Pc06-if-411-2018-ii Final

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA FÍSICA MECÁNICA CUÁNTICA IF-411 CICLO 2018 II PRACTICA CALIFICADA N°6

Fecha de entrega: Domingo 25/11/2018 vía correo electrónico y entrega de la versión física el día Lunes 26/11/2018 Nota: Se tomará en cuenta el orden y la claridad de sus procedimientos.

1.1 (3 puntos) Hagamos los cambios de variables (𝑡, 𝑥⃗1 , 𝑥⃗2 ) ⟶ (𝑡, 𝑥⃗𝐺 , 𝑥⃗) donde 𝑥⃗𝐺 =

𝑚1 𝑥⃗1 +𝑚2 𝑥⃗2 𝑚1 +𝑚2

𝑦 𝑥⃗ = 𝑥⃗1 − 𝑥⃗2 . Muestre que, en las nuevas variables, la hamiltoniana del

problema de dos cuerpos se transforma en: 1 1 1 2 1 𝑃1 2 + 𝑃2 2 + 𝑉(𝑡, 𝑥⃗1 , 𝑥⃗2 ) = 𝑃 + 𝑃 2 + 𝑉̃ (𝑡, 𝑥⃗𝐺 , 𝑥⃗) 2𝑚1 2𝑚2 2𝜇 2𝑚 𝐺

1.2 (3 puntos) La ecuación de Schrö dinger en variables de centro de masa y variable relativa es: 1 1 ℏ 𝜕𝜙 (2.1) { 𝑃2 + 𝑃𝐺 2 + 𝑉̃ (𝑡, 𝑥⃗𝐺 , 𝑥⃗)} 𝜙 + =0 2𝜇 2𝑚 𝑖 𝜕𝑡 Expresemos 𝜙 en variables separables, 𝜙(𝑡, 𝑥⃗𝐺 , 𝑥⃗) = 𝑋(𝑥⃗)𝑌(𝑡, 𝑥⃗𝐺 )

(2.2)

Muestre que la ecuación (2.1) al usar (2.2) se transforma en las siguientes dos ecuaciones: 𝑃2 𝑋 + 𝑉𝑋 = 𝐸𝑋 2𝜇 𝑃𝐺 2 𝑌 ℏ 𝜕𝑌 + 𝐸𝑌 + =0 2𝑚 𝑖 𝜕𝑡 1.3 (5 puntos) Consideremos la ecuación radial para el problema de dos cuerpos: 𝑃𝑟 2 𝜂 ℓ(ℓ + 1)ℏ2 + (𝑉 + ) 𝜂 = 𝐸𝜂 2𝜇 2𝜇𝑟 2

(3.1)

A partir de la ecuación (3.1) se obtendrán los estados y las energías ligadas al tomar en cuenta el problema de cuantización. 𝐺 Al ensayar la solución 𝜂 = 𝑟 en la ecuación (3.1), obtenemos (3.4) 𝑐 𝛼2 −𝛼 2 𝐷𝑟 2 𝐺 + [− + ℓ(ℓ + 1) 2 ] 𝐺 = 𝐸𝐺 𝑟 𝑟 Ensayemos la solución 𝐺(𝑟) = 𝑟 ℓ+1 𝐹(𝑟)𝑒 −𝜎𝑟 , muestre que de la ecuación (3.4) se obtiene la siguiente ecuación diferencial para F: (ℓ + 1) (ℓ + 1) −𝑐 𝐹 ′′ + 2 [ − 𝜎] 𝐹 ′ − [ 2 + 2𝜎 ]𝐹 = 0 𝑟 𝑟𝛼 𝑟 𝐸 donde 𝜎 2 = − 𝛼2 , 𝐸 < 0

Fecha : 15/11/2018

Profesor: Dr José Carlos Díaz Rosado

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA FÍSICA MECÁNICA CUÁNTICA IF-411 CICLO 2018 II

2. (5 puntos) Usando argumentos cuánticos, encuentre la relación entre el momentum angular orbital y el momento magnético del átomo de hidrógeno en el SI: |𝑒| ̅ = − 𝐿̅ 𝑀 2𝜇 3. La ecuación de Schrodinger estacionaria radial para un potencial central está dada por la siguiente expresión: ℏ2 𝑑 2 𝜑 ℏ2 ℓ(ℓ + 1) − + (𝑉(𝑟) + ) 𝜑 = 𝐸𝜑 2𝑚𝑒 𝑑𝑟 2 2𝑚𝑒 𝑟 2 Considere un potencial tipo delta, V (r )  V0 (r  r0 ), V0  0. Si el sistema tiene un estado base, se pide: a) Las funciones solución para r < r0 y r >r0. (2 puntos) b) ¿Qué condición debe cumplir V0, en términos de ,me y r0 , para que el sistema analizado tenga dicho estado base? (2 puntos)

Fecha : 15/11/2018

Profesor: Dr José Carlos Díaz Rosado