Urbanización Los Grafos

XXI Olimpiada

Urbanización “Los Grafos”: El arquitecto Leonardito Eulerill, novio de la cantante Pitagorina Rubio, va a construir los chalets de una nueva urbanización. El alcalde D. Miletos no le permite construir túneles ni puentes, ni tampoco le deja que los senderos que haga se corten entre sí. Sin embargo, le deja hacer tantos chalets como pueda siguiendo una de las siguientes opciones: • •

“Que cada chalet esté unido a todos los demás por un sendero.”. “Numerar los chalets: 1, 2, 3, 4… y unir por senderos sólo los chalets que tengan números primos entre sí.”.

¿Cuál es la opción que debe elegir Leonardito para construir el mayor número de chalets?

Solución

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Solución:

Si Leonardito eligiese la opción A), ¿cuántos chalets podría construir como máximo?

¿Podrías dibujar los planos?

Enunciado

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Solución:

Los planos de 2 y 3 chalets se dibujan fácilmente:

Enunciado

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Solución:

Los planos de 2 y 3 chalets se dibujan fácilmente:

Enunciado

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Solución:

El de 4 chalets también es posible dibujarlo:

Enunciado

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Solución:

Enunciado

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Solución:

Luego, no podemos contruir 5 chalets. Pero ... ¿y el de 5?

Si ponemos el quinto fuera ...

Enunciado

Si lo ponemos dentro ... Menú

ATENCIÓN, este mensaje es MUY IMPORTANTE: Para que todas las casas estén unidas entre sí, como mucho sólo pueden existir cuatro casas.

Solución:

Veamos ahora la opción B): “Numerar los chalets: 1, 2, 3, 4… y unir por senderos sólo los chalets que tengan números primos entre sí”.

Volvamos a nuestro taller de dibujo ...

Enunciado

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Chalets: 1, 2, 3, 4, 5, .... Senderos entre números primos entre sí”.

Solución:

Nuestras futuras casas deben estar numeradas:

1

Enunciado

2

3

4

5

...

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Chalets: 1, 2, 3, 4, 5, .... Senderos entre números primos entre sí”.

Solución:

Pero sólo podemos unir casas con números que sean primos entre sí. ¿Qué números son primos entre sí? Un número que sea primo es primo con todos los demás: 1, 2, 3, 5, 7, ... Luego, si una casa está señalada con un número primo, debe estar unida a todas las demás. En particular, todas las casas con números primos deberían estar unidas entre sí. Pero ... Enunciado

Sólo se pueden unir cuatro casas todas entre sí.

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Chalets: 1, 2, 3, 4, 5, ....

Solución:

Senderos entre números primos entre sí”.

Luego, nunca podríamos tener siete chalets, ... Porque las casas 1, 2, 3, 5 y 7 deberían estar todas unidas entre sí.

Enunciado

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Chalets: 1, 2, 3, 4, 5, .... Senderos entre números primos entre sí”.

Solución:

Pero ... ¿podemos construir 6 chalets?

SÍ

5 6 2

1

4

3 Enunciado

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Solución:

CONCLUSIÓN FINAL

Opción A Opción B

Enunciado

4 chalets 6 chalets

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