الهندسة الفضائية => الدرس(((( ...ا

‫اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ و ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺗﻪ‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺳﻠﻚ ﺑﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬ ‫‪-I‬اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ‬ ‫‪ -1‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪ V3‬و ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪. E‬‬ ‫ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺘﺎن ‪ B‬و‪ C‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ ‪ u = AB‬و ‪ v = AC‬اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ v‬و ‪ u‬هﻮ اﻟﻌﺪد‬ ‫اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ u ⋅v‬اﻟﻤﻌﺮف آﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬ ‫' ‪ u ⋅v = AB ⋅ AC = AB × AC‬ﺣﻴﺚ'‪ C‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ C‬ﻋﻠﻰ )‪(AB‬‬ ‫* إذا آﺎن ‪ v ≠ 0‬و‪ u ≠ 0‬ﻓﺎن‬ ‫‪ u = 0‬أو ‪v = 0‬‬

‫* إذا آﺎن‬

‫ﻓﺎن‬

‫‪u ⋅v = 0‬‬

‫‪ -2‬ﺻﻴﻐﺔ أﺧﺮى ﻟﻠﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪ V3‬و ‪ A‬و ‪ B‬و‪ C‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ‬ ‫و ‪ v = AC‬و‪ θ‬ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ ‪ BAC ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪u = AB‬‬

‫و'‪ C‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ C‬ﻋﻠﻰ )‪(AB‬‬

‫' ‪u ⋅v = AB ⋅ AC = AB × AC‬‬

‫ﻟﺪﻳـــﻨﺎ‬

‫* إذا آﺎن ‪0≤ θ ≺ π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪u ⋅v = AB × AC cos θ = AB × AC cos θ‬‬

‫ﻓﺎن ‪AC ' = AC cosθ‬‬

‫* إذا آﺎن ‪π ≺ θ ≤ π‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻓﺎن‬

‫‪AC ' = AC cos(π −θ ) = − AC cosθ‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪u ⋅v = − AB × AC cos θ = AB × AC cos θ‬‬

‫* إذا آﺎن ‪ θ = π‬ﻓﺎن ‪AC ' = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذن ‪u ⋅v = AB × AC cos θ‬‬

‫و ﻣﻨﻪ‬

‫‪u ⋅v = 0‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪ V3‬و ‪ A‬و ‪ B‬و‪ C‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ ‪u = AB‬‬ ‫و ‪ v = AC‬و‪ θ‬ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ ‪ BAC ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫اﻟﻤﻜﻌﺐ ‪ ABCDEFGH‬اﻟﺬي ﻃﻮل ﺣﺮﻓﻪ ‪a‬‬

‫ﻓﺎن‬

‫‪u ⋅v = AB × AC cos θ‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨـﺎ ‪AB ⋅ AC = AB ×AB = AB2 = a2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪) =a‬‬

‫و‬ ‫‪a 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪AB ⋅ AH = AB × AA = 0‬‬

‫(‬

‫‪AC 2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪AF ⋅ AC = AC × AI‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫‪ -3‬ﺧﺎﺻﻴﺎت‬ ‫أ‪ -‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪.V3‬‬ ‫ﺗﻜﻮن ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫‪u ⋅v = 0‬‬

‫ﻧﻜﺘﺐ‬

‫‪u ⊥v‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ 0‬ﻋﻤﻮدﻳﺔ ﻋﻠﻰ أﻳﺔ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪V3‬‬ ‫ب‪ -‬ﻣﻨﻈﻢ ﻣﺘﺠﻬﺔ‬ ‫‪u = AB‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ‬ ‫إذن ﻟﻜﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ ‪u‬‬

‫‪0‬‬

‫وﻣﻨﻪ ‪u ⋅ u = AB2‬‬

‫‪u ⋅u‬‬

‫اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ u ⋅ u‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﺮﺑﻊ اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻟـ ‪ u‬و ﻳﻜﺘﺐ ‪u‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻳﺴﻤﻰ ﻣﻨﻈﻢ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬وﻳﻜﺘﺐ ‪u‬‬

