Figury Niemozliwe Ii Trójkąt Penrose'a (penrose Triangle)

Zenon Kulpa

Figury niemożliwe: złudzenia interpretacji przestrzennej

Cz. II: Zastosowania i konstrukcja

Copyright © 2008

Figury niemożliwe: złudzenia przestrzennej interpretacji obrazów płaskich

Sztuka i projektowanie graficzne: Pierwsza zasada reklamy: przyciągnąć uwagę odbiorcy

Figury niemożliwe mieszczą się tu w okolicy drugiego miejsca (pierwsze zajmują modelki)...

Diagramatyka: Przykłady błędów reprezentacji diagramowej wynikających z niepełnej naśladowczości tych reprezentacji, t.j. nieizomorficzności struktury płaszczyzny euklidesowej R2 ze strukturą reprezentowanej dziedziny (tu: przestrzenią trójwymiarową R3 ).

Dwa pytania: – dlaczego i w jaki sposób z nieskończonej liczby dopuszczalnych interpretacji danego rysunku, w większości przypadków wybieramy tylko jedną interpretację i traktujemy ją jako naturalną i oczywistą? – dlaczego czasami właśnie ta naturalna i oczywista interpretacja okazuje się wewnętrznie sprzeczna?

Odpowiedzi na nie pomogą: – w badaniu mechanizmow percepcji wzrokowej (psychologia widzenia), – w modelowaniu procesów percepcji w komputerach (komputerowa analiza scen).

Copyright © 2008

Figury niemożliwe: proces interpretacji przestrzennej Płaski rysunek

Relacje przestrzenne

Interpretacja globalna

Lokalna analiza:

Globalna integracja:

„wskaźniki głębi”, dopasowanie znanych fragmentów kształtów

ciągłość linii i obszarów, dopasowanie znanych kształtów

Interpretacja „możliwa”

Kontrola niesprzeczności: rozpoznanie przedmiotu, szukanie sprzeczności interpretacyjnych

Interpretacja „niemożliwa”

Znajdźmy inną interpretację...

Trzy główne etapy interpretacji: 1. Lokalna analiza wskaźników głębi; 2. Globalna integracja; 3. Kontrola niesprzeczności.

Figury: – niemożliwe: błąd etapów 1-2; – nieprawdopodobne: błąd etapu 3; – prawdopodobne: błąd etapów 1-2 i 3. Copyright © 2008

Interpretacja przestrzenna: podstawowe reguły

1. Reguła prostoty:

2. Reguła minimalnej zmiany:

Interpretacja powinna być prostsza niż rysunek (przynajmniej nie bardziej złożona).

Geometryczne własności i relacje (np. prostolinijność, równoległość, przecinanie się) obecne na rysunku powinny być zachowane w interpretacji (jeśli nie jest to sprzeczne z regułą prostoty).

Prostsze jako płaskie

Prostsze jako przestrzenne Wszystkie linie proste Większość to linie krzywe

3. Reguła pozycji ogólnej: Obiekt jest przedstawiony na rysunku w takim położeniu, że niewielka zmiana punktu widzenia nie narusza istotnie struktury rysunku lub istotnych własności jego elementów.

Beleczki połączone

Beleczki niepołączone

Reguły te sterują lokalną interpretacją „wskaźników głębi” i globalną integracją tych lokalnych interpretacji.

Copyright © 2008

Interpretacja przestrzenna: uzasadnienie reguł podstawowych Zdolność do przestrzennej interpretacji płaskich obrazów jest stosunkowo nową ewolucyjnie, specyficznie ludzką zdolnością „nadbudowaną” nad i wykorzystującą w istotnym stopniu istniejące od dawna mechanizmy percepcji obiektów świata trójwymiarowego. Rzeczywistość trójwymiarowa przejawia pewne regularności, wykorzystywane do ujednoznacznienia interpretacji, jak np.: – obiekty trójwymiarowe mają zazwyczaj prostszą strukturę, niż ich płaskie rzuty, w których występują znaczne zniekształcenia perspektywiczne (reguła prostoty); – z uwagi na widzenie za pomocą dwojga oczu i możliwości ruchu oka względem obiektu, jest bardzo mało prawdopodobne zobaczenie obiektu tylko z tego jednego punktu widzenia, który ukrywa jego rzeczywistą strukturę na skutek specjalnego ustawienia jego części (reguła pozycji ogólnej) lub istotnego zniekształcenia ich własności geometrycznych (reguła minimalnej zmiany). linia krywa w przestrzeni gła sta ciąa pro zie i a lin obr na

linia przerwana w przestrzeni

Z nieskończonej liczby przestrzennych interpretacji płaskiej figury wzrok wybiera zwykle tylko te, które najlepiej pasują do podanych reguł.

