Números Perfectos

NP: LOS NÚMEROS PERFECTOS

“On voit clairement par là combien sont rares les Nom- bres Parfaits, et combien on a raison de les comparer aux hommes parfaits.” Mersenne Los matemáticos de la Antigüedad dieron a ciertos números denominaciones que han pervivido hasta los días actuales; dichos nombres se emplean para designar algunas propiedades particulares de aquellos números y, en sentido estricto, no son atribuibles a entes de razón (como son los números), pero su empleo se ha hecho universal. De ellos, se considerará, en estas líneas, a cinco: números “primos” (o primeros), “abundantes”, “deficientes”, “amigos” y “perfectos”, únicamente, y se extenderá (dicha consideración) a estos últimos, i.e., los “números perfectos” o NP. El criterio para comentarlos es la divisibilidad (1): todo número (natural) tiene como mínimo dos divisores: la unidad (el menor posible) y él mismo (el mayor posible); así, todos aquellos que tienen únicamente esos dos divisores, se denominan “primos” (o primeros). La sucesión de los números primos es ilimitada (la demostración de que esta proposición es cierta, se conoce desde la antigüedad), que es lo mismo que afirmar que los números primos son incontables, innumerables, o bien, infinitos (recordando que lo infinito es una imperfección en las cosas y, por lo tanto, también en los números que son los entes de razón que sirven para contar las cosas). Todos los demás números son no-primos: de ellos, únicamente la unidad tiene un solo divisor, y todos los demás (denominados “compuestos”) tienen más de dos divisores; todo número compuesto se puede expresar como un producto de únicamente sus divisores primos denominándose “canónica” dicha expresión (que es única, para cada número compuesto: lo cual es demostrable). Por lo tanto, los números se pueden clasificar en: la unidad, que no es primo, ni compuesto; los primos, que tienen solo dos divisores y los compuestos que tienen más de dos factores, o divisores. Un número, cuando la suma de sus divisores menores que él, lo supera, se denomina “abundante” y, al contrario, es “deficiente” todo número que supera la suma de sus divisores menores que él. Por lo tanto, todos los números primos son deficientes, porque exceden a la unidad (el único divisor menor que tienen), pero hay muchos otros (compuestos) que también son deficientes. Por ejemplo 24 es abundante, porque la suma de sus divisores menores que él (1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12) es 36, que lo supera y 15 es deficiente, porque la suma de sus divisores menores que él (1 + 3 + 5) es 9, superado por él. Dados dos números, cuando la suma de los divisores menores de uno de ellos equivale al otro y, recíprocamente, la suma de los divisores menores de éste equivale al primero, se llaman “amigos”. Por ejemplo 220 y 284 son el menor par de números con esta “amigable” propiedad, pues los once divisores menores (o partes alícuotas) de 220:

