Caderno De 1º Ano

raUniversidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Aplicação Fernando Rodrigues da Silveira

cap-uerj

Projeto MATEMÁTICA VIVA - Edição Revisada

caderno de matemática 1o ano

Eugenie Maron de Azevedo Lúcia Maria Aversa Villela Nelson de Mello Rezende José Antonio Novaes Monica Rabello de Castro

Iniciação Científica: Simone Maria Levy Golçalves Nunes Iran Marcelino de Souza Daniella Assemany da Guia Sérgio Roberto Araújo de Toledo Patrícia Vanessa Alves Fabiano

2003

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitora: Nilcéa Freire Vice-reitor: Celso Pereira de Sá CENTRO DE EDUCAÇÃO E HUMANIDADES Diretor: Lincoln Tavares Silva COLÉGIO DE APLICAÇÃO DA UERJ Diretor: Aristônio Gonçalves Leite Júnior Vice-diretor: José Roberto Julianelli DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E DESENHO – DMD Chefe: Ezequiel Rodrigues de Oliveira Sub-chefe: Geraldo Henrique Botelho Lins PROJETO MATEMÁTICA VIVA Coordenação: Monica Rabello de Castro

Índice Unidade 1

Introdução a trigonometria .......................................................

1

Unidade 2

Conjuntos numéricos .................................................................

9

Unidade 3

Pares ordenados e plano cartesiano .........................................

12

Unidade 4

Valor absoluto – módulo de um número real ..........................

24

Unidade 5

Gráficos e tabelas .......................................................................

25

Unidade 6

O conceito de função ..................................................................

33

Unidade 7

Gráfico das funções usando a calculadora ...............................

43

Unidade 8

Domínio, imagem, zeros, máximos e mínimos de função .......

48

Unidade 9

Características de algumas funções ..........................................

54

Unidade 10

Translação e deformação de função no plano .........................

62

Unidade 11

Um estudo da função de 1º grau ...............................................

64

Unidade 12

O Estudo das Funções do 2º grau .............................................

70

Unidade 13

Estudo de outras famílias de Funções ......................................

72

Unidade 14

Aplicação do conceito de função na resolução de equações ...

82

Unidade 15

87

Unidade 16

Sistema de Eixos Paralelos – Uma outra representação para função do 1º grau Algumas transformações no plano ...........................................

Anexo

....................................................................................................... 100

94

Chegando à modernidade

Nesta etapa de sua escolaridade, você vai estudar uma Matemática muito especial. Ela começou a ser desenvolvida no século XVII e hoje constitui uma das mais importantes contribuições da Matemática para a humanidade. O conceito de Função será tratado durante todo esse ano letivo devido à sua importância no estudo de outras disciplinas, notadamente, a química, a física e a biologia. É um conceito complexo e, por isso mesmo, você deve dar bastante atenção a esse estudo. Como sempre, vamos tentar garantir momentos de muito prazer. Neste Caderno de Matemática, você vai encontrar atividades que vão desafiar seu espírito curioso. Se você ousar, poderá encontrar assuntos que têm aplicação direta no cotidiano de nossas vidas. Para isso, precisará estar atento e estabelecer relações entre o que faz na escola com seus outros afazeres. Nós, do Projeto Matemática Viva desejamos que você tire o máximo de proveito deste trabalho.

1 UNIDADE 1 – INTRODUÇÃO À TRIGONOMETRIA GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________ O termo “Trigonometria” significa, em grego, “medida do triângulo”. Uma antiga lenda da História da Matemática conta que Tales de Mileto (624- 546 a . C.) determinou a altura de uma das pirâmides do Egito, a partir da observação de sua sombra, no exato momento em que a bengala do sábio e sua sombra tinham o mesmo comprimento. Era já o uso da idéia básica de que, para triângulos semelhantes, a razão entre lados correspondentes é a mesma, dependendo apenas dos ângulos em questão. 1 Atividade 1 1.1) Desenhe três circunferências de mesmo raio, sendo uma no seu caderno e as demais em papel de rascunho. a) Recorte um dos círculos do rascunho. b) Divida-o em quatro partes iguais dobrando-o. c) Passe um traço sobre as dobras. d) Recorte um ângulo agudo qualquer de forma que um dos lados do ângulo coincida com um dos raios traçados. Chame-o de α. e) Pegue o círculo e sobreponha o círculo do seu caderno e marque o ângulo α, o seu complementar é o ângulo β. f) Recorte o ângulo β . 1.2) Trace uma reta no seu caderno e sobre a mesma marque dois pontos A e B distintos. a) Sobre o ponto A desenhe o ângulo α. b) Em B trace uma perpendicular. Faça a perpendicular encontrar com o lado do ângulo α. c) Assim fica determinado o triângulo retângulo ABC. O que podemos afirmar sobre o ângulo C? d) Se compararmos os ângulos do 1º quadrante com os ângulos do triângulo retângulo, o que podemos afirmar? e) Como o triângulo retângulo é “especial”, seus lados também recebe nomes “especiais”. Quais são eles? 1.3) Observando o triângulo ABC construído no item 2, escreva todas as possíveis comparações que podemos estabelecer entre os seus lados.

Dado um triângulo retângulo podemos ter as seguintes situações para determinar valores de ângulos e lados: • Conhecendo-se dois de seus ângulos, podemos determinar o terceiro ângulo pela Lei Angular de Tales. • Conhecendo-se dois de seus lados podemos determinar o terceiro lado pelo Teorema de Pitágoras. Mas como podemos determinar um de seus ângulos conhecendo pelo menos dois de seus lados ? • Neste caso, podemos comparar quaisquer dois lados do triângulo que determinaremos as RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. A seguir iremos analisar algumas relações fundamentais no círculo trigonométrico e no triângulo.

1

Texto José Paulo Carneiro

2 1.4) Marque no círculo um ponto P de ângulo, identifique no círculo trigonométrico os valores do seno e do cosseno:

a) Este ponto pode-se deslocar sobre o círculo determinando assim novos valores para o seno e o cosseno. Certo? b) Qual o valor máximo e o mínimo que o valor do seno pode assumir? c) Qual o valor máximo e o mínimo que o valor do cosseno pode assumir? Observando o movimento uniforme de um ponto sobre um círculo de raio unitário, o cosseno e o seno nada mais são do que as coordenadas desse ponto, desde que os eixos coordenados sejam tomados convenientemente. Neste caso as funções trigonométricas não são mais funções de um ângulo, e sim de um número real, que é a abscissa do ponto, medida sobre o círculo. Esta é a abordagem utilizada no estudo dos fenômenos periódicos, dos quais o movimento circular é o protótipo. Por isto, encontramos as funções trigonométricas no estudo de ondas, correntes alternada, calor, som, e até de populações. Para que servem as relações trigonométricas? Você já deve ter se feito esta pergunta algumas vezes, como também como se chegou aos valores da tabela trigonométrica. Antes de iniciarmos nossa atividade, pegue a tabela. Observe estes valores e registre o que observou em relação aos valores encontrados. 1.5) Desenhe um triângulo retângulo OBA, com um ângulo de 20º e a hipotenusa medindo 1dm. 1.6) Em B levante uma perpendicular que passe pelo ponto A 1.7) Meça o segmento AB; m(AB)= 1.8) Meça o segmento OB; m(OB)= 1.9) Estes valores correspondem aos valores de seno e cosseno de 20º. ATIVIDADE 2 Vimos na atividade anterior que Tales de Mileto calculou a altura da pirâmide pela sua sombra. Mas como calcular num dia nublado? Para esta situação foi desenvolvida uma ferramenta bem simples: duas ripinhas de madeira articuladas por um parafuso. Com o passar do tempo foram desenvolvidos instrumentos mais precisos _ a bússola do agrimensor, o pantômetro, o clinômetro e o teodolito. Atualmente, até o raio laser é empregado para se medir, com grande precisão, ângulos formados por duas direções _ esse processo foi usado na escavação dos túneis do metrô de São Paulo. (Trota,1979, pág. 185) Voltando as ripinhas. Para o cálculo da altura de um poste, afastamo-nos uma certa distância. A seguir colocamos uma das ripinhas horizontalmente e com a outra miramos o alto do poste. Com um transferidor, pode-se medir o ângulo formado pelas ripinhas. Com a medida do ângulo formado representamos esquematicamente:

3 C

BC → altura do triângulo retângulo _ a ser calculada _ formado pelas ripinhas CÂB →ângulo formado pelas ripinhas AB → medida de comprimento da ripinha horizontal

A B

O triângulo ABC é semelhante ao triângulo DSK cujos catetos são formados pela altura do poste x e d a distância entre ele e o observador, conforme a figura abaixo. h → altura do olho do observador

x-h

D

K

x

h S d

Resumindo, dado um ângulo α, por pontos pertencentes a um de seus lados tracemos as perpendiculares ao outro lado: A’’ A’ A

O

B

B’

B”

Em vista da semelhança dos triângulos retângulos OAB, OA’B’, OA”B”, podemos escrever cos α =

OB OB ' OB" = = = ... OA OA' OA"

Resolva os problemas: 2.1) Com uso de duas ripinhas meça a altura de algum objeto: o morro do corcovado, a altura do prédio do Cap, etc..

2.2) Desenhe um triângulo qualquer em que um dos ângulos meça 35º e determine o seno e o cosseno deste e do seu complementar.

2.3) Para medir a largura de um rio, sem atravessá-lo, um observador situado num ponto A, distante 3mda margem, visa, perpendicular à sua margem, um ponto B da margem oposta. De A ele traça uma perpendicular à reta AB e marca sobre ela um ponto C distante 30m de A . Em

4 seguida, ele se desloca para C, visa os pontos A e B e mede o ângulo ACB obtendo 42º . Qual é aproximadamente a largura do rio?

2.4) Para obter a altura de uma torre, um topógrafo estaciona o teodolito a 200 m da base da mesma; o ângulo indicado na figura mede 36º. Se a luneta do teodolito está a 1,7 m do solo, qual é aproximadamente, a altura da torre?

2.5) Para obter a altura de um morro, um topógrafo estaciona o teodolito em A, obtendo o ângulo α = 30º . Depois se aproxima do morro, colocando o aparelho em B e mede o ângulo β = 60º. Mede também a distância entre A e B encontrando 5m. Desprezando altura do teodolito, qual é a altura do morro?

2.6) Considere o trapézio isósceles dado abaixo. O ângulo â mede 30o . Calcule a altura deste trapézio, sabendo que a base maior mede M e a base menor mede m.

M m

â

2.7) Um bastão está apoiado em uma parede fazendo com ela um ângulo de 60o, tal como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que ele escorrega no chão de 30 cm e que depois de escorregar passou a formar com o chão um ângulo de 30o , calcule o comprimento do bastão.

30o 60o

30 cm

2.8) Encontre cinco arcos côngruos a 555o. Um deles deve necessariamente pertencer a primeira volta.

5 2.9)Encontre todos os arcos côngruos a 473º

SENO E CO-SENO NO CICLO TRIGONOMÉTRICO

Retângulo Auxiliar 180 − α

α A

180 + α

360 − α

2.10) Num ciclo trigonométrico, um retângulo auxiliar tem um vértice na extremidade do arco α . Encontre os três arcos cujas extremidades são os outros vértices do retângulo auxiliar, no caso em que:

d )α =

a )α = 20º

π

10π 9 13π h)α = 7 17π i )α = 10

g )α =

6 5π e )α = 4 2π f )α = 3

b)α = 130º c)α = 305º

2.11) Determine o seno e o cosseno do arco de 150º: Marcando no ciclo, o arco de 150º e o respectivo retângulo auxiliar identificamos o sen 150º e o cos 150º nos eixos.

150º

−

1 3 Conhecendo sen 30º = e cos 30º = , temos: 2 2

sen 150º = sen 30º =

1 2

e cos 150º = − cos 30º = −

2.12) Dê os valores de sen

4π 4π e cos . 3 3

3 2

30º

1 2 3− 1 2 2

3 2

A

6 2.13) Indique as sentenças verdadeiras:

5π 3π = cos 4 4 2π π = − cos b) cos 3 3

a ) cos

d ) sen

7π 3π = sen 4 4

e) sen 60º = sen 150º

2.14) Indique as sentenças verdadeiras:

a ) sen 70º > sen 20º

b) cos 92º > cos 100º c) sen 200º > 0 d ) cos 230º < 0 e) sen 290º < 0 2.15) Indique as sentenças verdadeiras:

a ) cos 110º = − cos 70º

b) sen 220º = − sen 140º c) sen 105º = − sen 285º d ) cos 170º = cos 10º 2.16) Dê os valores de sen 90º e cos 90º M(0,1) 1 0

A

Resolução: No ciclo trigonométrico, M é a extremidade do arco de 90º. As coordenadas do ponto M são (0,1), logo sen90º=0 e cos90º=1

2.17) Encontre os valores de:

a ) sen 180º e cos 180º

b) sen 270ºe cos 270º c) sen 360º e cos 360º

2.18) Procure os arcos x da 1ª volta tais que cos x = Resolução:

1 . 2

7 1 1 . é o valor de 2 2

O valor de x é o arco cujo cosseno vale cos60º, logo, 60º é uma das soluções .Para construímos o retângulo auxiliar que extremidade de 60º e o outro vértice no extremidade do arco de 300º. Portanto, equação são x = 60º e x = 300º. S={60º,300º}

encontrar a outra, tem vértice na 4º quadrante na as soluções da

60º

1 2 300º

2.19) Sendo 0 ≤ x ≤ 2π , resolva as equações:

a ) sen x = −

1 2

2 2 3 c) sen x = 2

b) cos x = −

2.20) Sendo 0 ≤ x ≤ 2π , resolva as inequação sen x > Resolução:

2 . 2 3π 4

Primeiro marcamos no ciclo as extremidades dos arcos x tais

π 4

2 2

2 que sen x = . Observe que os arcos cujos senos são 2 2 π 3π maiores que têm sua extremidade entre e . 2 4 4 2.21) Considerando 0 ≤ x ≤ 2π , resolva as inequações:

a ) sen x < −

1 2

d ) cos x ≤ 1

b) cos x < −

3 2

e) sen x <

c) cos x ≥

1 2

1 2

f) cos x ≥ 3

TANGENTE NO CICLO TRIGONOMÉTRICO 2.22) Encontre o valor de tg 135° Resolução: Marca-se no ciclo trigonométrico, o arco de 135º e seu retângulo auxiliar. Prolonga-se o raio OM até encontrar o eixo das tangentes t. Comparando na figura, tg 135º com tg 45º, vemos que: Tg 135º = -Tg 45º Tg 135º = -1. 2.23) Encontre o valor de: a) tg 120º b) tg 225º c) tg 300º

t T’ 45º

M(135º)

1 0 -1 T

8 d) tg 7π

4

e) tg 180º f) tg 0º

2.24) Calcule: a) tg 25º + tg 155º b) tg 170º + tg 350º + 2 tg 10º

2.25) Calcule tg

5π 2π − tg 6 3

2.26) Indique as sentenças falsas: a) tg 54º = tg 234º b) tg 280º = tg 260º c) tg 105º = tg 255º d) tg 50º = -tg 130º 2.27) Indique as sentenças verdadeiras: a) tg 80º < tg 50º b) tg 110º < tg 170º

3π 7π < tg 4 6 2π 11π d) tg > tg 3 6 c) tg

2.28) Resolva a equação tg x =

3 , para 0 ≤ x ≤ 2π T

Resolução: Para resolver a equação devemos procurar qual é o ângulo x

3 . Observemos que

cuja tangente é

3 é o valor de tg

π

3

4π . 3

Portanto

S=

π 4π 3

,

3

2.29) Considerando 0 ≤ x ≤ 2π , resolva a equação tg x = 1

2.30)

Sendo 0 ≤ x ≤ 2π , resolva a equação tg x = - 3

2.31) Resolva a equação tg 2 x − 3tgx = 0, no intervalo[0,2π ]

3

,

logo é um dos ângulos procurados. Para encontrar o outro, basta prolongarmos o raio OM no sentido oposto, encontrando M’. Desta forma M’ será extremidade do outro arco

M 0 A M’

9 2.32) Resolva a equação 3tg 2 x − 1 = 0, com 0 < x < 2π 2.33) Resolva a inequação 0 ≤ tgx ≤ 3 , sendo 0 ≤ x ≤ 2π Resolução: Inicialmente marcamos no ciclo trigonométrico as extremidades dos arcos que satisfazem as equações tg x = 0 ou tg x = 3 (como no exercício 2.28). Observe que os arcos x cujas tangentes estão compreendidas entre 0 e 3 têm suas extremidades entre os pontos A e M ou entre A’ e M’. Logo, os arcos que satisfazem a inequação 0 ≤ tgx ≤ 3 , são

0≤ x≤

π

ou π ≤ x ≤

3 S = x ∈ℜ/0 ≤ x ≤ π

{

3

4π 3 ou π ≤ x ≤ 4π

3

T M

3 A’

0 A M’

}

2.34) Com 0 ≤ x ≤ 2π , resolva as inequações:

a ) − 1 < tgx ≤ 1

d )tgx ≥ 1

b) − 3

e)tgx > 3

3 c)tgx < −1

≤ tgx < 0

2.35) Informe o valor do sen α = do 2o quadrante.