Niewielka zmiana punktu widzenia Copyright © 2008

Struktura figur niemożliwych: typy sprzeczności interpretacyjnych Wszystkie one, jak się rzekło, nie istnieją, ale każdy rodzaj w zupełnie inny sposób. [Stanisław Lem, „Cyberiada”]

1. Sprzeczność „figura-tło”: – pewien fragment rysunku interpretowany jest raz jako część figury (przedstawionego obiektu) a raz jako część tła, na którym ten obiekt się znajduje; – sprzeczność ta generuje zwykle wtórne sprzeczności pozostałych dwóch typów; – dla figur z tym typem sprzeczności najtrudniej jest znaleźć możliwą interpretację.

2. Sprzeczność „relacje w przestrzeni”: – pewien fragment rysunku interpretowany jest jako obiekt o sprzecznych cechach przestrzennych (położenie, rozmiar, itp.), lub jako dwa obiekty między którymi zachodzą jednocześnie dwie sprzeczne relacje przestrzenne, takie jak: – wyżej / niżej; – z lewej / z prawej; – bliżej / dalej – większy/mniejszy... ...

3. Sprzeczność „forma powierzchni”: – obszar rysunku interpretowany jest jako fragment powierzchni obiektu posiadający jednocześnie: 3.1. Różne orientacje w przestrzeni: 3.2. Różne kształty: pionowa, widziana pozioma z prawej z lewej

... krzywy

płaski

...

Copyright © 2008

Struktura figur niemożliwych: typy sprzeczności interpretacyjnych - przykłady ...wykrył trzy rodzaje smoków: zerowe, urojone i ujemne. [Stanisław Lem, „Cyberiada”]

1. Sprzeczność „figura-tło”: W tej samej figurze, a nawet na tym samym elemencie figury, może wystąpić kilka różnych sprzeczności.

2. Sprzeczność „relacje w przestrzeni”: • położenie w głębi:

L tak samo daleko jak R

• położenie w pionie: b powyżej a

b poniżej a

a

b

no rów

• węższe/szersze:

za

b

L dalej niż R

a

a b żej i n o bp

3. Sprzeczność „forma powierzchni”: 3.1. inna orientacja: Dwubelka Ernsta

pionowa płaszczyzna pozioma płaszczyzna

3.2. krzywa / płaska: płaskie powierzchnie

cylindryczne powierzchnie

Copyright © 2008

Struktura figur niemożliwych: typy sprzeczności - wzajemne związki

Figura-tło ⇒ położenie: b

{ba –– figura tło

a

niż b {aa wyżej i b na tym samym poziomie

Figura-tło ⇒ orientacja: b

(zacieniona) {ab –– figura tło (zacienione) belki 1=2 {ab –– dwie jedna belka

{ab –– pionowa pozioma

a

Położenie ⇒ kształt:

(sprzeczność niewizualna)

1 2

a b

i b na tym samym poziomie 1 – powierzchnia płaska { aa wyżej { niż b 2 – powierzchnia krzywa

Copyright © 2008

Struktura figur niemożliwych: przykład analizy typów sprzeczności

Sprzeczności główne: G

G 1 D

2

3 4 5

6 7

tło { DG:: 55 –– figura orientacja G: 6 pionowa, widok z lewej powierzchni { D: 6 pionowa, widok z prawej figura - tło { G: 10 – tło D: 10 – figura kształt G: 11 zakrzywiona (cylinder) powierzchni { D: 11 płaska figura - tło

[Na podstawie rysunku Oscara Reutersvärda]

Sprzeczności pochodne: 8

9

G 10

11

D 1, 2, 3, ... – numery elementów figury D, G – „punkty widzenia” na figurę

położenie w głębi orientacja powierzchni

dalej od 3 { DG:: 55 tak daleko jak 3 pozioma, widok z góry { DG:: 55 pionowa, widok z lewej

położenie w głębi orientacja powierzchni

dalej od 8 { DG:: 1010 tak daleko jak 8 pozioma, widok z góry { DG:: 1010 pionowa, widok z lewej

{ {

Copyright © 2008

Recepty konstrukcyjne: wielokąty

SSS

NSNS

Cztery rodzaje narożników:

