Triángulos
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- Words: 692
- Pages: 5
TRI ÁNGULOS Entre
las
superficies
planas
fundamentales
para
el
estudio
de
geometría está el triángulo; para designarlo se emplea el símbolo
la Δ.
Para nombrarlo se pueden usar las 3 letras de sus vértices en cualquier orden o emplear una cifra romana que se coloca en el interior del trángulo. La siguiente figura se designa por
Δ ABC o por I; sus lados son a, b,
c (observa que las letras de cada lado son las mismas de su ángulo opuesto pero minúsculas); sus ángulos son A, B, C
y sus vértices
también se designan con A, B, C. B AB= c AC= b BC= a
a
c
I
A
C
b
Clasificaci ón.- Los trángulos se pueden clasificar según sus lados y según sus ángulos internos.
Según sus lados
1. Equilátero: Si sus 3 lados son iguales. 2. Isósceles: Si dos de sus lados son iguales y otro desigual. 3. Escaleno: Si sus tres lados son diferentes.
b
a
b
a
c c
c a=b=c equilátero
b
a
a=b isóceles
b
a
a
b c
c
a≠b≠c escaleno
Elabor ó: Profa. Ma. Dalia Lozano Grande
Según sus ángulos internos
1. Acutángulo: Si sus 3 ángulos son agudos. 2. Rectángulo: Si uno de sus ángulos es recto. 3. Obtusángulo: Si uno de sus ángulos es obtuso. 4. Oblicuángulo: Si no es triángulo rectángulo. 5. Equiángulo: Si sus 3 ángulos tienen igual medida.
Rectas y Puntos notables en un tri ángulo.-
Son rectas y puntos
que tienan características geométricas especiales. 1. Mediana: es el segmento trazado desde el vértice Rectas notables
hasta
el
punto
medio
del
lado
opuesto. 2. Mediatriz: Es la perpendicular en el punto medio de cada lado. 3.
Bisetriz:Es
la
recta
que
divide
a
cada
ángulo del triángulo en dos partes iguales 4. Altura: Es la perpendicular trazada desde un
vértice
a
su
lado
opuesto
o
a
su
prolongación.
Puntos notables
1. Baricentro: Es el punto de intersección de las tres medianas que hay en todo triángulo 2. Circuncentro: Es el punto de intersección de las tres mediatrices que hay en todo triángulo 3. Incentro: Es el punto de intersección de las tres bisectrices que hay en todo triángulo 4. Ortocentro: Es el punto de intersección de las tres alturas que hay en todo triángulo
Elabor ó: Profa. Ma. Dalia Lozano Grande
Para visualizarlas en una animación consulta el blog: www. geometradictos.blogspot.com
o ve directamente a la página: http://www.luventicus.org/articulos/03N017/index.html
Teoremas b ásicos sobre tri ángulos. Un teorema es una afirmación que requiere ser demostrada. Sus partes constitutivas son: ●
Hipótesis: Es un supuesto (Si.....)
●
Tesis: es lo que se quiere demostrar (...entonces)
●
Demostración: Fin del proceso Deductivo.
TEOREMA 1: “La suma de los ángulos interiores o internos de cualquier triángulo es 180º” Hipótesis: (Si...) ∢A, ∢B y ∢C son ángulos interiores de un Triángulo Tesis: (...entonces)∢A+∢B +∢C=180º Demostración: S D
B
A U
T
E
C
V
Elabor ó: Profa. Ma. Dalia Lozano Grande
Si ∢D+∢B +∢E=180º Por ser suplementarios ∢A=∢D Por ser ángulos alternos internos ∢E=∢C Por ser ángulos alternos internos Entonces: ∢A+∢B +∢C=180º
TEOREMA 2: (Corolario del Teorema 1) “La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es un ángulo recto (90º)”
B
C
Hipótesis:
(Si...) ∢A y ∢B son
A
ángulos
interiores
de
un
Triángulo
Rectángulo y ∢C es su ángulo recto Tesis: (...entonces)∢A+∢B =90º Demostración: Si ∢A+∢B +∢C=180º Por ser ángulos internos del triángulo y 180º-∢ C= 90º Entonces: ∢A+∢B =90º
TEOREMA
3:
“La
suma
de
los
3
ángulos
exteriores
o
cualquier triángulo es 360º”
Elabor ó: Profa. Ma. Dalia Lozano Grande
externos
de
Z C Y A
B
X
Se deja como Tarea al estudiante demostrar el teorema anterior.
TEOREMA 4: “Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los 2 ángulos internos que no le son adyascentes”.
C X A
B
Hipótesis: (Si...) ∢A, y ∢B son ángulos interiores de un Triángulo y ∢X es un ángulo externo Tesis: (...entonces) ∢X=∢A+∢C Demostración: Si ∢B +∢X=180º Por ser ángulos suplementarios y ∢A+∢B +∢C=180º Por ser ángulos internos del triángulo Entonces: ∢B+∢X = ∢A+∢B +∢C, por lo tanto ∢X = ∢A+∢C
Elabor ó: Profa. Ma. Dalia Lozano Grande
las
superficies
planas
fundamentales
para
el
estudio
de
geometría está el triángulo; para designarlo se emplea el símbolo
la Δ.
