Pde Hiperbolic, Metode Euler.pdf

TUGAS BESAR PRAKTIKUM KOMPUTASI GEOFISIKA

PEMODELAN PERGERAKAN GELOMBANG TALI 1D DENGAN MENGGUNAKAN METODE “PDE HYPERBOLIC”

NAMA: ERVAN PRASETIYO NIM:12116100

Asisten : 1. Asido Saputra Sigalingging (12115023) 2. Hendra Hidayat Akbar

(12114005)

3. Muhammad Iqbal Naufaldi (12115007) 4. Putu Pradnya Andika

(12115013)

5. Gabrio Hikma Januarta

(12115012)

PROGRAM STUDI TEKNIK GEOFISIKA JURUSAN SAINS INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA 2018

ABSTRAK Pada kertas kerja ini, kami melakukan pemodelan gelombang tali 1D dengan menggunakan perhitungan persamaan diferensial hiperbolik. Pada bagian pertama laporan ini, akan ditunjukkan persamaan gelombang pada tali [∂^2y ∂x^2=1/v^2 ∂^2y ∂t^2]. Rumusan inilah yang akan digunakan sebagai acuan model teoretik. Selanjutnya akan dicari persamaan diferensial gerak model tali sebagai partikel-partikel tali yang bergerak pada tali yang telah terikat ujungnya. Persamaan diferensial ini akan diselesaikan kemudian secara numerik dengan syarat-syarat batas yang ditentukan. Syarat batas yang digunakan terkait dengan peristiwa gelombang berdiri dengan ujung terikat.Pada saat kondisi awal, setiap partikel berada dalam keadaan diam pada posisi terdistribusi merata di sepanjang bidang horizontal. Penyelesaian persamaan diferensial dilakukan secara numerik dengan menggunakan metode Euler. Persamaan diferensial tersebut meliputi persamaan kecepatan dan persamaan posisi setiap partikel dengan menggunakan model ini, diharapkan dapat diperoleh simulasi gerak gelombang berdiri pada tali. Selain itu, akan ditinjau juga kondisi apa saja yang harus dipenuhi agar model ini dapat mensimulasikan gerak tersebut sesuai dengan model teoretik. Model teoretik yang digunakan merupakan model gelombang tali sebagai gelombang analitik yang diperoleh dengan mendapatkan persamaan gelombang seperti yang ditunjukkan oleh (Pain, 2006). Pada pemodelan kali ini tali ini terikat di salah satu ujungnya, sedangkan ujung lainnya digetarkan dengan frekuensi tetap dan pengaruh gravitasi lainnya diabaikan dalam simulasi ini. Persamaan gerak ditinjau hanya dengan melibatkan interaksi pegas antarpartikel. Kata kunci: PDE Hiperbolik,Metode euler.

ABSTRACT In this paper, we are modeling a 1D rope wave using the hyperbolic differential equation calculation. In the first part of this report, we will show the wave equation on the string [∂ ^ 2y ∂x ^ 2 = 1 / v ^ 2 ∂ ^ 2y ∂t ^ 2]. This formula will be used as a reference theoretical model. Next we will look for the differential equations of motion of rope models as rope particles that move on the rope that has been bound ends. This differential equation will be solved later numerically with the prescribed boundary conditions. The boundary conditions used are associated with standing wave events with bound ends. At the time of initial conditions, each particle is in a stationary state in a uniformly distributed position along the horizontal plane. Solution of differential equations is done numerically using Euler method. The differential equations include the velocity equations and the position equations of each particle. By using this model, it is hoped that simulation of standing wave motion on the rope can be obtained. In addition, it will also review what conditions must be met so that this model can simulate the motion in accordance with theoretical model. The theoretical model used is a wave-wave model as an analytic wave obtained by obtaining the wave equation as shown by (Pain, 2006). In this modeling the rope is tied at one end, while the other end is vibrated with a fixed frequency and other gravitational effects are ignored in this simulation. The motion equation is reviewed only by involving interparticle spring interactions. Keywords:PDE Hiperbolic,Euler Method.