N

Z

M

S

N<M
NZZM

NMSNMS

Zapis sekwencji narożników: kierunek zapisu sekwencji

równoważne sekwencje opisujące

{

NSMS SMSN MSNS SNSM

sekwencja „kanoniczna” (leksykograficznie pierwsza) Copyright © 2008

Recepty konstrukcyjne - wielokąty: grupy przekształceń geometrycznych „TIOE”

Jedna grupa 4-elementowa: lu

I: inwersja (odbicie lustrzane) Z↔S, wspak

str

I

o

I T: figura „typowa” (leksykograficznie pierwsza)

NNMZ

T

E O

Ewewersja (superpozycja I · O) Z↔S, N↔M

E I

O

IOE

O

NNSM

T

Jedna grupa 1-elementowa:

NSMM O: obwersja („w idok z tyłu”) N↔M, wspak

NMMZ

Dwa rodzaje grup 2-elementowych: lustro

O

O

I

I

I TO

E

IE

TI

O E

OE

NMNM

Systematyczna generacja wszystkich wielokątów: 1. Generacja w porządku leksykograficznym wszystkich n-elementowych sekwencji kanonicznych; 2. Grupowanie sekwencji w klasy zamknięte względem grupy przekształceń geometrycznych; 3. Wybranie z każdej grupy jej reprezentanta – figury typowej T, jako leksykograficznie pierwszej w grupie; 4. Ponumerowanie grup w kolejności leksykograficznej ich reprezentantów. Copyright © 2008

NMSS

NZZM

NNSZ

MMZS

Recepty konstrukcyjne - wielokąty: tabele wielokątów dla n = 1, 2, 3 i 4 n=1 Nr T 1 2

N Z

n=2 Nr T 1 2 3 4 5

NN NM NZ ZZ ZS

n=3 Nr T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

NNN NNM NNZ NMZ NMS NZZ NZS NSZ ZZZ ZZS

I

O

E

=T S

M =T

=O =I

I

O

E

=T =T NS SS =T

MM =T MZ =T =T

=O =T MS =I =T

1TI: N

2IE: S

4IE: SS

3O: MZ

9IE

SSS

I

O

E

=T =T NNS NSM NZM NSS =T =T SSS ZSS

MMM NMM MMZ =T =T MZZ MSZ MZS =T =T

=O =O MMS =I =I MSS =O =O =I =I

n 1 2 3 4 5 6 7

możliwe wg prostego kryterium Cowana (płaska rama) moż- niemo- razem liwe żliwe

2 3 4 6 8 14 20

2 7 20 64 200 686 2324

4 10 24 70 208 700 2344

Nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

T NNNN NNNM NNNZ NNMM NNMZ NNMS NNZZ NNZS NNSZ NMNM

I =T =T NNNS =T NNSM NNZM NNSS =T =T =T

n=4 5T O E MMMM =O NMMM =O MMMZ MMMS NNMZ =T =T 5O NMMZ NSMM NMMS NZMM MMZZ MMSS MMSZ =O MMZS =O NMMZ =T =T

NMNZ NMZZ NMZS NMSS NZNZ NZNS NZMZ NZMS NZZZ NZZS

NMNS NSSM NZSM NZZM NSNS =T NSMS =T NSSS NZSS

NMZM =T NMSZ =T MZMZ MZMS =T =T MZZZ MSZZ

5I

NNSM 5E

NSMM

NMSM 14IE =I NSZM NZZM =I MSMS =O =I 15I =T MSSS MSSZ NSNS 21 NZSZ NSZS MZSZ MSZS 22 NSMZ =T =T =T 17IE 23 NSZZ NSSZ MZZS MZSS 24 ZZZZ SSSS =T =I 25 ZZZS ZSSS =T =I NSMS 26 ZZSS =T =T =T Copyright © 2008 27 ZSZS =T =T =T

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Recepty konstrukcyjne - wielokąty: wielokąty wklęsłe i zaokrąglone

Wielokąty wklęsłe:

Wielokąty zaokrąglone:

[wierzchołki wklęsłe oznaczone apostrofem „’”]

dwa nowe rodzaje narożników

Zo

So

NZSZ’Z

Przykłady: NMNZS’S

NZN’ZM’ZM

Z oZ o

NSoS

ZZMZ’MS o Copyright © 2008

Recepty konstrukcyjne: metoda centaura (1)

Rysujemy kilka równoległych linii:

Copyright © 2008

Recepty konstrukcyjne: metoda centaura (2)

Dorysowujemy do nich jakieś przestrzenne zakończenie na jednym końcu (np. dwie prostokątne beleczki):

Interpretacje pasów: 1. płaski, widok z przodu, 2. płaski, widok z prawej, 3. tło, 4. płaski, widok z przodu, 5. płaski, widok z prawej.

