Aplicación De La Transform Ada De Laplace En Rlc

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. Docente: Martha Guzmán. PROBLEMAS RESUELTOS Aplicación Transformada Laplace a solución circuitos RLC Página # 1 de 11. COMPETENCIA: Técnicas de

SOLUCIÓN A ECUACIONES INTEGRO-DIFERENCIALES con transformada de LAPLACE.

SOLUCIÓN DE CIRCUITOS RLC, RL, RC, LC, CON L. EJEMPLO #1:

CIRCUITO RLC PARALELO CON FUENTE DE CORRIENTE COSENOIDAL.

Considere el siguiente circuito paralelo, donde: Con las siguientes condiciones iniciales:

Is1 = 8 Cos ( 2t + 6 ),

R = 2 Ω,

i ( 0 - )= 3 Amperios, en la bobina.

L = 3 H,

C = 0.7 F.

v ( 0 - ) = 1 Voltio, en el capacitor.

Is1

1)

R1

L1

+

S1

C1

Encuentre la respuesta de voltaje V = V ( t ) del circuito, e identifique en ella la parte Natural ( Complementaria o Transitoria ) y la parte Forzada ( Particular o Permanente ). Observe que como se trata de un paralelo, el voltaje en todos los elementos es el mismo: VR = VL = VC= V = V( t ).

2)

Encuentre la respuesta de corriente iR ( t ) a través de la Resistencia R.

3)

Encuentre la respuesta de corriente iL ( t ) a través de la Bobina L.

Identifique la parte Natural y la parte Forzada.

4)

Encuentre la respuesta de corriente iC ( t ) a través del Capacitor C.

Identifique la parte Natural y la parte Forzada.

Identifique la parte Natural y la parte Forzada.

SOLUCIÓN AL EJEMPLO #1: Recordemos el algoritmo de solución de circuitos utilizando el método de Laplace y Heaviside:

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. Docente: Martha Guzmán. PROBLEMAS RESUELTOS Aplicación Transformada Laplace a solución circuitos RLC Página # 2 de 11. Sí se-1[encuentra: no se encuentra: Ecuación Despejar la Integro-Diferencial variable de interés. Entonces: Reemplazar L Entonces, [Ecuación Ecuación esta condiciones integroes con variable iniciales. de interés

despejada]

Método la Solución diferencial de la] ecuación integro diferencial. HEAVISIDE.

Para llevar la ecuación, del dominio del tiempo t, al dominio de la S.

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1)

Para encontrar la respuesta de voltaje del circuito es necesario en primer lugar, encontrar el modelo del circuito. Para hacerlo utilizamos la ley de corrientes de KIRCHHOFF:

a)

Σ i = 0 ; nodo

- Is1 + iR + iL + iC iR

+

iL

= 0 +

iC

= Is1

.

vR + 1 ∫t vL dt + R L -∞

.

vR + 1 ∫t vL dt + 0.7 d vC = 8Cos ( 2t + 6 ) 2 3 -∞ dt

C d vC = Is1 dt

El siguiente paso sería aplicar la transformación de LAPLACE a ambos lados de la ecuación, pero debemos recordar que la L no está definida para los tiempos negativos o sea para los t < 0, por lo tanto la integral que representa la corriente de la bobina que se define para los tiempos desde: t = - ∞ hasta cualquier tiempo: t, debe partirse, y reemplazar el valor de la corriente de la bobina para los t negativos: i ( 0 - ) = 3 Amperios. .

vR + 1 { ∫0 vL dt + 2 3 -∞

∫t vL dt } + 0.7 d vC =

.

0.5 vR + 1 { i ( 0 -) + 3

∫t vL dt } + 0.7 d vC =

.

0.5 vR + 1 { 3 amp. + 3

∫t vL dt } + 0.7 d vC =

.

0.5 vR + 1 { 3 amp } + 1 { ∫t vL dt } + 0.7 d vC = 8Cos ( 2t + 6 ) 3 3 0 dt 0.5 vR

+

.

0

0

0

8Cos ( 2t + 6 )

dt

8Cos ( 2t + 6 )

dt

8Cos ( 2t + 6 )

dt

1 + 0.3333 { ∫t vL dt } + 0.7 d vC = 8Cos ( 2t + 6 ) 0 dt

Recordemos que se trata de un circuito en paralelo, por lo tanto: VR = VL = VC = V 0.5 v .

