1991 - καλδρυμίδου μαρία και οικονόμου ανδρέας - η διδακτική των μαθηματικών στην τριτοβάθμια τεχνολογική εκπαίδευση.

Η ∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΣΗ

ΚΑΛ∆ΡΥΜΙ∆ΟΥ ΜΑΡΙΑ ∆ρ. ∆ιδακτικής Μαθηµατικών, έκτακτη καθηγήτρια του Τ.Ε.Ι.Θ., Εγνατία 144, 546 22 Θεσσαλονίκη

ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΑΝ∆ΡΕΑΣ D.E.A. ∆ιδακτικής Μαθηµατικών, έκτακτος καθηγητής του Τ.Ε.Ι.Θ., Γαµβέττα 93-Α, 546 44 Θεσσαλονίκη

Το άρθρο αυτό αποτελεί την εισήγηση των συγγραφέων στο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηµατικής Παιδείας µε θέµα "Τα Μαθηµατικά στην Τριτοβάθµια Εκπαίδευση", που διοργάνωσε η Οµάδα Μαθηµατικών του Γ.Τ.Θ.Ε. του Τ.Ε.Ι.Θ., στη Θεσσαλονίκη, τον Απρίλιο του 1989.

2

Η ∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΣΗ

1. Η ∆ιδακτική των Μαθηµατικών Η ∆ιδακτική των Μαθηµατικών είναι η επιστήµη που παρατηρεί, προσπαθεί να οργανώσει και να εξηγήσει τα φαινόµενα που εµφανίζονται στη διάρκεια µιας διδακτικής δραστηριότητας, δηλαδή µιας δραστηριότητας µε στόχο ειδικά τη διδασκαλία των Μαθηµατικών [1]. Η αναγκαιότητα της δηµιουργίας αυτής της νέας επιστήµης προέκυψε από τα παρακάτω γεγονότα: 1) Τη διαπίστωση ότι δεν αρκεί να γνωρίζει ο διδάσκων καλά τα Μαθηµατικά που διδάσκει για να τα διδάξει µε επιτυχία. 2) Η Γενική ∆ιδακτική και η Παιδαγωγική αδυνατούν να απαντήσουν σε ερωτήµατα σχετικά µε ειδικό περιεχόµενο των Μαθηµατικών. Τέτοια είναι π.χ. τα ζητήµατα που αφορούν την επιστηµολογία, την ιστορία και τις ψυχολογικές προϋποθέσεις των Μαθηµατικών. 3) Στην εκπαιδευτική διαδικασία υπάρχουν φαινόµενα που εµφανίζονται µε κανονικότητα και εποµένως ο εντοπισµός των αιτίων της εµφάνισης και αναπαραγωγής τους χρήζει ειδικής µελέτης. 4) Τα πορίσµατα που προέκυψαν από τη ραγδαία ανάπτυξη της Ψυχολογίας και ιδιαίτερα τα σχετικά µε την γνωστική ανάπτυξη του ατόµου κατέστησαν αναγκαία την αναθεώρηση τόσο του περιεχοµένου όσο και των µεθόδων διδασκαλίας των Μαθηµατικών. 5) Η ανάπτυξη της Μαθηµατικής Επιστήµης οδήγησε στην αλλαγή περιεχοµένου της βασικής Μαθηµατικής Εκπαίδευσης. Έτσι, είχαµε, στη δεκαετία του '60, την περίφηµη Μεταρρύθµιση των

3

Προγραµµάτων ∆ιδασκαλίας των Μαθηµατικών σ' όλες τις βαθµίδες της εκπαίδευσης, µε την εισαγωγή στα σχολεία

των λεγοµένων Νέων

Μαθηµατικών, που είχε σαν αποτέλεσµα την όξυνση των προβληµάτων [2]. 6) Ταυτόχρονα, η ανάπτυξη της τεχνολογίας απαιτεί πλέον µαθηµατικές γνώσεις υψηλού επιπέδου από τους σπουδαστές και τους φοιτητές. Αυτό είχε σαν αποτέλεσµα την εισβολή των Μαθηµατικών σ' όλες τις βαθµίδες της εκπαίδευσης και σ' όλες τις ειδικότητες, γεγονός που δηµιούργησε έκρηξη προβληµάτων και δυσκολιών παντού στη Μαθηµατική Εκπαίδευση που έπρεπε και πρέπει να αντιµετωπισθούν κατάλληλα [3]. 7) Από την άλλη µεριά, αυτή η ίδια η ανάπτυξη της τεχνολογίας προσφέρει πλέον νέα µέσα και δυνατότητες προσέγγισης και διδασκαλίας των Μαθηµατικών. Η χρήση τους απαιτεί αλλαγή των παραδοσιακών δοµών και τρόπων διδασκαλίας, γεγονός που δηµιουργεί νέες καταστάσεις και νέα προβλήµατα που πρέπει να µελετηθούν [4]. Κύριο γνώρισµα της νέας αυτής επιστήµης είναι ο διεπιστηµονικός της χαρακτήρας. Πράγµατι, δεν θα είχε αναπτυχθεί ο κλάδος αυτός αν δε συνεργάζονταν στενά επιστήµονες διαφόρων ειδικοτήτων όπως ψυχολόγοι, παιδαγωγοί, γνωστικοί επιστήµονες, κοινωνιολόγοι, ερευνητές µαθηµατικοί και καθηγητές Μαθηµατικών. Γίνεται λοιπόν φανερό ότι η ∆ιδακτική των Μαθηµατικών κατατάσσεται στις ανθρωπιστικές επιστήµες. Αναφέρουµε, πολύ συνοπτικά, τα κύρια δεοντολογικά και µεθοδολογικά χαρακτηριστικά µιας τυπικής έρευνας στο χώρο αυτό: α) κάθε έρευνα πρέπει να γίνεται σύµφωνα µε την δεοντολογία που διέπει τις ανθρωπιστικές επιστήµες (σεβασµός στα υπό έλεγχο