Copyright © 2008

Recepty konstrukcyjne: metoda centaura (3)

Interpretacje pasów: 1. cylindryczny, 2. tło, 3. cylindryczny, 4. tło, 5. cylindryczny.

Dorysowujemy do nich inne przestrzenne zakończenie na drugim końcu (np. trzy cylindryczne beleczki):

Copyright © 2008

Recepty konstrukcyjne: metoda centaura (4)

Interpretacje pasów: 1. cylindryczny, 2. tło, 3. cylindryczny, 4. tło, 5. cylindryczny.

Teraz wystarczy połączyć razem...

Copyright © 2008

Recepty konstrukcyjne: metoda centaura (5)

I mamy figurę niemożliwą!

Interpretacje pasów: 1. cylindryczny, 2. tło, 3. cylindryczny, 4. tło, 5. cylindryczny.

sprzeczność na każdym pasie Interpretacje pasów: 1. płaski, widok z przodu, 2. płaski, widok z prawej, 3. tło, 4. płaski, widok z przodu, 5. płaski, widok z prawej.

Copyright © 2008

Recepty konstrukcyjne: figury pasowe

Ogólny schemat figury: interpretacje jednego końca każdego pasa

I1

I2

...

Przykładowe interpretacje końców: In

... J1

J2

...

Jn

interpretacje drugiego końca każdego pasa

B tło, O obiekt, Cu zakrzywiony, Pl płaski, Vr płaszczyzna pionowa widziana z prawej, Vl płaszczyzna pionowa widziana z lewej, Ha płaszczyzna pozioma widziana z góry, Hb płaszczyzna pozioma widziana z dołu, Sh cień, ... itd.

Opisy przykładowych figur: Ha Vr Ha Vr Ha Ha Ha Vr

Vl Hb B Vl Hb Ha Vr B Ha Vr

Pl O B O Pl Cu B O B Cu

Ha Vr Vr Ha Vr B(ShHa)

lub dokładniej:

PROBLEM: określenie ograniczeń na dopuszczalne interpretacje sąsiadujących pasów.

Ha Vr B(Pl) Ha Vr Cu B(Ha) Cu B Cu

Copyright © 2008

Bibliografia główne klasyczne prace Thiéry A, 1895 "Über geometrisch-optische Täuschungen" Philosophische Studien 11 307-370 Pierwszy opis „figury Thiery’ego” jako figury niejednoznacznej (wklęsłe-wypukłe). Penrose L S, Penrose R, 1958 "Impossible objects: a special type of visual illusion" British Journal of Psychology 49 31-33 Pierwsza publikacja o figurach niemożliwych (rysunki trójkąta i schodów Penrose’a). Huffman D A, 1971 "Impossible objects as nonsense sentences" in Machine Intelligence 6 eds B Heltzer, D Michie (Edinburgh, Edinburgh University Press) pp. 295-323 Pierwsze rozważania o figurach niemożliwych w komputerowej analizie obrazów; próba określenia geometrycznych „wskaźników niemożliwości” (nieudana). Cowan T M, 1977 "Organizing the properties of impossible figures" Perception 6 41-56 Zastosowanie teorii warkoczy do opisu wieloboków (możliwych i niemożliwych). Térouanne E, 1980 "'Impossible' figures and interpretations of polyhedral figures" Journal of Mathematical Psychology 24 370-405 Figury niemożliwe a interpretacja rysunków wielościanów. Young A W, Deręgowski J B, 1981 "Learning to see impossible" Perception 10 91-105 Różnice w percepcji figur niemożliwych w różnych kulturach. Sugihara K, 1982 “Mathematical structures of line drawings of polyhedrons – toward man-machine communication by means of line drawings" IEEE Transactions of Pattern Analysis and Machine Intelligence 4 458-469 Zastosowanie do automatycznej interpretacji przestrzennej rysunków wielościanów. Kulpa Z, 1983 "Are impossible figures possible?" Signal Processing 5 201-220 Definicja, cztery typy figur, reguły interpretacji przestrzennej, typy sprzeczności. Kulpa Z, 1987 "Putting order in the impossible” Perception 16 201-214 Definicja, cztery typy figur, typy sprzeczności, recepty konstrukcyjne.

Copyright © 2008

Figury niemożliwe KONIEC Części II i ostatniej

Copyright © 2008