1er Taller De Cálculo Multivariable.docx

TALLER DE CÁLCULO MULTIVARIABLE

DOCENTE: JHONY BOLAÑO

ESTUDIANTES: -CONTRERAS CARO CARLOS -TORRES FONTALVO JESÚS -PALMA PADILLA VICTOR

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR 2017

Taller. 1) Resolver dos ejercicios de límites. 2) Resolver dos ejercicios de fracciones parciales de primer orden. 3) Resolver dos ejercicios de fracciones parciales de segundo orden.

Solución. 1)

x2 − 𝑦 2

lim

=

lim

=

lim

(x + y) = 1 + 1 = 2

(𝑥,𝑦)→(1,1)

(𝑥,𝑦)→(1,1)

x−y

(x + y)(x − y) (x − y)

(𝑥,𝑦)→(1,1)

lim

x3 +𝑦 3

(𝑥,𝑦)→(1,−1) x+y

→ 𝑎3 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 )

(𝑥 + 𝑦)(𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) lim (𝑥,𝑦)→(1,−1) (𝑥 + 𝑦) 2 lim = 𝑥 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = (1)2 − 2(1)(−1) + (−1)2 (𝑥,𝑦)→(1,−1)

=1+2+1 =4 2) f(x,y)=2𝑥 2 − 3𝑦 − 4 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦

= 4𝑥 = −3

Primer orden. f (x,y)=5𝑥𝑦 − 7𝑥 2 − 𝑦 2 + 3𝑥 − 6𝑦 + 2 𝜕𝑓 𝜕𝑥

= 5𝑦 − 14𝑥 + 3 =-14x+5y+3

𝜕𝑓 𝜕𝑦

= 5𝑥 − 2𝑦 − 6 =5x-2(y+3)

f (x,y)=(2x-3𝑦)3 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥

= 6(2𝑥 − 3𝑦)2 = −9(2𝑥 − 3𝑦)2

Primer orden.

3) Derivadas parciales de segundo orden: Primer orden: g(x,y)=𝑥 2 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 𝜕𝑔

3.1 .𝜕𝑥 = 2𝑥𝑦 + 𝑦𝐶𝑜𝑠𝑥 𝜕𝑔

= 𝑦(2𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥)

𝜕𝑥 𝜕𝑔

. 𝜕𝑦= 𝑥 2 − 𝑆𝑒𝑛𝑦 + 𝑆𝑒𝑛𝑥 𝜕𝑔 𝜕𝑦

= 𝑥 2 + 𝑆𝑒𝑛𝑥 − 𝑆𝑒𝑛𝑦

Segundo orden: 𝑑 𝑑2 𝑔 = (𝑦(2𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥)) = −2𝑆𝑒𝑛𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑦

𝑑2 𝑔

= (𝑥 2 + 𝑆𝑒𝑛𝑥 − 𝑆𝑒𝑛𝑦) = 2𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑2 𝑔

= (𝑦(2𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥)) = 1 =𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑑 𝑑2𝑔 = (𝑥 2 + 𝑆𝑒𝑛𝑥 − 𝑆𝑒𝑛𝑦) = −𝐶𝑜𝑠𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑦

2. h (x,y)=x𝑒 𝑦 + 𝑦 + 1 Primer orden. 2.1

𝜕ℎ 𝜕𝑥 𝜕ℎ 𝜕𝑦

= 𝑒𝑦 = 𝑥𝑒 𝑦 + 1

Segundo orden. 𝑑 𝑑2ℎ 𝑦 =𝑒 =0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑑2ℎ = 𝑥𝑒 𝑦 + 1 = 𝑒 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 2 𝑑 𝑑 ℎ = 𝑒𝑦 = 𝑒𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑑 𝑑2 ℎ = 𝑥 𝑒𝑦 + 1 = 𝑥 𝑒𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦

3. f(x,y) = Senxy Primer orden. 3.1

𝜕𝑓 𝜕𝑥

= y Cosxy

𝜕𝑓 𝜕𝑦

=x Cosxy

Segundo orden. 𝑑 = 𝑦 𝐶𝑜𝑠 𝑦 = 𝑦 − 𝑆𝑒𝑛 𝑥𝑦 𝑑𝑥 = −𝑦 2 𝑆𝑒𝑛𝑥 =

𝑑2ℎ 𝑑𝑥

𝑑 𝑑2 ℎ = 𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥𝑦 = 𝐶𝑜𝑠𝑥𝑦 − 𝑥𝑦𝑆𝑒𝑛 𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑 𝑑2ℎ = 𝑦 𝐶𝑜𝑠 𝑥𝑦 = 𝐶𝑜𝑠 𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 𝑆𝑒𝑛 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑑 𝑑2 ℎ 2 = 𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥𝑦 = −𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