4 . Encontre o valor de cos α e de tg α, sabendo que α é um arco 5

SEGUNDA PARTE – O ESTUDO DAS FUNÇÕES UNIDADE 2 – CONJUNTOS NUMÉRICOS GRUPO DE ALUNOS:______________________________________________ Atividade 3 - Os tipos sangüíneos dos humanos são diferentes pela presença ou não de antígenos nas hemácias. Estes antígenos, cuja função é estimular a produção de anticorpos, são chamados de A, B ou Rh. Seja T o conjunto destes antígenos: T = { A, B, Rh} 3.1) Quais são os subconjuntos de T? Chamamos de conjunto das partes de um conjunto M ao conjunto P(M) formado por todos os subconjuntos de M.

3.2) Escreva o conjunto das partes de T: P(T) = { ____________________________________ }

10

Obs : Os cientistas convencionaram a pertinência do elemento Rh no tipo sangüíneo com o uso do símbolo (+) e sua ausência com o símbolo (-). Assim, por exemplo, {A, Rh} é representado por A+, {A,B}, por AB- e ∅, por O- . Reescreva P(T) de acordo com esta simbologia: P(T) = { ______________________________________ } 3.3) Escreva em extensão os subconjuntos de P(T) T1 = { x ∈ P(T) x é tipo sangüíneo ao qual pertence o antígeno A} T1 = { _______________________________________ } T2 = { x ∈ P(T) x é tipo sangüíneo ao qual pertence o antígeno B} T2 = { _______________________________________ } T3 = { x ∈ P(T) x é tipo sangüíneo ao qual pertence o antígeno fator Rh} T3 = { _______________________________________ }

3.4) Represente no universo P(T), os conjuntos T1, T2 e T32: T1

T2

T3 P(T) Atividade 4 – Com o seu grupo ou dupla, procure respostas para as questões propostas abaixo. Não se esqueça de que sua resposta deve ser justificada.

2

Obs: adaptado do livro matemática Conceitos e Fundamentos, de Antônio Nicolau Youssef Vicent Paz Fernandez, volume 1, segundo grau. Editora Scipione.

11

4.1) A turma 1C do Cap-UERJ tem 29 alunos. No primeiro teste de matemática, 18 alunos acertaram a 4a questão e, desses, apenas 16 acertaram também a 5a questão. Oito não acertaram nenhuma das duas. Quantos da 1C acertaram a 5a questão não tendo acertado a 4a questão? 4.2) A determinação do tipo sangüíneo de uma pessoa deve-se à presença (ou não) dos antígenos A e B no sangue. Se uma pessoa possuir somente o antígeno A, ela é do tipo A; se tiver somente o antígeno B, é do tipo B; se tiver ambos, é do tipo AB e se não tiver nenhum é do tipo O Num grupo de 70 pessoas verificou-se que 35 apresentam o antígeno A, 30 apresentam o antígeno B e 20 apresentam os dois antígenos. Quantas pessoas são do: a) tipo A? b) tipo B? c) tipo AB? d) tipo O? 4.3) Represente os conjuntos na reta real: a) { x ∈ R | -1 < x + 1 ≤ 3 }

____________________________________

b) { x ∈ R -2 ≤ x - 3 ≤ 1 }

_____________________________________

c) { x ∈ R | 3/5 < x < 6/5 }

_____________________________________

4.4) Determine A ∩ B, sendo A = { x ∈ R  x2 + 1 ≤ 4 } e B = { 3 - x ≥ 5 }.

4.5) Determine A ∩ B, sendo A = { x ∈ R 2x -1 ≤ x + 5 } e B = { x ∈ R  2x + 3 > 7 }.

4.6) Determine A ∩ B, sendo A = { x ∈ R 2x -1 ≤ 5x + 5 } e B = { x ∈ R  5x + 3 > 7}, representando o resultado na notação de intervalo real.

4.7) Num vestibular eram eliminados os candidatos que não obtivessem a nota mínima 3,0 em matemática ou redação. Após a apuração dos resultados, verificou-se que foram eliminados 330 candidatos, sendo 236 em matemática e 218 em redação. Quantos candidatos foram eliminados nas duas disciplinas?

12 4.8) Sendo A e B conjuntos quaisquer, definimos A B = (A - B) ∪ (B - A). Se A = [ 0, 8 ] W = ]-∞, 5], obtenha A B

e

UNIDADE 3 – PARES ORDENADOS E PLANO CARTESIANO GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________ ATIVIDADE 5 – Discuta em grupo tudo que você sabe sobre o plano cartesiano e Pares Ordenados. Em seguida, procure responder os itens que se seguem: 5.1) Determine x e y de modo que:

a) (2x - 1, y + 2) = ( 3x + 2, 2y - 6)

b)( 2x, x - 8) = ( 1 - 3y, y)

5.2) Determine a e b tais que ( 3a - b, 2) = ( 5, a2 + a)

5.3) Encontre os valores de a e b de forma que as igualdades abaixo sejam verdadeiras.

a) ( a + 2, 1 - b) = (-2, 2b + 7)

b) (-27, 1 - b2) = ( a3, o)

c) (2a + b, -12a) = (-3, 4a + b)

5.4) Você vai desenhar no quadriculado abaixo um par de eixos coordenados e, nele, um paralelogramo ABCD que será obtido da seguinte forma:

a) Desenhe o triângulo DEF em que D(2,1), E(-2,2) e F(-2,0). O lado AD do paralelogramo é a altura desse triângulo com relação ao lado EF.

b) Os pontos B e C têm coordenadas respectivamente iguais a (1, -3) e ( 5, -3). Desenhe, agora a diagonal maior desse paralelogramo.

13 Calcule o comprimento da diagonal desenhada e a área do paralelogramo.

5.5) No plano cartesiano abaixo, represente o conjunto A ∩B sendo A = (x,y) | x ∈ ]-3,0[ e y ∈ [-1,4[ e B = (x,y) | x ∈ ]- ∞ ,2] e y ∈ ] -1,3[

5.6) Sendo ( m + n, m2 - 1) e (m + 1, 3) dois pares ordenados iguais de R x R, calcule o valor de mn.

5.7) No quadriculado abaixo, desenhe um par de eixos coordenados fazendo corresponder à distância entre 0 e 1 cm, e faça o que se pede a seguir: a) Desenhe o paralelogramo ABCD em que A(1;2), B(3;4), C(7;4) e D(m;n). Determine as coordenadas m e n de D. b) Calcule as medidas das diagonais. c) Ache o valor das medidas dos ângulos.

14

5.8) Triângulo de vértices M(3,-3) N(3,4) e Q(-1,4) é retângulo? Justifique

5.9) Calcule a distância entre os pontos A(1,2) e B(5,5).

15 5.10) Represente graficamente os conjuntos:

a) {(x,y) 1 ≤ x ≤ 5 e y = 1, x e y ∈ R }

b) { (x,y) x > 0 e y = 1, x e y ∈ R}

5.11) Represente graficamente os conjuntos abaixo num mesmo plano cartesiano que você vai desenhar no quadriculado dado:

a) {(x,y) -3≤ x ≤ 0, y = 1, x e y ∈R} b) {(x,y) 0 ≤ x ≤ 2 e y = x + 4, x e y ∈R} c) {(x,y) 2 ≤ y ≤ 5, x > 1, x e y ∈ R}

16 5.12) Represente o conjunto de pontos do plano cartesiano definido por: {(x,y) 1≤ x ≤ 4 e y = x +1, x e y ∈R}

5.13) Considerando a área hachurada como a representação dos conjuntos de pontos (x,y), onde x ∈ A e y ∈ B, determine: a) A = 3

b) B = c) Um ponto qualquer do interior da região.

-2

5 -1

d) Um ponto do contorno.

5.14) Considerando os gráficos abaixo conjuntos de pontos (x,y) onde x ∈ A e y ∈ B, determine em cada caso A e B. y

a)

b)

y

1 -1

2

2

1

x

x

-1

c)

y

1 -1

1

-1

x

1

17 5.15) Sendo A x B = {(x,y) x ∈ A e y ∈ B}, represente graficamente AxB quando:

a) A = { 1,2,3} e B = [1,2]

b) A = ]1,2] e B= [ 1,3]

5.16) Sendo A = ] -2,4] e B = [1,4[, represente:

a) B x A

b) A x B

5.17) No quadriculado abaixo, desenhe um par de eixos coordenados fazendo corresponder a distância entre 0 e 1 a 1 cm, e faça o que se pede a seguir:

a) Desenhe o quadrilátero ABCD em que A(-4,4), B(-3,0), C(0,0) e D (1,4). Calcule a área de

ABCD. b) Hachure a região correspondente ao produto cartesiano de [-2,4[ x [-1,4[. Verifique quais entre os pontos A,B,C ou D pertencem a esta região. c) Delimite a região do plano em que os pares ordenados têm a abscissa igual ou maior do que a ordenada. Verifique quais entre os pontos A,B,C ou D pertencem a esta região.

18

5.18) As questões que se seguem devem ser feitas no plano cartesiano dado abaixo. Faça distância entre 0 e 1 corresponder a 1 cm.

a) Desenhe a figura cujos vértices são os pontos A(-5,2), B(-5,5) e C(-1,-1). Calcule a área da figura

encontrada. b) Esboce a região do plano correspondente a [2,5] x [1,-2]. Calcule área e perímetro desta região. c) Considere M = ]-4,-1], N = [-2,0[, O = [-3, +∞ [ e P = ] -∞, -1]. Desenhe a lápis as regiões correspondentes a M x N e a O x P. Com o lápis de cor , identifique a região correspondente a (M x N) ∩ ( O x P). Calcule a área da região colorida. y

x

Conclusão: Escreva o que você concluiu sobre o produto cartesiano entre dois conjuntos A e B, que representamos por A x B. _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________

19 5.19) Para cada uma das representações ao lado, determine: a) o conjunto dos valores de x.

b) o conjunto dos valores de y

y

y

3

3

2

2

1

1

•

•

x

c) x tal que y = 2

1

2

3

x

4

1

2

3

4

5.20) Escreva as coordenadas dos pontos marcados: A( B( C( D( E ( F (

, , , , , ,

) ) ) ) ) )

y E A F

o

D

C

x

B

5.21) Represente no plano cartesiano:

A(− 2 , 3 ) B(−2, 5 ) C ( − 5 ,− 3 )

D(1,− 2 ) E ( − 3 ,− 5 )

5.22) Calcule o perímetro e a área

4

do triângulo ABC, sendo A( -2,0 ),

3

B( 0,4 ) e C( 3,0 ):

2 1 -4

-3

-2

-1

0 -1 -2 -3

1

2

3

4

20 5.23) Um triângulo eqüilátero ABC tem A( 1,2 ), B( 5,2 ) e C no perímetro quadrante.

4 3

Determine:

2

a) As coordenadas de C;

1

b) O perímetro de ABC;

-4

c) A área de ABC.

-3

-2

-1

0 -1 -2 -3

5.24) ABCD é um quadrado A( -2,1 ), B( -2,-5 ) e C( 4,-5 ). Determine as coordenadas de D e a área do quadrado.

4 3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -2 -3 -4 -5

5.25) Sendo A( -1,3 ), B( 5,3 ) e C( 5,-2 ): 1º) As coordenadas do ponto M, médio de AB

M(

,

)

2º) As coordenadas do ponto P, médio de BC

P(

,

)

3º) O comprimento do segmento MP

MP =_______

5.26)Calcule os parâmetros m e p para que: a) P( 2m-1 , 3p+2 ) fique no semi-eixo horizontal positivo b) P( m-3 , 4p+2 ) fique acima e à direita de A( -2,3 ) c) P( 3m-1 , 4p+3 ) fique no semi-eixo horizontal negativo d) P( 4m+p , m-p ) coincida com A( 5, 0 ) e) P( m2-4 , m+3 ) fique no semi-eixo vertical positivo

1

2

3

4

21 f)

P( m3-m , m2-3m+2 ) fique na origem

g) P( 3m-p , 2p+1 ) fique no eixo horizontal à esquerda de A( -2,3 ). 5.27) ABC é um triângulo eqüilátero A( -2,-1 ), B( -4,-1 ) e C é do 3º quadrante. Determine as coordenadas de C.

5.28) ABC é um triângulo retângulo em A. Se B( 0,0 ), C( 5,0 ) e AB =3. Determine as coordenadas de A.

5.29) Sendo P1 (x1 ,y1 ) e P2 (x2 ,y2 ), deduza a fórmula para obtenção das coordenadas m1 e m2 do ponto médio de P1 P2 .

5.30) Determine P1 , P2 e P3 que AB em 4 partes iguais, sendo A( -1,2 ) e B( 2,3 ).

5.31) Calcule m para que a distância de A( m+1,2 ) ao ponto B( 2,-5 ) seja 5 2 .

5.32) Sendo P( 2m+1,3p+3 ) o ponto médio de AB, onde A( -2,3 ) e B( 1,4 ).

5.33) Represente na reta real os conjuntos:

a ){x ∈ ℜ / 2( x − 3) > ( x − 2)}

b){x ∈ ℜ / 3( x − 4) < 5( x − 1)} c)] − 2,3] d )[1,3[

e){x ∈ ℜ / − 1 < x + 1 < 3}

f ){x ∈ ℜ / − 2 < x − 3 < 1}

g ){x ∈ ℜ / x < 3}

h){x ∈ ℜ / x > 5}

22 5.34) Represente o conjunto dos pontos do plano definido por:

a ){( x, y ) / x > 0 e y = 1, x e y reais} b){( x, y ) / 1 < x < 4 e 2 < y < 4, x e y reais} c){( x, y ) / 1 < x < 5 e y = 1, x e y reais} . a ){( x, y ) / x = 2 e 1 < y < 3, x e y reais} 5.35) Prove que os pontos A( 1,1 ), B( 4,6 ) e C( 6,-2 ) são vértices de um triângulo retângulo. Consultando a tabela trigonométrica determine o ângulo C. 5.36) Considere o plano cartesiano abaixo: A

C

2 1

G D

-1

1 B

2

F

3

-1 -2 E

a) Escreva as coordenadas dos pontos marcados b) Considerando o triângulo retângulo AGF calcule a medida dos lados desse triângulo e as medidas dos ângulos AGF e AFG. 5.37) Dados A( 1,0 ) e B( 4,0), determinar o ponto C no eixo dos y de tal modo que o triângulo ABC tenha área igual a 5. 5.38) No plano cartesiano, os pontos ( 1,0 ) e ( -1,0 ) são vértices de um quadrado cujo centro é a origem. Qual é a área do quadrado? 5.39) Um triângulo eqüilátero ABC tem A( -1,2 ), B( 5,2 ) e C( x,y ). Determine: a) As coordenadas de C, sendo y>0 b) A área do triângulo ABC

23 5.40) Dados os conjuntos A = [ -2,2 ] e B = [ -4,4 ], represente o conjunto dos pontos em cada caso abaixo:

a){( x, y ) ∈ AxB / y = 2 − x}

b){( x, y ) ∈ BxA / y = x + 1}

5.41) Obter x para que o triângulo ABC seja retângulo em B. Dados: A( -1,4 ), B( x,4 ) e C( 3,-3 ) 5.42) Desenhe o quadrado ABCD em que A( -1,3 ), B( 1,5 ), C( 3,3 ) e D( 1,1 ). A diagonal AC do quadrado é um dos lados do paralelogramo ABEC. Calcule o comprimento da diagonal maior e a área do paralelogramo.