4

υποκείµενα, µη παρεµπόδιση της ακαδηµαϊκής τους προαγωγής, συµµετοχή στην έρευνα µε τη θέλησή τους, κλπ). β) δεν µπορούµε να αποµονώσουµε ένα µόνο παράγοντα, είναι ανεπαρκής η σύγκριση δύο µεταβλητών και είναι σκόπιµο να µελετηθούν τα φαινόµενα µέσα από την αλληλεπίδραση των διαφόρων µεταβλητών που τα χαρακτηρίζουν γ) έχει πια αποδυναµωθεί,µέσα από την πείρα που προέκυψε στην έρευνα, η προσδοκία για αποτελέσµατα µόνο από στατιστική επεξεργασία. Κρίνεται απαραίτητο να συµπληρώνεται από κλινικές, ποιοτικές έρευνες (αναλύσεις περιπτώσεων, συνεντεύξεις, ερωτηµατολόγια µε ανοιχτές ερωτήσεις, ψυχογλωσσολογικές αναλύσεις κ.λπ.) 2. Τα Ιδιαίτερα Χαρακτηριστικά της ∆ιδακτικής των Μαθηµατικών στην Τριτοβάθµια Εκπαίδευση. 2.1 Ιδιαιτερότητες της Τριτοβάθµιας Εκπαίδευσης Κάθε βαθµίδα της εκπαίδευσης έχει τα δικά της ιδιαίτερα χαρακτηριστικά. Αυτά εντοπίζονται: α) στα µαθηµατικά αντικείµενα που διδάσκονται β) στη γνωστική κατάσταση των σπουδαστών. γ) στη δοµή και οργάνωση της εκπαίδευσης. Έτσι η ∆ιδακτική των Μαθηµατικών προσεγγίζει χωριστά την κάθε βαθµίδα και εφαρµόζει, αλλά και δηµιουργεί, κατά περίπτωση, τα θεωρητικά της εργαλεία. Τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της Τριτοβάθµιας Εκπαίδευσης, τα σχετικά µε τα παραπάνω σηµεία, µπορούν να αναλυθούν ως εξής:

5

α. Μαθηµατικό περιεχόµενο -

Εισάγονται πολλές νέες και σύνθετες µαθηµατικές έννοιες

-

Οι έννοιες αυτές περιέχουν και οδηγούν σε περαιτέρω γενικεύσεις, ενοποιήσεις, τυποποιήσεις (φορµαλισµός).

-

Η πυκνότητα των µαθηµατικών δραστηριοτήτων, είναι µεγαλύτερη σ' αυτή τη βαθµίδα της εκπαίδευσης.

β. Σπουδαστές -

Σύµφωνα µε τον Piaget και την κατασκευαστική (constructivism) θεωρία της γνωστικής ανάπτυξης, οι σπουδαστές έχουν στη διάθεσή τους όλα τα γνωστικά εργαλεία, αφού θεωρητικά βρίσκονται στο στάδιο της τυπικής σκέψης [5].

-

Είναι σε ηλικία όπου αναπτύσσουν τη µεταγνωστική τους ικανότητα [6] και αυτονοµούνται από την άµεση επίδραση των διδασκόντων [7].

-

Έχουν, πλέον, ευρύ πεδίο αποκτηµένων γνώσεων, λόγω της. προηγούµενης µακροχρόνιας εκπαίδευσής τους, οι οποίες έχουν ήδη οργανωθεί σε γνωστικά σχήµατα (µέθοδοι, πλαίσια επέµβασης για τις διάφορες µαθηµατικές έννοιες) που κινητοποιούνται διαφορετικά σε κάθε άτοµο [8]. Επίσης οι µαθητές διαθέτουν ήδη παραστάσεις για το τι είναι τα Μαθηµατικά και πως µαθαίνονται.

γ. Οργάνωση της Εκπαίδευσης -

∆ιατίθεται λιγότερος χρόνος για περισσότερη ύλη.

-

Η διδασκαλία είναι ακαδηµαϊκού τύπου και χωρισµένη στις περισσότερες περιπτώσεις σε µαθήµατα θεωρίας και φροντιστήρια.

-

Η αξιολόγηση γίνεται σε σχέση µε το αντικείµενο (επαρκείς ή ανεπαρκείς γνώσεις) και όχι σε σχέση µε την επίδοση των άλλων (εισαγωγικές).

6

-

Υπάρχει ποικιλία κατευθύνσεων και ειδικοτήτων.