+

1 + 0.3333 ∫t v dt + 0.7 d v = 8Cos ( 2t + 6 ) 0 dt

Esta es la ecuación integro-diferencial que hace las veces del modelo del circuito, para el voltaje. Por que la única variable dependiente es el voltaje v.

b) Aplicamos transformación de LAPLACE, a ambos lados de la ecuación integro-diferencial:

.

L { 0.5 v + 1 + 0.3333 ∫t v dt + 0.7 d v } = L { 8 Cos ( 2t + 6 ) } 0 dt

Lo que sigue es aplicar todas las propiedades de la L que sean necesarias: .

L { 0.5 v } + L { 1 } + L { 0.3333 ∫t v dt } + L { 0.7 d v } = L { 8 Cos ( 2t + 6 ) } 0 dt

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.

0.5 L { v } + L { 1 } + 0.3333 L { ∫t v dt } + 0.7 L { d v } = 8 L { Cos ( 2t + 6 ) } 0 dt

.

0.5 V( s ) + 1 + 0.3333 V( s ) + 0.7 { s V( s ) - v( 0- ) } = 8 { s Cos(6) – 2 Sen (6) } s s ( s2 + 22 )

.

0.5 V( s ) + 1 + 0.3333 V( s ) + 0.7 *s V( s ) - 0.7* v( 0- ) = 8{ s * 0.9602– 2 * (- 0.2794) } s s ( s2 + 4 ) c)

Se reemplazan las condiciones iniciales que aparezcan en la ecuación transformada:

.

0.5 V( s ) + 1 + 0.3333 V( s ) + 0.7 s V( s ) - 0.7* v( 0- ) = 8 { 0.9602 s + 0.5588 } s s ( s2 + 4 )

.

0.5 V( s ) + 1 + 0.3333 V( s ) + 0.7 s V( s ) - 0.7* 1 = 7.6816 s + 4.4704 s s ( s2 + 4 )

.

0.5 V( s ) + 1 + 0.3333 V( s ) + 0.7 s V( s ) - 0.7 s s

= 7.6816 s + 4.4704 ( s2 + 4 )

d) Se despeja la variable de interés, en este caso la V(s): .

0.5 V( s ) + 1 + 0.3333 V( s ) + 0.7 s V( s ) - 0.7 s s

.

{0.5 + 0.3333 + 0.7 s } * V( s ) s

+ 1 - 0.7 s

{0.5 + 0.3333 + 0.7 s } * V( s ) s

=

.

= 7.6816 s + 4.4704 ( s2 + 4 )

= = 7.6816 s + 4.4704 ( s2 + 4 )

7.6816 s + 4.4704 ( s2+ 4 )

- 1 s

+

0.7

Se requiere obtener el común denominador en ambos lados del igual:

.

{ 0.5 s + 0.3333 + ( 0.7 s ) s } * V( s ) s

= {7.6816 s + 4.4704 } s - 1 ( s2 + 4 ) + 0.7 s ( s2 + 4 ) ( s2 + 4 ) s

Y se despeja la variable de interés:

V( s ) .

= { 7.6816 s2 + 4.4704 s - s2 - 4 + 0.7 s3 + 2.8 s } * . s . ( s2+ 4 ) s * {0.5 s + 0.3333 + 0.7 s2 }

V( s ) .

= { 7.6816 s2 + 4.4704 s - s2 - 4+ 0.7 s3 + 2.8 s } . ( s2+ 4 ) * { 0.5 s + 0.3333 + 0.7 s2 }

V( s ) .

= { 6.6816 s2 + 7.2704 s - 4+ 0.7 s3 } . ( s2+ 4 ) {0.5 s + 0.3333 + 0.7 s2 }

e)

L .

-1

Se aplica la antitransformación de LAPLACE a ambos lados del igual, para pasar del dominio de la frecuencia compleja s al dominio del tiempo t:

[ V( s ) ] = L

v(t)

-1

[

{ 6.6816 s2 + 7.2704 s - 4 + 0.7 s3 } . ( s2+ 4 ) {0.5 s + 0.3333 + 0.7 s2 }

] ;

en MATLAB:

= 0.6120 Cos ( 2t ) + 5.9801 Sen (2t ) + 0.3880 e – 0.3571t Cos (5.9042 t ) – 5.0656 e – 0.3571t Sen (5.9042 t )

Esta es la solución completa para el voltaje del circuito, donde:

v(t)

= vc(t) + vp(t)

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v c ( t ) = 0.6120 Cos ( 2t ) + 5.9801 Sen (2t ) ; Respuesta Forzada, Particular o Permanente. Observe que tiene la misma forma de la fuente.

v p ( t ) = 0.3880 e – 0.3571t Cos (5.9042 t ) – 5.0656 e – 0.3571t Sen (5.9042 t ); Respuesta Natural, complementaria o Transitoria. Observe que corresponde al caso de Raíces Complejas y Conjugadas.