24 UNIDADE 4 – VALOR ABSOLUTO – O MÓDULO DE UM NÚMERO REAL

Considere no eixo real de origem O um ponto A de abscissa x: O

A

0

x

Chama-se “módulo de x”, e indica-se por |x|, a distância entre os pontos A e O. |x| = dOA

Atividade 6 6.1) Sabemos que 3 = -3 = 3, pois na reta real +3 e –3 eqüidistam de 0. A

O

B

-3

0

+3

Procure os valores de x que satisfazem as igualdades abaixo e dê o conjunto solução.

a) x= 4

b) x- 2 = 5

c)| x - 8 | = 3

6.2) Procure os valores de x, se x ∈ R e satisfaz as igualdades abaixo: a) x=3 b) x + 4=5 c) x + 4=2x d) 2x + 9 =1 - 3x 6.3) Determine x e y na igualdade abaixo, se x e y ∈ Z: (x - 2, 5) = ( 7, 2 - 2y) 6.4) Lembrando que 2,7=-2,7= 2,7 , determine x e y ∈ R nas igualdades abaixo: (x2 - 2,5) = (7, 2 - 2y) 6.5) Procure os valores de x ∈ R que satisfazem as desigualdades abaixo: a) x < 4 b) x ≥ 4 c) x + 4 > 3 d) x - 2 < 2x e) 2x + 9 < 1 - 3x

{

}

6.6) Determine A ∩ B , sendo A = x ∈ ℜ / x + 1 ≤ 5 e B = {x ∈ ℜ / 2 x − 3 < 4} :

25 UNIDADE 5 – GRÁFICOS E TABELAS GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________ Atividade 7 – Análise de alguns gráficos Espaço de frenagem de um veículo 7.1) Quando um motorista, a certa velocidade, é forçado a acionar o freio repentinamente, observamos que o veículo ainda percorre uma certa distância até que fique totalmente parado. Esse caminho ainda percorrido pelo automóvel é chamado de espaço de frenagem de um veículo. O valor dessa distância depende, entre outros fatores, da velocidade em que o veículo se encontra, quando é freiado. Observe o gráfico abaixo, ele representa o espaço de frenagem, na dependência da velocidade, de um certo automóvel *.

espaço de frenagem (m)

Espaço de frenagem de um veículo 80 60 40 20 0 0

20

40

60

80

100

120

Velocidade (km/h) a) Quando freiado à velocidade de 80 km/h, o carro percorrerá aproximadamente ainda que distância?

b) Qual é aproximadamente o espaço de frenagem de 120 km/h? c) Quando freiado à velocidade de 60 km/h, o veículo tem um certo espaço de frenagem, e a 80 km/h o espaço de frenagem é maior. De quantos metros é aproximadamente a diferença entre esses dois espaços de frenagens? d) Quando a velocidade dobra passando de 60 para 120 km/h, o espaço de frenagem também dobra? e) E quando dobramos de 40 para 80 km/h, o espaço de frenagem também dobra?

26 f)

Que grandezas esse gráfico relaciona?

•

O automóvel em questão é o Ford Ka CLX 1.3 modelo 97, e o gráfico foi elaborado com dados publicados na revista Quatro Rodas (mar/97)

O exercício acima foi adaptado do livro Matemática Aplicada, de Fernando Trotta e outros, Volume 1, segundo grau, Editora Moderna.

CRESCIMENTO DE MENINOS E MENINAS 7.2) No gráfico seguinte aparecem duas curvas, referente ao crescimento de meninos e meninas, desde o nascimento até o final da adolescência. Os dados referem-se a valores médios de uma população. Observe atentamente o gráfico e responda as próximas questões:

Crescimento de meninos e meninas

estatura (cm)

180

Meninos Meninas

150 120 90 60 30 0 2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

idade (anos) a) A comparação das duas curvas mostra que, durante a infância, meninos e meninas da mesma idade têm, praticamente, a mesma altura. Na adolescência há um período eme que as meninas apresentam estatura maior que a dos meninos. Localize esse período no gráfico. Em que faixa etária se dá? b) A partir de que idade os meninos passam à frente das meninas em altura? c) Pelo gráfico, em torno de que idade a estatura média dos homens tende a estabilizar? E a das mulheres? d) Observando o gráfico, diga qual o período de vida da criança em que ela apresenta crescimento acentuado. e) Qual é o crescimento das crianças nos dois primeiros anos de vida?

27 f)

Que grandezas esse gráfico relaciona?

Obs: O exercício foi retirado da apostila do Telecurso 2º grau, da Fundação Roberto Marinho.

7.3) É dado o gráfico da população brasileira durante os últimos 25 anos. a) Qual era a população brasileira em 1990? b) De quanto cresceu a população brasileira entre 1985 a 1995? c) Existe durante esse período de 25 anos algum período em que o crescimento da população brasileira tenha se mantido proporcional ao tempo? Em caso afirmativo, diga em qual período. d) Em que período a população brasileira alcançou os 130 milhões de habitantes? 160 140 120 100 em milhões

80 60 40 20 0 1975

1980

1985

1990

1995

1999

7.4) A companhia elétrica da cidade de “Simsinhô” cobra R$ 2,00 o quilowatt de energia consumido. Além disso, cobram uma tarifa fixa de R$ 12,00 em cada conta cobrada. a) Encontre a forma algébrica da função que relaciona o total cobrado em uma conta em função do consumo de energia relativo àquela cobrança. b) Encontre o total de quilowatts consumidos quando a conta apresentada mostra o valor de R$ 85,20.

VELOCIDADE X TEMPO 7.5) Suponhamos que uma pessoa, em um automóvel, faça uma viagem entre duas cidades, distanciadas de 180 km. Seja v a velocidade do carro t o tempo gasto na viagem. É fácil concluir que: se v = 30 km/h então t = 6 h se v = 60 km/h então t = 3 h se v = 90 km/h então t = 2 h

a) Qual a relação de dependência entre as grandezas v e t? b) Caso exista, qual o valor da constante de proporcionalidade? c) Como podemos expressar a relação entre grandezas?

28 d) Represente graficamente a situação:

Obs.:O gráfico representa uma grandeza variando em proporção direta com o inverso da outra :

GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________ Atividade 8 – Análise de tabelas e sua relação com os gráficos 8.1) A tabela abaixo indica o deslocamento de um móvel num dado intervalo de tempo. Intervalo de tempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Deslocamento (cm) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Observando a tabela, responda: a) Qual o deslocamento num intervalo de tempo de 7 segundos? b) Qual o intervalo de tempo correspondente a um deslocamento de 8 cm? c) O deslocamento é uma função do intervalo de tempo? Por quê?

29 8.2) Na tabela abaixo, a idade de uma determinada pessoa e a altura correspondente. Altura (m) 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75

Idade ( anos) 3 5 7 9 13 16 17 18 19 22 34 40

a) É verdade que para cada idade temos em correspondência uma única altura? b) É verdade que para cada altura temos, em correspondência uma única idade? c) É verdade que a altura é uma função da idade? d) É verdade que a idade é uma função da altura? Por quê?

8.3) O preço que um pintor cobra para pintar uma casa varia com a área a ser pintada de acordo com a seguinte tabela: Área (m2) 0 a 100 101 a 200 201 a 400 401 a 600 601 a 800 801 a 1000

Preço (R$) 40 80 120 160 200 240

a) Qual o preço a ser pago se a área a ser pintada for de 430 m2? b) Com R$ 120,00, qual a maior área que pode ser pintada? c) A área a ser pintada é uma função do preço? Por quê? d) O preço a ser cobrado é uma função da área ? Por quê?

º

Obs: os exercícios acima foram retirados do livro ‘Matemática 2 grau’, de Gelson Iezzi e outros, vol 1. Ed. Atual.

PESO DAS CRIANÇAS 8.4) Em manuais de pediatria encontramos tabelas que relacionam a faixa etária de uma criança com o peso que ela deve atingir em média. Observe a tabela e o gráfico abaixo:

IDADE EM ANOS 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Peso Meninos 3.22 10.39 12.86 14.71 16.92 19.04 20.73 23.35 25.84 29.03 31.07 35.55 em kg Meninas 3.22 9.95 12.20 14.75 16.65 18.51 21.02 23.13 23.94 28.57 30.51 33.96

30

Peso dos meninos 50 Peso (kg)

40 30 20 10 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

Idade (anos) Use a tabela para responder as perguntas abaixo: 1) Qual seria o peso de um menino, a) com 1 ano? b) aos 3 anos? 2) Com que idade as meninas pesam mais do que os meninos? 3) Entre que valores, estaria o peso de um menino aos seis anos e meio? Onde você pode ter informação mais precisa, na tabela ou no gráfico? 4) Quanto um menino pesaria com 1 ano e 4 meses? E com 9 meses? 5) O peso de um menino aos 9 anos é igual à média aritmética dos seus pesos com 0 e 11 anos? Justifique. 6) De 4 para 5 anos, como variam o peso de um menino? 7) Quanto pesa aproximadamente um menino aos 10 anos e 5 meses? 8) Qual a idade provável de um menino cujo peso é 33.5 kg? E de 23 kg?

31

10

Peso 20 30 40

50

8.5) Construa agora outro gráfico utilizando a tabela das meninas:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12

13

14 15

16

17 18 19 20 Idade

8.6) Observando os gráficos e as tabelas, responda. Qual a representação que fornece os valores dos pesos mais facilmente? E a que fornece mais informações? Por quê?

** PROMOÇÃO DO PATINHO 8.7) Observe o cartaz que está afixado na porta de um açougue. R$ / Kg

4,5 4,0 3,0

1 2 1. De que trata o cartaz?

3

5

Peso (kg)

2. Que grandezas variam nesta situação? 3. O que representam os números que estão nos eixos? 4. Só observando o cartaz diga: Se uma pessoa comprar exatamente 1 kg de patinho quanto pagará? Se comprar 2 kg, quanto pagará por quilo? E se comprar 5 kg? 5. Se uma pessoa comprar 3 kg e 200 g de patinho quanto pagará por quilo? 6. A partir de que peso comprado o preço por quilo não varia mais?

32 7. Uma pessoa tem que comprar 4 kg de carne. O que é mais vantajoso: comprar em uma vez ou comprar em duas vezes? E se ela tiver que comprar 7 kg? Justifique sua resposta. 8. Quanto de carne você pode comprar com 4 reais, nessa promoção? 9. Um cliente pediu um pedaço de carne, que pesou 1.8 kg. O açougueiro sugeriu completar 2 kg. Você aceitaria a sugestão? Por quê?

** OS CORREIOS 8.8) A tabela abaixo dá algumas tarifas postais para o Brasil, de acordo com o peso da correspondência. CARTA, CARTÃO POSTAL, AEROGRAMA E IMPRESSO URGENTE Peso (em gramas) Até 10.00 10.01 a 20.00 20.01 a 50.00 50.01 a 100.00 100.01 a 250.00 250.01 a 500.00

Preço (em R$) 0.12 0.15 0.22 0.31 0.62 1.12

1) Nesta situação, que grandezas variam?

2) Para representar essa situação em gráfico cartesiano, qual o maior peso em gramas, que você precisará representar? E o menor? Em que eixo você vai representar os pesos? E os preços? 3) Faça o gráfico dessa situação. Antes disso, escolha uma escala adequada em cada eixo.

º

Obs: Os exercícios acima com ** foram retirados da publicação ‘Construindo o Conceito de Função no 1 grau’, do Projeto Fundão – UFRJ.

33 UNIDADE 6 – O CONCEITO DE FUNÇÃO GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________ ATIVIDADE 9 - As atividades a seguir referem-se a um conceito novo. Discuta com seus colegas e procure ao final verificar se os significados construídos por você coincidem com os deles. 9.1) Mesmo nas ocorrências mais simples, nos fenômenos mais freqüentes do dia-a-dia e da ciência, várias grandezas estão envolvidas simultaneamente. Vamos estabelecer matematicamente algumas relações de interdependência entre pares de grandezas. Procure você expressar a dependência entre:

a) a área y de um quadrado de lado x.

y=

b) a altura y de um retângulo de área 50 m2 e base x. y = c) a altura y de um triângulo equilátero de lado x.

y=

9.2) Seja y a área de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio igual a x. Encontre a relação entre x e y.

9.3) Uma pessoa, recolhendo a água que jorra de uma mangueira, obtém os seguintes dados:

Tempo (s)

Volume (l)

5

15

10

30

30

90

a) Qual a relação de dependência entre o volume recolhido e o tempo empregado na operação?

b) Qual é o valor da constante de proporcionalidade entre estas grandezas?

c) Se designarmos o volume recolhido por v e o tempo correspondente por t, como poderemos expressar a relação entre estas grandezas?

34 d) Represente graficamente (plano cartesiano) a situação:

Conclusão: Escreva que característica tem o gráfico que representa uma grandeza variando em proporção direta com outra.

9.4) Considere um quadrado de lado I e área S.

9.5) Fixando no teto uma das extremidades de uma mola de aço e pendurando na outra um corpo de peso P, em quilogramas-força, a mola se distende e seu comprimento aumenta de x centímetros, obtendo-se a tabela: P

1

2

3

4

5

x

3

6

9

12 15

a) Verifique se as grandezas P e x são diretamente ou inversamente proporcionais; b) Determine uma fórmula que relacione P com x; c) Calcule o valor de P quando x = 5 cm; d) Calcule o valor de x quando P = 3,5;

35 Represente graficamente à situação:

9.6) Para estudar a taxa do nível de aprendizagem dos animais, um grupo de estudantes de Psicologia fez uma experiência na qual um rato branco era enviado, repetidamente, através de um labirinto. Os estudantes notaram que o tempo requerido para o rato percorrer o labirinto, na enésima tentativa, era de, aproximadamente;

f(n) = 3 +

12 (f dado em minutos) n

a) Quanto tempo gastou o ratinho para percorrer o labirinto na 3a tentativa?

b) E na 6a tentativa?

c) Em qual tentativa o rato percorreu o labirinto em 4 minutos?

d) De acordo com a lei acima, que aconteceu com o tempo de percurso quando o número de tentativas aumente?

e) O ratinho conseguirá percorrer o labirinto em menos de 3 minutos?

36 f) Como fica a representação gráfica da situação acima?

9.7) Estima-se que a população de uma certa comunidade suburbana daqui a t anos, será de:

p(t) = 20 -

6 milhares t +1

a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade? b) De quanto a população crescerá durante o 9o ano? c) Com o passar dos anos, você detecta alguma tendência para o no de pessoas dessa comunidade?

d) Faz sentido ser um número negativo? 9.8) Uma fábrica produz sapatos. A produção é definida pela função P(t) = t 2 + 2t onde t representa horas após o início de suas atividades diárias. Se a fábrica começa a funcionar às 8 horas, entre 10 e 11 horas quantos pares serão produzidos?

9.9) Um pedaço de cartolina quadrado tem lados de 15 cm. Nos cantos inferiores são recortados dois quadrados iguais com lado x cm. Na parte superior é recortado um retângulo de largura x cm. A parte restante tem forma de T e área y. a) A área do T varia com x?

x cm

b) Em caso afirmativo, apresente a lei que associa y e x. c) Neste caso, qual o intervalo de variação de x? d) Qual o valor de x e y = 100 cm2 ?

x cm

37 9.10) Considere a figura onde EFGH é um quadrado de lado 10cm. Q pode ser qualquer ponto do lado FG, exceto F e G. x é o segmento FQ e y é a área da figura EQGH. E

a) Escreva y em função de x.

b) Qual a variação de x?

F

Q 2

c) Qual o valor de x para y = 60 cm ? H

G

9.11) Na figura como C abaixo expresse o perímetro y em função de x. x

x

x 11

13

9.12) Em uma cidade, os habitantes pagam pela água consumida de acordo com a tabela seguinte: C (m3) 0 < C ≤ 50 50 < C ≤ 100 100 < C ≤ 150 C> 150

P(reais) P = 1,20 P = 1,50 P = 1,80 P = 2,00

C: consumo mensal P: preço por m3

Responda:

a) Qual o preço do m3 de água para um consumo de 112 m3? b) Qual o total a pagar por um consumo de 70 m3? c) O preço do m3 de água é uma função do consumo mensal? (JUSTIFIQUE) d) O consumo mensal é uma função do preço do m3? (JUSTIFIQUE) e) O total a pagar, em determinado mês, foi R$ 90,00; pode-se determinar quantos m3 consumidos?

f) O total a pagar é diretamente proporcional ao consumo mensal?

38 9.13) De acordo com as características das funções e dados os esquemas abaixo que representam relações de A em B, indique as relações que são funções: a)

A

b) A

c)

•1 •2 •3 •4 •5

2•• 3•• 4••

•0 •1

-1•• 1•• 2•• - 2••

•2 •5

1••

-1•• 1••

e) A

B

2•• 4•• 6••

•4

•3

A

d) A

B

f)

B

•5 •7

A

2•• 4•• 6••

•2 •1 •3 •5

B

B •0

•4 •1 •2 •3 •5

B

9.14) Uma panela, contendo uma barra de gelo a -40 0 C, é colocada sobre a chama de um fogão. O gráfico abaixo mostra essa relação onde Y ( 0C ) temperatura da água e x ( minutos): Y(oc) 100 80 60 40

água

20

-20 - 40

gelo + água 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x (min.)

gelo

a) Essa relação é uma função? b) Qual o tempo necessário para que o gelo derreta por completo? c) Observando o gráfico qual a temperatura máxima atingida? Em quantos minutos isto ocorre? d) Qual a temperatura da água quando x = 6 min?