2.2. Υποθέσεις της Θεωρίας της ∆ιδακτικής των Μαθηµατικών. Όπως τονίσαµε παραπάνω, η ∆ιδακτική των Μαθηµατικών είναι ένας διεπιστηµονικός κλάδος. Έτσι αρκετά από τα θεωρητικά εργαλεία της προέρχονται από άλλες επιστήµες. Πράγµατι, για την περιγραφή και ερµηνεία των διαφόρων φαινοµένων η ∆ιδακτική των Μαθηµατικών στηρίζεται στην κατασκευαστική υπόθεση της Γενετικής Ψυχολογίας σύµφωνα µε την οποία ο άνθρωπος κατασκευάζει τη γνώση σε αλληλεπίδραση µε το περιβάλλον του. Σύµφωνα µε την υπόθεση αυτή: α) Η µάθηση είναι προϊόν των µηχανισµών αφοµοίωσης και συµµόρφωσης που λειτουργούν στο σύστηµα προσαρµογής. Η προσαρµογή επιτυγχάνεται µέσα από τη διαλεκτική πορεία ισορροπίαςανισορροπίας-εξισορρόπησης [5]. β) Η διδακτική πράξη πρέπει να στηρίζεται στη δράση των µαθητών: "L' action est la source du savoir" [9]. Για την κατανόηση των σχέσεων µέσα στην τάξη η ∆ιδακτική των Μαθηµατικών στηρίζεται σε έννοιες από το χώρο της Κοινωνικής Ψυχολογίας, σχετικές µε το ρόλο που παίζουν στη µάθηση οι κοινωνικογνωστικές συγκρούσεις και οι αντιλήψεις του κοινωνικού περίγυρου. Η Θεωρία της ∆ιδακτικής των Μαθηµατικών στηρίζεται επίσης στην επιστηµολογική υπόθεση της γένεσης των επιστηµονικών εννοιών µέσα από την λύση προβληµάτων. Βασική ιδέα της υπόθεσης αυτής είναι η ύπαρξη επιστηµολογικών εµποδίων [10, 11] στην προσέγγιση µαθηµατικών εννοιών. Μέχρι τώρα η ∆ιδακτική των Μαθηµατικών δηµιούργησε µεγάλο αριθµό θεωρητικών εννοιών για την ανάλυση των διδακτικών φαινοµένων. Μερικές απ' αυτές είναι η διδακτική µεταφορά [12], το διδακτικό

7

συµβόλαιο και η διδακτική κατάσταση [13], η διαλεκτική µαθηµατικού αντικειµένου-εργαλείου και το παιχνίδι των πλαισίων [14], τα θεωρήµατα εν δράσει και τα πεδία εννοιών [9]. Όσον αφορά την Τριτοβάθµια Εκπαίδευση, βασικές θεωρητικές υποθέσεις αποτελούν η ωρίµανση των µεταγνωστικών ικανοτήτων των φοιτητών [6,15], καθώς και η διαφορά των γνωστικών

"προφίλ" τους ως

προς τα µαθηµατικά εργαλεία που χρησιµοποιούν σε διάφορα πλαίσια [8]. Έχουν αναπτυχθεί, επίσης, υποθέσεις που αφορούν την µάθηση των Μαθηµατικών, όπως αυτή του Dubinsky που αφορά την γενετική ανάλυση των σχηµάτων µιας έννοιας [16], την υπόθεση των Tall και Vinner της εµφάνισης στις γνωστικές διαδικασίες συγκρούσεων ανάµεσα στην έννοια-ορισµό και στην έννοια εικόνα [17] και την υπόθεση του Schoenfeld για την ανάγκη της διδασκαλίας των ευρετικών διαδικασιών [18]. Ο κατάλογος των θεωρητικών υποθέσεων της ∆ιδακτικής των Μαθηµατικών παραµένει ανοικτός, αφού καθηµερινά εµπλουτίζεται από θεωρητικά πορίσµατα των ερευνών που διεξάγονται. Οι έρευνες αυτές επικεντρώνονται είτε στο περιεχόµενο σπουδών, είτε στο στήσιµο διδακτικών σεναρίων που να στηρίζονται σε επιστηµολογικές αναλύσεις, στην κινητοποίηση εργαλείων της ∆ιδακτικής αλλά και των µεταγνωστικών ικανοτήτων των φοιτητών. 3. Η ∆ιδακτική των Μαθηµατικών στην Τριτοβάθµια Τεχνολογική Εκπαίδευση. 3.1. Καταγραφή των προβληµάτων της διδασκαλίας των Μαθηµατικών Τα παραπάνω αποτελούν το γενικό πλαίσιο µέσα στο οποίο κινείται η ∆ιδακτική των Μαθηµατικών στην Τριτοβάθµια Εκπαίδευση.

8

Αυτό το γενικό πλαίσιο πρέπει να εξειδικευθεί για να αντιµετωπισθούν οι ιδιαιτερότητες της Τριτοβάθµιας Τεχνολογικής Εκπαίδευσης (Τ.Τ.Ε.) Έτσι, ένα πρώτο βήµα για µια διδακτική ανάλυση των φαινοµένων που παρουσιάζονται στη διδασκαλία των Μαθηµατικών στην Τ.Τ.Ε. είναι η καταγραφή της υπάρχουσας κατάστασης. Τα παρακάτω χαρακτηριστικά αποτελούν κοινές διαπιστώσεις των διδασκόντων στο χώρο αυτό [3]. -

Ανοµοιογένεια των σπουδαστών σε γνώσεις και ικανότητες.

-

Έλλειψη κινήτρων για τους σπουδαστές (γενικά και ειδικά για τα Μαθηµατικά).