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1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110, suman 284, mientras que las cinco partes alícuotas (o divisores menores) de 284: 1 + 2 + 4 + 71 + 142, suman 220. En cambio, si se efectúa la suma de todos los divisores de dichos números: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 + 220 = 504 y: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 + 284 = 504, se obtiene el mismo resultado en ambos lo cual, si bien es una propiedad de los números amigos, no es la que los define, puesto que puede haber muchos pares de números que también la tienen, sin ser amigos; basta un ejemplo para mostrarlo: 14 y 23 no son amigos, aunque 1 + 2 + 7 + 14 = 24 y 1 + 23 = 24. E, incluso, puede haber más de dos números con dicha propiedad: en el ejemplo precedente, se puede añadir 15 (donde la suma de todos sus divisores: 1 + 3 + 5 + 15 = 24, hace que comparta dicha propiedad con 14 y con 23). Por lo tanto, se puede estimar esta consideración como trivial. Y, más trivial aún, es el caso de números (pares, o grupos superiores al par) cuya suma de partes alícuotas dan un mismo resultado: los dos primeros, 27 y 35 fueron señalados por Schwenter en 1636 (1 + 3 + 9 = 13 y 1 + 5 + 7=13 respectivamente). En el siglo siguiente, Kraft dio a conocer varios otros pares, en el año 1749, y aún más de dos: 45, 87 y 247, por ejemplo (siendo, respectivamente, dichas sumas: 1 + 3 + 5 + 9 + 15 = 33; 1 + 3 + 29 = 33 y 1 + 13 + 19 = 33). En 1823, Taylor (Thomas) denominó a éstos “números imperfectamente amigos” (o “amigables imperfectamente”), siendo secundado poco después (1845) por Peacock, en asignarles dicha denominación. Hay muchos de ellos, por lo que – se reitera – es una consideración trivial (2) Resumiendo todo lo expresado hasta acá, se retoma para hacer ulteriores consideraciones (no triviales): en primer lugar, con respecto a los números abundantes y deficientes, pareciera que –tomado un número cualquiera– tendría que ser o lo uno, o lo otro (que la suma de sus partes alícuotas lo superen, o bien, sean superadas por él); sin embargo, hay una pequeña cantidad (solamente cuarenta y dos conocidos en el momento actual) que no son abundantes, ni tampoco deficientes: aquellos cuya suma de partes alícuotas los igualan: son los denominados perfectos (NP). Tomándolos desde el concepto de números amigos, se podría expresar que los números perfectos son aquellos “amigos de sí mismos”, puesto que la suma de sus divisores menores que él, no igualan a ningún otro, salvo a él. Si se emplea la suma de todos los divisores de un número (incluido él) y dicho número es perfecto, dicha suma es el doble del número: por ejemplo, 6 (el primer NP, ya conocido con esa propiedad desde la remota antigüedad), su suma de divisores (1 + 2 + 3 + 6 = 12) es el doble del mismo (6): es otra manera de expresar todos los NP. Y es la más precisa: NP es el número “semisuma de todos sus divisores”, puesto que, puede haber números cuya suma de partes alícuotas den un NP, sin serlo ellos: por ejemplo, 25,cuya suma de partes alícuotas (1 y 5) suman 6 (que es NP), mientras que, si se suman todos sus divisores ( 1 + 5 + 25 = 31) es evidente que dicha suma no es el doble de 25, que es el mejor criterio para asegurar que 25 no es NP. Es conveniente aclarar, en todo lo que sigue, que se tratará de NP pares (en efecto, los cuarenta y dos que se conocen hasta el momento actual son todos pares). No se ha encontrado NP impares, pero tampoco se ha podido demostrar que no existen (3). Desde el tiempo de los “Elementos” de Euclides de Alejandría, se conoce una expresión binominal que representa cualquier NP. Presentada con términos de uso actual es:

2 p −1 ⋅ (2 p − 1) es decir: “dos, a la pe menos uno, que multiplica al binomio dos a la pe, menos uno” (4).