39 9.15) Na figura, P percorre a semicircunferência AB, e PQ é perpendicular ao diâmetro AB. As medidas dos segmentos são: AQ = x, PQ = y, BQ = z e AB = 2 cm. P

a) Exprimir z em função de x e construir o gráfico.

x

b) Exprimir y em função de x e construir o gráfico

A

z Q

B

9.16) Um motorista vai ao centro da cidade e pode escolher parar seu carro em dois estacionamentos A ou B. No estacionamento A, ele pagará R$ 2,00 para entrar e R$ 3,00 por hora de permanência; no estacionamento B, pagará R$ 8,00 para entrar e R$ 1,00 por hora de permanência.

a) Chamando de y o total a ser pago após x horas estacionando, dê a função que relaciona x e y para cada um dos estacionamentos;

b) Esboce num mesmo sistema de eixos cartesianos ortogonais os gráficos que representam as duas funções;

c) Se o motorista sabe de antemão que ficará estacionado por no mínimo três horas, determine se há vantagem em escolher um ou outro estacionamento.

9.17) Num laboratório de biologia verificou-se que certo tipo de bactéria ao se reproduzir duplicavase a cada segundo. a) Quantas bactérias existirão em 10 s?

b) Complete a tabela que associa o tempo ao número de bactérias. Tempo 0 1 2 3 4

número 1 8 32

c) O que observa na segunda coluna? d) O que observa na 1ª coluna? e) Que relação existe entre estas duas colunas? f) Quantas bactérias existem entre 10s e 15s?

X

y

g) Quantas bactérias existem entre 11s e 12s? Por quê?

40 h) Represente a situação no plano cartesiano:

9.18) Considere as funções f(x) = 4x + 1 e g(x) = 3x+5: a) Resolva f(x) = g(x) b) Resolva f(x) > g(x) c) Faça os gráficos das funções e g num mesmo sistema de eixos

41 9.19) O gráfico abaixo mostra a relação entre o valor da conta d´água e o volume d´água consumido em uma determinada residência. R$ 34 18 5 4

8

12

16

20

24

m3

a) O que você poderia comentar sobre o valor da conta nos diferentes intervalos de consumo [ 0;8] [8; 16] e [16 ; 24] ? b) Qual seria o valor da conta se o consumo for de 12 m3 ? c) Qual seria o valor da conta se o consumo for de 24m3 ? 9.20) Considere a função f(x) = 3x + 4, esboce o gráfico: a) Determine f(10) – f(2) 10 – 2

d) os valores obtidos nos itens anteriores s são iguais ?

b) Determine f(4) - f(-1) 4 – (-1) c)Determine f( x2 ) – f (x1) x2 - x1

e) A taxa de variação média depende dos valores escolhidos no domínio ?

9.21) Responder o exercício anterior para f(x) = x2 9.22) O gráfico representa a quantidade de soro que uma pessoa deve tomar em função de seu peso, caso seja mordida por um animal raivoso . ml 50

25 10 20

50

100 Kgf

42 a) Quanto deve tomar de soro uma pessoa que pesa 50 Kgf? b) Sabe-se que a quantidade de soro a ser tomada deve ser distribuída em 14 injeções. Quantos ml de soro devem tomar em cada injeção uma pessoa de 84 Kgf de peso? 9.23) Duas motos A e B são observadas durante 20 segundos. Os gráficos dados indicam as posições S, em metros, de cada moto, no instante t, em segundos. Pergunta-se: A) Em que instante a moto A alcança B? B) Qual a distância entre A e B no final da observação? S A 500

B

350 200 100

10

20

t

9.24) Em determinados movimentos retilíneos, a posição de um móvel é dada pela função: S(t) = Vt + S0, onde S0 é a posição do móvel no instante t =0, V é a velocidade do móvel e S é a posição do móvel no instante t . Considere o movimento de um móvel A segundo a lei: S(t) = 3t + 2 a) Faça o gráfico. b) Qual a taxa de variação média entre os instantes t = 1s e t = 2s? c) A taxa de variação média é constante, ou depende do intervalo de tempo adotado? 9.25) A taxa de inscrição de um clube de natação é R$ 150,00para o curso de 12 semanas. Se uma pessoa se inscreve após o início do curso, a taxa é reduzida linearmente. a) Expresse a taxas de inscrição em função do nº de semanas transcorridas desde o início do curso. b) Calcule quanto uma pessoa pagou ao se inscrever cinco semanas após o início do curso. 9.26) É um fato conhecido que, qualquer que seja uma substância, a sua temperatura permanece constante durante a fusão. No processo de aquecimento de uma substância, sua temperatura T (em ºC) variou com o tempo (em minutos) de acordo com a seguinte lei:

T(t)=

20 + 5t se o ≤ t ≤ 30

150 se 30 ≤ t ≤ 50

20 + 3t se t ≥ 50

43 a) Esboce o gráfico de T como função de t: b) Qual a temperatura da substância no início do processo, isto é, quando t=0? c) Qual a temperatura da substancia decorridos 3 horas do início do processo? d) Sabendo-se que houve fusão da substancia, em qual intervalo de tempo ela ocorreu? e) Em que intervalo de tempo houve a maior variação da temperatura por minuto? Explique sua resposta. 9.27) Um vendedor recebe um salário fixo de R$ 300,00 por mês, mais uma comissão de 5% sobre as vendas que excederem a R$ 1000,00. a) Denotando-se por y o salário e por x os valores das vendas no mês, construa o gráfico da função que representa o salário mensal desse vendedor. b) Qual seria o seu salário em um mês cujas vendas atingiriam R$ 1 800,00 9.28) Dadas as funções f e g cujas leis são f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1, calcule a e b de modo que os gráficos das funções interceptem-se no ponto (1, 6).

UNIDADE 7 – GRÁFICO DAS FUNÇÕES USANDO A CALCULADORA GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________ ATIVIDADE 10 Com o auxílio da calculadora, construa os seguintes gráficos:

a) f(x) = x

b) f(x) = x2

44 c) f(x) = x3

d) f(x) = 2

e) f(x) = 2x

f) f(x) = sen x

45 g) f(x) = 1/x

h) f(x) = x

i) f(x) = -1

i) f(x) = x3 + x2 + 4

46 l) f(x) = - ½ x

m) f(x) =

x–4

n) f(x) = x2 + 4x + 4

47 o) f(x) = cos x

p) f(x) = ½ x

Após ter feito todos os gráficos responda:

1) Os gráficos apresentam a mesma forma?

2) Quais são as formas que aparecem? Nomeie as que você conhece.

3) Agrupe as funções conforme suas representações gráficas.

48

LURUNIDADE 8 - DOMÍNIO, IMAGEM, ZEROS, MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÃO GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________ ATIVIDADE 11 11.1) Faça o esboço do gráfico das duas funções abaixo: a) f(x) = 2x

b) f :

A

R

y = 1 - 2x e A = ]-1,3]

Indique no gráfico o domínio e a imagem de cada uma das funções. 11.2) Esboce o gráfico das funções f(x) = 2x - 4 e g(x) = 5 - 3x e h(x) = 3. Calcule os três vértices do triângulo determinado pelos gráficos dessas três funções.

11.3) Juntando as pontas de um barbante de comprimento x, é feito um quadrado. A área y desse quadrado depende de x? a) Encontre y para x = 40.

b) Escreva y em função de x. c) Determine os possíveis valores de x.

49

11.4) Sendo f(x) = 3x - 4, encontre os valores de x que tornam f(x) positiva.

11.5) Represente no plano cartesiano a função f(x) = 2x - 1, nos casos em que o domínio seja: b) {x ∈ R

a) {-1,0,1,2,3}

-1 ≤ x ≤ 3}

11.6) O ministério da saúde constatou que para imunizar x% da população infantil ( 15 milhões de crianças) teria um custo de:

f(x) =

150. x 200 - x

milhões de dólares

a) Quanto gastaremos para imunizar 100% das crianças? b) Qual o custo para vacinar uma criança? c) Determine o domínio dessa função.

11.7) Qual o domínio das funções abaixo?

a) f(x) = x + 2 b) f ( x) =

x -1 2x - 1

11.8) Encontre o domínio das funções abaixo:

b) f ( x) =

x + 2 ( x − 3) 3 − 2x

11.9) Calcule o domínio das funções abaixo, e calcule f(-1/2).

a)f(x) =

x 1- x

b)f(x) =

1 x-2

+

1 x-3

50

11.10) Um móvel tem equação horária dada por s(t) = -50 + 20t, (t em segundos e s em metros). Determine o instante em que o móvel passou pela origem do eixo s (das ordenadas).

11.11) Sendo f: R

R, uma função definida por f(x) = 2x + 3, pede-se:

a) o valor de x para que f (x) = 0 b) o valor de x para que f(x) = -2/3

11.12) Represente graficamente a função f : ℜ → ℜ f ( x ) = x + 2 e dê o que se pede abaixo: a) O conjunto imagem da função f. b) As raízes da função f, se existirem. c) O valor de f(-3,4). 11.13) Seja f : A → B, uma função definida por f(x) = ax - 5, em que A = {-1, 0, 1, 2, 3} e B ={-16, -5, 6, 17}. Sabendo-se que f(1) = 6. Calcule:

a) o valor de a b) f(-1) + f(10) - f(2) = c) Im(f) = 11.14) Dados os conjuntos A = {-2,0,2} e B = {1/4, 0, 1, 2, 3, 4}, determine o conjunto-imagem da função f: A → B, definida por:

a) f(x) = x + 2

c) f(x) = 2x

b) f(x) = x2

d) f(x) = x

11.15) Considere o conjunto [-3;4[ domínio da função definida por: f(x) = 4 - 2x, determine o gráfico e a imagem de f(x).

51

11.16) Na figura temos um quadrado com 4cm de lado.

D

a) Determine a área da figura AMCN em função de x.

x N

b) Faça o gráfico.

C

M x

A

c) Dê a imagem da função.

B

d) Dê o domínio da função.

11.17) Os pontos (2,5) e (3,3) pertencem à função f(x) = ax + b. Quais os valores de a e b?

11.18) Seja f(x) = ax + b. Se f(2) = 7 e f(-2) = 15, determine f(1999).

3x 4x − 1 e g(x ) = +a 5 3 Sabendo - se que f(0) - g(0) = 1/3, calcule f(3) - 3.g(1/5).

11.19) As funções f e g são definidas por f (x ) =

52

11.20) A função f abaixo está definida por seu gráfico:

15

4

a) O grupo deverá investigar essa função, isto é, dizer: se ela é crescente ou decrescente, se possui zeros, se tem valores positivos ou negativos, domínio, imagem e forma algébrica. b) Ao terminar esta investigação, o grupo irá discutir a seguinte situação: A função f relaciona a velocidade em m/s de um móvel em função do tempo s. Procurem descrever o que está acontecendo com esse móvel durante o tempo descrito pelo gráfico.

c) Depois de terminada a discussão do item anterior, o grupo deverá discutir a função g que

relaciona o espaço percorrido pelo mesmo móvel durante o mesmo espaço de tempo dada na forma algébrica por: g(x) = x2 - 8x + 12 Digam, por exemplo, se ele está de acordo com o da função f, que descreve a velocidade do mesmo móvel, que outras conclusões vocês podem tirar a respeito do que aconteceu dentro do mesmo intervalo de tempo, etc.

11.21) Dado o gráfico da função g abaixo, determine o que se pede a seguir: a) b) c) d)

Os intervalos em que a função g é crescente. As raízes da função g, se existirem. O valor aproximado de g(3). O conjunto imagem da função g.

3 2 1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-1 -2 -3

11.22) Dada a função f : R → R, definida por f(x) = 3x - 5, pede-se:

a) f ( 1/5) 11.23) Na função f : R→ R, definida por f(x) = x2 - 2x + 3, pede-se:

a) f(0)

b)f(-2)

c)f ( 2 )

g

53

11.24) Seja f uma função real de variável real definida pela seguinte lei de formação: f(x) = 2x - 5. Determine:

a) f(2) + f(-3) + f(0) - f(-¾) = b) O zero da função c) A representação gráfica de y = f(x).

11.25) Considere as funções f(x) = 2 – 4x a) Calcule o valor da expressão: f(-1) – g(-2,5) + 2f(0,5) b) Encontre os zeros das funções f e g

e

g(x) = 3(x+3) e faça o que se pede a seguir:

11.26) Considere a função real h(x) = -x2 + 3x + 4 e faça o que se pede a seguir: a) Encontre os zeros de h, se houver. b) Encontre a imagem de h. c) Esboce o gráfico de h no intervalo [-4,4].

11.27) Calcule os valores de m para os quais y = (3m-4)x – 3 é crescente. Encontre a equação da reta que passa pelos pontos (2,3) e (-1,4).

11.28) Sabendo que a função h(x) é de 1o grau e que seu gráfico passa pelos pontos (-1,4) e (0,-2), encontre a forma algébrica da função h.

54

UNIDADE 9 – CARACTERÍSTICAS DE ALGUMAS FUNÇÕES GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________________ ATIVIDADE 12 - Atividades sobre funções definidas por mais de uma sentença 12.1) Vou definir uma função algebricamente com domínio e contradomínio reais.

x+4 se x<0 f ( x ) = − 2x + 4 se 0 ≤ x ≤ 2 x − 7 x + 10 se x > 2 a) O grupo deve investigar essa função. Isto significa saber se ela: Possui zeros, Se é crescente ou decrescente, Se ela tem valores positivos ou negativos Se ela é continua ou se tem alguma descontinuidade, b)Ao terminar esta investigação, o grupo irá discutir a seguinte situação: Suponha que essa função defina os lucros em dinheiro que uma empresa tenha ganho durante o tempo contado em anos. Suponha que o tempo zero signifique o momento de uma grande reforma que se deu na administração desta empresa. Portanto, o tempo negativo significaria o tempo decorrido antes da tal reforma. A discussão será feita no sentido de entender se esta reforma administrativa contribuiu ou não para um aumento no lucro da empresa durante os seis primeiros anos após a implementação da reforma administrativa. 12.2) Vou definir uma função pelo gráfico abaixo, com domínio e contradomínio reais:

1

•

-2

-2

a) O grupo deve investigar essa função. Isto significa saber se ela : Possui zeros, Se é crescente ou decrescente, Se ela tem valores positivos ou negativos Se ela é continua ou se tem alguma descontinuidade, b) O grupo deve procurar definir esta função algebricamente. Não há uma única resposta que seja correta, pois a forma algébrica será obtida por aproximação. Porém, vocês devem encontrar uma que seja a mais próxima possível.

55

c) Aplique a este gráfico a interpretação feita na letra b da primeira questão ressaltando a diferença entre as situações. Imagine que se trata de uma outra empresa que sofreu a mesma reforma administrativa. Compare os efeitos desta reforma nas duas empresas. Analise as situações antes e depois da reforma para as duas empresas.

Relatório. Neste relatório, o grupo deverá escrever o que concluiu sobre o conceito de função através das duas atividades. Vocês devem falar sobre forma algébrica, forma gráfica, sobre a definição de uma função, elementos que foram importantes e também sobre a relação entre dado matemático e a realidade. O grupo deve fazer comentários, levantar hipóteses, mesmo que não tenham certeza de que estas são verdadeiras. Mas devem identificar quando não têm certeza de algo. 12. 3) Esboce os gráficos de: f(x) =

2x – 7, se x ≤ 0 -7,

se x < 0

e

g(x) =

x + 2 , se x < -1 x2 , se –1 < x ≤ 1 4, se x > 1

e determine o que se pede :

a) os zeros das funções. b) x tais que f(x) < 0. c) x tais que g(x) < 0. d) a imagem das funções. 12.4) Esboce o gráfico de f(x)=

3x + 2, se x > 0 2, se -3 ≤ x ≤ 0 -x –1, se x < -3 INVERTENDO FUNÇÕES

As inversões de funções são muito freqüentes e de grande utilidade. Vejamos alguns exemplos: Exemplo1 Num certo dia e local, a posição do sol é função do tempo; mas é muito comum olharmos a posição do sol para saber as horas, ou seja, usamos a função inversa. Exemplo2 Num termômetro o volume do mercúrio é função da temperatura. No entanto, é muito comum usarmos a função inversa, ou seja, determinarmos a temperatura em função do volume. Examinando a performance de dois atletas Ninho e Tinho são atletas com formas de treinamento diferentes para próxima maratona. Ninho corre 5 km por dia nos 5 dias que antecedem a prova e Tinho corre 5,6,7,8,9 km respectivamente em cada dia dos 5 dias que dispõe. Podemos descrever a situação acima através de tabelas ou diagramas.