1D Wave Hyperbolic |

i

DAFTAR GAMBAR Gambar 1...................................................................................................3 Gambar 2...................................................................................................5 Gambar 3...................................................................................................6 Gambar 4...................................................................................................7 Gambar 5...................................................................................................8 Gambar 6...................................................................................................8 Gambar 7...................................................................................................8

1D Wave Hyperbolic |

ii

DAFTRA ISI ABSTRAK..................................................................................................i DAFTAR GAMBAR..................................................................................ii DAFTAR ISI..............................................................................................iii 1. PENDAHULUAN..................................................................................1 1.1 Latar Belakang...........................................................................1 1.2 Tujuan........................................................................................1 1.3 Rumusan Masalah......................................................................1 2. Teori Dasar..............................................................................................2 2.1 Persamaan umum gelombang tali 1D........................................2 2.2 Persamaan gelombang tali 1D Hiperbolik.................................4 3. Algoritma dan pemprograman.................................................................5 3.1 Algoritma...................................................................................5 3.2 Program c++..............................................................................6 4. Hasil dan Pembahasan.............................................................................7 4.1 Hasil...........................................................................................7 4.2 Pembahasan...............................................................................8 5. KESIMPULAN......................................................................................9 DAFTAR PUSTAKA...............................................................................10

1D Wave Hyperbolic |iii

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pergerakan gelombang tali merupakan bentuk dari gelombang mekanik yang bersifat transversal, yaitu gelombang yang memerluakn medium perambatan. Perambatan gelombang tali dipengaruhi oleh besaran besaran fisis yag berupa periode(T), panjang gelombang(λ), dan kecepatan rambat gelombang(v). Kali ini kita akan memodelkan pergerakan gelombang tali menggunakan persamann diferensial. Pergerakan gelombang tali merupakan masalah fisis yang sering dijumpai dikehidupan sehari hari, dimana pergerakan gelombang ini mengambarkan pergerakan partikel berdasarkan arah getar medium gelombang. Persamaan diferensial merupakan persamaan yang menghubungkan suatu fungsi beserta turunanya. Persamaan ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan atau permasalahan secara numerik dengan macam macam metode yang dapat digunakan sesuai dengan permasalahan fisis yang akan diselesaikan. Secara umum solusi persamaan gelombang tali cukup sulit untuk dipecahkan secara analisis, sehingga lebih mudah menggunakan persamaan numeris dengan berbagai metode, misalnya metode Euler, beda hingga dan PDE Hiperbolik. Pada pemodelan gelombang tali 1D ini kami menggunakan metode PDE Hiperbolik untuk menentukan besarnya simpangan yang dibentuk oleh pergerakan tali terikat yang membentuk gelombang yang arah rambatnya tegak lurus terhadap arah getarnya, sehingga terbentuklah gunung dan lembah gelombang. Penyelesaian persamaan gelombang tali 1D hampir sama seperti menyelesaikan persmaan gelombang umum,namun pada metode hiperbolik ini penyelesaian dipengaruhi oleh besarnya step waktu dan step jarak pada perulangan kondisinya yaitu [∂^2y ∂x^2=1/v^2 ∂^2y ∂t^2]. Pada percobaan kali ini, praktikan mencoba untuk melakukan pemodelan terhadap gelombang tali secara 1D menggunakan metode numerik Partial Differential Equation Hiperbolik dengan bantuan software C++ dan MATLAB. 1.2 Tujuan Percobaan ini dilakukan dengan tujuan praktikan mampu membuat pemodelan gelombang tali 1D secara komputasi dengan program C++ metode partial differential hyperbolic,kemudian membuat grafik penjalaran gelombang tali 1D yang dipengaruhi oleh besar simpangan terhadap jarak dan waktu mengunakan aplikasi MATLAB. 1.3 Batasan Masalah Batasan masalah pada pemodelan kali ini adalah mengidentifikasi apakah jarak,kecepatan dan waktu mempengaruhi besarnya simpangan gelombang dan arah penjalaran gelombang pada tali.

1D Wave Hyperbolic

|1

BAB II TEORI DASAR 2.1 Persamaan gelombang tali 1D Persamaan gelombang tali 1D berawal dari suatu tali homogen yang bergerak pada arah vertikal. Segmen tersebut akan bergerak dengan memenuhi hukum II Newton tentang gerak di mana gaya-gaya yang bekerja timbul akibat adanya tegangan pada tali. Untuk kasus ini, gaya gravitasi ataupun gaya luar lainnya tidak akan diperhitungkan. Jika kerapatan tali per satuan panjang adalah ρ, maka persamaan Newton tersebut dapat dituliskan sebagai: X~ F = ρ(dS)~a. (2.1) di mana dS merupakan elemen panjang dari segmen tali tersebut. Untuk elemen tali yang sangat kecil, dS dapat kita tuliskan sebagai dS = p(dx)2 + (dy)2 = dxr1 +∂y ∂x2(2.2) Total gaya yang bekerja pada elemen tali pada arah vertikal adalah XFy = T(x + dx)sin(θ + dθ)−T(x)sin(θ)(2.3) Untuk gelombang tali yang ideal, elemen tali diasumsikan agar bergerak hanya pada arah vertikal. Selain itu, simpangan yang terbentuk pada tali diambil tidak terlalu besar sehingga θ sangat kecil. Karena itu, dapat diambil sinθ ≈ tanθ = ∂y/∂x. Perlu diperhatikan bahwa untuk θ yang kecil, ∂y/∂x akan bernilai kecil, sehingga kuadrat dari nilainya akan jauh lebih kecil dari 1. Akibatnya, pada persamaan 6.2, panjang segmen tali dapat diambil dS ≈ dx. Dengan asumsiasumsi seperti ini, dari persamaan 2.1 dan 2.3 dapat kita peroleh persamaan gerak elemen tali tersebut sebagai berikut.