-

Η είσοδος των νέων µαθηµατικών εργαλείων στη διδασκαλία των µαθηµάτων ειδικότητας γίνεται µε καθυστέρηση, πράγµα που έχει σαν αποτέλεσµα τη δυσκολία επικοινωνίας µεταξύ των καθηγητών ειδικότητας και των µαθηµατικών.

-

Πολλές φορές είναι ανάγκη να χρησιµοποιηθούν µαθηµατικές γνώσεις πριν ακόµα διδαχτούν.

-

Η ανεπάρκεια και ο µη εκσυγχρονισµός των αναλυτικών προγραµµάτων. Είναι αξιοσηµείωτο το γεγονός ότι, παγκοσµίως, σ' όλους τους πρωτοετείς σπουδαστές διδάσκεται το ίδιο περίπου πρόγραµµα.

-

Οι δυσκολίες που προκύπτουν από την ύπαρξη δύο ειδών λόγου: του µαθηµατικού λόγου και του "φυσικού λόγου", και κυρίως κατά το πέρασµα από το πλαίσιο ειδικότητας στο µαθηµατικό πλαίσιο, δηλαδή η έκφραση ενός γεγονότος µε µαθηµατική γλώσσα, ή αλλιώς, η µαθηµατικοποίηση και η µοντελοποίηση των προβληµάτων ειδικότητας.

-

Παραδοσιακή, δηλαδή ακαδηµαϊκού τύπου, διδασκαλία.

9

Οι διαπιστώσεις αυτές µας οδηγούν στο να καθορίσουµε πιο συγκεκριµένα τα είδη των προβληµάτων που σχετίζονται µε τη διδασκαλία των Μαθηµατικών στην Τ.Τ.Ε. Έτσι µπορούµε να ταξινοµήσουµε τα προβλήµατα στις εξής κατηγορίες: -

Προβλήµατα που αφορούν το Αναλυτικό Πρόγραµµα και το περιεχόµενό του.

-

Προβλήµατα εσωτερικά του περιεχοµένου (επιστηµολογικά εµπόδια, διδακτική µεταφορά).

-

Προβλήµατα που προκύπτουν από τις σχέσεις σπουδαστών/ περιεχοµένου (επίπεδο γνώσεων / περιεχόµενο / διδακτικά βιβλία, αντιλήψεις των σπουδαστών/ διαδικασίες µάθησης).

-

Προβλήµατα που αφορούν τα µέσα και τις µεθόδους διδασκαλίας.

3.2. Ανάλυση των προβληµάτων. Πρωταρχικό βήµα για την αντιµετώπιση αυτών των προβληµάτων είναι να καθορίσουµε το ρόλο των Μαθηµατικών στην Τ.Τ.Ε. Πιστεύουµε ότι είναι ρόλος "υπηρέτη", αυτό που καθιερώθηκε στη διεθνή βιβλιογραφία ως "service subject", δηλαδή, η µαθηµατική γνώση δεν είναι αυτοσκοπός, αλλά τα Μαθηµατικά είναι µέσο για την επεξεργασία και επίλυση των προβληµάτων ειδικότητας. Έτσι, δεν διδάσκουµε Μαθηµατικά, αλλά Μαθηµατικά για γεωπόνους, για λογιστές, για ηλεκτρονικούς κ.λπ. Το πρώτο θέµα, λοιπόν, αφορά τον καθορισµό προγράµµατος και περιεχοµένου και συνίσταται στο να δοθούν απαντήσεις στα ερωτήµατα "Τι Μαθηµατικά θα διδάξουµε στο κάθε τµήµα; Ποιο θα είναι το κριτήριο επιλογής της ύλης;". Ενα κριτήριο θα µπορούσε να είναι το τι χρειάζονται οι σπουδαστές στα άλλα µαθήµατα κατά τη διάρκεια των σπουδών τους. Ενα άλλο θα

10

µπορούσε να είναι το τι θα χρειαστούν στην επαγγελµατική τους ζωή ή/και το να τους δώσουµε µια γενικότερη µαθηµατική κουλτούρα. Αν επιλέγαµε το πρώτο, πιθανόν να µη µπορούσαµε να ανταποκριθούµε: είτε γιατί σε ορισµένες ειδικότητες χρειάζονται διάφορες τεχνικές πολύ πιο γρήγορα απ' ότι θα µπορούσαµε εµείς να τις διδάξουµε, είτε λόγω της διαπίστωσης της καθυστέρησης εισαγωγής των νέων µαθηµατικών εργαλείων στα µαθήµατα ειδικότητας. Επίσης, πολλές φορές, αυτό που χρειάζονται οι σπουδαστές δεν είναι τόσο κάποιες συγκεκριµένες τεχνικές (που ίσως υπολογίζονται πια µε Η/Υ) αλλά κάποιοι µαθηµατικοί τρόποι σκέψης και προσέγγισης των προβληµάτων τα οποία, αν περιοριστούµε σε περιεχόµενο που θα ικανοποιεί αποκλειστικά το πρώτο κριτήριο, δεν θα µπορούσαµε να διδάξουµε. Έτσι, και αυτό είναι και το συµπέρασµα που προέκυψε από τη διεθνή συνάντηση, που πραγµατοποιήθηκε στο Udine της Ιταλίας το 1987, µε θέµα "Mathematics as a service subject" [3], το βασικό κριτήριο πρέπει να είναι το δεύτερο. "Πιο θεµελιώδη, πιο πρακτικά, λιγότερο τεχνικά" πρέπει να είναι ο γενικός κανόνας για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών στην Τεχνολογική Εκπαίδευση. Το συµπέρασµα αυτό θα µπορούσε να αναλυθεί περαιτέρω ως εξής: Πρώτος στόχος: οι σπουδαστές να εξοικειωθούν µε τις βασικές γνώσεις, αρχές, ιδέες και µεθόδους των Μαθηµατικών, έχοντας απαλλαγεί από τις τεχνικές υπολογισµού και ενισχύοντας την ικανότητα χρήσης των διαφορετικών τρόπων µαθηµατικής έκφρασης (παραστατικό, διαισθητικό, αλγεβρικό, φορµαλιστικό, γεωµετρικό, σχηµατικό, διαγραµµατικό). ∆εύτερος στόχος: η ανάπτυξη της ικανότητας µαθηµατικοποίησης (δηλαδή, η διαπίστωση σχέσεων µεταξύ µεταβλητών, η ποσοτικοποίηση µεγεθών, η ερµηνεία αριθµητικών αποτελεσµάτων).