56

Treino de Ninho

Dias (x) Quilômetros Corridos

1º 5

2º 5

3º 5

4º 5

5º 5

Quilômetros Corridos Dias (x)

5 1º

5 2º

5 3º

5 4º

5 5º

A 1º 2º 3º 4º 5º

B

B

5

5

A 1º 2º 3º 4º 5º

Sabemos que uma função de um conjunto A em um conjunto B é uma relação que associa cada elemento de A a um, e somente um, elemento de B. Podemos notar que só a primeira tabela (Ninho) representa uma função ( Função constante de Im = {5} ). Vamos examinar as tabelas e diagramas do treino de Tinho: Dias (d) Quilômetros Corridos (q)

1º 5

2º 6

3º 7

4º 8

5º 9

Quilômetros Corridos (q) Dias (d)

5 1º

6 2º

7 3º

8 4º

9 5º

A

B 5 6 7 8 9

1º 2º 3º 4º 5º

Lei da função q= d+4

B 5 6 7 8 9

A 1º 2º 3º 4º 5º

Lei da função d= q-4

Quando analisamos o treino de Tinho, percebemos que as duas tabelas (ou diagramas ) definem funções . Vamos agora analisar outros exemplos que, quando invertemos as linhas de uma tabela que define uma função, obtemos uma outra função. Outro exemplo: Imaginamos que uma Van usada no transporte de pessoas ao Centro tenha seu 6 lugares ocupados durante um mês. Logo existe uma função do conjunto L (lugares ) no conjunto P (de pessoas ), pois que cada lugar corresponde a um, e somente uma pessoa. Carlos,Zaira,Pedro, Roberta,Sérgio e Mário são as pessoas que contrataram o transporte num certo mês. Fazendo a tabela, temos : Pessoas ( P) Lugares (L)

Carlos Zaira Pedro Roberta Sérgio Mário 1 2 3 4 5 6

57

Fazendo o diagrama :

P

Carlos Zaira Pedro Roberta Sérgio Mário

L 1 2 3 4 5 6

Note que o domínio da função é P e o conjunto imagem é L.Invertendo as linhas da tabela, uma outra função pode ser estabelecida do conjunto L (dos lugares ) no conjunto P (das pessoas presentes ) Lugares (L) Pessoas ( P)

1 2 3 4 5 6 Carlos Zaira Pedro Roberta Sérgio Mário L 1 2 3 4 5 6

P Carlos Zaira Pedro Roberta Sérgio Mário

Observe agora que o domínio é L e o conjunto é P. Podemos dizer que a primeira função (P L) inversa que é a segunda função ( L P). Se um determinado dia do mês, por algum motivo,Carlos faltou. Nesse caso os diagramas se apresentarão assim: F C C F

Zaira Pedro Roberta Sérgio Mário

1 2 3 4 5 6

Define uma função de P em L

1 2 3 4 5 6

Zaira Pedro Roberta Sérgio Mário

Não define uma função de P em L (nem todo elemento do conjunto L tem correspondente em P)

58

Um outro exemplo para investigarmos se uma função dada possui inversa. Numa seção de pagamento de um banco existe dois caixas: uma que atende idosos e outra que atende clientes do banco. Então, existe uma função do conjunto F (clientes idosos ou não )no conjunto C( caixas ) e lembramos que num caixa pode atender vários clientes. Os diagramas nessa situação podem ser: F C C F Cl1 Cl2 Cl3 Cl4

Cl1 Cl2

C1

C1

C2

Cl3 Cl4

C2

Não define função Define uma função (um caixa pode atender vários clientes ) (cada cliente é atendido por um único caixa ) Nesse caso, dizemos que a função não possui inversa. A tabela a seguir mostra alguns valores da velocidade de um atleta numa maratona em função do tempo, nos 5 primeiros segundos da maratona. Tempo em segundos (t) Velocidade em m/s ( v)

0 0

Lei que define a função v =1,5t

1 1,5

2 3,0

3 4,5

4 6,0

Domínio [0;5] Imagem [0;7,5]

Também podemos escrever o tempo em função da velocidade: T=

Dizemos que T =

v 1.5

Domínio [0 ; 7,5] Imagem [0 ; 5]

v é a função inversa de V=1,5t. 1.5

Conclusão

Dizemos que uma função admite inversa, quando ao invertermos as linhas da tabela de uma função a nova tabela também define uma função.

5 7,5

59

Exercícios 1) Verifique se as seguintes funções dadas pelas tabelas,possuem inversa. A seguir dê a lei da função dada e de sua inversa, quando existir.

a) b) c) d)

t v

0 0

x y

1 3

-1 2

2 6 0 2

3 9 1 2

4 12 2 2

5 15

e)

r c

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

3 2

f)

t s

-2 5

-1 2

0 1

1 2

2 5

3 10

x y

-5 26

-4 17

-3 10

-2 5

-1 2

0 1

e s

-2 -5

-1 -3

0 -1

1 1

2 3

3 5

n v

-3 0

-2 1

-1 2

0 3

1 4

2 5

g)

Observações As funções constantes não possuem função inversa. Toda função do 1º grau (da forma y = ax+b ) possui função inversa cuja lei é X=

y −b a

Uma função do 2º grau (da forma y = ax² + bx + c ) pode possuir ou não inversa, dependendo do seu domínio. È muito comum denotarmos a inversa de f(x) por f-1 (x).

Falando sobre os gráficos de f e de f-1. É fácil observar que trocando a ordem dos elementos dos pares ordenados, esses pares representados nos eixos coordenados são simétricos em relação à reta y =x. “ Num plano,a simetria de 2 figuras em relação a uma reta pode ser entendida intuitivamente da seguinte forma : “dobrando o plano ” através daquela reta tais figuras devem ” sobrepor uma exatamente sobre a outra ” . B(2,5)

5

M2

Vejamos alguns exemplos : A (1,2) B (2,5)

C (-2,2)

A= (2,1) B= (5,2)

C= (2,-2)

C

2

A(1,2)

1 -2

M3

B’ (5,2)

M1 A’ (2,1) 1

2

C’

5

60

Observamos que os pontos M1, M2 e M3 são os pontos médios dos segmentos determinados pelos pares simétricos, assim:

M1 =

A + A' 2

M2 =

B + B' 2

M3 =

C + C' 2

Vimos que uma função facilmente inversa quando invertendo as linhas da tabela, a nova relação sendo função será considerada a sua função inversa ( f –1 ).

Logo se (a, b) ∈ f, então (b, a) ∈ f -1 Sendo assim,se construímos os gráficos de f e f -1 num mesmo sistema de eixos coordenados; eles apresentarão uma simetria em relação à reta y=x . Vejamos a função f definida por v =2t + 3 em todo real e a sua inversa f -1 definida por

t=

v−3 . 2

f

v ( para f) t ( para f –1)

(2,7)

TABELAS

y=x

(1,5)

t

v

v

-1 0 1 2

1 3 5 7

1 3 5 7

t -1 0 1 2

f -1

(0,3)

(7,2) (-1,1)

(5,1) (3,0)

t( para f) v( para f –1)

(1,-1)

No caso da função do 2º grau dependendo do seu domínio ela pode, não admitir inversa. Vejamos as funções f1(x)= x² - 1 com D = R e f2 (x) =x² -1 com D = R+. Usamos neste momento tabelas com números inteiros para facilitar a construção . y=x

f1(x)= x² - 1 D=R x f1(x)

-2 3

f1

3

-1 0

0 -1

1 0

2 3

f 1-1 ( não é função) 1

f1(x) não admite inversa

-2 -1

0 -1

1

2

61

f2 (x) =x² -1 D = R+.

f2 3

x f2(x)

0 -1

1 0

2 3

y=x

3 8

f 2-1 ( é função)

f2 (x) admite inversa

-1

0

2

-1

Atividades sobre funções inversas 1)Considere a função f(x) = x2 – 4. a) Determine quais devam ser o domínio e o contradomínio da função f de modo que ela possua inversa. b) Defina a função inversa de f. c) Calcule f-1(3).

Atividades sobre função composta 1) Construir o gráfico das funções abaixo nos planos cartesianos correspondentes: a) f(x) = 2x – 3

c) h(x) = 2x

b) Considere a função w(x) = x + 2. O grupo deve investigar como seria o gráfico das funções: f(w(x)), g(w(x)) e h(w(x)). Desenhe os gráficos no mesmo plano cartesiano que as funções do item a correspondentes.

62

c) Agora, considere a função p(x) = x – 3. d) O grupo deve investigar como seria os gráficos das funções:

F(p(x)), g(p(x)), e h(p(x)). Desenhe também estes gráficos no mesmo plano cartesiano que as funções do item a correspondentes. e) Considere a função q(x) = x – a. O grupo deve levantar conjecturas sobre os gráficos da função f(q(x)) para possíveis valores de a.

2) Sendo f(x) = 2x – 2 e f(g(x)) = 10x + 13, calcule g(x).

3) Sabendo que f(x – 3) = x – 1, determine f(2).

UNIDADE 10 - TRANSLAÇÃO E DEFORMAÇÃO DE FUNÇÃO NO PLANO Atividade 13 13.1) Seja a função y = ½

x

, determine o gráfico cartesiano desta função definida de R em R.

a) Desenhe no mesmo gráfico a curva simétrica a esta em relação ao eixo y. Qual é a lei de formação que associa x e y?

63

b) Trace a reta y = x e agora trace a curva simétrica à y = 2x em relação à esta reta. O que observou?

c) Que curva é esta?

e) Represente no plano cartesiano log ½ x.

e) O que pode observar ao compará-la com y = ½

x

?

Vocês conseguiram descobrir a lei de formação das curvas simétricas tanto em relação ao eixo y, quanto em relação a reta dada? _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

64

13.2) Desenhe em um mesmo plano cartesiano as representações gráficas das seguintes funções: a ) f1(x) = x2

b ) f2(x) = f1(x) + 2 = x2 +2

c) f3(x) = f1(x) - 2 = x2 - 2

13.3) Tome um pedaço de papel transparente e copie o eixo OY e o gráfico que representa a função f1(x) = x2 . O que você precisa fazer para chegar com este desenho nas representações gráficas das outras funções da atividade anterior? Os gráficos têm a mesma forma? 13.4) Desenhe em um mesmo plano cartesiano as representações gráficas das seguintes funções: a ) f1(x) = x2

b ) f2(x) = f1( x +2 ) = x2 + 4x + 4

c ) f3(x) = f1( x - 2 ) = x2 - 4x + 4

13.5) Repita a atividade 16 usando os gráficos da atividade 17.

13.6) Desenhe em um mesmo plano cartesiano as representações gráficas das seguintes funções: a ) f1(x) = x2 b ) f2(x) = 2x2 c ) f3(x) = 0,5x2 d ) f4(x) = - x2 13.7) Os gráficos da atividade anterior mantiveram a mesma forma? O que aconteceu com o gráfico da função f1(x) = x2 quando o segundo membro da sentença foi multiplicado por um número negativo? 13.8) Dê a representação gráfica das seguintes funções, levando em consideração as experiências anteriores e a equivalência indicada em cada item. a ) f1(x) = x2 - 4x + 6 ⇔ f1(x) = ( x - 2 )2 +2 b ) f2(x) = x2 + 6x +5

⇔ f2(x) = ( x +3 )2 - 4

c ) f3(x) = x2 - 2x - 1 ⇔ f1(x) = ( x - 1 )2 - 2 d ) f4(x) = x2 + 8x + 20 ⇔ f1(x) = ( x + 4)2 +4 e ) f5(x) = - x2 + 4x - 6 ⇔ f1(x) = - ( x - 2 )2 - 2 f ) f6(x) = - x2 + 6x - 6 ⇔ f1(x) = - ( x - 3 )2 + 3 UNIDADE 11 – UM ESTUDO DA FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________ ATIVIDADE 14 14.1) Construa os seguintes gráficos, no mesmo plano cartesiano:

65

a) y = x + 2 , y = x , y = x – 2 , e y = x + 1

b) y = 2x , y = 3x , y = x / 2

c) y = 3x + 1 e y = 3x – 2

d) y = 5x , y = 5x + 1, e y = 5x + 2

66

e) y = -2x , y = -2x +1 e y = -2x - 1

f) y = 2x + 3 , y = 3x +3 , y = 3x – 1 e y = 3x - 2

Agora discuta com os colegas e responda: a) Quais funções têm o gráfico passando pela origem? Você sabe explicar por que isto acontece?

b) Quais funções têm o gráfico NÃO passando pela origem? Você sabe explicar por que isto acontece?

c) Caracterize as equações que definem funções que passam pela origem.

Reflita e discuta sobre as questões a seguir: 14.2) Se o gráfico abaixo representa a função f(x) = ax + b, então:

a) a + b =

y

b) tg α =

2

c) cos β =

β α

4

x

67

14.3) Qual a área sombreada do triângulo da figura abaixo. y

f ( x) =

12 - 3x 4

x

14.4) Calcule a área da figura sombreada. y

f ( x) = 6 -

4

8

x 2

x

14.5) Considere a distância entre 0 e 1 como 1cm. Observe o gráfico da função f(x) e determine: a) b) c) d)

f(2) = D(f) = Im(f) = x tais que f(x)< 0

y

x

14.6) Desenhe em um mesmo plano cartesiano os gráficos seguintes. Busque alguma regularidade entre eles. y = -x + 3, y = x + 3, y = -x + 4, y = x + 4, y = -x – 1 e y = x - 2

68

a)Quais funções são crescentes e quais são decrescentes? b) Caracterize as equações que definem as funções crescentes e as decrescentes. c) Variando o termo independente de x, qual a relação entre os gráficos? ( OBS: por exemplo, item d e f da atividade 14.1) 14.7) Classifique as funções abaixo em crescente ou decrescente.

a) f(x) = 2x - 67

c) f(x) = 45 - 0,65x

b) f(x) = 5 - 4(8 - x)

d) f(x) = (x - 3)(x + 5) - x2

14.8) Dê os valores de m para os quais a função g(x) = (4 + 4m) - (3m - 2)x é crescente. Após isso, dê o exemplo de uma g decrescente. 14.9) Para que valores de k a função f(x) = (7 - 2k)x + (k - 6) é decrescente? 14.10) São dados os gráficos de quatro funções do tipo y = ax +b. Dê o sinal de a e b em cada caso. y

y

y

x

x

y

x

x

14.11) Na figura a reta r representa o gráfico da função f(x) = 2x + 4 e a reta s o gráfico da função g(x) = 2x - 8 (r//s). O ponto D pertence a reta r e B é um ponto de s. Sabemos que BC e AD são segmentos paralelos ao eixo y. Determine as coordenadas dos vértices A, B, C e D deste quadrilátero. y C D

A

r s B

x

69

14.12) Analisando o gráfico da função F(x) abaixo, responda y

4 3 2 -8

-3

0

3

12

15

x

9/2 -6

a) Domínio de f(x)? b) Imagem de f(x) ? c) Para que valores de x temos f(x) = 0? d) Para que valores de x temos f(x) < 0 ? e) Para que valores de x temos f(x) decrescente?

14.13) Gráfico abaixo mostra o dinheiro gasto por uma empresa na produção de resmas de papel. Com base no gráfico, responda às perguntas que se seguem. custo (em R$) 240 220 180 25

50

75

qtde de resmas

a) O que acontece com o custo quando não há produção? b) Quanto a empresa gasta para produzir 60 resmas de papel? c) Encontre a função que exprime o custo das resmas de papel em função de sua produção. d) Explique, baseando-se no gráfico, quantas resmas a empresa precisaria fabricar para que o preço unitário fosse o menor possível.

70 UNIDADE 12 – ESTUDO DAS FUNÇÕES DE 2O GRAU GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________ ATIVIDADE 16 16.1) Complete a tabela abaixo de acordo com a função: f(x) = x2 - 4x +3. x -1 0 1 2 3 4 5

f(x) 8

Ponto A( -1; 8 ) B( ; ) C( ; ) D( ; ) E( ; ) F( ; ) G( ; )

16.2) Marque em um plano cartesiano, use papel quadriculado, os pontos da atividade anterior. 16.3) Trace a representação gráfica da função da atividade 1 unindo por uma curva suave os pontos da atividade 2. 16.4) Usando um espelho, verifique que tipos de figuras vocês conseguem formar. a ) Uma letra M b ) Uma letra W c ) Uma figura quase oval d ) Um coração 16.5) Coloque o espelho paralelo ao eixo OY exatamente no ponto do eixo OX de abscissa igual a 2. O que vocês observam?

16.6) Desenhe a reta r paralela ao eixo OY e que contenha o ponto ( 2; 0 ). Quais as distância de cada ponto da atividade 2 à reta r ?

16.7) Complete a tabela abaixo de acordo com a função: f(x) = -x2 +2x + 3. x -2 -1 0 1 2 3 4

f(x) -5

Ponto A( - 2; - 5 ) B( ; ) C( ; ) D( ; ) E( ; ) F( ; ) G( ; )

16.8) Marque em um plano cartesiano, use papel quadriculado, os pontos da atividade anterior.