‫اﻟﻌﺪد ‪u 2‬‬

‫‪= u2‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ *‬

‫‪2‬‬

‫‪u‬‬

‫* اذا آﺎﻧﺖ ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ وآﺎن ‪ θ‬ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ ‪  BAC ‬ﺣﻴﺚ ‪ u = AB‬و ‪v = AC‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻓﺎن ‪u ⋅v = u × v cos θ‬‬

‫ج‪ -‬ﺧﺎﺻﻴﺎت‬ ‫∈ ‪∀α‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪∀ (u ,v ,w ) ∈V‬‬

‫ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎت هﺎﻣﺔ‬

‫‪(u + v ) = u + v + 2u ⋅v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(u − v ) = u 2 + v 2 − 2u ⋅v‬‬ ‫‪(u + v )(u − v ) = u 2 − v 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪u ⋅v = v ⋅ u‬‬ ‫*‬ ‫* ‪(v + w ) ⋅ u = v ⋅ u + w ⋅ u * u ⋅ (v + w ) = u ⋅v + u ⋅w‬‬ ‫* ) ‪u ⋅ αv = αu ⋅v = α × (u ⋅v‬‬ ‫‪ -II‬ﺻﻴــــــﻎ ﺗﺤﻠﻴﻠﻴـــــــــﺔ‬ ‫‪ -1‬اﻷﺳﺎس و اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪان اﻟﻤﻤﻨﻈﻤﺎن‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ i‬و ‪ j‬و ‪ k‬ﺛﻼث ﻣﺘﺠﻬﺎت ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮاﺋـــــﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪ V3‬و ‪ O‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‪.‬‬

‫) ‪ (i ; j ;k‬أﺳﺎ س ﻟﻠﻔﻀﺎء ‪V3‬‬

‫ﻳﻜﻮن اﻷﺳﺎس ) ‪ (i ; j ;k‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ )أو اﻟﻤﻌﻠﻢ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ( إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت ‪ i‬و ‪ j‬و ‪k‬‬ ‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪة ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ‪.‬‬ ‫ﻳﻜﻮن اﻷﺳﺎس ) ‪ (i ; j ;k‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ و ﻣﻤﻨﻈﻢ )أو اﻟﻤﻌﻠﻢ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﺗﻌﺎﻣﺪ وﻣﻤﻨﻈﻢ( إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت‬

‫‪ i‬و ‪ j‬و ‪ k‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪة ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ و ‪i = j = k = 1‬‬ ‫‪ -2‬اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ‬ ‫أ‪ -‬ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‪.‬م‪.‬م ) ‪(O ; i ; j ; k‬‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ ) ‪ u( x; y; z‬و )'‪ v( x'; y'; z‬ﻓﺎن‬

‫' ‪u ⋅v = xx '+ yy '+ zz‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ إذا آﺎﻧﺖ ) ‪ u( x; y; z‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‪.‬م‪.‬م ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻓﺎن‬

‫‪u ⋅k = z‬‬

‫;‬

‫‪u⋅j =y‬‬

‫ب‪ -‬اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻤﻨﻈﻢ ﻣﺘﺠﻬﺔ و ﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ‬ ‫*‪ -‬إذا آﺎﻧﺖ ) ‪ u( x; y; z‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‪.‬م‪.‬م ) ‪ (o;i ; j ;k‬ﻓﺎن ‪u = x 2 + y 2 + z 2‬‬

‫*‪ -‬اذا آﺎﻧﺖ ) ‪ A ( x A ; y A ; z A‬و‬ ‫ﻓﺎن‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫‪ B ( x B ; y B ; z B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‪.‬م‪.‬م ) ‪(o;i ; j ;k‬‬

‫) ‪− x A ) + ( y B − y A ) + (z B − z A‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(x B‬‬

‫= ‪AB‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫;‬

‫‪u ⋅i = x‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪ -1‬ﺣﺪد ﻣﺘﺠﻬﺔ ‪ w‬واﺣﺪﻳﺔ وﻋﻤﻮدﻳﺔ ﻋﻠﻰ )‪ u(−1;1;1‬و ) ‪v(1;−2;0‬‬

