Anexo 3. Descripción Detallada Actividad Discusión (1).pdf

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación - VIACI Escuela: Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería Programa: Ciencias Básicas Curso: Cálculo integral Código: 100411 Anexo 3. Descripción detallada actividad discusión Ejercicios propuestos Fase 4 – Discusión Una vez estudiados los principios sobre integración y analizadas las diferentes técnicas de integración, se procede a desarrollar la parte práctica o de aplicaciones de las integrales como es el caso del análisis de gráficas (área de regiones planas, área entre curvas, longitud de una curva, longitud de un arco en forma paramétrica) Primera parte (punto 1 al 4) Cada ejercicio se debe resolver paso por paso, sin omitir ninguno, cuando se utilice una propiedad, definición o ley por favor enunciarla, así se fortalece el procedimiento utilizado. 1. Hallar el área de la región limitada por la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥, entre 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2𝜋. El área se expresa en unidades de superficie. Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio. 2. Encuentre el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones

y  x3

y

y  2x  x 2 .

El área se expresa en unidades

de superficie. Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio. 3. La región limitada por la gráfica de

y  x 3 , el eje x

y

x 1 2

del sólido resultante.

1

se gira alrededor del eje x. Hallar el área de la superficie lateral

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación - VIACI Escuela: Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería Programa: Ciencias Básicas Curso: Cálculo integral Código: 100411 b

Tener en cuenta que: El área lateral (excluyendo los extremos) del sólido resultante es:

S  2  f ( x) 1  ( f ' ( x)) 2 dx a

4. Encontrar el perímetro de media circunferencia descrita por la siguiente ecuación: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4. La forma paramétrica de la ecuación es: 𝑥 = 2 sen( 𝑡) y 𝑦 = 2cos( 𝑡), para 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋. Segunda parte (punto 5 al 8) Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución, momentos o centros de masa. 5. Hallar el volumen del sólido generado al hacer girar en torno al eje y, la región en el primer cuadrante que está por encima de la parábola 𝑦 = 𝑥 2 , y por debajo de la parábola 𝑦 = 2 − 𝑥 2 (ver figura). El volumen se expresa en unidades cúbicas.

2

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación - VIACI Escuela: Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería Programa: Ciencias Básicas Curso: Cálculo integral Código: 100411

6. Hallar el volumen del solido que se genera al girar la región plana 𝑅: { expresa en unidades cúbicas.

3

𝑦 = 𝑥2 𝑦 = √8𝑥

alrededor del eje x (ver figura). El volumen se

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación - VIACI Escuela: Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería Programa: Ciencias Básicas Curso: Cálculo integral Código: 100411

7. Una varilla de 4 metros tiene una densidad

 ( x)  x kg / m

a x metros de un extremo. Hallar el centro de masas de la varilla.

b

Considerar el centro de masas: C e 

My m



 x ( x) dx a b

  ( x) dx a

4

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación - VIACI Escuela: Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería Programa: Ciencias Básicas Curso: Cálculo integral Código: 100411

8. Hallar el centroide de la región limitada por la gráfica de

y  x2  1

y

yx

entre x = -1

y

x = 1. Considerar las fórmulas

del centroide de la región en el plano: b

b

Ce( x ) 

My A



 x[ f ( x)  g ( x)]dx a b

 [ f ( x)  g ( x)]dx a

; Ce( y ) 

Mx  A

1 [ f 2 ( x)  g 2 ( x)]dx  2a b

 [ f ( x)  g ( x)]dx a

Tercera parte (punto 9 al 12) Existen numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias como en la física (trabajo y movimiento), en la hidráulica (bombeo de líquidos), en la estadística, en la economía y en las ciencias sociales. 9. A una altura de 16m se lanza verticalmente hacia abajo una pelota de béisbol con una velocidad inicial de 2 m/s. Si la pelota golpea una superficie que se encuentra a 4m de alto. Determinar la velocidad de impacto de la pelota. Sugerencia: 𝑔 = 10 𝑚/𝑠 2 .

5

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de Investigación - VIACI Escuela: Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería Programa: Ciencias Básicas Curso: Cálculo integral Código: 100411 10. Un resorte tiene una longitud de 1 metro, al aplicarle una fuerza de 40 Newton, dicho resorte se estira hasta 2,6 metros. Hallar el trabajo que se requiere para que el resorte se estire 3 metros. 11. Si la función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria X está dada por la expresión: 3 2 𝑥 (4 − 𝑥) , 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 4} 𝑓 (𝑥) = {64 0, 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Determinar la probabilidad de que por lo menos la variable adquiera el valor 2. 12. La cantidad de demanda y el precio de equilibrio en un mercado están determinados por las funciones

P  D( x)  2 x 2  6 x  16

S ( x)  x  4 ,

de oferta y demanda respectivamente. Determinar el Excedente del Consumidor (E.C.) y el Excedente

del Productor (E.P.) cuando el mercado está en equilibrio.

6