Pc Logarithmic And Exponential Functions

 

 

 

 

An exponential function is a function of the form

where a is a positive real number (a > 0) and . The domain of f is the set of all real numbers.  

 

6 (1, 6)

4

(1, 3) 2

(-1, 1/3) (-1, 1/6)

 

3

2

1

(0, 1)  

0

1

2

3

Summary of the characteristics of the graph of

a >1  • The domain is all real numbers. Range is set of  positive numbers. • No x­intercepts; y­intercept is 1. • The x­axis (y=0) is a horizontal asymptote as With a>1, is an increasing function and  •  is one­to­one. • The graph contains the points (0,1); (1,a), and (­1,  1/a). •The graph is smooth continuous with no corners or      gaps.

6

(-1, 6) 4

(-1, 3) 2

(0, 1)  

3

2

1

(1, 1/3) (1, 1/6)  

0

1

2

3

Summary of the characteristics of the graph of

0 
• 

•The graph is smooth continuous with no corners or      gaps.

 

 

10

5

(1, 3) (0, 1) 0

y=3  

 

x

10

5

(-1, 3) (0, 1) 0

−x

y=3  

 

10

(-1, 5) y=2

5

(0, 3) 0

−x

y=3

+2

Domain: All real numbers Range: { y | y rel="nofollow">2 } or Horizontal Asymptote:  y = 2  

 

More Exponential Functions (Shifts) :  An equation in the form  f(x) = ax.  Recall that if   0 < a < 1 , the graph represents    exponential decay and that if  a > 1, the graph represents   exponential growth     Examples:    f(x) = (1/2)x      f(x) = 2x

Exponential Decay Exponential Growth We  will take a look at how these graphs “shift” according to   changes in their equation...

Take a look at how the following graphs compare to the original  graph of  f(x) = (1/2)x  :

   f(x) = (1/2)x          f(x) = (1/2)x + 1      f(x) = (1/2)x – 3

Vertical Shift: The graphs of f(x) = ax + k are shifted vertically by k units.

 

 

Take a look at how the following graphs compare to the original  graph of  f(x) = (2)x  :

   f(x) = (2)x            f(x) = (2)x – 3                 f(x) = (2)x + 2  – 3 (3,1)

(0,1)

Notice that f(0) = 1

(-2,-2)

Notice that this graph is shifted 3 units to the right.

Notice that this graph is shifted 2 units to the left and 3 units down.

Horizontal Shift: The graphs of f(x) = ax – h are shifted horizontally by h units.  

 

Take a look at how the following graphs compare to the original  graph of  f(x) = (2)x  :

   f(x) = (2)x                 f(x) = –(2)x              f(x) = –(2)x + 2  – 3 (0,1) (0,-1) (-2,-4) Notice that f(0) = 1

 

This graph is a reflection of f(x) = (2)x . The graph is reflected over the x-axis.

 

Shift the graph of f(x) = (2)x  ,2 units to the left. Reflect the graph over the x-axis. Then, shift the graph 3 units down

 

 

A logarithmic function is the inverse of an exponential function. For the function y = 2x, the inverse is x = 2y. In order to solve this inverse equation for y,  we write it in logarithmic form. x = 2y  is written as y = log2x and is read as “y = the logarithm of x to base 2”.

x y = 2x

y = log2x (x = 2y)  

-3 -2 -1

0

1

2

3

4

y

1 8

1 4

1 2

1

2

4

8

16

x

1 8

1 4

1 2

1

2

4

8

16

-3 -2 -1 

0

1

2

3

4

y

Graphing the Logarithmic Function y = x

y = 2x

y = log2x

 

 

Comparing Exponential and Logarithmic Function Graphs y = 2x

y = log2x

The y­intercept is 1. There is no x­intercept. The domain is  All Reals 

There is no y­intercept. The x­intercept is 1. The domain is  x > 0

The range is  y > 0.

The range is  All Reals 

There is a horizontal asymptote at y = 0.

There is a vertical asymptote at x = 0.

The graph of y = 2x has been reflected in the line of y = x,  to give the graph of y = log2x.  

