мт102 1

’UTIS. KTMS. Äkonometrik üïldliïn sudalgaany professoryn bag

MT102. MATEMATIK II (4kr, 3:2:2)

M.Banzragq MT11 [email protected] [email protected]

1

ÜNDSÄN AGUULGA

1. OXF, II ärämbiïn gadarguu, OXFiïn x¶zgaar, tasraltgüï qanar 2. OXFiïn ulamjlal, differencial 3. Dääd ärämbiïn ulamjlal, differencial 4. OXFiïn äkstremum, XIU, XBU, nöxcölt äkstremum 5. Xoërloson integral 6. Gurwalsan integral 7. I, II törliïn muruï ²ugaman integral 8. Differencial täg²itgäl 9. Cuwaa

2

A’IGLAX NOM, PROGRAMM XANGAMJ

1. Injeneriïn matematik 1 2. Dääd mätematik 2 3. Calculus 4. Internet 5. Matematica 5.0 6. MathCad 7. MathLab

3

Olon xuw´sagqiïn funkc Lekc 1-1 Ündsän aguulga

1. Xawtgaï ba ogtorguï dax olonlog

• Ogtorguï dax cägiïn orqin. • Zadgaï ba bitüü olonlog. • Xolboost olonlog. • Rn ogtorguï dax x¶gaaryn tuxaï oïlgolt. 2. Olon xuw´sagqiïn funkciïn tasraltgüï qanar ba x¶zgaar

• Olon xuw´sagqiïn funkciïn tuxaï oïlolt. • X¶lbar gadarguunuud. • Funkciïn cäg däärxi x¶zgaar. • Olon xuw´sagqiïn funkciïn tasraltgüï qanar. 4

Xawtgaï ba ogtorguï dax olonlog

• (x1, x2, . . . , xn) gäsän n toony xi, i = 1, 2, . . . , n bodit toonuudaas togtox ärämbälägdsän xosuudyn olonlogiïg Rn

ogtorguï

gädäg.

• x = (x1, x2, . . . , xn) xos büriïg Rn ogtorguïn cäg gäx ba xi toog ug cägiïn i

dügäär koordinat

gänä.

Rn ogtoruïn x = (x1, x2, . . . , xn) ba y = (y1, y2, . . . , yn) xoër cägiïn xoorondox zaïg

ρ(x, y) =

p

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · · + (xn − yn)2

tom³ëogoor todorxoïlj bolno.

5

(1)

• Rn ogtorguïn duryn xoër cägiïn xoorondox zaïg zaaj ögsön bol ug ogtorguïg Rn metrik ogtorguï gädäg. Rn metrik ogtorguïg wektor ogtorguïn adilaar ¶marq xoër x = (x1, x2, . . . , xn) ba y = (y1, y2, . . . , yn) gäsän älementiïnx n´ (wektor)xuw´d daraax

x = y ⇔ (x1 = y1, x2 = y2, . . . , xn = yn)

(2)

täncüügiïn xarcaa, x + y niïlbäriïn

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

(3)

tom³ëo, mön αx, x ∈ R toogoor ürjüüläx

αx = (αx1, αx2, . . . , αxn) tom³ëog todorxoïlj bolno.

6

(4)

Üünääs gadna, x ba y wektoruudyn skal¶r ürjwäriïg

(x, y) = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn

(5)

täncätgäläär todorxoïlj bolox ba ändääs x ∈ Rn wektoryn normyg (urt)

q p ||x|| = (x, x) = x21 + x22 + · · · + x2n

(6)

tom³ëogoor, xarin x ba y wektoruudyn xoorondox ρ(x, y) zaïg (1) tom³ëotoï dawxcax

v u n uX ρ(x, y) = ||x + y|| = t (xi − yi)2

(7)

i=1

täncätgäläär zaaj ögj bolno.

• x0 = (x01, x02, . . . , x0n) n´ ¶mar nägän D ⊂ Rn olonlogiïn cäg baïg. D olonlogiïn ρ(x, x0) < ε nöxcliïg xangax büx x cägüüdiïn olonlogiïg x0 cägiïn ε

radiustaï orqin

gäj närlääd Uε(x0) gäj tämdäglädäg 7

Ö.x

Uε(x0) = {x ∈ D ⊂ Rn|ρ(x, x0) = ||x − x0|| < ε}.