EJEMPLO #2:

CIRCUITO RLC PARALELO CON DOS FUENTES DE VOLTAJE.

Considere el siguiente circuito, donde: Con las siguientes condiciones iniciales:

Vs1= 1 Voltio,

Vs2 = 1µ ( t ) Voltios,

iL ( 0 - ) = 0Amperios, en la bobina.

R = 2 Ω,

L = 1H,

C = 0.2 F.

vC ( 0 - ) = 1 Voltio, en el capacitor.

L1

R1 S1 +

Vs1

+

-

Vs2

-

C1 +

1)

Encuentre la respuesta de corriente i = i ( t ) del circuito. Observe que como se trata de una serie por lo tanto la corriente por todos los elementos es la misma: iR = iL = iC= i = i ( t ).

2) Encuentre la respuesta de voltaje vC ( t ) a través del Capacitor C. SOLUCIÓN AL EJEMPLO #2: Recordemos el algoritmo de solución de circuitos utilizando el método de Laplace y Heaviside:

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. Docente: Martha Guzmán. PROBLEMAS RESUELTOS Aplicación Transformada Laplace a solución circuitos RLC Página # 6 de 11. Sí se-1[encuentra: no se encuentra: Ecuación Despejar la Integro-Diferencial variable de interés. Entonces: Reemplazar L Entonces, [Ecuación Ecuación esta condiciones integroes con variable iniciales. de interés

despejada]

Método la Solución diferencial de la] ecuación integro diferencial. HEAVISIDE.

Para llevar la ecuación, del dominio del tiempo t, al dominio de la S.

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1)

Para encontrar la respuesta de corrientedel circuito es necesario en primer lugar, encontrar el modelo del circuito. Para hacerlo utilizamos la ley de voltajesde KIRCHHOFF:

a) - vs1

Σ malla

v = 0 ;

+ vL + vR -

vs2 +

vC

=

vL +

vR +

vC

=

vs1 + vs2

=

vs1 + vs2

L d iL dt

.

L d iL dt

.

∫t iC dt

+ R iR + 1 C +

R iR

0

-∞

∫ t iC dt = vs1 + vs2

+ 1 C

-∞

El siguiente paso sería aplicar la transformación de LAPLACE a ambos lados de la ecuación, pero debemos recordar que la L no está definida para los tiempos negativos o sea para los t < 0, por lo tanto la integral que representa el voltaje del capacitor que se define para los tiempos desde: t = - ∞ hasta cualquier tiempo: t, debe partirse, y reemplazar el valor del voltaje del capacitor para los t negativos: v ( 0 - )= 1 voltios.

.

L d iL dt

+ R iR + 1 ∫ C -∞

.

1 d iL + 2 iR + 1 dt 0.2

.

1 d iL + 2 iR + dt

.

d iL + 2 iR + dt

0

iC dt + 1 C 0

∫ t iC dt = vs1 + vs2 1 + 1µ ( t )

∫ 0 iC dt + 1 ∫ t iC dt = 0.2

-∞

0

+ 1 ∫ 0.2 0

v ( 0 -)

1

+ 5

t

1 + 1µ ( t )

iC dt =

∫ t iC dt =

1 +

µ (t)

0

Recordemos que se trata de un circuito en serie , por lo tanto: iR = iL = iC = i + 2i +

.

di dt

1

+ 2i

.

di dt

+ 2i

.

di dt

+ 2i + 5

.

di dt

+ 5

∫ t i dt =

µ (t)

1 +

0

+ 5

∫ t i dt =

1 - 1 +

∫ t i dt =

0

µ (t)

0

+ 5

+

µ (t)

0

∫ t i dt =

µ (t)

.

0

Esta es la ecuación integro-diferencial que hace las veces del modelo del circuito, para la corriente. Por que la única variable dependiente es la corriente i.

b) Aplicamos transformación de LAPLACE, a ambos lados de la ecuación integro-diferencial:

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L { di dt

.

∫ t i dt } = L { µ ( t ) }

+ 2i + 5 0

Lo que sigue es aplicar todas las propiedades de la L que sean necesarias:

∫ t i dt } = L { µ ( t ) }

.