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La condición, única, es que el exponente p debe ser un número primo, como algo necesario pero, para que se pueda obtener un NP esto no es suficiente, ya que el binomio 2 p - 1 deberá ser, también primo: es el que se denomina “primo de Mersenne” (5). Por ejemplo, para los primeros NP: si se remplaza p por los seis primeros primos sucesivos (2, 3, 5, 7, 11 y 13) se obtiene (para el binomio 2 p - 1) respectivamente, los valores 3, 7, 31, 127, 2047 y 8191, pero el quinto (2047 = 23 . 89) no es primo, por lo tanto, extendiendo dicho reemplazo a la fórmula de Euclides (como figura más arriba) se obtiene los NP: 6, 28, 496, 8128 y 33550336 que son, cada uno, la semisuma de todos sus divisores. En cuanto a 210 ⋅ (211 − 1) = 2096128 (el desechado, por no contener un primo de Mersenne) no es NP (y resulta trivial el demostrar si es deficiente o abundante). Acá se puede comentar dos observaciones: que la última cifra de los NP es, alternativamente 6 y 8 (el primero en señalarlo fue Nicolás Chuquet, en 1484, lo cual fue confirmado en la posterioridad, al descubrirse nuevos NP). De los cinco consignados más arriba los cuatro primeros ya se reconocían en 1456 y el quinto se confirmo en 1461 (6). Por otra parte, la cantidad de cifras de cada NP va aumentando según avanza la sucesión (una, dos, tres, cuatro, en los primeros, pero ya el quinto consta de ocho, en los copiados más arriba) y depende de similar aumento en los correspondientes primos de Mersenne, hasta llegar (en la actualidad) a los 7,8 millones de dígitos en el último descubierto en el corriente año 2005 (una organización ha ofrecido un premio de 83.000 euros a quien diese con el primo de Mersenne con 10 millones de dígitos). Para saber si un número es primo, únicamente se cuenta con el antiguo recurso de probar de dividirlo por todos los primos menores que él: si ninguno de ellos los divide (sin resto, obviamente) es primo y si alguno lo divide, se desecha, pues es compuesto. La tarea se facilita por el hecho de que no se es necesario probar con todos los primos menores que él: basta con hacerlo con todos los menores a su raíz segunda (cuadrada) y, con el empleo de ordenadores, dicha tarea se aligera notablemente; hasta hace ocho años, los calculistas operaban individualmente pero, para aligerar más aún la tarea, en 1997 empezó a funcionar el programa GIMPS (“Gran búsqueda en Internet de Primos Mersenne”), por lo cual 10.000 personas de todo el planeta tienen su ordenador trabajando para este proyecto mientras los usuarios no están al frente del teclado. Con este proyecto, se ha conseguido encontrar los ocho últimos primos de Mersenne y, por ende los correspondientes NP (a razón de uno por año) (7). La fórmula de Euclides antes transcripta: 2 p −1 ⋅ (2 p − 1) se puede resolver para presentarla como un simple binomio:

2 2 p −1 − 2 p −1 que da un resultado par (por ser diferencia de dos pares), del mismo modo que aquella da – también – par, por ser producto de un par por un impar (el primo de Mersenne). Por lo tanto, los cuarenta y dos NP conocidos hasta ahora, son todos pares (ya se comentó antes que no se conocen NP impares, pero no se ha podido demostrar aún que no existan, siendo evidente que, de haberlos, requerirían una fórmula diferente: se ha estimado que serían enormemente grandes). Hace tres años, en el 2002, se dio a conocer fórmulas trinómicas para expresar los NP y, consecuentemente, la posibilidad de expresarlos mediante tetranomios, pentanomios… y, en general, polinomios con el número de términos que se deseé. Todos ellos pares. Acá se presentan los dos trinomios más sencillos y menores posibles: 2 2 p −1 − 2 p +1 + 3.2 p −1 y 2 2 p −1 + 2 p + 2 − 32.2 p −1 en los cuales, reemplazando p por los primos que generan primos de Mersenne, se obtienen los correspondientes NP. Véase, por ejemplo haciendo p = 2 (el menor, y el único par entre los primos):

2 3 − 2 3 + 3.21 = 6 y 23 + 2 4 − 32.21 = 6 (que es el primer NP)

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Pero resulta mejor – y generalizado – igualar dichos trinomios con la formula binómica de Euclides:

2 2 p −1 − 2 p −1 = 2 2 p −1 − 2 p +1 + 3.2 p −1 y 2 2 p −1 − 2 p −1 = 2 2 p −1 + 2 p + 2 − 3 2.2 p −1 , obteniéndose, en ambos

casos, sendas identidades que certifican la equivalencia. (8). Finalmente, se presenta una relación que no se ha encontrado en la bibliografía de Teoría de los números: si se suma la unidad al óctuplo de un NP se obtiene – siempre – un cuadrado (llamado, también “perfecto”, i. e. entero). Por ejemplo, con 6 (el menor NP): 1+8.6 = 49 = 7 2 Pero se puede demostrar la validez general de dicha proposición con el binomio de Euclides (o bien, con los dos trinomios señalados antes):