71 16.9) Trace a representação gráfica da função da atividade 7 unindo por uma curva suave os pontos da atividade 8. 16.10) Copie em um papel transparente o plano cartesiano e o gráfico que representa a parábola. Não esqueça de marcar a escala. 16.11) Dobre o papel pela reta paralela ao eixo das ordenadas e que passa pelo ponto de abscissa 1. 16.12) Repita a atividade 4 para a função da atividade 7. 16.13) Que relação existe entre as raízes e a abscissa do eixo de simetria de uma função do 2o grau? Dizem que recordar é viver. Vocês são capazes de lembrar quanto dava a soma das raízes de uma equação do 2o grau? Havia até uma fórmula para isso, vocês estão lembrados? 16.14) Dê a representação gráfica das seguintes funções; a ) f ( x ) = x 2 − 6x + 5

b) f (x) = − x 2 + 4x

c ) f ( x ) = − x 2 + 3x − 2

d ) f (x) = x 2 + x + 4

e) f (x ) = 8 − x 2

f ) f ( x ) = 2 x 2 − 3x − 1

O VÉRTICE DA PARABOLA

y

yv

xv

x

1) O gráfico ao lado representa uma função do 2o grau, f(x) = ax2 + bx +c. Observe que ela não tem raízes reais. Com relação a esta função responda: a ) Quanto vale f(0)? Marque este valor no eixo OY. b ) Existe um outro valor de x, digamos x0, tal que f(x0) seja igual a f(0)? Marque x0 no eixo OX. c ) Que relação existe entre x0 e o xv? Qual? d ) Encontre xv em função de a e b. É possível? e ) Ë claro que yv = f(xv) . Encontre um valor para yv em função de a, b e c. Lembrando que b2 - 4ac = ∆, Escreva oura expressão para yv.

72 UNIDADE 13 - ESTUDO DE OUTRAS FAMÍLIAS DE FUNÇÕES GRUPO DE ALUNOS:______________________________________________________ I - Funções modulares 1. Represente graficamente a função f : ℜ → ℜ

f ( x) = 2 − x e dê o que se pede abaixo:

a) O conjunto imagem da função f. b) O valor de f(2,5). c) Os valores de x para os quais f(x) = 3,5. 2) Represente graficamente a função f : ℜ → ℜ f(x) = x + 2 - 3

e dê o que se pede abaixo: d) O conjunto imagem da função f. e) As raízes da função f, se existirem. f) O valor de f(-3). 3) Represente graficamente a função f : ℜ → ℜ f ( x ) = x2− 4 e dê o que se pede abaixo: g) O conjunto imagem da função f. h) As raízes da função f, se existirem. i) O valor de f(1). II – Funções trigonométricas

1) Considere as funções dadas abaixo. h(x) = sen x f(x) = 2 + sen x a) Construa o gráfico destas duas funções utilizando-se do mesmo sistema de eixos cartesianos. b) Compare os gráficos e dê as características da função f tomando como referência a função h. (sugestão: analise o domínio, o conjunto imagem, o período e a amplitude de cada uma das funções.) 2) Esboçar o gráfico da função abaixo, analisando seu comportamento: Se tem raízes e quais Domínio e imagem Crescimento Período e amplitude. g(x) = 3 + 2 sen(

π

2

+x)

73 III – Funções exponenciais e logarítmicas Recordando Potências Atividade 1 Você seria capaz de simplificar os cálculos abaixo? a) 2048 . 256 c) (512)3 d) 4 1048576 b) 524288 : 25536

Com toda certeza a tabela abaixo facilitaria seus cálculos.

21 = 2

2 6 = 64

2 =4

2 = 128

2

2 =8

2 = 256

2 = 8192

2 = 16

2 = 512

2

211 = 2048

7

3

8

4

2 = 32

2

10

217 = 131072

13

9

5

216 = 65536

= 4096

12

2

= 1024

218 = 262144

= 16384

14

219 = 524288

2 = 32768 15

2 20 = 1048576

Observe o exemplo abaixo: a)

..

2048

=

256

11

2

.

= 2 15+8 = 2 19 = 524288

8

2

Você observou que a propriedade a n .a m = a n + m , foi importantes. Procure, usando as propriedades da potenciação, fazer os cálculos restantes. b) 524288 : 25536 c) (512)3 d)

4

1048576

Atividade 2

Com o auxílio da tabela construída em 1617 pelo inglês Henry Briggs. (Nessa tabela, os 7

números de 1 a 1000 aparecem escritos como potências de 10), vamos calcular 3 0, 7 .210 :

10 0 = 1

10 0,602 = 4

10 0,845 = 7

10 0,301 = 2

10 0,699 = 5

10 0.903 = 8

10 0, 477 = 3

10 0,778 = 6

10 0,943 = 9 101 = 10

Veja: 7

0,7

3 .2

10

= (10 7

0 , 477

)

0,7

.(10

0 , 301 10

)

7

= 10

0 , 334

.10

3, 01

= 10 7

3, 344

= 10

3, 344 7

= 10 0, 4777 ≅ 3

74 Agora é a sua vez... 1) Escreva todos os fatores na base 2 e calcule o valor de

2 −3.0,5 4 .8 3

1 2

1 .2 . 4

−2

−2

2) Consulte a tabela e escreva os números abaixo como potências de 10: a)15

b)64

c)21

d)5,5 (pense em 5,5 = 11/2)

A função exponencial Exemplo 1 - Uma determinada planta cresce a uma taxa de 100% ao mês. Considerando um comprimento inicial de 2 cm, vamos obter uma lei que forneça o comprimento y (em milímetros) em função do tempo (em meses).

• • • • •

Início = 2 cm Após um mês =4 cm Após dois meses = 8 cm Após três meses = 16 cm Após quatro meses = 32 cm

• Após n meses = 2 n cm Logo, y = 2 n Os pontos (0,2), (1,4), (2,8), (3,16), (4,32) etc. Represente essa função no plano:

Mas, como o crescimento da planta é contínuo, podemos desenhar o gráfico: y (centímetros)

y (centímetros)

•

16

•

8 4

•

8

•

4

1• 0

•

16

•

1• 1 2

3

n (meses)

0

1 2

3

x (meses)

Definimos, assim, a função exponencial y = 2 n, sendo n qualquer número real. Exemplo 2 - A pressão que a camada de ar exerce sobre um corpo, ao nível do mar, é de 1 atm (atmosfera). Um metro acima do nível do mar, é de 0,9 atm. E assim, para cada 1 m de altura, essa pressão cai em 10 %. Vamos obter a lei que fornece a pressão y (em atmosferas) em função da altitude x (em metros).

Altitude (m)

Pressão (atm) 1 atm 0,9 atm

0 1 2

0,81 atm ≅ (0,9)

2

3

0,73 atm ≅ (0,9)

3

4 ... x

0,66 atm ≅ (0,9)

4

...

(0,9)x

75 Logo, y = (0,9)x Os pontos (0,1), (1 ; 0,9), (2 ; 0,8), (3 ; 0,73), Mas, como a variação da pressão ( 4 ; 0,66)etc. Represente essa função no plano: atmosférica é contínua, podemos desenhar o gráfico: y (milímetros)

y (milímetros)

1

•

0,9 0,81 0,73

1

•

0,66

0

1

•

•

2

3

•

•

0,9 0,81 0,73

•

0,66

4

0

1

•

•

2

3

• 4

x (meses)

x (meses)

Definimos, assim, a função exponencial y = (0,9)x, sendo x qualquer número real. Em geral, a função exponencial é toda função cuja lei é dada pela equação y = a x, sendo a um número negativo real positivo e diferente de 1. O gráfico da função exponencial y = a x ou f (x) = a x tem as seguintes características: • Passa pelo ponto P (0 , 1); • Apresenta uma das seguintes configurações: y

a>1

y=ax P 0

0
y

y=ax P

x

x 0

Mais atividades: 1) Esboce o gráfico das funções f(x) = 10x e g(x) = 0,1x e faça o que se pede a seguir: a) Calcule o valor da expressão: f(-1) – g(-2) + 2.f(3) b) Encontre os zeros das funções f e g, se houver c) Dê o conjunto imagem das funções f e g d) Verifique o crescimento das funções f e g. 2) A população de um país tem seu crescimento dado pela lei P = 2000000 . (1,03) n onde n é o numero de anos que decorrem depois que esse país ultrapassar dois milhões de habitantes. Observe a base da potência e esboce o gráfico dessa função. Ache a população estimada desse país para n = 2.

76 3) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produzia mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000 . (0,9) x . Observe a base da potência e esboce o gráfico dessa função. Quantas unidades foram produzidos no segundo ano desse período recessivo? O logaritmo

O aparecimento dos logaritmos ocorreu no começo do século XVII, quando já havia a necessidade de facilitar os complicados cálculos trigonométricos de Astronomia e da Navegação. A ideia básica era substituir operações como multiplicação e divisão, por operações mais simples, como adição e subtração. Os principais inventores dos logaritmos foram o suíço Jobst Bürzi ( 1552-1632) e o escocês John Neper (1550-1667) cujos trabalhos foram produzidos independentes um do outro. Convém mencionar que os primeiros neperianos tinham sérios inconvenientes e foram logo modificados por Neper e por Henty Briggs (1561-1631), um dos maiores admiradores do trabalho de Neper. O resultado foi o apa-recimento dos logaritmos decimais. O astrônomo Kepler (1571-1630) se interessou por essa dêsco-berta e empregou largamente esse novo instrumento nos cálculos que o levaram e descobriu sua 3º lei planetária. Reproduzimos abaixo, um trecho da tabela que Henry Briggs publicou em 1817. Na versão original, os números indicados na coluna 10m variavam de 1 a 1000 e os indicados na coluna m, apresentavam 14(catorze) casas decimais: 10m .... 100 101 102 103 104 105 ....

m ..... 2,000000 2,004321 2,008600 2,012837 2,017033 2,021189 ....

Analisando a tabela podemos escrever: 102,000000 = 100 102,008600 = 102 102,012837 = 103 Os expoentes de 10 são denominados logaritmos. Logo: O expoente 2,000000 é o logaritmo de 100 na base 10. O expoente 2,008600 é o logaritmo de 102 na base 10. O expoente 2,012837 é o logaritmo de 103 na base 10. O que significa dizer que o número 2,017033 é o logaritmo de 104 na base 10? Na escrita usa-se o símbolo log para simplificar a notação de logaritmo. Escrevemos log10104 = 2,017033 Assim a tabela de Briggs pode ser escrita com a seguinte indicação.

77

x .... 100 101 102 103 104 105 ....

log10 x ..... 2 2,004321 2,008600 2,012837 2,017033 2,021189 ...

Definição de logaritmos

Considere N e a números reais positivos, com a ≠1. Definimos, loga N = x ⇔ ax = N onde: a é a base do logaritmo; N é o logaritmando; x é o logaritmo de N na base a. Exemplos: a) b) c) d) e)

log10 105 = 2,021189, porque 102,021189 = 105; log5 125 = 3, porque 53 = 125; log3 3 = 1, porque 31 = 3; log5 1 = 0, porque 50 = 1; log10 0,1 = -1, porque 10-1 = 0,1.

Obs: As restrições impostas à base (a rel="nofollow">0 e a ≠1) do logaritmo garantem a existência e a unicidade do logaritmo de qualquer número positivo.

Exemplo:

Se log2 5 = x, então 2x = 5. Observando o gráfico da função y = 2x, verificamos que esse valor existe e é único.

Quando a base do logaritmo é 10, é comum não indicá-la e o logaritmo é chamado decimal. Assim log10 N = log N. Usando logaritmo Ex1:

Como calcular (1,03)100, sem usar calculadora? O valor dessa potência pode ser obtido através de uma tabela de logaritmos. Considere N = (1,03)100, observe a tabela: x 1,03 13,4

log x 0,0128 1,28

Pela 1º linha da tabela, podemos escrever a seguinte equivalência:

78

log10 1,03 = 0,0128 ⇔ 100,0128 = 1,03; Logo: N = 101,28; N = (1,03)100 = (100,0128)100 = 101,28 O nº cujo logaritmo é 1,28 é obtido na tabela: 13,4. Ex2: Os logaritmos também podem ser aplicados em outras áreas do conhecimento. Por exemplo, na medição de terremotos. Para medir a energia liberada pelo tremor em forma de ondas, uma das escalas mais utilizadas é a escala Ritcher. Considere R1 e R2 indicações das intensidades de dois terremotos na escala Ritcher; e M1 e M2 energias liberadas por esses tremores. A relação entre R1 e R2 é dada por:2

R1 – R2 = log

M1 M2

Considerando que ocorreram dois terremotos, um correspondente a R1 = 6 e o outro correspondente a R2 = 4, determine a razão entre as energias liberadas. Ex3: Suponha que num sistema de engorda de gado, em regime de confinamento, cada animal tem um ganho de peso de 8% ao mês. Considerando log 1,08 = 0,034 e log 2 = 0,301. Determine o tempo aproximado necessário para que um animal dobre de peso.

-

Vamos imaginar que o animal tenha hoje peso p. No mês seguinte passará a ser: p + 8%p = p + 0,08p = 1,08p Logo ao final de cada mês, o peso do animal é multiplicado por 1,08. Desse modo: Ao final do 2º mês, o peso será 1,08p . 1,08 = 1,082p; Ao || || 3º mês, o || || 1,082 p . 1,08 = 1,083 p; Ao final de n meses, o peso será 1,08n p.

Desejamos saber após quanto tempo, o animal passará a pesar 2p. 1,08n p = 2p (p≠0) (1,08)n = 2 Como log 1,08 = 0,0334 ⇔ 100,0334 = 1,08 log 2 = 0,301 ⇔ 100,301 = 2 Podemos escrever:

e

(100,0334)n = 100,310 100,0334n = 100,310 n=

0,310 = 9,281 0,0334

9,281 = 9 meses + 0,281 do mês 9,281 = 9 meses + 18,43 dias Agora faça você: Uma população de bactérias, em condições favoráveis, reproduz-se aumentando seu número em 25% a cada dia. Após quantos dias o número de bactérias será 200 vezes maior que o número inicial? Use log 2 = 0,301 e log 5 = 0,699

79

Uso da tabela no cálculo dos logaritmos Ex: Consulte a tabela abaixo e calcule:

x 1,75 3,78 4,7 7,56 13,2 16,2 17,76 263

a) 3,78 x 4,7 Pela tabela → log 3,78 = 0,5775 ⇔ 100,5775 = 3,78 log 4,7 = 0,6721 ⇔ 100,6721 = 4,7

log x 0,2420 0,5775 0,6721 0,8785 1,1206 1,2068 0,2496 2,4200

Logo, 100,5775 . 100,6721 = 100,5775 + 0,6721 = 101,2496 = 17,76 b) 13,2 : 7,56 = 101,1206 : 100,8785 c) (1,75)10 = (100,2420)10 d)

263 = (263)

1

2

Cálculo do logaritmo a partir de outro Ex: Sabendo que log 2 = 0,301 , log 3 = 0,477 e log 15 = 1,17 , calcular:

a) log 45 ( 45 = 3 x 15 ) b) log 7,5 ( 7,5 = c) log 9

15 ) 2

( 9 = 32 )

1

d) log 15 ( 15 = 15 2 ) Solução: Se log 2 = 0,301 , então 100,301 = 2; Se log 3 = 0,477 , então 100,477 = 3; Se log 15 = 1,17 , então 101,17 = 15; a) Fazendo log 45 = A, temos 10A = 45 10A = 3 x 15 = 100,477 x 101,17 = 100,477 + 1,17 Podemos concluir que: 10A = 100,477 + 1,17 , então A = 0,477 + 1,17 = 1,647 E mais ainda: log 45 = 0,477 + 1,17 = 1,647 Daí, podemos definir a propriedade do logaritmo do produto: log A . B = log A + log B b) Fazendo log 7,5 = B, temos 10B = 7,5 ou 10B = 15 Logo podemos concluir que:

80

10B = 10 1,17 -

0,301

, então B = 1,17 – 0,301 = 0,769

E mais ainda: log 7,5 = log

= 1,17 – 0,301

Daí, podemos definir a propriedade do logaritmo do quociente: log

A B

= log A - log B

c) Fazendo log 9 = C, temos 10C = 9 ou 10C = 32 10C = (100,477)2 = 102 x 0,477 Logo, podemos concluir que: 10C = 102 x 0,477 , então C = 2 x 0,477 = 0,954 E mais ainda: log 9 = log 32 = 2 x 0,477 Daí, podemos definir a propriedade do logaritmo da potência: log An = n . log A d) Fazendo log 15 = D, temos 10D = 15 ou 10D = 15 10D = (101,17 ) Logo, podemos concluir que: 1,17