L {di } + L {2i} + L {5 0 dt

.

L { d i } + 2* L { i } + 5 * L { 0 dt

.

{ s I (s) - i ( 0 - ) } + 2* { I ( s ) } + 5 * { s c)

∫ t i dt } = L { µ ( t ) } I (s) } = { 1 } s

Se reemplazan las condiciones iniciales que aparezcan en la ecuación transformada:

s I (s) -

0

+

2I(s)

.

+ 5 s

I (s)

= 1 s

d) Se despeja la variable de interés, en este caso la V(s): [s +

2 + 5] * s

.

I (s)

= 1 s

Busquemos común denominador en el lado izquierdo del igual: [ s2 +

2s +

I (s)

5 ] *

s

.

= 1 s

.

Y se despeja la variable de interés:

I (s)

= . s [ s2 +

1 2s +

5 ]

I (s)

= . s [ s2 +

s 2s +

5 ]

I (s)

= .

s

.

.

e)

L

-1

1 2s +

[ s2 +

.

.

.

.

.

.

.

5 ]

Se aplica la antitransformación de LAPLACE a ambos lados del igual, para pasar del dominio de la frecuencia compleja s al dominio del tiempo t:

[ I (s) ]

=

L

-1

.

[ . [ s2 +

1 2s +

. ] 5 ]

Si lo resolvemos utilizando el comando ilaplace de MATLAB, el resultado será: i ( t ) = - 0.25 j {

e (-1+2j) - e ( -1–2j) }

Si lo resolvemos a mano, utilizando primero el método de Heaviside y luego el de Laplace, obtenemos:

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I (s)

= .

.

[ s2 +

.

I (s) .

. = . 5 ]

1 . (s+1–j2) (s+1+j2)

= . 1 . = . A . + (s+1–j2) (s+1+j2) (s+1–j2)

. 1 (s+1–j2) (s+1+j2)

.

1 2s +

.

A* . (s+1+j2)

. = . A ( s + 1 + j 2 ) + A* ( s + 1 – j 2 ). (s+1–j2)*(s+1+j2)

Cancelamos denominadores: . 1 .

( s + 1 – j 2 ) * ( s + 1 + j 2 ). = . A ( s + 1 + j 2 ) + A* ( s + 1 – j 2 ). (s+1–j2) (s+1+j2) 1 1

= A ( s + 1 + j 2 ) + A* ( s + 1 – j 2 )

1

= As + A + j 2A + A*s + A* – j 2 A*

1

= ( A + A* )*s

+ { ( A + A* ) + j 2 * (A – A* ) }

Para obtener un sistema de ecuaciones debemos comparar y reordenar los dos lados del igual, buscando que tengan la misma estructura: 0* s

+

1

= ( A + A* )*s

+

{ ( A + A* ) + j 2 * (A – A* ) }

Planteamos entonces las siguientes condiciones para que se cumpla la igualdad: 0 = ( A + A* ) 1 = { ( A + A* ) + j 2 * (A – A* ) }

Condición # 1 = Ecuación # 1 Condición # 2 = Ecuación # 2

Resultó un sistema de ecuaciones 2 x 2 y la primera permite despejar rápidamente: - A = A* Si reemplazamos este resultado, y la Ecuación# 1, en la Ecuación# 2. Tenemos que: 1 = { ( A + A* ) + j 2 * (A – A*) } 1= {

(0)

1= {

j2*(A+A )}

1= {

j2*( 2A )}

1=

+ j 2 * (A– ( - A) ) }

j4A

1= j4

A

1*j j4*j

=

A

. j 4*j2

=

A

. j . = 4*(-1 )

A

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. - j . 4

=

A

- 0.25 j =

A

Reemplazamos este resultado en la Ecuación# 1 y obtenemos que: 0 = ( A + A* ) 0 = - 0.25 j + A* 0.25 j = A* Por lo tanto el desarrollo en fracciones parciales de HEAVISIDE para la I ( s ) resulta ser: I (s)

= . A (s+1–j2)

I (s)

= . - 0.25 j (s+1–j2)

.

.

. +

. A* (s+1+j2)

. +

.

. 0.25 j (s+1+j2)

.

.

.

Para cambiar desde el dominio de la frecuencia compleja s hacia el dominio del tiempo t, es necesario aplicar la antitransformada de LAPLACE o transformada inversa:

L

-1

L

[I(s)] =

[ . - 0.25 j (s+1–j2)

. +

[ . 0 - 0.25 j (s+1–j2)

. +

-1

.

i(t)

=

L

.

