Pauta1ps-fmm312-2014-01.pdf

Primera Solemne.

Sistemas y Ecuaciones diferenciales lineales Jornada Diurna Nombre: Indicaciones:

Ψ

No está permitido el uso de libros ni apuntes.

Ψ

Debe desarrollar cada pregunta en la ho ja correspondiente, no se aceptan hojas anexas.

Ψ

Preguntas incompletas y/o con desarrollo incoherente serán evaluadas con menor punta je.

Ψ

Debe resolver los ejercicios utilizando los contenidos vistos en clases.

Ψ

Está permitido el uso de calculadora no simbólica.

Ψ

El uso de aparatos tecnológicos tales como celulares, tablets o similares, durante el desarrollo de la evaluación será sancionado con la nota mínima.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

NOTA

Puntaje

Puntaje recorregido DECLARO HABER REVISADO LA EVALUACIÓN Y ESTAR DE ACUERDO CON LA CALIFICACIÓN Día

Mes

Año

NOTA

Firma Estudiante

1

Pregunta 1. Resuelva el problema de valor inicial

dy 1 = dx 2



x+y−1 x+2

2 ;

y(0) = 3

Solución Pregunta 1. Utilizando el cambio de variable

∧

x=u+h tenemos que

u=x+2

e

v = y − 3,

y =v+k

por lo tanto:

dy 1 = dx 2



x+y−1 x+2

2 ⇐⇒

dv 1 v 2 = 1+ du 2 u

luego,

1 v 2 dw 1 dv = 1+ ⇐⇒ w + u = (1 + w)2 uw = v du 2 u du 2 dw 1 + w2 ⇐⇒ u = du 2 1 ⇐⇒ arctan(w) = ln(u) + C   2 v 1 ⇐⇒ arctan = ln(u) + C u=x+2 ∧ v =y−3 y 2   y−3 1 ⇐⇒ arctan = ln(x + 2) + C x+2 2 Como

y(0) = 3,

entonces se cumple que:

 arctan

y−3 x+2

 =

2

1 1 ln(x + 2) − ln(2) 2 2

Pregunta 2. Resuelva



cos(x) 3xy + x



  sin(x) 2 dx + 2x + dy = 0 xy

Sabiendo que admite un factor integrante de la forma

µ(x, y) = xf (y).

Solución Pregunta 2. Observe que al multiplicar por el factor integrante tenemos que:

 
sin(x) 3x2 y + cos(x) f (y)dx + 2x3 + f (y) dy = 0 y donde,

Z f (y) = e

∂N ∂M Z − 1 ∂x ∂y dy dy M = e y = y

por lo tanto la ecuación diferencial



3x2 y 2 + y cos(x) dx + 2x3 y + sin(x) dy = 0 es exacta, cuya solución es:

x3 y 2 + y sin(x) = C

3

Pregunta 3.

R4 , determínese k sean L.D..

(a)

En

(b)

Demostrar que:

p

y

para que los vectores

α1 = (1, 2, k, 1), α2 = (k, 1, 2, 3)

 W = es un subespacio de

R4

sobre

R

(x1 , x2 , x3 , x4 :

y que éste es generado por los vectores

(−2, −1, 0, 1), (1, 3, 1, 0).

Si el conjunto es l.d. entonces se debe cumplir que:

a(1, 2, k, 1) + b(k, 1, 2, 3) + c(0, 1, p, 0) = 0 Lo cual genera el siguiente sistema:

a + bk 2a + b + c ak + 2b + pc a + 3b

= = = =

0 0 0 0

matricialmente,



1  2   k 1 de lo anterior concluimos que

k 1 2 3

0 1 p 0

k = 3,



1 k  0 1 − 2k   0 2 − k2 0 3−k de donde se obtiene que

p=

| | | |

  1 k 0   0 1 − 2k 0  ∼   0 2 − k2 0  0 3−k 0

0 1 p 0

| | | |

 0 0   0  0

luego

0 1 p 0

| | | |

  0 1 3 0 1  0 1 0  − 5  ∼   0 0 5p − 7 0  0 0 0 0

7 . 5

4

α3 = (0, 1, p, 0)



x1 − x3 + 2x4 = 0 x2 − 3x3 + x4 = 0

Solución Pregunta 3.

(a)

y

| | | |

 0 0   0  0

Continuación solución Pregunta 3.

(b)

Observe que si el conjunto es generador del espacio

W,

entonces:

 x1    x2 (x1 , x2 , x3 , x4 ) = a(−2, −1, 0, 1) + b(1, 3, 1, 0) =⇒ x    3 x4

= −2a + b = −a + 3b =b =a

luego, como

 W =

x − x3 + 2x4 = 0 (x1 , x2 , x3 , x4 : 1 x2 − 3x3 + x4 = 0



se cumple que:

x1 − x3 + 2x4 = (−2a + b) − (b) + 2(a) = 0 ∧ x2 − 3x3 + x4 = (−a + 3b) − 3(b) + (a) = 0

5