(Gambar 1)

Gambar 1: Gerak sebuah elemen tali dengan panjang dS dan tegangan tali T(x) dengan sudut θ pada x serta tegangan tali T(x+dx) dengan sudut θ+dθ pada x + dx.

(2.4)

1D Wave Hyperbolic | 2

Karena simpangan diambil cukup kecil dan tali dianggap tidak mengalami pemelaran yang signifikan, maka tegangan tali T dapat dianggap bernilai tetap untuk sepanjang x, sehingga persamaan 2.4 yang sudah didapatkan sebelumnya dapat ditulis kembali secara lebih sederhana sebagai:

(2.5)

Bandingkan persamaan 2.5 ini dengan persamaan gelombang,

(2.6) di mana v merupakan cepat rambat dari gelombang. Bandingkan persamaan gelombang ini dengan persamaan 2.6 sehingga cepat rambat gelombang pada tali dapat kita peroleh sebagai:

(2.7) Untuk suatu tali dengan ujung terikat, kondisi resonansi gelombang berdiri akan terjadi ketika:

(2.8) di mana L adalah panjang dari tali dan n = 1,2,3,... menunjukkan orde dari resonansi yang terjadi. Karena itu, dari persamaan 2.7 dan 2.8 dapat diperoleh modus-modus frekuensinya, yaitu

.

(2.9)

Ketika osilator dengan frekuensi tersebut digetarkan pada ujung tali lainnya, maka akan terbentuk gelombang berdiri dengan jumlah perut dan simpul yang sesuai dengan orde frekuensinya. Jumlah perut gelombang yang terbentuk akan sama dengan orde resonansinya sedangkan jumlah simpul yang terbentuk akan satu buah lebih banyak dari jumlah perut gelombang yang terbentuk.

1D Wave Hyperbolic | 3

2.2 Persamaan gelombang tali 1D Hiperbolik Persamaan hiperbilik diperoleh dari persamaan gelombang umum pada tali 1D dinyatakan bahwa: 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 2 = 𝑐 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥 2 dimana nilai c pada persamaan ini sama dengan v, yang berati cepat rambat gelombang tali. Persamaan ini muncul dalam berbagai dari elstisitas dan akustik sampai hidraulika. Oleh sebab itu dari tiga bentuk persamaan diferensial yang kita ketahui, persamaan hiperbolik merupakan persamaan yang paling banyak dikaji oleh ilmuan komputasi. Jika persamaan diatas didekati dengan menggunakan pendekatan beda hingga, maka dapat dituliskan:

Dengan

Persamaan ini menjelaskan bahwa apabila kita mengetahui nilai u pada seluruh xi pada saat tj dan saat tj-1maka kita dapat menentukan harga u pada seluruh xi pada langkah waktu berikutnya, dengan persamaan:

u[j]=u[i]-v(dt/dx)(u[j]-u[j-1])

(Gambar.2)

1D Wave Hyperbolic | 4

BABIII ALGORITMA DAN PEMOGRAMAN 3.1 ALGORITMA Untuk menyelesaikan persamaan diatas disusun algoritma penyelesaian berikut ini: 1. Definisikan variable yang digunakan seperti :(xmin,xmax,N,dt,t,n,tmax, dx).xmin= jarak minimun; xmax= jarak maksimum; tmax=waktu maksimum; dt=step waktu; t=waktu; N=panjang tali; n=jumlah grid. 2. Rekonstruksi kodisi awal pada koordinat x, antara (x,u). 3. Lakukan penyimpanan dan pencetakan header pada file uotput 4. Cetak innitial condition dan boundary condition. 5. Lakukan proses iterasi pada perhitungan simpangan gelombang tali 1D dimana: u[j]=u[i]-v(dt/dx)(u[j]-u[j-1]) Berikut merupakan flowchart dari program C++ yg dibuat:

(Gambar.3) 1D Wave Hyperbolic | 5

3.2 PROGRAM C++ Algoritma pada sub bab 3.1 tersebut diaplikasikan dalam program Dev C++ kemudian grafik hasil dari program di-plot-kan ke dalam software MATLAB untuk memperlihatkan pergerakan gelombang tali 1D.