(8)

• x0 cägiïn Uε(x0) orqnoos x0 cägiïg ööriïg n´ xassan U˙ ε(x0) = Uε(x0)\x0 olonlogiïg ug cägiïn

coorxoït orqin

gänä

n = 2 üed x1 = x, x2 = y ba x0 = M0 = (x0, y0) gäj awbal M0 cägiïn ε radiustaï orqin n´ 2

Uε(M0) = {(x, y) ∈ D ⊂ R |

p

(x − x0)2 + (y − y0)2 < ε}

xälbärtäï baïx ba M0 cäg däär töwtäï ε radiustaï duguïg ögnö. Y (D)

y0

O

M0 ε

x0

X 8

(9)

• M0 ∈ D cäg ¶mar nägän ε radiustaï orqnyxoo xamt D olonlogt aguulagddag ö.x. ε > 0 too oldood Uε(M0) ⊂ D bol M0 cägiïg D olonlogiïn

cäg

dotood

gänä. ◦

D olonlogiïn büx dotood cägüüdiïn olonlogiïg tüüniï dotor gääd D gäj tämdäglänä. D olonlogiïn büx cäg n´ dotood cäg boldog. • Duryn M0 ∈ D xuw´d Uε(M0) ⊂ D baïx ε > 0 too or²in baïwal ug olonlogiïg

zadgaï olonlog

gänä.

• Duryn orqin n´ D olonlogoos tögsgölgüï toony cäg aguulax cägiïg ug olonlogiïn

x¶zgaaryn cäg

gänä.

9

• D olonlog ba tüüniï x¶zgaaryn cägüüdiïn olonlog xoëryn nägdäliïg D olonlogiïn

bitüüräl

gääd D gäj tämdäglänä.

D olonlog ööriïnxöö bitüürältäï täncüü ö.x D = D bol bitüü olonlog ◦

gädäg. Γ = D\ D olonlogiïg D olonlogiïn

xil

gänä.

Ji²ää. M0 ∈ Rn cägiïn ε radiustaï duryn orqin n´ zadgaï olonlog baïna. •un türüünd M iïg Uε(M0) ⊂ Rn olonlogiïn duryn cäg baïxaar aw³¶. Tägwäl orqny todorxoïlolt ësoor ρ(M0, M ) = d < ε baïna. Iïmd δ = ε−d radius büxiï

Uδ (M0) orqin Uε(M0) olonlogt aguulagdax n´ ilärxiï. • [a, b] ⊂ R xärqmiïg Rn ogtorguïd buulgasan tasraltgüï buulgaltyg Rn dax

tasraltgüï zam

gäj näräl´e.

10

• D olonlogiïn duryn A ba B cägüüdiïg xolboson Agaas äxlältäï, B däär tögsgöltäï ug olonlogt büxläärää aguulagdax zam or²in baïdag bol D olonlogiïg

xolboost olonlog

gänä.

• D olonlogiïn duryn xoër cägiïg xolbox ug olonlogt büxläärää aguulagdax xärqim olddog bol ug olonlogiïg

güdgär olonlog

gänä.

Güdgär olonlog xolboost baïx n´ ilärxiï.

• Olonlogiïn xiliïn cägüüdiïn olonlog xolboost olonlog bol ug olonlogiïg

näg xolboost

olonlog gänä.

11

• Xäräw tüüniï xiliïn olonlog n toony ül ogtolcox xolboost olonlooos togtdog bol nxolboost olonlog gänä.

• Xolboost zadgaï olonlogiïg muj gänä.

• D olonlogiïg büxläär n´ aguulax tögsgölög r radius büxiï bömbölög or²in baïwal ug olonlogiïg

zaaglagdsan olonlog

gänä.

• Duryn ε > 0 too songon awaxad tüünääs xamaaran N (ε) dugaar oldood m ≥ N (ε) baïx büx m dugaaruudyn xuw´d ρ(x(m), x0) < ε 12

(10)

täncäl bi² bieläx bol Rn ogtorguïn älementüüdääs zoxioson (m)

(m)

{x(m)} = {x1 , x2 , . . . , x(m) n } daraallyg x0 ∈ Rn cägrüü

niïlj baïna

gädäg.