-1

. 0.25 j (s+1+j2) .

.]

0 + 0.25 j (s+1+j2)

.]

Recordemos la tabla vista en esta clase: DOMINO DEL TIEMPO: f ( t )

DOMINIO DE LA FRECUENCIA S: F ( s )

2 ( ε2 + τ 2 ) 1/2 * e - σ t * Cos ( wt + θ )

. ε + jτ (s+σ–jw)

.

+

. ε- jτ . (s+σ+jw)

Donde: θ = tan-1 ( τ / ε ), si ε ≠ 0 ó: θ = sen-1 ( τ / ( ε2 + τ 2 ) ½ ) Aplicando el resultado de esta tabla, tenemos que en nuestro caso: τ = - 0.25,

ε= 0,

σ = 1,

w = 2

Con estos datos podemos calcular el valor de θ y el valor de ( ε2 + τ 2 ) 1/2 en el lado izquierdo de la tabla: θ = Sen-1 ( τ

/ ( ε2 + τ 2 ) ½ )

θ = Sen-1 (

- 0.25

/ ( ( 0 )2 + ( - 0.25 ) 2 ) ½ )

θ = Sen-1 (

- 0.25

/ ( ( - 0.25 ) 2 ) ½ )

θ = Sen-1(

- 0.25

/

( - 0.25 )

)

θ = 1.57079 radianes

( ε2 + τ 2 ) 1/2 = ( ( 0 )2 + ( - 0.25 )2 ) 1/2 ( ε2 + τ 2 ) 1/2 = ( ( - 0.25 )2 ) 1/2 ( ε2 + τ 2 ) 1/2 = - 0.25

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Podemos ahora reemplazar estos resultados en la lectura de la tabla:

i(t) i(t) i(t) i(t)

= = = =

* e - σ t * Cos ( wt + θ ) * e - 1t * Cos ( 2t + 1.57079 ) * e - t * Sen ( 2t ) Esta es la solución para la corriente del circuito.

2 ( ε2 + τ 2 ) 1/2 2 ( ( 0 ) 2 + ( - 0.25 ) 2 ) 1/2 2 ( - 0.25 ) - 0.50 e - t Sen ( 2t ),

Compare este resultado con el obtenido en MATLAB. comprobarlo, aplique la identidad de EULER.

Son el mismo resultado y son equivalentes, para

2) Encontrar la respuesta de voltaje que tiene el capacitor del circuito: vC =

1

∫t iC dt = C

-∞

1

vC = C

∫0 iC dt + 1 ∫t iC dt C

-∞

vC ( 0 -) +

1

∫t iC dt

.

0

Como se trata de un circuito en serie tenemos que:

i(t) =

- 0.50 e - t Sen ( 2t ) ,

ic = i

total del circuito.

Esta es la solución para la corriente del circuito.

vC ( 0 ) = 0 voltios.

Según las condiciones iniciales del circuito.

-

Reemplazamos estos valores, en la ecuación del voltaje del capacitor, así: vC =

1

+ 1 0.2

.

vC =

1

∫t

- 0.50 e - t Sen ( 2t ) dt

0

+ 5 * ( - 0.50)

∫t e - t

Sen ( 2t ) dt

∫t e - t

Sen ( 2t ) dt

0

.

vC =

1

-

2.5* 0

.

vC = 1 - 2.5 * [ - 0.4 e - t Cos ( 2t ) - 0.2 e - t Sen ( 2t ) ] t 0

.

vC = 1 - 2.5 *[ { - 0.4 e - t Cos ( 2t ) - 0.2 e - t Sen ( 2t ) } - { - 0.4 e - 0 Cos ( 2*0 ) - 0.2 e - 0 Sen ( 2*0 ) } ] vC = 1 - 2.5 *[ { - 0.4 e - t Cos ( 2t ) - 0.2 e - t Sen ( 2t ) } - { - 0.4 *1 * 1 - 0.2 *1 *0 } ] vC = 1 - 2.5 *[ { - 0.4 e - t Cos ( 2t ) - 0.2 e - t Sen ( 2t ) } + vC = 1 vC =

+

1 e - t Cos ( 2t ) e - t Cos ( 2t)

C

.

0

+ 0.5 e - t Sen ( 2t )

0.4

]

- 1

+ 0.5 e - t Sen ( 2t)

vC = e -t Cos ( 2t ) + 0.5 e - t Sen ( 2t )

; Esta es la respuesta completa del voltaje del capacitor.