11

Τρίτος στόχος: Να αναγνωρίζουν ποιες µεταξύ των καταστάσεων που αντιµετωπίζουν επιδέχονται µαθηµατικοποίηση έστω και αν δεν είναι σε θέση να τις επεξεργαστούν. Στην τελευταία περίπτωση θα ζητήσουν τη βοήθεια µαθηµατικών. Τέταρτος στόχος: Να µπορούν να µάθουν κάποια Μαθηµατικά µόνοι τους, όταν και αν αυτό το χρειαστούν και το θελήσουν. Σε σχέση µε τον παραπάνω προβληµατισµό, η ∆ιδακτική των Μαθηµατικών καλείται να απαντήσει στο πώς και µέσα από ποιες διαδικασίες θα επιτευχθούν αυτοί οι στόχοι. Οι µέχρι τώρα έρευνες της ∆ιδακτικής ελάχιστα έχουν ασχοληθεί ειδικά µε τα θέµατα αυτά στην Τ.Τ.Ε. και ως εκ τούτου δεν υπάρχουν έτοιµες απαντήσεις. Έτσι αυτό που χρειάζεται είναι έρευνα. 4. Για ένα Πρόγραµµα Έρευνας και Εφαρµογής της ∆ιδακτικής των Μαθηµατικών στην Τ.Τ.Ε. Είναι κοινή η διαπίστωση ότι υπάρχουν πολλά και σοβαρά προβλήµατα σ' όλα τα επίπεδα της διδασκαλίας των Μαθηµατικών στην Τ.Τ.Ε. Επισηµάνθηκαν και ταξινοµήθηκαν προηγουµένως σε προβλήµατα που αφορούν τα προγράµµατα σπουδών, το περιεχόµενο, τα εσωτερικά προβλήµατα του περιεχοµένου, προβλήµατα που προκύπτουν από τη σχέση σπουδαστών-µαθηµατικού περιεχοµένου και τέλος προβλήµατα σχετικά µε την εφαρµογή των µέσων και των µεθόδων διδασκαλίας. Πως θα µπορούσαµε να αντιµετωπίσουµε τα προβλήµατα αυτά; Η εύκολη, και προσφιλής δυστυχώς για την ελληνική πραγµατικότητα, λύση θα ήταν να δώσουµε τις απαντήσεις που δόθηκαν από άλλους στις άλλες χώρες. Ευτυχώς όµως δεν έχουν ακόµα δοθεί λύσεις και έτσι είµαστε αναγκασµένοι να τα αντιµετωπίσουµε µόνοι µας.

12

Είναι παράλογο να προσπαθήσουµε να τα λύσουµε δια µιας. Ούτε είναι σίγουρο ότι η επιλογή αυτών που θεωρούµε σηµαντικότερα και τα οποία θα σας αναφέρουµε στη συνέχεια, είναι αντικειµενικά, µε την έννοια ότι είναι αποδεκτά απ' όλους ως τέτοια. Αυτό συµβαίνει γιατί σε τέτοιες περιπτώσεις αποφασιστικό ρόλο παίζουν οι εµπειρίες των ερευνητών, οι ιδιαίτερες ευαισθησίες και τα ενδιαφέροντά τους, σε συνάρτηση µε τις αντικειµενικές συνθήκες. Η διδακτική και ερευνητική εµπειρία µας καθώς και οι πληροφορίες που συλλέξαµε από τους συναδέρφους µας µας βοήθησε να εντοπίσουµε τα παρακάτω προβλήµατα: 1) Το κύριο χαρακτηριστικό των σπουδαστών που έρχεται στο Τ.Ε.Ι. είναι η ανοµοιογένεια σε επίπεδο γνώσεων και ικανοτήτων. Μεγάλος αριθµός απ' αυτούς έχει σηµαντικές ελλείψεις (ή ακόµα και άγνοια όσον αφορά τις προαπαιτούµενες, για τα Μαθηµατικά του προγράµµατός τους, γνώσεις). 2) Με διαγνωστικά tests αλλά και στην καθηµερινή διδακτική δραστηριότητα εντοπίστηκαν λάθη που οφείλονται σε ποικίλα αίτια. Η µελέτη της "παθολογίας" τους και µόνο θα µπορούσε να αποτελέσει το κύριο µέρος ιδιαίτερης έρευνας µε σκοπό την προληπτική και θεραπευτική αντιµετώπισή τους. 3) Οι προκαταλήψεις και αντιλήψεις των σπουδαστών για το τι είναι τα Μαθηµατικά έχουν σαν αποτέλεσµα τη λανθασµένη εκτίµηση τους για τις ικανότητες τους και την απόδοσή τους στα Μαθηµατικά. 4) Οι σπουδαστές δυσκολεύονται (αδυνατούν) να µαθηµατικοποιήσουν ακόµα και απλά προβλήµατα. Επίσης αδυνατούν να "αναγνώσουν" µαθηµατικά κείµενα και να χρησιµοποιήσουν τη µαθηµατική γλώσσα. Εδώ δεν αναφερόµαστε µόνο σε κείµενα που χρησιµοποιούν αυστηρά τυπική γλώσσα (π.χ. ποσοδείκες, συνεπαγωγές κλπ.) αλλά και σε πιο προσιτές µορφές (όπως είναι π.χ. τα γραφικά)