1 + 8.2 2 p −1 − 8.2 p −1 = 1 + 23.2 2 p −1 − 23.2 p −1 = 1 + 2 2 p + 2 − 2 p + 2 = 1 − 2.2 p +1 + 2 2 ( p +1) = (2 p +1 − 1) 2 Todos estos resultados, toda esta búsqueda, de la Teoría de los números, no tienen aplicación practica (no “sirven”); se realizan como decía Henri Poincaré: “por el honor del espíritu humano”.

José Agustín Jorge Viaña Santa Cruz

NOTAS

(1) Si se toma el algoritmo de la división: dividendo es un número a dividir en partes iguales por otro, el divisor; cociente es el número que expresa cada una de esas partes iguales y residuo o resto es una cantidad que eventualmente puede sobrar, cuando la división no es exacta (por ser menor que el divisor). Para la consideración que se viene haciendo en el texto, se hará la restricción únicamente a división exacta (con resto nulo), así, el divisor divide al dividendo en una cantidad igual de partes, donde cada una vale lo que expresa el cociente. Dicho divisor se denomina también factor (del dividendo) y submúltiplo (porque lo es, de dicho dividendo) y el cociente originalmente denominado parte alícuota por razón de ser exacta la división, puede pasar a cumplir la función de divisor (siendo, en este caso, dicho divisor, con este cambio, el nuevo cociente), de manera que también se puede emplear la denominación de parte alícuota, para el susodicho divisor, o factor o submúltiplo (término frecuentemente empleado por autores anglosajones: “aliquot divisors”, enfatizando que se trata de los divisores, incluyendo la unidad y excluyendo el número en sí). En la actualidad, está generalizado el empleo del término divisor, simplemente (significando cualquiera de los divisores menores que el número: únicamente, cuando se enfatiza con “todos sus divisores”, se está queriendo incluir el número mismo, lo cual no es frecuente, pero eventualmente se empleará en el texto de este trabajo). Por oposición a “parte alícuota” se emplea el de “parte alicuanta”, para el caso de divisiones no exactas. Esto, en la Teoría de congruencias de Gauss: un algoritmo que inventó para elaborar sus formulas para la determinación de la Fecha de Pascua de Resurrección con sólo el dato de número del año… y que, luego, sirvió para otras aplicaciones (en particular para la resolución de problemas que, de otro modo, resultarían irresolubles). (2) 220 y 284 son el mínimo par de números amigos. Al respecto decía Pitágoras de Samos: “|un amigo es el otro yo, tal como son 220 y 284”. En 1750, Euler elaboró, sin error alguno, una lista de sesenta números amigos, pero omitió el segundo par en magnitud (después del par nombrado antes: 220 y