Para nombrarlo se pueden usar las 3 letras de sus vértices en cualquier orden o emplear una cifra romana que se coloca en el interior del trángulo. La siguiente figura se designa por
Δ ABC o por I; sus lados son a, b,
c (observa que las letras de cada lado son las mismas de su ángulo opuesto pero minúsculas); sus ángulos son A, B, C
y sus vértices
también se designan con A, B, C. B AB= c AC= b BC= a
a
c
I
A
C
b
Clasificaci ón.- Los trángulos se pueden clasificar según sus lados y según sus ángulos internos.
Según sus lados
1. Equilátero: Si sus 3 lados son iguales. 2. Isósceles: Si dos de sus lados son iguales y otro desigual. 3. Escaleno: Si sus tres lados son diferentes.
b
a
b
a
c c
c a=b=c equilátero
b
a
a=b isóceles
b
a
a
b c
c
a≠b≠c escaleno
Elabor ó: Profa. Ma. Dalia Lozano Grande
Según sus ángulos internos
1. Acutángulo: Si sus 3 ángulos son agudos. 2. Rectángulo: Si uno de sus ángulos es recto. 3. Obtusángulo: Si uno de sus ángulos es obtuso. 4. Oblicuángulo: Si no es triángulo rectángulo. 5. Equiángulo: Si sus 3 ángulos tienen igual medida.
Rectas y Puntos notables en un tri ángulo.-
Son rectas y puntos
que tienan características geométricas especiales. 1. Mediana: es el segmento trazado desde el vértice Rectas notables
hasta
el
punto
medio
del
lado
opuesto. 2. Mediatriz: Es la perpendicular en el punto medio de cada lado. 3.
Bisetriz:Es
la
recta
que
divide
a
cada
ángulo del triángulo en dos partes iguales 4. Altura: Es la perpendicular trazada desde un
vértice
a
su
lado
opuesto
o
a
su
prolongación.
Puntos notables
1. Baricentro: Es el punto de intersección de las tres medianas que hay en todo triángulo 2. Circuncentro: Es el punto de intersección de las tres mediatrices que hay en todo triángulo 3. Incentro: Es el punto de intersección de las tres bisectrices que hay en todo triángulo 4. Ortocentro: Es el punto de intersección de las tres alturas que hay en todo triángulo
Elabor ó: Profa. Ma. Dalia Lozano Grande
Para visualizarlas en una animación consulta el blog: www. geometradictos.blogspot.com
o ve directamente a la página: http://www.luventicus.org/articulos/03N017/index.html
Teoremas b ásicos sobre tri ángulos. Un teorema es una afirmación que requiere ser demostrada. Sus partes constitutivas son: ●
Hipótesis: Es un supuesto (Si.....)
●
Tesis: es lo que se quiere demostrar (...entonces)
●
Demostración: Fin del proceso Deductivo.
TEOREMA 1: “La suma de los ángulos interiores o internos de cualquier triángulo es 180º” Hipótesis: (Si...) ∢A, ∢B y ∢C son ángulos interiores de un Triángulo Tesis: (...entonces)∢A+∢B +∢C=180º Demostración: S D
B
A U
T
E
C
V
Elabor ó: Profa. Ma. Dalia Lozano Grande
Si ∢D+∢B +∢E=180º Por ser suplementarios ∢A=∢D Por ser ángulos alternos internos ∢E=∢C Por ser ángulos alternos internos Entonces: ∢A+∢B +∢C=180º
TEOREMA 2: (Corolario del Teorema 1) “La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es un ángulo recto (90º)”
B
C
Hipótesis:
(Si...) ∢A y ∢B son
A
ángulos
interiores
de
un
Triángulo
Rectángulo y ∢C es su ángulo recto Tesis: (...entonces)∢A+∢B =90º Demostración: Si ∢A+∢B +∢C=180º Por ser ángulos internos del triángulo y 180º-∢ C= 90º Entonces: ∢A+∢B =90º
TEOREMA
3:
“La
suma
de
los
3
ángulos
exteriores
o
cualquier triángulo es 360º”
Elabor ó: Profa. Ma. Dalia Lozano Grande
externos
de
Z C Y A
B
X
Se deja como Tarea al estudiante demostrar el teorema anterior.
TEOREMA 4: “Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los 2 ángulos internos que no le son adyascentes”.
C X A
B
Hipótesis: (Si...) ∢A, y ∢B son ángulos interiores de un Triángulo y ∢X es un ángulo externo Tesis: (...entonces) ∢X=∢A+∢C Demostración: Si ∢B +∢X=180º Por ser ángulos suplementarios y ∢A+∢B +∢C=180º Por ser ángulos internos del triángulo Entonces: ∢B+∢X = ∢A+∢B +∢C, por lo tanto ∢X = ∢A+∢C
Elabor ó: Profa. Ma. Dalia Lozano Grande