13

5) Ο ακαδηµαϊκός τρόπος διδασκαλίας που, ως ένα βαθµό,θεωρεί δεδοµένο ότι οι σπουδαστές έχουν ισχυρά κίνητρα για µάθηση, κρίνεται ακατάλληλος να αντιµετωπίσει ουσιαστικά όλα τα παραπάνω προβλήµατα. Πιστεύουµε ότι οποιαδήποτε παρέµβαση στα παραπάνω ζητήµατα, που θέλει να έχει σοβαρές πιθανότητες επιτυχίας, πρέπει να είναι αποτέλεσµα ερευνητικής προσπάθειας. Η δικιά µας ερευνητική πρόταση συνίσταται στα εξής: 1. Ακριβής διάγνωση και καταγραφή των παραµέτρων που εµπλέκονται στο κάθε πρόβληµα. 2. Ανάλυση και ερµηνεία των δεδοµένων. 3. Οργάνωση παρέµβασης. 4.1. ∆ιάγνωση και Καταγραφή. Η διάγνωση σε πρώτο επίπεδο θα αφορά την ήδη αποκτηθείσα µαθηµατική γνώση των σπουδαστών. Ειδικότερα το ενδιαφέρον µας θα επικεντρωθεί στη γνώση των βασικών και θεµελιακών εννοιών, δηλαδή, τις γνώσεις που αφορούν τα σύνολα των αριθµών και τις µεταξύ τους σχέσεις, απ' όπου προκύπτουν οι ισοδύναµες γραφές, τις απεικονίσεις συνόλων και τις συναρτήσεις, τις εξισώσεις και τις ανισότητες, την έννοια της πιθανότητας, εισαγωγικά στοιχεία διαφόρισης και ολοκλήρωσης, την γραφική απεικόνιση διµελών σχέσεων και συναρτήσεων, την ισοµορφία ευθείας γραµµής και συνόλου πραγµατικών αριθµών, την έννοια του ορίου και την έννοια του απείρου. Γιατί, όσον αφορά την κατανόηση και τη χρήση των εννοιών αυτών, παρατηρούνται σοβαρά προβλήµατα. Αυτά οφείλονται κύρια, όπως έχει δειχτεί από έρευνες στον πανεπιστηµιακό χώρο [15], στην επιµονή µοντέλων λανθασµένων, ελλιπών, διαισθητικών ή απλοϊκών. Επίσης η διαγνωστική έρευνα αυτών των εννοιολογικών χώρων µας ενδιαφέρει όχι µόνο γι'

14

αυτές καθαυτές τις γνώσεις αλλά και για τη χρήση τους στις τεχνικές επίλυσης προβληµάτων, είτε µε χειρισµό αλγορίθµων, είτε µε χρήση ευρετικών µεθόδων. Ως µέθοδο έρευνας στην περίπτωση αυτή προτείνουµε το γραπτό ερωτηµατολόγιο. Θα δοµηθεί µε βάση τη µέχρι τώρα εµπειρία µας και εξέχουσα θέση θα έχουν τα λάθη που αφορούν αυτές τις έννοιες και εµφανίζονται επίµονα τόσο στα γραπτά τους όσο και στην προφορική τους έκφραση. (Π.χ. ποια η σηµασία του λάθους -α/α=0 ή του λάθους (α+γ)/(α+δ) = γ/δ; Είναι λάθη απροσεξίας, λανθασµένης τεχνικής ή σχετίζονται µε τη γενικότερη γνώση της σχέσης των ρητών µε τους φυσικούς και δεκαδικούς από τη µία και τους πραγµατικούς από την άλλη;) ∆εν είναι όµως µόνο η γνώση εννοιών και τεχνικών που επηρεάζουν την απόδοση των σπουδαστών στα Μαθηµατικά.Σηµαντικό ρόλο παίζουν και οι αντιλήψεις και οι προκαταλήψεις που έχουν οι σπουδαστές για τα Μαθηµατικά και τους τρόπους απόκτησης της µαθηµατικής γνώσης, δηλαδή, αυτό που επικράτησε να λέγεται, οι µεταγνωστικές ή µεταµαθηµατικές, στην περίπτωσή µας, αντιλήψεις και παραστάσεις. Στη βάση αυτών των αντιλήψεων, οι οποίες διαµορφώθηκαν στη διάρκεια των προηγουµένων σπουδών τους, και σε συνάρτηση µε τις αντιλήψεις του περιβάλλοντος τους για τα Μαθηµατικά και τη δική τους προσωπική σχέση µ' αυτά, βρίσκεται η συναισθηµατική σχέση τους µε τα Μαθηµατικά [19]. Έτσι αντιλήψεις ή σχέσεις του τύπου "εγώ δεν πρόκειται να µάθω ποτέ Μαθηµατικά", "δεν έχω κλίση στα Μαθηµατικά", παίζουν ανασταλτικό ρόλο, ή ακόµα απαγορευτικό ρόλο, στην όποια διαδικασία µάθησης. Επίσης εµπειρίες που δηµιουργούν στερεότυπα προκαλούν ατυχείς συµπεριφορές κατά τη µαθηµατική δραστηριότητα. Όπως π.χ. "σπουδαστές που πιστεύουν ότι όλα τα προβλήµατα µπορούν να λυθούν σε δέκα λεπτά ή και λιγότερο, θα

