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Sesión # 11: Modelos de sistemas hidráulicos Objetivos: 1. 2. 3.

Definir las variables que describen a los sistemas hidráulicos. Definir las leyes de interconexión de los sistemas hidráulicos. Modelar y linealizar sistemas hidráulicos.

Referencias: 1. DORF Richard and BISHOP Robert. Modern Control Systems. 10th Edition. Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall. 2005. Sections 2-2, 2-3. 2. CLOSE Charles, FREDERICK Dean and NEWELL Jonathan. Modeling and Analysis of Dynamic Systems. 3rd Edition. New York: John Wiley & Sons. 2002. Chapter 12. 3. SMITH Carlos A. and CORRIPIO Armando. Principles and practice of Automatic Process control 2nd Edition. New York: John Wiley and sons. 1997. Sections 4. OGATA Katsuhiko. Modern Control Engineering. 2nd Edition. Englewood Cliffs: Prentice Hall. 1990. Section 3-4

Temas para lectura previa: 1. Variables, elementos y leyes de elementos hidráulicos 2. Modelo de válvulas y bombas. 3. Modelo de tanques.

Ejercicios Del libro guía resolver los ejercicios E2.10, P2.5, P2.21 y P2.48. Del libro # 4 resolver los problemas B-3-8 y B-3-9

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2.4 SISTEMAS HIDRÁULICOS Para el objetivo del curso se empleará un modelo concentrado y se hará la linealización para llegar a modelos aproximados, útiles para un análisis inicial del problema. Se consideraran únicamente fluidos líquidos incompresibles en tuberías cerradas. Un modelo exacto de los sistemas hidráulicos implica plantear ecuaciones diferenciales parciales y ecuaciones no lineales. VARIABLES Y UNIDADES Las variables básicas de los sistemas hidráulicos son la presión y la tasa de flujo. PRESIÓN Variable sobre o transversal puede ser la altura o la presión: h = altura de la columna en p = presión N 2 o psi m

( )

(m) o (f t)

La definición de presión depende de la referencia empleada: se puede definir respecto al cero absoluto o presión absoluta, o respecto a la atmósfera o presión manométrica. pabs : Medida respecto al vacío La presión atmosférica es la fuerza ejercida por la columna de aire sobre una superficie de área unitaria; depende de la temperatura, la densidad del aire y la altura sobre el nivel del mar. Al nivel del mar la presión atmosférica es aproximadamente:

105

N = 105 Pa = 1000mbar = 14.69 psia 2 m

La presión manométrica es la diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica:

p g = p abs − p atmosferica En un cuerpo en el cual se haya hecho vacío la presión manométrica será negativa

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La presión diferencial , ∆p , es la diferencia de presión de dos puntos respecto a una referencia común: Presión Diferencial = Presión 1 - Presión 2 La tabla resume las relaciones entre las diferentes unidades de presión.

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FLUJO1 El flujo se puede definir en unidades de volumen o en unidades de masa. Las variables pasantes para flujo volumétrico: 3 ⎛ 3 ⎞ Principal: q = tasa de flujo volumétrico m o⎜ft ⎟ s ⎠ s ⎝ Integral: V = volumen (m3 ) o ( f t 3 )

( )

Variables pasantes para flujo másico: Principal: m& = tasa de flujo másico

kg lb o s s

Integral: m = masa kg o lb El flujo de un fluido a través de una tubería cerrada esta definido por cuatro factores principales: • • • •

Velocidad Fricción Densidad Viscosidad

La velocidad del fluido depende de la diferencia de presión aplicada al mismo: a mayor lo tanto más volumen de producto que pasa a ∆p , mayor velocidad, v, y por través de una sección de ducto de área transversal A:

q = Av La fricción entre el fluido y la pared interna del tubo reduce la velocidad y afecta el perfil del flujo: la fricción es mayor en las capas cercanas a la pared del tubo que en el centro del mismo. La densidad (ρ) del fluido afecta su tasa de flujo: a mayor densidad se requiere una mayor presión para mantener una tasa deseada. En fluidos compresibles, como gases y vapores, o líquidos con aire o gas atrapado, un cambio en la presión produce un cambio de la densidad y por lo tanto en la tasa de flujo.