 

Logarithms Consider 72 = 49. 2 is the exponent of the power, to which 7 is raised, to equal 49. The logarithm of 49 to the base 7 is equal to 2 (log749 = 2). Exponential   notation

72 = 49

Logarithmic       form

log749 = 2

In general:          If         bx  = N,                         then    logbN = x. State in logarithmic form: a)  63 = 216

log6216 = 3

  2 = 16 b)  4

log416 = 2

State in exponential form:

 

a)  log5125 = 3

53 = 125

b)  log2128= 7

27 = 128

Logarithms State in logarithmic form:

1  a) y =   2

x 1.4

b) 2

x log 0.5 y = 1.4

= 32

log2 32 = 3x + 2

1.4log0.5 y = x

 

3x+ 2

 

Evaluating Logarithms 1.  log2128

Think – What power must  you raise 2  to, to get 128?

log2128 = x          2x = 128          2x = 27                x = 7

3.  log556 = 6 4.  log816

log816 = x        8x = 16       23x = 24           3x = 4  

4 x= 3

2.  log327 log327 = x        3x = 27        3x = 33              x = 3

Note: log2128 = log227                      = 7   log327 = log333               = 3

logaam = m   because logarithmic and                       exponential functions are                      inverses.   5.   log81 log81 = x loga1 = 0      8x = 1      8x = 80          x = 0  

Evaluating Logarithms 6.        log4(log33 ) 8

log48 = x      4x = 8     22x = 23        2x = 3 3 x= 2

2

log2 8

=2

log2 2 3

8.  

 = 23  = 8

 

3 log 7.   4 8 log 4 3 8 = x

x

4 =3 8 2x

3

2 =2 3 2x = 1 1 x= 2 9.  Given log165 = x, and log84 = y,      express log220 in terms of x and y. log165 = x log84 = y 16x = 5 8y = 4  24x = 5 23y = 4  log220 = log2(4 x 5)              = log2(23y x 24x) 3y + 4x )               = log2(2              = 3y + 4x

Logarithmic Functions x = 2y    is an exponential equation. Its inverse (solving for y) is called a    logarithmic equation. Let’s look at the parts of each type of equation: Logarithmic Equation Exponential Equation y = loga x x = ay exponent /logarithm base number  

It is helpful to remember: “The logarithm of a number is the  power to which the base must be raised to get the given    number.”

Example:  Rewrite in exponential form and  solve      loga64 = 2        base number exponent 2

                    a  = 64   a =  8 Example:  Solve log5 x = 3 Rewrite in exponential form: 3

    5  = x     x = 125  

 

1 =y Example:  Solve   log 7 49

          

y

7   =   1            49                     y = –2

An equation in the form  y = logb x where b > 0  and b ≠ 1 is called a logarithmic function. Logarithmic and exponential functions are inverses of  each other x

logb b  = x

       

log  x   b

b

= x

 

Examples.  Evaluate each: 4 a.    log8 8  

  

x

logb b  = x

   log8 8  =  4 4

[log  (3y – 1)] 6

b.   6         

log  x   b

b

 

= x 

  =  3y – 1

[log  (3y – 1)] 6

6

Here are  some special logarithm values: 0 1.   loga 1 = 0     because  a  = 1  2.   loga a = 1     because  a1 = a   

3.   loga a  = x     because  a  = a   x

  x

x

 

 

Laws of Logarithms

Consider the following two problems: Simplify

   log3 (9 • 27) 2

3

= log3 (3 • 3 )  2 + 3

= log3 (3

)

          =          2 + 3  Simplify

 

   log3 9 + log3 27 2

3 

= log3 3  + log3 3

=     2     +     3 These examples suggest the Law: Product Law of Logarithms:     For all positive numbers m, n and b where b ≠ 1, 

Consider the following:  81 a. log3   27

    =   log3 34               

3

3 

=   log3 34 – 3 

         b. log3 81 − log3 27 = log3 34  –  log3 33 =         4  –    3

=          4 – 3 These examples suggest the following Law: Quotient Law of Logarithms: For all positive numbers m, n and b where b ≠ 1,  logb  m  =  logb m – logb n              n   

    

The Product and Quotient Laws Product Law:

logb(mn) = logbm + logbn

The logarithm of a product equals  the sum of the logarithms.  Quotient Law:

 m log b   = log b m − log b n n

The logarithm of a quotient equals  the difference of the logarithms. 