15

σταµατήσουν να εργάζονται σ' ένα πρόβληµα ύστερα από λίγα λεπτά, ακόµα και αν ήταν ικανοί να το λύσουν µε περισσότερη προσπάθεια [20]. Ακόµα αυτές οι αντιλήψεις επιδρούν και στις στρατηγικές και µεθόδους που υιοθετούν οι σπουδαστές κατά τη µελέτη των Μαθηµατικών. Άρα επιτακτική είναι η ανάγκη καταγραφής αρχικά των κυρίαρχων αντιλήψεων και πίστεων των σπουδαστών. Έτσι θα γίνει δυνατή η οργάνωση παρέµβασης και ανατροπής των καθηλώσεων (µπλοκαρισµάτων). Το ερωτηµατολόγιο σ' αυτή την περίπτωση µόνο πολύ γενικές πληροφορίες µπορεί να µας δώσει. Πιο ενδεδειγµένος τρόπος έρευνας είναι οι προσωπικές συνεντεύξεις και το στήσιµο ειδικών καταστάσεων- δραστηριοτήτων µέσα στην τάξη που θα φέρουν στην επιφάνεια ή θα προκαλέσουν την εκδήλωση των µεταγνωστικών αντιλήψεων των σπουδαστών. 4.2. Ανάλυση και Ερµηνεία. Η όποια ερευνητική διαγνωστική δραστηριότητα έχει λόγο ύπαρξης µόνον εφόσον στοχεύει στη δηµιουργία πλαισίου παρέµβασης προς επίλυση των προβληµάτων που εξετάζει. Η δεύτερη λοιπόν φάση της έρευνας συνίσταται στην ανάλυση των αποτελεσµάτων και την ερµηνεία τους. Εκτός από την στατιστική επεξεργασία, η ανάλυση του λόγου, τα εµπλεκόµενα επιστηµολογικά στοιχεία και τα γνωστικά σχήµατα που κινητοποιούνται θα αποτελέσουν µερικά από τα εργαλεία µας. Έτσι στην περίπτωση που θα µελετήσουµε π.χ. την σύγκλιση ακολουθιών, µεταξύ των άλλων, θα αναλύσουµε τις συµπεριφορές των σπουδαστών µε βάση α) τα στάδια δηµιουργίας αποτελεσµατικού µοντέλου: αυθόρµητο στάδιο, όπου το όριο αντιπροσωπεύει ένα αξεπέραστο εµπόδιο, µονότονο στάδιο, δυναµικό στάδιο, κ.λπ. (επιστηµολογική ανάλυση)

16

β) τα ρήµατα που χρησιµοποιούν, σαν ένδειξη του µοντέλου που ενεργοποιείται, όπως δυναµικό, στατικό, µικτό, κλπ. (ψυχογλωσσολογική ανάλυση). γ) τα γνωστικά σχήµατα που εµπλέκονται: η ακολουθία σαν διατεταγµένο απειροσύνολο αριθµών, συνάρτηση του Ν στο R, κ.λπ. (γνωστική ανάλυση) Τα αποτελέσµατα της ανάλυσης θα χρησιµοποιηθούν σαν υλικό για την οργάνωση της παρέµβασης: της εφαρµογής των συµπερασµάτων στη διδακτική πράξη. Σίγουρο είναι ότι ένα µέρος των πορισµάτων µας µπορούν και θα πρέπει να χρησιµοποιηθούν στη βελτίωση της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης. Είναι η διάσταση πρόληψης των προβληµάτων. 4.3. Οργάνωση παρέµβασης. Έχοντας, τώρα, στα χέρια µας τα αποτελέσµατα της προηγούµενης έρευνας µπορούµε να διαφοροποιήσουµε τις διδακτικές µεθόδους και τις προσεγγίσεις του περιεχοµένου, ώστε να δράσουµε θεραπευτικά απέναντι στις ελλείψεις των σπουδαστών µας, µε σκοπό την αποτελεσµατικότερη διδασκαλία. Πιθανόν π.χ. εδώ θα µπορούσαµε να ελέγξουµε κατά πόσο είναι τα αποτελέσµατα καλύτερα σε τµήµατα που δηµιουργήθηκαν µε βάση τις διαγνώσεις. Ήδη διάχυτη είναι η εντύπωση ότι ένας χωρισµός των τµηµάτων µε βάση το τύπο Λυκείου προέλευσης θα ήταν περισσότερο αποδοτικός. Αυτό για µας µπορεί να αποτελέσει υπόθεση για έλεγχο. Αλλά αυτό είναι το λιγότερο που µπορούµε να κάνουµε. Οι σπουδαστές µας έχουν ανάγκη µεγαλύτερης παιδαγωγικής φροντίδας (pedagogical care). Στα πλαίσια της φροντίδας αυτής πιστεύουµε ότι είναι αναγκαία η διαφοροποίηση του ακαδηµαϊκού τρόπου διδασκαλίας και οργάνωσης του µαθήµατος. Έτσι, η δοκιµή και αξιολόγηση εναλλακτικών µορφών