10D = 10

2

, então D =

e mais ainda 1

log 15 = log 15 2 =

1

2

1,17

10D = 10

1

2

2

1,17 = 0,585 2

1,17 2

Daí podemos definir a propriedade do logaritmo do radical log n A =

1 log A n

Exercícios

1) Se log 2 = 0,30 significa que 100,30 = 2 e log 3 = 0,48, significa que 100,48 = 3, descubra: a) log 6 b) log 1,5 c) log 210 d) log

3

81

2) Usando a tabela abaixo, calcule: X 251 252 253 254

log10 x 2,399 2,401 2,403 2,404

a) 251 x 253 (aproximadamente) b) 254 : 251 (aproximadamente) c) 254 3) (CEFET RJ) Um explorador descobriu na selva amazônica uma espécie nova de planta e pesquisando-a durante anos, comprovou que seu crescimento médio, variava de acordo com a fórmula A = 40 . (1,1)t, em que a altura média A é medida em centímetros e o tempo t em anos. Verificou também que seu crescimento estaciona, após os 20 anos, abaixo de 3 metros. Sabendo que log 2 = 0,30 e log 11 = 1,04, determine: a) a altura média, em centímetros, de uma planta dessa espécie aos 3 anos de vida b) a idade, em anos, na qual a planta tem uma altura média de 1,6m. 4) Suponha que um carro sofra uma desvalorização de 10% ao ano. Em quanto tempo o valor do carro se reduzirá a um terço do valor inicial? (Use log 3 = 0,477) 5) (UERJ 2003) Jorge quer vender seu carro por R$ 40 000,00. Pedro, para comprá-lo, dispõe R$ 5 000,00, e aplica esse valor em um investimento que rende juros compostos a uma taxa de 28% a cada 2 anos. Considere que a desvalorização do carro de Jorge seja de 19% a cada dois anos, calculada sobre o valor do carro no período de dois anos imediatamente anterior. Calcule o tempo mínimo em que Pedro terá dinheiro para o carro de Jorge. Utilize em seus cálculos, log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48. Mudando de Base

As tabelas de logaritmos usadas em quase todos os livros são sempre de logaritmos decimais (base dez). Então como podemos obter um logaritmo numa base que não seja dez? Sabendo que log 2 = 0,301, log 3 = 0,477 e log 5 = 0,699 responda: a) Qual é o logaritmo de 3 na base 2 ? log2 3 = x 2x = 3 A partir da igualdade podemos escrever: log 2x = log 3 Logo, log2 3 =

x log 2 = log 3

x=

log 3 0,477 = ≅ 1,586 log 2 0,301

log 3 log 2

b) Qual é o logaritmo de 27 na base 2? log2 25 = x

2x = 25

Logo, log2 25 =

log 25 log 2

log 2x = log 25

x log 2 = log 25

x=

log 25 2 log 5 1,398 = = ≅ 4,644 log 2 log 2 0,310

82 c) Faça você agora! Qual é o logaritmo de 9 na base 5? O que você observou sobre o cálculo do logaritmo procurado? Exemplos: 1) Calcule x e y a) log8 b = x log2 b b) log27 b = y log3 b TERCEIRA PARTE – O ESTUDO DAS EQUAÇOES UNIDADE 14 - APLICAÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÕES NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES 1 – Introdução

O que é resolver uma equação? Resolver uma equação é encontrar soluções, valores para as variáveis de modo que ambos os lados de uma expressão sejam matematicamente iguais. Ex: x–3 = 5. Devemos encontrar soluções para o x, de forma que iguale o outro lado da equação. Resolvendo algebricamente, a solução é x = 8. Através de artifícios algébricos consegue-se resolver esta e outras equações mais complexas. Vamos então estudar algumas equações mais complexas usando o que já sabemos a respeito de função. Vamos definir duas funções: uma delas será definida pelo primeiro membro da igualdade e a outra, o segundo membro. Chamaremos o membro da esquerda de função y1 e o da direita de y2. Então na realidade estamos resolvendo y1 = y2 ( duas funções que estão se igualando). Vamos traçar o gráfico de cada uma delas: Observe abaixo as duas funções (y1 e y2) em um só gráfico: Graficamente, observamos que a solução é x=8. 2 – Exemplos dos diversos tipos de função 2.1) Equações exponenciais

As equações que apresentam incógnitas como expoente são chamadas equações exponenciais. Na resolução de equações exponenciais, utilizamos todas as propriedades das potências. Outra propriedade usada é a seguinte:

a m = a n ⇔ m = n (a > 0 e a ≠ 1) Nosso objetivo aqui é mostrar que o método gráfico nos auxilia a visualizar melhor o que estamos objetivando ao resolver uma equação, dividindo a equação em duas ou mais funções (como no exemplo anterior).

83 Exemplo 1

Qual o valor real de x, tal que 2x = 16? chamando 2x de y1, e 16 de y2, vamos desenhar cada uma das funções: A função y1 é crescente ( em funções do tipo y = ax, se a é maior que 1, a função é crescente; como 2 > 1, nosso gráfico também é crescente) y2 = 16 é uma função constante. Para todo x pertencente aos números reais, y = 16

Agora, colocando ambas as funções em um só gráfico, chegamos à solução da equação: O Graphmat nos dá a resposta: x=4; olhando a figura sabemos com certeza que a resposta está bem próxima de 5. Solução Algébrica de 24 = 16. Fatorando o número 16, obtemos 16 = 24 Logo, 2x = 24 e x = 4. Exemplo 2

Consultando a tabela dos números expressos como potências de 10 (Henry Briggs), encontramos em valor aproximado de x, assim: 2 = 100,301 5 = 10 0,699 x

Como 2 = 5

( 10

0,301

x

) = 10

0,699

Atividades: 1 - Encontre todas as soluções para as equações abaixo. a) 81x = 3 9 b) 10y . 0,1y = 100y – 9

c) 8a + 43a =

5

2 −3a

x=

0,699 0,301

x ≅ 2,32

84

2.2) Equações logarítmicas São equações envolvendo logaritmos, onde as variáveis aparecem no logaritmando ou na base. Sendo a e b números reais tais que a>0, b>0 e b 1, chamamos de logaritmo de a na base b, o expoente real x ao qual se eleva a base b para se obter a: As condições impostas para a base são necessárias para que bx tenha significado para todo x pertencente aos números reais. logo podemos escrever:

log b a = x ⇔ b x = a, com a > 0, b > 0 e b ≠ 1 log x (2 x + 15) = 2

Exemplo Considere a equação:

Segundo a definição exposta acima, x deve ser > 0 e

1.

Vamos observar o desenho de ambas as funções em um mesmo eixo: y1=y2 Veja como o gráfico se comporta: a função y1=logx(2x+15) não é contínua, pois x não

pode ser 1, logo os valores de x se aproximam de 1, enquanto os de y tendem a mais, ou menos infinito. Observe também como não existem valores negativos para x. A solução da equação passa pelo encontro dos dois gráficos, assim x= 5. 2.3) Equações trigonométricas

1) Encontre as soluções das equações abaixo sendo x um arco pertencente à primeira volta: a) sen x = sen 23o b) tg 2 x =

1 2

85 2) Encontre todas as soluções para as equações abaixo: a) cos 31o = cos 2x b) sen 2 x =

3 4

3) Encontre as soluções para a equação abaixo, sendo x um arco ao intervalo [ -2π, 2π ]:: sen x cos x =

1 2

4) Encontre todas as soluções para a inequação abaixo, sendo x um numero real qualquer: 2 sen 4x ≥ -

3

5) Encontre as soluções das equações abaixo, sendo x um arco pertencente à primeira volta: a) sen x = sen 23o b) tg 2 x =

1 2

6) Encontre todas as soluções para as equações abaixo: c) cos 31o = cos 2x d) sen 2 x =

3 4

Resolvendo equações que envolvem mais de uma família de funções

1) Considere as funções f(x) = sen x e g(x) = 4 – 3x. Quantas são as soluções da equação f(x) = g(x)? Justifique sua resposta. 2) Considere as funções f(x) = log x, g(x) = 9 – x2 e w(x) = 7 + x Encontre a solução para cada uma das equações e inequações abaixo: a) f(x) = g(x)

b)

f ( x ).g( x ) ≤0 w( x )

c) g(x) > w(x)

3) Encontre o conjunto-solução da equação log2 (2x + 4) = log2 (3 – x). 4) Encontre o conjunto-solução da inequação log 1 2x ≤ log 1 (5 − 3x ) . 3

3

86 5) Encontre o conjunto-solução da inequação log 1 (2x − 4) ≤ log 1 (x − 3) . 3

6) Encontre a solução da equação

3

(4 − x )(x − 1) = 0. x

7) Quantos pontos em comum têm os gráficos das funções f(x) = log x Justifique sua resposta.

8) Quantos pontos em comum têm os gráficos das funções f(x) = cos2x

e g(x) = 4x?

e g(x) =

x ? 4

Justifique sua resposta. 9) Considere os gráficos de f(x) e g(x) abaixo, onde f(x) é crescente e g(x) é decrescente.

a) Determine g(x)

y

b) Determine x tal que f(x).g(x) ≥ 0

2 1 -1

10) Dê o conjunto solução da inequação:

1

2

3

x

x+4 ≥2 2x − 4

11) Quais os valores de x que tornam verdadeiras as sentenças:

a) (5 - 2x)(3x + 9) ≥ 0

12) Encontre todas as soluções para a inequação abaixo:

(2 x − 2)(4 − 3x )( x + 5) ≤0 (1 − x ) a) Represente graficamente esta solução b) Represente por intervalo esta solução.

b) (-x + 2)(2x - 6) < 0

87 13) Represente graficamente a solução das inequações abaixo: a) 3(4 – x) > 6 b) x – y > 0

∗∗14) Observe a solução de uma inequação e responda1: sinal de f(X) sinal de g(x)

-2

3

S = { x ∈ R / x < -2 ou x > 3 }

a) f é uma função crescente, decrescente ou constante?

b) Dê o sinal de g(2).f(-3).

c) Monte uma inequação que possa ter dado origem a esta solução.

UNIDADE 15 – SISTEMA DE EIXOS PARALELOS – UMA OUTRA REPRESENTAÇÃO PARA A FUNÇÃO DO 1O GRAU GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________ ATIVIDADE 15 Vamos estudar uma outra maneira de representar graficamente uma função do 10 grau, não é uma representação muito usada e nem tampouco conhecida, mas é super interessante, vale a pena você conhecer. A representação gráfica já conhecida é aquela que usa o plano cartesiano. Nele marcamos os pontos que representam os pares ordenados.

15.1) No mesmo plano cartesiano represente os pontos B(3;2), D(-2;1), C(-3;-2), E(2;-1), F(0;3), G(0;2), H(2;0) e I(-3;0).

1

O exercício assinalado com ∗∗ foi elaborado pela aluna Simone Maria Levy Gonçalves Nunes (Bolsista - licenciatura, Projeto Matemática

- Viva - Cap/UERJ)

88

y 5 4 3 2 1 -4 14

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

x

1

-1 -2 -3

f(x)

Será que se mudássemos a posição dos eixos, colocando-os em paralelo como na ilustração abaixo, conseguiríamos representar os pares ordenados?

f(x)

x

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

x

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

Se você não conseguiu, veja como pode ser feito. Neste caso ao invés de utilizarmos pontos para representar os pares, utilizaremos segmentos de reta. Veja o exemplo:

0

0

Representar o ponto A(2;3).

-1

-1

-2

-2

-3

-3

13 -4

-4

-5

-5

89 15.2) Aproveite os eixos do exemplo acima para representar os pares da atividade 15.1 Esta nova maneira de colocarmos os eixos e representarmos os pares é chamado de Representação em eixos paralelos (R.E.P). Para você saber mais sobre a R.E.P A representação em eixos paralelos (R.E.P), consiste em dois eixos paralelos verticais (retas numeradas). O eixo à esquerda representa o domínio e o da direita o contradomínio. O par ordenado (x,f(x)) é representado pelo segmento que une a abscissa x a sua imagem f(x), este segmento é chamado de linha de ligação. O R.E.P foi desenvolvido pelo professor argentino Abraham Arcavi.

15.3) Faça a representação das seguintes funções.

a) f(x) = 2x + 1

x

f(x)

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

13 -4

-4

b) f(x) = 2x - 1

x

f(x)

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

13 -4

-4

-5

-5

90 c) f(x) = 3 - x

d) f (x ) =

x+3 2

x 5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

13 -4

-4

-5

-5

x

f(x)

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

x

e) f(x) = - x

f(x)

f(x)

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

13 -4

-4

-5

-5

91

f) f(x) = 3x + 3

x

f(x)

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

13 -4

-4

-5

-5

Para pensar...

Uma função do 1o grau é representado no plano cartesiano por um conjunto de pontos que dão origem a reta, no R.E.P toma a forma de ..... 15.4) Utilizando somente a R.E.P ( sem usar a lei da função),como você poderia garantir que os pares (2,5 ; 6) e ( -1,5 ; 2 ) pertencem a função a), os pares (1,5; 2) e (-1,5; -4) a função b), (0,5: 2,5) e (-0,5; 3.5) a c) ? Encontre uma justificativa para sua resposta.

15.5) Observando um gráfico cartesiano, o valor do coeficiente angular a da função do 1o grau f(x) = ax + b pode ser encontrado facilmente. Será que observando a R.E.P., também podemos encontrar o valor desse coeficiente? Encontre uma justificativa para sua resposta.

15.6) Observando a R.E.P. abaixo, podemos afirmar que a representação é de uma função do 10 grau? Por quê?

92 x

f(x)

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

13 -4

-4

-5

-5

O foco

As linhas de ligação prolongadas se interceptam em um único ponto que chamamos de foco. A R.E.P nos permite estudar as funções através dos focos. A função é representada por um único ponto (o foco). Exemplo: As funções que possuem o coeficiente angular maior que 1 ( a > 1), os seus focos estarão localizados à esquerda do eixo x. Confira você mesmo esta afirmativa voltando na atividade 3.

15.7) Baseado nas informações já adquiridas, responda as seguintes perguntas: O que pode ser observado nas funções que apresentam seus focos localizados: a) à direita do eixo y; b) entre os eixos. 15.8) Existem funções que não possuem foco? Caso afirmativo, quais são? Continuando a observar os focos, podemos perceber que funções que possuem o mesmo coeficiente linear, os seus focos ficam localizados sobre uma reta transversal (não perpendicular) aos eixos. Veja a ilustração abaixo. Exemplo:

x

0

•

•

f(x)

•

•

•

• 0

93 15.9) Verifique a afirmativa acima, utilizando os eixos abaixo. x

f(x)

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

13 -4

-4

-5

-5

15.10) a) Se representarmos várias funções na mesma R.E.P e os focos destas funções ficarem localizadas sobre uma reta paralela aos eixos. O que podemos afirmar sobre essas funções?

b) E se os focos ficarem localizados sobre uma reta perpendicular aos eixos?

15.11) Quando observamos uma função representada na R.E.P. podemos afirmar se a função é crescente, decrescente ou constante? Por quê?

15.12) Na representação gráfica cartesiana, a solução de um sistema linear de duas equações é facilmente identificada pelo ponto de interseção de duas retas. Como encontraremos a solução desse sistema na R.E.P?

15.13) Até agora, as atividades propostas tiveram a finalidade de investigar algumas características importantes, sobre este novo modo de representar graficamente a função. Para finalizar o nosso estudo, descreva alguma característica que deixamos de mencionar nas atividades anteriores .

94 UNIDADE 16 – ALGUMAS TRANSFORMAÇÕES NO PLANO GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________ Atividade 17

17.1) Considere a transformação que leva os pares (x,y) em (x, -y). Aplique esta transformação sobre os pontos limitados pelo triângulo ABC do plano cartesiano abaixo, e responda as perguntas a seguir:

B

A

C

a) O que acontece com o triângulo ABC após a transformação? b) Quais são as características da figura transformada em relação à figura de origem? c) Esta transformação é função? Nesse caso, quem seria a imagem desta função. d) Classifique esta transformação entre translação, simetria, homotetia ou alongamento, projeção, etc.

17.2) Sobre o triângulo ABC abaixo, faça as transformações abaixo e utilize-as para refletir sobre as propostas a seguir (você pode também trabalhar com outras figuras no lugar do triângulo ABC): Aplique a transformação (x,y) → (0,y) no triângulo ABC. Aplique a transformação (x,y) → (-x,-y) no triângulo ABC. Aplique a transformação (x,y) → (-x,y) no triângulo ABC. Aplique a transformação (x,y) → (x,y + 2) no triângulo ABC. Aplique a transformação (x,y) → (x + 2,y) no triângulo ABC. Aplique a transformação (x,y) → (x + 2,y + 2) no triângulo ABC. Aplique a transformação (x,y) → (x,2y) no triângulo ABC. Aplique a transformação (x,y) → (2x,y) no triângulo ABC. Aplique a transformação (x,y) → (y,x) no triângulo ABC. Aplique a transformação (x,y) → (2x,2y) no triângulo ABC.

