Geometría. Teoremas Resueltos. (4º Eso)

Triángulos rectángulos. Teoremas. Ejercicios resueltos. 1. Tenemos un triángulo rectángulo, de forma que la altura relativa a la hipotenusa determina sobre ésta, dos segmentos de longitudes 1,8 cm y 3,2 cm. Halla: a) La longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa. b) La longitud de los catetos. c) El área del triángulo.

b

c

h

m= 1,8 cm

n= 3,2 cm

Solución: a) Recordamos el teorema de la altura: h2 = m ⋅ n En nuestro caso: h2 = 1,8 ⋅ 3,2 = 5,76 ⇒ h = 5,76 ⇒ h = 2,4 cm b) El valor de la hipotenusa sería: a = m + n = 1,8 + 3,2 ⇒ a = 5 cm Para hallar los catetos usaremos el teorema del cateto: b 2 = a ⋅ m ⇒ b2 = 5 ⋅ 1,8 = 9 ⇒ b = 9 ⇒ b = 3 cm

c 2 = a ⋅ n ⇒ c 2 = 5 ⋅ 3,2 = 16 ⇒ b = 16 ⇒ b = 4 cm c) base ⋅ altura a ⋅ h 5 ⋅ 2,4 12 Área = = = = =6 2 2 2 2 Área = 6 cm2

2. Tenemos un triángulo rectángulo, como el de la figura en el que se conoce la hipotenusa a=100 m. y el área 2 A=2.400 m . Halla: a) La longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa. b) la longitud de n y c) la longitud del cateto b.

c

h

b m

n a=100 m

a) Sabiendo el área y la base, calculamos la altura. base ⋅ altura 100 ⋅ h 2400 ⋅ 2 Área = ⇒ 2400 = ⇒h= 2 2 100 h = 48 m b) Para calcular n, tenemos que resolver: a=m+n ⇒100 = m + n ⇒ m = 100 − n 2 2 2 h = m·n ⇒48 =(100 − n)·n ⇒ 2304 = 100n − n Tenemos que resolver una ecuación de segundo grado: 2 n − 100n + 2304 = 0

100 ± 1002 − 4 ⋅ 2304 100 ± 784 100 ± 28 = = 2 2 2 Tenemos dos soluciones: 128 72 n= = 64 m. y n = = 36 m. 2 2 Pero viendo la figura está claro que n = 64 m. y que m = 36 m. c) Para hallar el cateto b usaremos el teorema del cateto: b 2 = a ⋅ m ⇒ b2 = 100 ⋅ 36 = 3600 ⇒ b = 3600 ⇒ b = 60 m. n=

Juanjo Expósito

3. Tenemos un mapa a escala 1 : 150 000. Dos pueblos distan en el mapa 12 cm. ¿Cuál es la distancia en km. que separa a los dos pueblos? En el mapa quedan reflejados dos puentes que están separados por 4,5 km. en la realidad. ¿Cuántos cm. los separa en el mapa?

1 cm del mapa 12 = 150000 cm de la realidad x

12 cm

1 cm del mapa 12 cm = 1,5 km de la realidad x

x=

12 ⋅ 1,5 km 1

x = 18 km

1 cm del mapa y = 1,5 km de la realidad 4,5 km y=

4,5 cm 1,5

y = 3 cm

4. Tenemos un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia. El lado desigual mide 12 cm. Los dos iguales 20 cm. Halla el radio de la circunferencia.

H2 = 202 − 62 = 400 − 36 = 364 H = 364 H 20 = 10 R 364 20 200 = →R = → R ≃ 10,48 cm 10 R 364

Juanjo Expósito