(Gambar.4) 1D Wave Hyperbolic | 6

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 HASIL Setelah program yang dibuat dapat beroperasi, kemudian program tersebut di-compile menampilkan data file run(output program C++) seperti berikut:

(Gambar.5).

Data yang dimasukkan secara otomatis akan diolah dalamfile .txt yang menampilkan hasil:

(Gambar.6).

1D Wave Hyperbolic | 7

Setelah data-data perhitungan tersebut tersimpan di notepad kemudian di-plot-kan ke dalam MATLAB, sehingga menghasilkan output seperti berikut:

. (Gambar.7)

4.2 PEMBAHASAN

(Gambar.8)

1D Wave Hyperbolic | 8

Grafik diatasadalah pemodelan pergerakan gelombang tali 1D yang dipengaruhi oleh jarak dan waktu. Grafik diatas menunjukan hubungan antara kecepatan rambat gelombang(v),waktu(t),jarak(x) terhadap simpangan gelombang tali yang terbentuk, dimana besarnya simpangan gelombang berbanding lurus dengan kecepatan dan dan waktu, namun berbanding terbalik dengan besarnya jarak tempuh. Hal inidapat terlihat dari rumus persamaan gelombang tali 1D yaitu: 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 2 =𝑐 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥 2 Dalam PDE hiperbolik telah ditunjukan bahwa seutas tali yang diikat ujungnya kemudian diberi gaya atau digerakan pada ujungnya secara vertikal maka dapat diketahui bahwa besarnya vibrasi tali mengikuti persamaan gelombang berdimensi satu. Dengan u(x,t) adalah defleksi atau simpangan gelombang tersebut.untuk mengetahui pergerakan gelombang tali ini, kita harus memecahkan persamaan gelombang tali dengan menentukan syarat batas yaitu saat u(0,t)=0 dan u(n,t)=0 untuk semua nilai t. Bentuk gerak gelombang tali tergantung pada defleksi awal (pada saatt=0), dan pada kecepatan awal (saat t=0).jika u[i] adalah defleksi awal maka kita dapat memperoleh syarat awalnya u(x,0)=u[i], dimana berdasarkan grafik diatas defleksi maksimumnya berada pada nilai 20.

BAB V KESIMPULAN

Setelah melakukan pembahasan terhadap hasil pemodelan melalui pemograman, ada beberapa hasil simpulan sebagai berikut : 1. Gelombang merupakan getaran yang dihasilkan dari gaya yang mengenai suatu objek yang perambatanya memerlukan medium, contohnya yaitu gelombang tali. . 2. Untuk membuat pemodelan terhadap gelombang tali 1D, dapat dilakukan dengan membuat source program pada aplikasi C++ kemudian hasil iterasinya di plot di aplikasi MATLAB, kemudian akan dihasilkan grafik gelombang tali 1D. 3. Simpangan ataudefleksi gelombang tali 1D kali ini dihitung atau diselesaikan dengan menggunakan metode PDE Hiperbolik yang berasal dari persamaan gelombang umum. 4. Besarnya defleksi pada gelombang tali 1D dipengaruhi oleh besarnya jarak yang ditempuh gelombang, percepatan gelombang, dan waktu yang dibutuhkan gelombang untuk merambat. 5. Setelah melakukan pemodelan secara komputasi praktikan diharapkan dapat menemukan solusi pada kasus persamaan diferensial yang lain, sehingga metode ini dapat dipahami sebagai bekal untuk menemukan solusi penggambaran gelombang seismik di geofisika dengan metode differensial equation.

1D Wave Hyperbolic | 9

DAFTAR PUSTAKA 1) Kaya, D & Mustafa., 1999. On the Solution of the Nonlinear Wave Eequation by the Decomposition Method, Bull. Of the Malaysian Math. Society, 22: 151-155. 2) Bellman, R & Adomian, G., 1985, Partial Differential Equations: New Methods for Their Treatment and Solution, D Reidel Publishing Company, Dordrecht. 3) Whitham, G. (1974). Linear and nonlinear waves. New York: Wiley 4) Lynch, L (2004) "Numerical Integration of Linear and Nonlinerar Wave Equations". DIssertations, Theses, and Student Research Papers in Mathematics. Paper 16. Florida Atlantic University. 5) Blog.ub.ac.id/randi18/2013/09/29/aplikasi-persamaan –diferensial –parsial/

1D Wave Hyperbolic | 10