1

Ver: Fisher-Rosemount. Technical Data Sheet # 00816-0100-3031. March 2001 y APV Flow Principles 1997

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La viscosidad es una medida de la capacidad de un líquido para resistir fuerzas de desplazamiento y depende de la fricción interna de las moléculas. Cuando el fluido se impulsa con una fuerza F, aplicada sobre un ‘area de sección transversal A, la capa superior se desplaza más rápido que la capa inferior y entre las dos se desarrolla una fuerza de fricción.

La tensión de cizallamiento (“Shear stress”) se define como:

F N ( 2 = Pa) A m La viscosidad dinámica o absoluta es la relación entre la tensión de cizallamiento y el gradiente de velocidad medido en la dirección perpendicular al desplazamiento: T=

µ=

T ( Pa − s ) dv dy

A mayor fuerza requerida para mover las capas entre sí, mayor viscosidad dinámica. En sistema SI la unidad es el Poise (P), igual a 0.1 Pa-s y a 100 cP (centipoise). El agua a 20 °C tiene una viscosidad de 1 cP. La viscosidad depende de la temperatura y en los líquidos generalmente disminuye cuando T aumenta, y a mayor viscosidad menor velocidad del flujo. También se define la viscosidad cinética, como la relación entre la viscosidad dinámica de un fluido y su densidad:

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υ=

µ Pa − s m 2 = ( ) ρ kg m3 s

En el sistema SI la unidad es el Stoke( St ) = 10− 4

m2 s

Dependiendo de la relación entre viscosidad y la tasa de cizallamiento (

dv ) los fluidos se dy

clasifican en “Newtonianos” y “No Newtonianos”. En los primeros la viscosidad es independiente de la tasa de cizallamiento, como en el agua y los productos acuosos.

En los “No Newtonianos” del tipo seudoplástico la viscosidad disminuye cuando la tasa de cizallamiento aumenta y además se requiere una fuerza mínima para que el líquido fluya, como en la pintura y el dentífrico. Los del tipo “Sixotrópico” no requieren de la fuerza mínima, como el aceite vegetal, la leche y la sangre.

Los factores que afectan al flujo de un fluido se pueden relacionar en un parámetro adimensional llamado Número de Reynolds:

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Re = Donde:

vDρ

µ

=

vD

υ

= 1,27

qρ Dµ

v = velocidad D = diametro ρ = densidad

µ = vis cos idad absoluta υ = vis cos idad cinética q = tasa de flujo Para una combinación de baja velocidad del fluido y alta viscosidad el Número de Reynolds es bajo y el fluido fluye en capas suaves, con un perfil parabólico: baja velocidad de las capas cercanas a la pared del ducto y alta en el centro. Este patrón se denomina “Flujo Laminar” y esta asociado con RE ≤ 2000 . Para una combinación de alta velocidad y baja viscosidad el flujo se rompe en remolinos turbulentos de velocidad promedio igual formando un patrón de flujo turbulento, la viscosidad es menos influyente y el perfil de velocidad es más uniforme. Este régimen esta asociado con RE > 4000 .

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El rango 2000 < RE < 4000 se considera una zona de transición. La potencia en un sistema hidráulico esta dada por el producto flujo – presión: potencia = qp La unidad SI es el W LEYES DE LOS ELEMENTOS Tres características de los fluidos se pueden aproximar como elementos concentrados: la capacidad hidráulica, la resistencia al paso de un fluido y la inercia asociada a un fluido en movimiento. Se desarrollaran modelos para las dos primeras, mientras que los efectos de la inercia no se consideraran en este curso. También se incluirá la definición y modelo básico de la válvula, o restricción variable, y la bomba como elemento de excitación.