17

οργάνωσης της διδασκαλίας είναι απαραίτητη. Ενδεικτικά θα µπορούσαµε να προτείνουµε δηµιουργία πειραµατικών τάξεων, όπου θα ελέγξουµε την αποτελεσµατικότητα της χρήσης των Η/Υ στην προσέγγιση των µαθηµατικών εννοιών, που, όπως υποστηρίζεται, προσφέρει µεγαλύτερη ελευθερία για ποιοτική προσέγγιση, αφού µας απαλλάσσει από χρονοβόρους υπολογισµούς. Ενδιαφέρον, επίσης, θα παρουσίαζε η λειτουργία µικρών τµηµάτων-οµάδων και η αξιολόγηση της αποτελεσµατικότητάς τους. Από τις οµάδες αυτές θα ζητείται µεγαλύτερη αυτενέργεια και πρωτοβουλία, ενώ από τους διδάσκοντες να παίζουν ρόλο περισσότερο καθοδηγητικό, συντονιστικό. Με την εισήγησή µας αυτή θέλουµε να εκφράσουµε τις ερευνητικές µας ανησυχίες. Θα θέλαµε όµως, επίσης, η εισήγησή µας να λειτουργήσει και ως πρόσκληση για δηµιουργία ερευνητικών πυρήνων στα ΤΕΙ της χώρας, µε σκοπό τη µελέτη και ανάλυση των φαινοµένων που σχετίζονται µε τη διδασκαλία των Μαθηµατικών, απ' όπου θα προκύψουν λύσεις στα προβλήµατα που µας απασχολούν.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Βrousseau G (1986), Fondements et Methodes de la didactique des mathematiques, R.D.M., Vol 7, no 2. 2. C.I.E.M. (1979), Tendances nouvelles de l' enseignement des mathematiques, Vol IV, Unesco. 3. Howson A.G., Kahane J.P. (Ed) (1988), Mathematics as a service subject, ICMI Study Series, Cambridg, University Press. 4. Aslanidou S, Ikonomou A, Kaldrimidou M (1988), L' utilisation des technologies nouvelles et les problemes qui en decoulent, 7e CONGRES MONDIAL DE LA FEDERATION INTERNATIONALE

18

DES PROFESSEURS DE FRANCAIS (F.I.P.F) 10-16 JUILLET 1988, Thessalonique -GREECE. 5. Piaget J. (1969), Προβλήµατα Ψυχολογίας, Νέα Σύνορα, 1979 6. ∆ηµητρίου Α, Ευκλείδη Α. (1988), Εµπειρικός-Βιωµατικός ∆οµισµός: ∆εδοµένα, Αρχές και Υποθέσεις µιας νεοπιαζετιανής θεωρίας, Νέα Παιδεία. 7. Bautier E, Robert A (1988), Reflexions sur le role des representations metacognitives dans l' apprentissage des mathematiques, Revue Francaise de Pedagogie, no 84. 8. Boschet F., Robert A. (1984): L' acquisition des debuts de l' analyse sur R dans une section ordirinaire de DEUG premiere annee, Cahier de Didactique des mathematiques, no 7, IREM Paris 7. 9. Vergnaud G. (1989). Γνωστική Ψυχολογία και ∆ιδακτική των Μαθηµατικών, Τετράδια ∆ιδακτικής των Μαθηµατικών, Τεύχος 2, Απρίλιος 1989. 10.Cornu B. (1983) Appreutissage de la notion de limite: conception et obstacles, These 3eme cycles Universite de Crenoble I. 11.Sierpinska A. (1985) Obstacles epistemologiques a la notion de limite, R.D.M., Vol. 6, no 1. 12.Chevallard Y. (1985) La transposition didactique, La pensee sauvage, Grenoble. 13.Brousseau G. (1984), Le role central du contrat didactique dans l' analyse et la construction des situations d' enseignement et d' apprentissage des mathematiques, Actes de la III Ecole d' ete, Orleans. 14.Douady R. (1986) Jeux de cadres et dialectique outil-objet, R.D.M., Vol. 7, no 2.

19

15.Robert A. (1988), Recherches sur l' euseignement des matematiques dans l' euseignement post-obligatoire, L' enseignement des mathematiques au niveau universitaire, Textes reunis par la commission inter-IREM για το ICME-6. 16.Dubinsky E., Lewin P. (1986), Reflective Abstraction and Mathematics Education, Journal of Mathematical Behavior, 51. 17.Tall D.O., Vinner S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics, with particular reference to limits and continuity; E.S.M. 12. 18.Schoenfeld A. (1985). Mathematical problem Solving, Academic Press. 19.Καλδρυµίδου Μ. (1987). Images Mentales et Representations eu mathematiques chez les mathematiciens et les Etudiants en Mathematiques, These 3eme cycle, Universite Paris 7. 20.Schoenfeld A. (1987). What's all the fuss about Metacognition sto A. Schoenfeld (Ed) Cognitive Science and Mathematics Education, Hillsdale N.J., Lawrence Erlbaum Associates Publishers.