Änä üed bid lim x(m) = x0 gäj biqnä. Iïmd

m→∞

³

lim x

m→∞

(m)

=x

0

´

³ ⇔

lim ρ(x

m→∞

(m)

´ ,x ) = 0 . 0

(11)

(m) (m) 0 n Teorem 1. {x(m)} = {x(m) , x , . . . , x n } daraalal x ∈ R cägrüü niïlj baïx 1 2

zaïl²güï ba xürälcäätäï nöxcöl bol (m)

lim xi

m→∞

= x0i ,

i = 1, 2, . . . , n

(12)

baïx ¶wdal µm. Ingääd {x(m)} ∈ Rn daraallyn x0 ∈ Rn cägrüü niïläx ¶wdal n´ {x(m)} daraallyn

x0 tooruu niïläxtäï änqacuu bolj baïna. 13

Olon xuw´sagqiïn funkciïn tasraltgüï qanar ba x¶zgaar • D n´ ¶mar nägän M = (x, y) gäsän xawtgaïn cägüüdiïn olonlog baïg. (x, y) ∈ D cäg bürd todorxoï näg z toog xargalzuulax f dürmiïg xoër xuw´sagqiïn

funkc gääd z = f (x, y) buµu z = f (M ) gäj tämdägläe. D olonlogiïg ug funkciïn todorxoïlogdox muj gäx ba D(f ) gäj tämdäglänä. Xarin

E(f ) = {z ∈ R|z = f (x, y), (x, y) ∈ D} olonlogiïg f funkciïn

utgyn muj

(13)

gäj näräldäg.

z = f (x, y) buµu z = f (M ) toog f funkciïn M (x, y) cäg däärxi utga, x, y -iïg

ül xamaarax

xuw´sagqid buµu argumentüüd gänä.

14

Ji²ää. f : (x, y) → x + y düräm n´ x, y xos too bürd tädgääriïn niïlbär bolox x + y toog xargalzuulax ba f (x, y) = x + y funkciïg todorxoïlno. Änä toxioldold D(f ) = R2, xarin E(f ) = R baïx n´ ilärxiï. Erönxiï toxioldold guraw ba tüünääs dää² n toony xuw´sagqiïn funkciïg todorxoïlj bolox bögööd u = f (x1, x2...xn) gäj tämdägläx ba towqdoo

xuw´sagqiïn funkc gäj närläj baïx bolno.

olon

Änd n n´ ül xamaarax xuw´sagqiïn

too µm. Olon xuw´sagqiïn funkciïn grafik n´ Gf baïg. Xoër xuw´sagqiïn funkciïn xuw´d (x, y) ∈ D cäg bür däär funkciïn z = f (x, y) utgyg bodox ²aardlagataï bögööd (x, y, z) = (x, y, z = f (x, y)) gurwal n´ XYZ koordinatyn sistemd ¶mar nägän P cägiïg todorxoïlno. Ö.x

Gf = {(x, y, z)|z = f (x, y), (x, y) ∈ D} n´ todorxoï näg S gadarguug dürslänä. 15

(14)

Guraw ba tüünääs dää² n xuw´sagqiïn funkciïn xuw´d grafikiïg mön

Gf = {(x1, x2, . . . , xn, u)|u = f (x1, x2, . . . , xn), (x1, x2, . . . , xn) ∈ D}

(15)

olonlogoor todorxoïlogdox giper gadarguug ögnö.

f (x, y) = c (c − const) nöxcliïg xangax muruïg z = f (x, y) funkciïn tüw²niï ²ugam gänä. (ö.x. z = f (x, y)

funkc nägän ijil utga awax xawtgaïn cägüüdiïn olonlogiïg ögögdsön gadarguugiïn tüw²niï ²ugamuud gänä.) Funkciïn tüw²niï ²ugam n´ c-iïn ¶nz büriïn utgand muruïnuudyn bül üüsgänä. Xoëroos olon xuw´sagqiïn funkciïn xuw´d tüw²niï ²ugamyn tuxaï oïlgoltuudygtodorxoïlj bolox bögööd änä toxioldold tüw²niï

16

gadarguu gäj ¶r´dag.