Express

AB log 3  C  as a sum and difference of logarithms: AB  log 3  C  = log3A + log3B ­ log3C

Evaluate:      log210 + log212.8

 

= log2(10 x 12.8) = log2(128) = log2(27)

 

Simplifying Logarithms Solve:  x = log550 ­ log510  50 = log 5   10

 x = log55     = 1

Given that log79 = 1.129, find the value of log763: log763 = log7(9 x 7)            = log79 + log77            = 1.129 + 1            = 2.129 Evaluate:  x = log45a + log48a3 ­ log410a4  5a × 8a3  x = log4   4  10a 

x = 1

 40a4  x = log4  4  10a   

x = log44

 

3

    = log3 (32)4     = log3 32 • 4          

    =         2 • 4   b.  4 log3 9

 

    = (log3 32) • 4     =      2       • 4 These examples suggest the following Law: Power Law of Logarithms: For all positive numbers m, n and b where b ≠ 1,      p logb  m   = p •  logb m

The Power Law Power Law:

logbmn  = n logbm n d

n log b m = log b m d

The logarithm of a number to a power equals the  power times the logarithm of the number. 1 Express as a single log: 3 log5 3 + 2 log5 2 + log5 4 2 1 = log 5 33 + log 5 22 + log 5 4 2 1  3  2 2 = log 5  3 × 2 × 4    = log 5 (27 × 4 × 2)  

= log5216  

Applying the Power Laws Evaluate: log 5 25 125 + log3 813 243 1 2

= log 5 52 + log 5 125 + log 3 34 + log3 243 1 1 3 5 = 2 log 5 5 + log 5 5 + 4log3 3 + log 3 3 2 3

1 1 = 2(1) + (3) + 4(1) + (5) 2 3

1 3

55 = 6

4 Given that log62 = 0.387 and log65 = 0.898 solve  log 6 20 :

log 6

4

1 20 = log6 (2 × 2 × 5) 4 1 = [log 6 2 + log6 2 + log 6 5] 4 =

 

1 (0.387 + 0.387 + 0.898) 4

= 0.418

 

Applying the Power Laws

(

Evaluate: 3

log5 2

)(3

log 5 4

)

(log 5 2 + log 5 4)

=3 log5 (2 × 4) =3 log5 8 =3

If log28 = x, express each in terms of x:  b)  log22

a)  log2512 = log283 = 3log28   = 3x

 

 log28 = x log223 = x 3log22 = x x log 2 2 = 3

More examples:  Given log12 9  = 0.884 and          log12 18 = 1.163, find each: a.    3 log12           = log12    9    4       12   = log12 9 – log12 12                                   

b.  log12 2

 

=  0.884  –     1         

  =     –0.116  = log12   18                  9  =  log12 18 – log12 9  = 1.163 – 0.884     =   0.279

Example:  Solve       2 log6 4 –  1 log6 8 =  log6 x     3  log6 42 – log6 81/3 =  log6 x log6 16 – log6 2   =  log6 x  log6 (16/2)          =  log6 x    16/2        =    x                x = 8

 

 

Natural Exponential Functions  The most commonly used base for exponential and  logarithmic functions is the irrational number e. 1 m e = lim (1 + ) ≈ 2.71828 m →∞ m

• Exponential functions to base e are called natural  exponential functions and are written y = ex.  • Natural exponential function follows the same rules  as other exponential functions.  

 

Exponential Function y > 0 for all x

10 9

passes through (0,1)

8

positive slope increasing

y = ex

7 6 5 4 3 2 1 0 -3

 

-2

-1

0

1

2

3

 

4

Natural Logarithms 

• logarithms to base e (≈ 2.71828) • loge x  or  ln x (Note: These mean the same thing!) • ln  x    is  simply  the  exponent  or  power  to  which  e must be raised to get x. y = ln x  ⇔  x = ey • Since natural exponential functions and natural logarithmic  functions  are  inverses  of  each  other,  one  is  generally  helpful in solving the other.  Mindful that ln x signifies the  power to which e must be raised to get x, for a > 0,

eln x = x [Let’s y = ln x  and x = ey ⇒ x = elnx]      ln ex = x [Let’s y = ln ex ⇒ ey  = ex ⇒ y = x]  eln x = ln ex = x  

 

Ex)  the natural logarithm of x

• • • • •

 

ln e =  ln 1 =  ln 2 = ln 40 =  ln 0.1 =

 

Ex)  the natural logarithm of x 1 • ln e = 1     since e  = e 0 • ln 1 = 0     since e  = 1 • ln 2 = 0.6931...    since e0.6931...  = 2 • ln 40 = 3.688...    since e3.688.. = 40 ­2.3025.

• ln 0.1 = ­2.3025   since e

 

 

 = ­1

Natural Logarithmic Function y > 0 for x > 1 y < 0 for 0 < x < 1 passes through (1,0) positive slope (increasing)

5 4

y = ln x

3 2 1 0 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-2 -3 -4 -5

 

 

10