Pauta Certamen Fisica Iii

PAUTA CERTAMEN III (26-11-007) (SE INCLUYEN COMENTARIOS DADOS DURANTE EL CERTAMEN)

Pregunta 1.- Suponga que tiene dos cilindros unidos como muestra la figura. Donde el cilindro menor tiene un radio r y masa despreciable, el mayor tiene un radio R y masa M. Sobre el cilindro menor se enrolla una cuerda y se tira de ésta, como muestra la figura. El ángulo que forma la fuerza con respecto a la horizontal es θ. Determine los valores que debe tomar el ángulo θ, para que la aceleración angular sea positiva, negativa y cero. (Use el sistema de referencia dado y recuerde que el momento de inercia, de un disco de masa M y radio R, respecto de su eje de simetría 1 es: I CM = MR 2 ) N 2 y

F θ

x

µ ≠0 fr

Resp. 1.-

∑ F = − Mg + N + F ⋅ sen (θ ) = 0 ∑ F = F ⋅ cos (θ ) − f = MA ∑τ = rF − Rf = − Iα

[2]

AC .M . = α R

[4]

[1]

y

x

r

C .M .

Mg

[3]

r

1 [5] MR 2 2 Por todas las ecuaciones correctas 4 Pts. Multiplicando la ecuación [2], por R y usando la condición de rodadura [4] I=

RF ⋅ cos (θ ) − Rf r = M α R 2

[6]

Restando [7] - [3] F ( R ⋅ cos (θ ) - r ) = M α R 2 + Iα = M α R 2 + ⇒α =

1 MR 2α 2

2F ( R ⋅ cos (θ ) - r ) (1 Pts ) 3MR 2

Análisis: r ⎛ r ⎞⎫ ⇒ θ = arccos ⎜ ⎟ ⎪ R ⎝ R ⎠⎪ ⎪ r ⎛r⎞ Si α > 0, R ⋅ cos (θ ) - r > 0 ⇒ cos (θ ) > ⇒ θ > arccos ⎜ ⎟ ⎬1 Pts R ⎝ R⎠ ⎪ r ⎛r⎞ ⎪ Si α > 0, R ⋅ cos (θ ) - r < 0 ⇒ cos (θ ) < ⇒ θ < arccos ⎜ ⎟ ⎪ R ⎝R⎠ ⎭ Si α = 0 ⇒ ( R ⋅ cos (θ ) - r ) = 0 ⇒ cos (θ ) =

Pregunta 2.- Una esfera, de masa m y radio r, se encuentra en el polo de una semiesfera de radio R, la cual está apoyada sobre una superficie horizontal. La esfera se desplaza levemente de su posición de equilibrio, con la cual hay roce. Para la situación en que la esfera de radio r sólo puede rodar sobre la esfera de radio R. Determinar: a) La rapidez en función del ángulo θ, que forma su radio con la vertical, y los datos dados.(3 Pts.) b) El valor de la normal en función de θ y los datos dados.(2 Pts.) c) El valor de θ, en el instante en que la partícula se despega de la superficie.(1 Pt.)

r

θ R

Resp. 2.-

a ) Conservación de la energía Ei = Mg ( R + r ) 1 12 2 + E f = Mg ( R + r ) cos θ + MVCM Mr 2ω 2 2 25 1 12 ⎛V ⎞ 2 + E f = Mg ( R + r ) cos θ + MVCM Mr 2 ⎜ CM ⎟ 2 25 ⎝ r ⎠ Ei = E f

2

1 12 ⎛V ⎞ 2 + Mg ( R + r ) = Mg ( R + r ) cos θ + MVCM Mr 2 ⎜ CM ⎟ 2 25 ⎝ r ⎠

2

7 2 10 VCM ⇒ VCM = g ( R + r )(1 − cos θ ) 10 7 b) Usando segunda ley de Newton g ( R + r ) − g ( R + r ) cos θ =

2 VCM V2 ⇒ N = Mg cos θ − M CM R+r R+r c) Condición para que no tenga contacto con la superficie. si N = 0

∑F

r

= N − Mg cosθ = − Mac = − M

0 = Mg cos θ − M

2 2 2 ⎛ VCM ⎞ VCM VCM ⇒ cosθ = ⇒ θ = ar cos ⎜⎜ ⎟⎟ R+r (R + r) g ⎝ (R + r) g ⎠

Pregunta 3.- Una barra de longitud L y masa m. Descansa sobre un plano horizontal

y sin rozamiento. Durante un intervalo de tiempo muy corto, ∆t , es golpeada de manera perpendicular en el punto p por una fuerza de magnitud F. (Ver Figura) Determine: a) La velocidad del centro de masa.(2 Pts.) b) La velocidad angular respecto del centro de masa. .(2 Pts.) c) La distancia entre el centro de masa y el punto que inicialmente permanece en reposo R. .(2 Pts.) (Asuma I CM conocido) i R

i

b

p

a

F

C.M.

Resp. a)

τ R = Iα , a = α × r

( a + b ) F = I Rα ⇒ α = ⇒ VCM = aCM t =

b) VCM =

(a + b) F ⇒ a

(a + b) F

IR

I CM + Mb 2

(a + b) F I CM + Mb 2

CM

=

(a + b) F b IR

con 0 ≤ t ≤ ∆t

bt

bt

( a + b ) F bt = ( a + b ) F t V = CM = b ( ICM + Mb2 ) b ( ICM + Mb2 )

ωCM

c)

( a + b ) bF

=

⎫ ⇒ I CM + mb 2 = m ( a + b ) b ⎪ I CM + Mb ⎪ ⎬⇒ ⎛I ⎞ ⎪ I CM + mb 2 = m ⎜ CM + b 2 ⎟ ⎝ m ⎠ ⎭⎪ I I ⎛ I CM ⎞ + b 2 ⎟ = ( a + b ) b ⇒ CM = ab ⇒ b = CM ⎜ m am ⎝ m ⎠

∑ F = F = ma i

CM

=m

2

Pregunta 4.- Determine el valor del ángulo φ, para la situación a y b. Asuma la densidad de masa de ambas varas Cte. a) Dentro de media esfera de radio R se encuentra una vara de largo L = 3R y masa m, como muestra la figura 1. (3 Pts.) b) Una varilla de largo L y masa m descansa sobre dos planos lisos que forman un ángulo recto según se muestra en la figura 2.(3 Pts.) (Asuma que no hay roce y ambos sistemas en equilibrio)

φ

g

φ

α

Figura 1

Figura 2

Resp. a.

o

τ o = r × F = R2 +

φ

(

mg

Resp. b.

o R1

γ = π/2-α-φ

y

δ = π/2-α β= 2α+φ -π/2

x

R2

β

φ α π/2 γ

π/2 δ

α+φ

Mg

φ=

π 2

− 2α

)

2

= 2 Rmgsenφ = 0 ⇒ φ = 0

φ

τo = r × F =

3R

α

L π π ⎛ ⎞ Mgsen ⎜ 2α − + φ ⎟ = 0 ⇒ 2α − + φ = 0 2 2 2 ⎝ ⎠ o

tgφ = cot ( 2α )

π/2-α

( mg ) senφ