‫‪ - 2‬ﺣﺪد ﻣﺘﺠﻬﺔ ‪ w‬ﻋﻤﻮدﻳﺔ ﻋﻠﻰ ) ‪ u(1;1;0‬و )‪ v(0;2;1‬و ‪3‬‬

‫=‬

‫‪w‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬

‫)‬

‫(‬

‫)‬

‫‪ A 1;1; 2‬و ‪2; − 2;0‬‬

‫(‬

‫‪B‬‬

‫(‬

‫)‬

‫و ‪C −1; −1; − 2‬‬

‫ﺑﻴﻦ أن ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ وﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫‪ -III‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ ‪V3‬‬ ‫‪ -1‬ﺗﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت و اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫أ‪ -‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (D1‬و )‪ (D2‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤــﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻮﺟﻬﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ u 1‬و ‪ u 2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫‪( D1 ) ⊥ ( D 2 ) ⇔ u 1 ⋅ u 2 = 0‬‬ ‫ب‪ -‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ﻣﺴﺘﻮى‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ u 1‬و ‪ u 2‬و )‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪u 3‬‬ ‫‪ u2 ⊥ u3‬و‬

‫‪( D ) ⊥ ( P ) ⇔ u1 ⊥ u 3‬‬

‫ج‪ -‬ﻣﻼﺣﻈﺎت واﺻﻄﻼﺣﺎت‬ ‫* اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪.( P‬‬ ‫* اذا آﺎﻧﺖ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﺎن آﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻊ ‪ u‬ﺗﻜﻮن ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬ ‫* اذا آﺎﻧﺖ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬و ‪ v‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻤﺴــﺘﻮى )'‪ (P‬وآﺎﻧﺘﺎ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ ﻓﺎن )‪ (P‬و)'‪( P‬‬ ‫ﻣﺘﻮازﻳﺎن‬ ‫‪2‬‬ ‫* إذا آﺎن ) ‪ ( A ; B ) ∈ ( P‬و ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﺎن ‪u ⊥ AB‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪.‬م‪(O ; i ; j ; k ) .‬‬ ‫ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)‪ A(-1; 2 0‬و اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬ ‫)‪ u(1;−1;1‬و )‪v(2;1;1‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪.‬م‪ (O ; i ; j ; k ) .‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫)‪ (P‬اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ ax-2y+z-2=0‬و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻪ ﺑﺎراﻣﺘﺮي‬

‫‪t ∈ IR‬‬

‫‪ x= 2t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y =1+ 3 t‬‬ ‫‪ z = − 2 + bt‬‬

‫‪ -1‬ﺣﺪد ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻮﺟﻬﺘﻴﻦ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬ ‫‪ -2‬ﺣﺪد‪ a‬و‪ b‬ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ) ‪(D )⊥(P‬‬ ‫د‪ -‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬ ‫ﺗﺬآﻴﺮ ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ اذا و ﻓﻘﻂ اذا اﺷﺘﻤﻞ أﺣﺪهﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻵﺧﺮ‪.‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬و )'‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء و ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘــــــــــﻴﻦ ﻣﻨﻈﻤﻴﺘﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫) ‪ (P')⊥(P‬اذا وﻓﻘﻂ اذا آﺎن ‪u ⊥v‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫‪ -3‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺤﺪد ﺑﻨﻘﻄﺔ و ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪ .a‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺤﺪد ﺑﻨﻘﻄﺔ و ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫* اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ‪ A‬و اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻪ هﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ ‪AM ⋅ u = 0‬‬ ‫* ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ ‪ AM ⋅ u = 0‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ‪ A‬و اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻪ‬ ‫‪ .b‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺤﺪد ﺑﻨﻘﻄﺔ و ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫* آﻞ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء و ) ‪ u(a;b;c‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻮع ‪ax + by + cz + d = 0‬‬ ‫* آﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع ‪ ax + by + cz + d = 0‬ﺣﻴﺚ ) ‪ ( a; b ; c ) ≠ ( 0;0;0‬هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء‬