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284), el cual fue descubierto por un joven de 16 años, B. N. I. Paganini, tan luego como 1866. se trata del par 1184 y 1210. Existen muchas reglas para encontrar números amigos, entre las cuales, una de las más simples se debe a un matemático árabe del siglo IX, Tábit Ben Korrah. Dado un número, si se aplica sucesivamente la suma de sus divisores, es muy frecuente que termine en la unidad; por ejemplo: 20 y la suma de sus divisores 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22 y de éste: 1 + 2 + 11 = 14, y de éste: 1 + 2 + 7 = 10, y de éste: 1 + 2 + 5 = 8, y de éste: 1 + 2 + 4 = 7 y, como 7 es primo, su único divisor menor es 1. Pero, por otra parte la suma de dichos divisores puede crecer indefinidamente. Al aplicar sucesivamente el procedimiento de sumar los divisores de un número inicial y, con el nuevo número obtenido volver a sumar sus divisores (como se expresa en el párrafo anterior) se puede terminar en la unidad, o bien obtener un aumento indefinido de las cantidades pero, se puede presentar una tercera situación: la de que, luego de aplicar una cierta cantidad de veces sucesivas dicho procedimiento, se termine obteniendo el número inicial del cual se partió. En este caso, se termina obteniendo un ciclo cerrado de números amigos, denominado “de orden superior” o, mas recientemente, de “números sociables”. Así se pueden obtener ciclos cerrados de tres, cuatro o más “números sociables” queriéndose destacar un ejemplo notable de estos: el de un ciclo de veintiocho números con dicha propiedad: se parte de 14316, como número inicial y, al sumar sus divisores, se obtiene 19116… continuando con el procedimiento, se llega a obtener 17716 y, finalmente, sumando los divisores de éste, se retorna al número de partida 14316, luego de ir aumentando o disminuyendo, (en forma aleatoria) las cantidades obtenidas, completando el ciclo cerrado –como se expreso antes– de veintiocho números. Este ejemplo se ha tomado de la obra de Albert H. Beiler: “Recreations in the Theory of Numbers”, Ed. Dover, New York, 2da., 1966, pág. 28. El cuadragésimosegundo NP se determinó en cuanto fue descubierto su correspondiente primo de Mersenne,el 18 de Febrero del año en curso 2005, hace unos 4 meses casi. “Elementos” (IX, 36). La obra magna de Euclides de Alejandría se cita: en el Libro IX, la proposición 36 es la que contiene el tema de los NP. La edición que se tiene a la vista es la de Federigo Enriques y colaboradores: “Gli Elementi d’Euclide e la critica antica e moderna” (en cuatro volúmenes): Ed. A. Stock, Roma, 1925 (Libri I – IV); Ed. N. Zanichelli, Bologna, 1930 (Libri V – IX); 1932 (Libro X) y 1936 (Libri XI – XIII). Las ediciones, en todas las lenguas, son innumerables. En la Historia de la humanidad ha sido la más difundida y editada, en segundo lugar después de la Biblia. Con ella (o partes de ella) la humanidad viene aprendiendo Geometría y Aritmética elementales desde el III siglo antes de Jesucristo, hasta los corrientes días. Al ser redactadas estas líneas en el año 2005, en que se cumple el IV Centenario de la primera edición de “El Ingenioso Hidalgo…” de Don Miguel de Cervantes, se estima apropiado comentar que ésta ocupa el tercer lugar (después de la Biblia y los Elementos), en lo que se refiere a tal difusión. Fue W. W. Rouse Ball quien empezó a denominar así a estos números primos (en “Messenger Math”, 1892) en memoria de Fray Marino Mersenne, de la Orden de los Mínimos (1588 – 1648), en cuya celda del convento de Paris se reunían los más notables científicos de la época y él mantenía copiosa correspondencia con los extranjeros. De esas reuniones se origino la Academia de las Ciencias, por disposición del Rey Luis de Francia. (1666) Los primeros NP ya eran conocidos desde la antigüedad, pero la primera constancia escrita está tomada del manuscrito Codex. lat. Monac. 14908. Ésta información se ha tomado de Leonard E. Dickson “History of the Theory of Numbers” (volume I, pág. 6) Chelsea Publishing Co. para el Carnegie Institute of Washington, en tres volúmenes, New York, 1971 El hallazgo del último NP fue confirmado cinco días después, por un especialista español y otro francés y luego se hizo público por el proyecto GIMPS, desde Orlando (Florida, EE.UU). Quien dio a conocer los trinomios para NP dedicó estos dos más sencillos y menores a una hija y su novio (actual esposo) en ocasión de cumplir 28 años de edad (con diferencia de 50 días) ambos, en dicho año 2002. Se denota que 28 es el segundo NP. Otro tanto sucede con la cadena de números amigables citados en la Nota (2), que son también veintiocho. Es una coincidencia.

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