95

B

A

C

e) Classifique cada uma das transformações acima.

f)

Se você considera que todas essas transformações são funções definidas sobre subconjuntos do plano, responda: como você definiria essas funções? UMA TRANSFORMAÇÃO NUM SISTEMA DE REFERÊNCIA MISTO

17.4) Agora considere o sistema de referência para o plano em que um par ordenado é representado da seguinte forma: a) o primeiro elemento do par determina um ângulo contado a partir da semi-reta OM. (O ângulo pode ser medido em radianos, se quisermos usar o sistema decimal, ou em graus, caso isso não seja necessário). b) O segundo elemento do par determina o afastamento com relação à origem da semi-reta. (Esse afastamento pode ser medido em cm ou em qualquer outra unidade de comprimento).

96 Desse modo, o par (1,2) se utilizarmos as medidas em radianos e centímetros seria o ponto A marcado abaixo.

Ponto A Ângulo de 1 radiano

2 cm O

M

Semi-reta de origem

Agora considere as medidas dos ângulos em graus e a dos afastamentos como sendo 1 a distância entre dois círculos concêntricos e marque os pontos abaixo.

B (30.2)

C (45.5)

D (180,2)

e E (270,1)

a) Desenhe o quadrilátero BCDE e diga se ele é ou não convexo.

b) Faça uma rotação de 45 graus no quadrilátero BCDE em relação à origem. c) Responda: Esta rotação é uma função? Caso afirmativo, defina o domínio e a imagem desta função.

97 d) 17.5) Agora invente você uma função e represente neste sistema.

17.6) Represente a função linear y = 2x + 1 no sistema de eixos abaixo.

Represente também a função y = x2 Após fazer todas as atividades, discuta em seu grupo o que se pode concluir a respeito das representações gráficas que são possíveis para as funções? ATIVIDADE 18

Discuta com os colegas suas conclusões sobre as novas representações que você trabalhou para funções e faça os itens propostos abaixo.

98 18.1) Transforme a figura dada de acordo com o que é pedido e responda as perguntas:

D

3

C

B

A 2

3

5

6

a) Faça a translação do segmento BC de 3 unidades na direção horizontal para a direita, determinando o segmento B’C’. Como será a nova figura AB’C’D? b) Faça a translação do segmento AB de 2 unidades na direção vertical para baixo, determinando o segmento A’B’. Como será a nova figura A’B’CD? c) Para cada ponto do quadrilátero ABCD, troque cada ordenada pelo seu oposto, determinando uma nova figura. Como será esta nova figura? d) Para cada ponto do quadrilátero ABCD, troque cada abscissa pelo seu oposto, determinando uma nova figura. Como será esta nova figura? e) Para cada ponto do quadrilátero ABCD, troque o que é abscissa por ordenada e vice-versa. O que acontece com a figura? f)

Para cada ponto do quadrilátero ABCD, some 3 unidades a cada coordenada do par. Como será a nova figura?

g) Dobre a distância de cada ponto do trapézio ABCD em relação aoponto (2,1). Como será a nova figura? h) Reduza à metade a distância de cada ponto do trapézio ABCD ao ponto fixo (2,1). Como será a nova figura? 18.2) Explique o que acontece com a área de cada figura transformada acima. 18.3) Repare nos pares ordenados da figura transformada nas letras a e b e diga o que aconteceu com relação à figura de origem. 18.4) Repare nos pares ordenados da figura transformada nas letras c e d e diga o que aconteceu com relação à figura de origem.

99 18.5) Repare nos pares ordenados da figura transformada nas letras f e diga o que aconteceu com relação à figura de origem. 18.6) Escreva qual foi a transformação nas letras abaixo: a) (x,y) → (x,-y) e) (x,y) → (0, y) * b) (x,y) → (kx, y), k ∈ R f) (x,y) → (-x, y) c) (x,y) → (x + p, y + p) p ∈ R* g) (x,y) → (-x, -y) h) (x,y) → (x, 0) d) (x,y) → (x, ky), k ∈ R* 18.7) Observe os exemplos abaixo: ♦ Seja f: M → N (x, y) → (x + 3, y) ; onde M = {pontos do trapézio ABCD} Determinando N, temos: N = {pontos do trapézio A’B’C’D’ transladado 3 unidades horizontalmente para a direita} ♦ Seja f: P → Q (x, y) → (x, 0) ; onde P = {pontos do trapézio ABCD} Determinando Q, temos: Q = {segmento de reta com extremidades nos pontos (2,0) e (6,0)} Conclusões:

18.8) Para as funções abaixo, defina um domínio e encontre o contra-domínio: a) f: A → B c) f: A → B (x,y) → (x,-y) (x,y) → (x,x) b) f: A → B (x,y) → (0,y)

d) f: A → B (x,y) → (x, x2)

18.9) Construa o gráfico da função y = x 18.10) A partir do gráfico do exercício anterior, encontre o esboço das funções abaixo sem marcar os pontos de cada função, e sim utilizando seus conhecimentos sobre transformações no plano. a) b) c) d)

y=x+3 y=x–2 y = 3x y = 3x + 1

18.11) Escreva qual foi a transformação em cada item da atividade anterior. 18.12) Construa o gráfico da função y = x2 18.13) A partir do gráfico do exercício anterior, encontre o esboço das funções abaixo sem marcar os pontos de cada função, e sim utilizando seus conhecimentos sobre transformações no plano. a) Y = x2 + 2 d) y = (x+3)2 2 b) Y = x – 4 e) y = 2x2 2 c) Y = (x-3) f) y = 2x2 – 4 18.14) Escreva qual foi a transformação em cada item da atividade anterior.

100 ANEXO

101

102

103

104

105

O logaritmo O aparecimento dos logaritmos ocorreu no começo do século XVII, quando já havia a necessidade de facilitar os complicados cálculos trigonométricos de Astronomia e da Navegação. A ideia básica era substituir operações como multiplicação e divisão, por operações mais simples, como adição e subtração. Os principais inventores dos logaritmos foram o suíço Jobst Bürzi ( 1552-1632) e o escocês John Neper (1550-1667) cujos trabalhos foram produzidos independentes um do outro. Convém mencionar que os primeiros neperianos tinham sérios inconvenientes e foram logo modificados por Neper e por Henty Briggs (1561-1631), um dos maiores admiradores do trabalho de Neper. O resultado foi o apa-recimento dos logaritmos decimais. O astrônomo Kepler (1571-1630) se interessou por essa dêsco-berta e empregou largamente esse novo instrumento nos cálculos que o levaram e descobriu sua 3º lei planetária. Reproduzimos abaixo, um trecho da tabela que Henry Briggs publicou em 1817. Na versão original, os números indicados na coluna 10m variavam de 1 a 1000 e os indicados na coluna m, apresentavam 14(catorze) casas decimais: 10m .... 100 101 102 103 104 105 ....

m ..... 2,000000 2,004321 2,008600 2,012837 2,017033 2,021189 ....

Analisando a tabela podemos escrever: 102,000000 = 100 102,008600 = 102 102,012837 = 103 Os expoentes de 10 são denominados logaritmos. Logo: O expoente 2,000000 é o logaritmo de 100 na base 10. O expoente 2,008600 é o logaritmo de 102 na base 10. O expoente 2,012837 é o logaritmo de 103 na base 10. O que significa dizer que o número 2,017033 é o logaritmo de 104 na base 10? Na escrita usa-se o símbolo log para simplificar a notação de logaritmo. Escrevemos log10104 = 2,017033 Assim a tabela de Briggs pode ser escrita com a seguinte indicação.

101 102 103 104 105 ....

x .... 100

log10 x .....

2 2,004321 2,008600 2,012837 2,017033 2,021189 ....

Definição de logaritmos Considere N e a números reais positivos, com a ≠1. Definimos, loga N = x ⇔ ax = N onde: a é a base do logaritmo; N é o logaritmando; x é o logaritmo de N na base a. Exemplos: a) b) c) d) e)

log10 105 = 2,021189, porque 102,021189 = 105; log5 125 = 3, porque 53 = 125; log3 3 = 1, porque 31 = 3; log5 1 = 0, porque 50 = 1; log10 0,1 = -1, porque 10-1 = 0,1.

Obs: As restrições impostas à base (a >0 e a ≠1) do logaritmo garantem a existência e a unicidade do logaritmo de qualquer número positivo. Exemplo:

Se log2 5 = x, então 2x = 5. Observando o gráfico da função y = 2x, verificamos que esse valor existe e é único.

Quando a base do logaritmo é 10, é comum não indicá-la e o logaritmo é chamado decimal. Assim log10 N = log N. Usando logaritmo Ex1:

100

Como calcular (1,03) , sem usar calculadora? O valor dessa potência pode ser obtido através de uma tabela de logaritmos. Considere N = (1,03)100, observe a tabela: x 1,03 13,4

log x 0,0128 1,28

Pela lº linha da tabela, podemos escrever a seguinte equivalência: log10 1,03 = 0,0128 ⇔ 100,0128 = 1,03; Logo: N = (1,03)100 = (100,0128)100 = 101,28 N = 101,28; O nº cujo logaritmo é 1,28 é obtido na tabela: 13,4. Ex2: Os logaritmos também podem ser aplicados em outras áreas do conhecimento. Por exemplo, na medição de terremotos. Para medir a energia liberada pelo tremor em forma de ondas, uma das escalas mais utilizadas é a escala Ritcher. Considere R1 e R2 indicações das intensidades de dois terremotos na escala Ritcher; e M1 e M2 energias liberadas por esses tremores. A relação entre R1 e R2 é dada por:2 R1 – R2 = log

M1 M2

Considerando que ocorreram dois terremotos, um correspondente a R1 = 6 e o outro correspondente a R2 = 4, determine a razão entre as energias liberadas. Ex3: Suponha que num sistema de engorda de gado, em regime de confinamento, cada animal tem um ganho de peso de 8% ao mês. Considerando log 1,08 = 0,034 e log 2 = 0,301. Determine o tempo aproximado necessário para que um animal dobre de peso.

-

Vamos imaginar que o animal tenha hoje peso p. No mês seguinte passará a ser: p + 8%p = p + 0,08p = 1,08p Logo ao final de cada mês, o peso do animal é multiplicado por 1,08. Desse modo: Ao final do 2º mês, o peso será 1,08p . 1,08 = 1,082p; Ao || || 3º mês, o || || 1,082 p . 1,08 = 1,083 p; Ao final de n meses, o peso será 1,08n p.

Desejamos saber após quanto tempo, o animal passará a pesar 2p. 1,08n p = 2p (p≠0) (1,08)n = 2 Como log 1,08 = 0,0334 ⇔ 100,0334 = 1,08 e log 2 = 0,301 ⇔ 100,301 = 2 Podemos escrever:

(100,0334)n = 100,310 100,0334n = 100,310 n=

0,310 = 9,281 0,0334

9,281 = 9 meses + 0,281 do mês 9,281 = 9 meses + 18,43 dias Agora faça você: Uma população de bactérias, em condições favoráveis, reproduz-se aumentando seu número em 25% a cada dia. Após quantos dias o número de bactérias será 200 vezes maior que o número inicial? Use log 2 = 0,301 e log 5 = 0,699 Uso da tabela no cálculo dos logaritmos Ex: Consulte a tabela ao lado e calcule: x 1,75 3,78 4,7 7,56 13,2 16,2 17,76

log x 0,2420 0,5775 0,6721 0,8785 1,1206 1,2068 0,2496

a) 3,78 x 4,7 Pela tabela → log 3,78 = 0,5775 ⇔ 100,5775 = 3,78 log 4,7 = 0,6721 ⇔ 100,6721 = 4,7 Logo, 100,5775 . 100,6721 = 100,5775 + 0,6721 = 101,2496 = 17,76 b) 13,2 : 7,56 = 101,1206 : 100,8785 c) (1,75)10 = (100,2420)10 d)

263 = (263)

1

2

Cálculo do logaritmo a partir de outro Ex: Sabendo que log 2 = 0,301 , log 3 = 0,477 e log 15 = 1,17 , calcular: a) log 45 ( 45 = 3 x 15 ) b) log 7,5 ( 7,5 = c) log 9

15 ) 2

( 9 = 32 )

1

d) log 15 ( 15 = 15 2 ) Solução: Se log 2 = 0,301 , então 100,301 = 2; Se log 3 = 0,477 , então 100,477 = 3; Se log 15 = 1,17 , então 101,17 = 15; a) Fazendo log 45 = A, temos 10A = 45 10A = 3 x 15 = 100,477 x 101,17 = 100,477 + 1,17 Podemos concluir que: 10A = 100,477 + 1,17 , então A = 0,477 + 1,17 = 1,647 E mais ainda: log 45 = 0,477 + 1,17 = 1,647 Daí, podemos definir a propriedade do logaritmo do produto: log A . B = log A + log B b) Fazendo log 7,5 = B, temos 10B = 7,5 ou 10B = 15 Logo podemos concluir que: 10B = 10 1,17 - 0,301 , então B = 1,17 – 0,301 = 0,769 E mais ainda: log 7,5 = log = 1,17 – 0,301 Daí, podemos definir a propriedade do logaritmo do quociente: log

A B

= log A - log B

c) Fazendo log 9 = C, temos 10C = 9 ou 10C = 32 10C = (100,477)2 = 102 x 0,477 Logo, podemos concluir que: 10C = 102 x 0,477 , então C = 2 x 0,477 = 0,954 E mais ainda: log 9 = log 32 = 2 x 0,477 Daí, podemos definir a propriedade do logaritmo da potência: log An = n . log A d) Fazendo log 15 = D, temos 10D = 15 ou 10D = 15

1

2

10D = (101,17 ) Logo, podemos concluir que: 1,17

10D = 10

2

, então D =

e mais ainda 1

log 15 = log 15 2 =

1

2

1,17

10D = 10

2

1,17 = 0,585 2

1,17 2

Daí podemos definir a propriedade do logaritmo do radical log n A =

1 log A n

Exercícios 1) Se log 2 = 0,30 significa que 100,30 = 2 e log 3 = 0,48, significa que 100,48 = 3, descubra: a) b) c) d)

log 6 log 1,5 log 210 log 3

2) Usando a tabela abaixo, calcule: X 251 252 253 254

log10 x 2,399 2,401 2,403 2,404

a) 251 x 253 (aproximadamente) b) 254 : 251 (aproximadamente) c) 254 3) (CEFET RJ) Um explorador descobriu na selva amazônica uma espécie nova de planta e pesquisando-a durante anos, comprovou que seu crescimento médio, variava de acordo com a fórmula A = 40 . (1,1)t, em que a altura média A é medida em centímetros e o tempo t em anos. Verificou também que seu crescimento estaciona, após os 20 anos, abaixo de 3 metros. Sabendo que log 2 = 0,30 e log 11 = 1,04, determine: a) a altura média, em centímetros, de uma planta dessa espécie aos 3 anos de vida b) a idade, em anos, na qual a planta tem uma altura média de 1,6m. 4) Suponha que um carro sofra uma desvalorização de 10% ao ano. Em quanto tempo o valor do carro se reduzirá a um terço do valor inicial? (Use log 3 = 0,477) 5) (UERJ 2003) Jorge quer vender seu carro por R$ 40 000,00. Pedro, para comprá-lo, dispõe R$ 5 000,00, e aplica esse valor em um investimento que rende juros compostos a uma taxa de 28% a cada 2 anos. Considere que a desvalorização do carro de Jorge seja de 19% a cada dois anos, calculada sobre o valor do carro no período de dois anos imediatamente anterior. Calcule o tempo mínimo em que Pedro terá dinheiro para o carro de Jorge. Utilize em seus cálculos, log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.

Mudando de Base As tabelas de logaritmos usadas em quase todos os livros são sempre de logaritmos decimais (base dez). Então como podemos obter um logaritmo numa base que não seja dez? Sabendo que log 2 = 0,301, log 3 = 0,477 e log 5 = 0,699 responda: a) Qual é o logaritmo de 3 na base 2 ? log2 3 = x 2x = 3 A partir da igualdade podemos escrever: log 2x = log 3 x log 2 = log 3 x= logo log2 3 =

log 3 log 2

0,477 ≅ 1,586 0,301

b) Qual é o logaritmo de 27 na base 2? log2 25 = x

2x = 25

log 2x = log 25

x log 2 = log 25

x=

Logo, log2 25 = c) Faça você agora! Qual é o logaritmo de 9 na base 5? O que você observou sobre o cálculo do logaritmo procurado? Exemplos: 1) Calcule x e y a) log8 b = x log2 b b) log27 b = y log3 b