promena zapremine data je izrazom:

V1 V0

exp

S nm R

3

Za vežbu uraditi [zz 543].

-10-

2010 © Jasna Crnjanski

9. [zz 544]. Odrediti promenu unutrašnje energije i entropije nm = 5 molova jednoatomskog idealnog gasa koji se širi politropski od zapremine V1 (na pritisku p1) do zapremine V2. Kao posebne slučajeve razmotriti navedene promene pri izotermskom procesu i adijabatskom procesu za V1 = 1 m3, V2 = 5V1 i p1 = 105 Pa. Promena unutrašnje energije može se odrediti na osnovu izraza:

U 12

nm CV T

T2 1 T1

nm CV T1

nm CV

p1V1 p2V2 1 nm R p1V1

Za politropski proces: n 1 1

p 2V2 p1V1

n 2 2

pV

pV

n 1

V1 V2

pa je promena unutrašnje energije konačno:

U12

V1 j p1V1 2 V2

n 1

1

gde je j = 3 broj stepeni slobode za jednoatomski gas. Za izotermski proces, stepen politrope n = 1, pa je promena unutrašnje energije U12 = 0. Za adijabatski proces, n = = 5/3, pa je promena unutrašnje energije U12 = 98,7 kJ. Promena entropije može se izračunati na osnovu izraza:

dS

S

Q T

pdV dU T

V2

T2

1

T1

dV nm R V V

nmCV dT T

nm R

nm CV dT T

dV V

nm R ln

V2 V1

nm CV ln

T2 T1

Na osnovu jednačine politrope: TV

n 1

T2 T1

const

V1 V2

n 1

pa je promena entropije:

S

nm ln

V2 (C p V1

nCV )

Za izotermski proces, stepen politrope n = 1, pa je promena entropije S = 66,9 J/K. Za adijabatski proces, n = = 5/3, pa je promena unutrašnje energije S = 0.

-11-

2010 © Jasna Crnjanski

10. [zz 548]. Bakarna kugla mase m = 0,5 kg i specifične toplote c = 390 J/(kgK) ima temperaturu t1 = 90 °C. Kugla je bačena u veliko jezero, temperature vode t2 = 10 °C. Odrediti promenu entropije: a) kugle, b) jezera i c) univerzuma. Entropija kao veličina stanja zavisi isključivo od tekućeg stanja, a ne od procesa ili predistorije kojom se došlo do tog stanja. Iz tog razloga, moguće je odrediti promenu ireverezibilnog procesa izračunavanjem entropije za ekvivalentni reverzibilni proces (promena puta izme u stanja ne utiče na entropiju).

a) Proces hla enja kugle je nepovratan, me utim, može se posmatrati neki ekvivalentni povratni proces koji bi doveo do jednake promene entropije. Promena entropije u kvazistatičkom reverzibilnom procesu (ekvivalentnom posmatranom nepovratnom procesu): 2

Sk 1

2

Q T

mcdT T mc ln 2 T T1 1

48,55

J K

gde je temperatura kugle u stanju 2 jednaka temperaturi vode u jezeru (jezero je jako veliko). b) Tokom procesa hla enja kugle, jezero prima količinu toplote:

Q12

mc(T2 T1 ) 15,6 kJ

pri tome, temperatura jezera se praktično ne menja T = T2 = const, pa je promena entropije jezera data izrazom: 2

Sj 1

Q T

1 T2

2

Q 1

Q12 T2

55,12

J K

c) Ukupna promena entropije univerzuma jednaka je zbiru promena entropije jezera i kugle:

Su

Sj

Sk

6,57

J K

Za nepovratne procese, ukupna promena entropije je uvek veća od nule.

-12-

2010 © Jasna Crnjanski