‫ﺑﺤﻴﺚ ) ‪ u(a;b;c‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪ x+y-2z+1=0‬‬ ‫‪(P) : 2x-y+3z+1=0‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬ ‫‪(D): ‬‬ ‫‪ x-y+z-2=0‬‬ ‫‪ -1‬ﺣﺪد ﻣﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ )‪ (P‬وﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﻪ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)‪ A (2;0;3‬و )‪ n(1,2,1‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)‪ A' (2;0;3‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪(D‬‬ ‫‪ -4‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)‪ A (2;0;3‬و اﻟﻤﻮازي ﻟـ )‪(P‬‬ ‫دراﺳﺔ اﻻوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت و اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫أ‪ -‬اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫)‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ )'‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ '‪ A‬و ‪ v‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ u 1‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن‬ ‫إذا آﺎن)'‪ A ∈ (P‬أو)‪ A' ∈ (P‬ﻓﺎن )‪(P') = (P‬‬ ‫إذا آﺎن)'‪ A ∉ (P‬و)‪ A' ∉ (P‬ﻓﺎن )‪ (P‬و )'‪ (P‬ﻣﺘﻮازﻳﺎن ﻗﻄﻌﺎ‪.‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ u 2‬و ‪ v‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ‬ ‫ اذا آﺎن ‪ u ⊥ v‬ﻓﺎن ) ‪(P')⊥(P‬‬‫ اذا آﺎن ‪ v‬و ‪ u‬ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺗﻴﻦ ﻓﺎن )‪ (P‬و )'‪ (P‬ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن‪.‬‬‫ب‪ -‬اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ وﻣﺴﺘﻮى ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫)‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ )‪ (D‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ '‪ A‬و ‪ v‬ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻪ‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ 1‬إذا آﺎن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ ﻓﺎن ) ‪(D )⊥(P‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ u 2‬و ‪ v‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ‬ ‫ اذا آﺎن ‪ u ⊥ v‬ﻓﺎن )‪ (P‬و )‪ (D‬ﻣﺘﻮازﻳﺎن‬‫ اذا آﺎن ‪ u ⊥ v‬ﻓﺎن‬‫‪ IV‬ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻮى‬ ‫‪ -1‬ﺗﻌﺮﻳﻒ و ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‪.‬م‪.‬م ) ‪(o;i ; j ;k‬‬ ‫ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻧﻘﻄﺔ ‪ A‬ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬هﻲ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪AH‬‬ ‫ﺣﻴﺚ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ A‬ﻋﻠﻰ)‪ (P‬ﻧﻜﺘﺐ‬ ‫‪A B •u‬‬ ‫= ‪d ( A ; ( P )) = A H‬‬ ‫‪u‬‬ ‫)‪ (D‬ﻳﺨﺘﺮق )‪(P‬‬

‫ﺣﻴﺚ )‪ B ∈ (P‬و ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ)‪(P‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫‪ -2‬ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ax + by + cz + d = 0‬‬

‫‪ax 0 + by 0 + cz 0 + d‬‬ ‫‪a2 + b 2 + c 2‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺎر ﻣﻦ )‪ B ( 2;1;3‬و ‪u 1; −1; 2‬‬ ‫ﺣﺪد‬

‫)) ‪d ( A ; ( P‬‬

‫)‬

‫(‬

‫و ) ‪ A ( x 0 ; y 0 ; z 0‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬

‫= )) ‪d ( A ; ( P‬‬ ‫ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ ﻟﺘﻜﻦ )‪A (1;2;0‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪1‬‬ ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪.‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪ A(1;-1;1‬و )‪ B(3;1;-1‬و )‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ 2x-3y+2z=0‬و )‪ (D‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻤﺜﻞ‬ ‫‪ x = 3t‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﺑـ‬ ‫∈ ‪ x = − 2 − 3t t‬‬ ‫‪ z = 2 + 4t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -1‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(D‬‬ ‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ‪ B‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬ ‫‪ -2‬أﺣﺴﺐ ))‪ d(A;(P‬و ))‪d(A;(D‬‬ ‫‪ -3‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´´‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ B‬و اﻟﻤﻮازي ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪2‬‬ ‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ‪.‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى)‪ (P‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ 3x+2y-z-5=0‬و )‪ (D‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻌﺮف ﺑـ‬ ‫‪x − 2 y + z − 3 = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x− y−z+2=0‬‬ ‫‪ -1‬ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(D‬‬ ‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´‪ (P‬اﻟﺬي ﻳﺘﻀﻤﻦ )‪ (D‬و اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪(P‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