Capacidad. Cuando se almacena líquido en un tanque abierto existe una relación algebraica entre el nivel del líquido y la presión en el fondo del tanque:

p = ρgh + p a APUNTES DE CLASE SISTEMAS DINÁMICOS CAPÍTULO 2 – SESIÓN 11

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Donde

ρ : densidad del fluido

kg m3

p = presión absoluta en el fondo del tanque

N = Pa m2

m s2 p a : Presión atmosférica.

g = 9,807

Si p se mide respecto a la p a , o sea presión manométrica:

p g = ρgh . ¿Que relación existe entre el volumen del producto almacenado en el tanque y la presión? El volumen en el tanque esta dado por la expresión: h

V = ∫ A(h′)dh′ 0

que se puede representar gráficamente y en forma general como:

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El recíproco de la pendiente de la grafica p-V se denomina capacidad hidráulica C (h) y depende del punto de operación. 1 dV ⎛ dV ⎞⎛ dh ⎞ C (h ) = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ dp dp ⎝ dh ⎠⎜⎝ dp ⎟⎠ dV dV dp dh A(h ) 1 = A(h ) y = ρg ⇒ = ⇒ C (h ) = dh dh dp ρg ρg

Si el área de la sección trasversal es constante e independiente de h entonces

dV = A y la dh

A . La capacidad hidráulica NO es el volumen del ρg tanque, es la capacidad de almacenar energía potencial: capacidad hidráulica es constante C =

1 ⎛V ⎞ p = ρg ⎜ ⎟ + p a = V + p a C ⎝ A⎠ El volumen de producto almacenado en el tanque para todo instante se puede obtener a partir de la ley de conservación de la masa:

⎡ Flujo de masa ⎤ ⎡ Flujo de masa ⎤ Tasa de ⎢entrante ⎥ − ⎢ saliente ⎥ = acumulación de masa ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣al sistema ⎥⎦ ⎢⎣del sistema ⎥⎦ en el sistema

Como m= ρ V APUNTES DE CLASE SISTEMAS DINÁMICOS CAPÍTULO 2 – SESIÓN 11

dm(t ) = min (t ) − mout (t ) dt

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d ρV (t ) = ρin qin (t ) − ρ out qout (t ) dt

Asumiendo que en el tanque no se modifica el producto, solo se almacena, no hay cambio en la densidad:

d V (t ) = qin (t ) − qout (t ) dt que en forma integral se puede escribir como: t

V (t ) = V (0 ) + ∫ [qin (t ′) − qout (t ′)]dt ′ 0

el primer termino de lado derecho es el volumen inicial. Para un tanque de sección variable, el volumen estará dado por: V (t)=A (h) h (t) considerando que el área de la sección transversal puede depender de h, la tasa de cambio del nivel de producto en un tanque de área de sección variable será: dV (t ) ⎛ dV ⎞⎛ dh ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟; dt ⎝ dh ⎠⎝ dt ⎠

dV = A(h ) dh

dh(t ) 1 = [qin (t ) − qout (t )] dt A(h) Como el cambio en la altura esta asociado a un cambio en la presión:

dp dh = ρg dt dt •

p=

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ρg A(h)

[qin (t ) − qout (t )] =

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1 [qin (t ) − qout (t )] C (h )

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Como variable de estado se puede seleccionar h, p o V : todas indican la tasa de variación del producto en el tanque. Cuando el área es variable con h el sistema es no lineal.

Ejemplo 2.18: Evaluar la capacidad hidráulica de un tanque cilíndrico. a) En posición vertical.

La capacidad hidráulica esta dada por: C (h ) =

A(h ) ρg

Pero A = πR 2 independiente de C (h ) = •

h=

h

πR 2 ρg

1 [qin (t ) − qout (t )] πR 2

b) En posición horizontal

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A=2dl pero d es función de h entonces A(h)=d(h)L.

La relación entre d y h es: h=0 d=0 h=R d=2R h=2R d=0

Ecuación de una elipse con centro en (R, 0).

(d − 0)2 + (h − R )2 4R 2

R2

=1 ⇒

(h − R ) d2 = 1− 2 4R R2

⎡ R 2 − (h − R )2 ⎤ ⇒ d 2 = 4R 2 ⎢ ⎥ R2 ⎣ ⎦

2

d = 2 R 2 − (h − R )

2

Verificando: h=0 h=2R

d = 2 R 2 − (R ) =0 h=R d=2R 2

d = 2 R 2 − (R ) =0 2

A (h)= 2 R 2 − (h − R ) L ⇒ C (h ) = 2

2L 2 R 2 − (h − R ) ρg

Resistencia Cuando un fluido pasa a través de un tubo hay una caída de presión a lo largo del tubo, de la misma forma que en una restricción fija (como la platina de orificio) o una restricción variable (como una válvula).

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El perfil del fluido a través del orificio2 es:

Cuando el flujo pasa a través de una restricción fija, el área de la sección trasversal disminuye, la velocidad aumenta y la presión disminuye. El punto de mínima área, máxima velocidad y mínima presión se denomina “vena contracta” y se presenta aguas abajo de la restricción. Para el desarrollo del modelo se asume un fluido incompresible, estable, en una dimensión (no hay cambio de altura), en régimen de flujo turbulento y sin cambio de fase (siempre líquido) La ecuación de continuidad : q = v1 A1 = v2 A2 = cons tan te

q: tasa de flujo v: velocidad A: área de acción transversal En términos de masa la ecuación es:

ρq = ( ρv) A = cons tan te Asumiendo densidad constante, en la vena contracta la ecuación de continuidad es: 2

Tomado de Meriam – Orifice Plate Data sheet

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⎛ A vVC ⋅ AVC = A1v1 ⇒ vVC = v1 ⎜⎜ 1 ⎝ AVC

⎞ ⎟⎟ ⎠

La ecuación de energía (Bernoulli) aplicada aguas arriba de la vena contracta: ⎡ Energía mecánica ⎤ ⎡ Energía térmica ⎤ ⎡Trabajo hecho⎤ ⎢delfluido ⎥ + ⎢delfluido ⎥ − ⎢ por el fluido ⎥ = Constante ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ρv 2 ⎤ ⎢ 2 + P + ρgz ⎥ + [− qc + U ] − W = Constante ⎣ ⎦ El primer término es la suma de la energía cinética mas la energía potencial asociada con la presión estática más la energía potencial asociada con la elevación, z. El segundo término es la suma de la energía interna del fluido, U, menos el calor perdido, qc , y el tercero es el trabajo hecho por el fluido, W. Para este análisis se asume que la elevación no cambia. Un aumento en la velocidad del fluido (v) implica una disminución de la presión (p) y viceversa.

Como la presión de salida es menor que la presión de entrada no se recupera toda la energía mecánica. APUNTES DE CLASE SISTEMAS DINÁMICOS CAPÍTULO 2 – SESIÓN 11

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Cuando las áreas de las secciones transversales sean iguales, la velocidad inicial y la velocidad final serán iguales. Cuando el fluido pasa a través de la restricción parte de la energía mecánica del fluido se transforma de potencial a cinética. Planteando la ecuación de la energía mecánica con ρgz = 0 2 ⎡ ρv12 ⎤ ρvVC P = + PVC + 1 ⎢ ⎥ 2 ⎣ 2 ⎦

Tomando diámetros arriba y diámetros abajo de la vena contracta se puede asumir que no se hace trabajó mecánico en la restricción (W=0) y que la energía disipada se convierte en calor, y la ecuación de Bernoulli se convierte en:

ρV12 2

+ p1 =

ρV22 2

+ p2 + H 1

Como las velocidades son iguales: p1 = p 2 + H 1 H 1 es proporcional al cuadrado de la velocidad y a la densidad, e incluye todas las pérdidas de energía debida a los efectos térmicos, ruido etc.: ρV 2 H 1 = K1 2 K1 : coeficiente de pérdida de presión.

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p1 − p 2 = K 1

ρV22

⇒ V2 =

2

2( p1 − p 2 ) K1 ρ

2( p1 − p2 ) K1 ρ

q = A2V2 = A2 Usando la definición de la gravedad específica G=

ρ ρw

la ecuación característica flujo - presión de una restricción es : ⎡ 2 ⎤ p1 − p2 q = ⎢ A2 ⎥ K1 ρ w ⎦ G ⎣ La relación q − ∆p es no lineal y puede tener diferentes coeficientes: Para una tubería:

∆p = k L G (q )

2

Donde k L es el coeficiente de fricción, con unidades de

Pa

(m s ) 3

2

Para una válvula:

q = CV

p1 − p2 G

Con CV coeficiente de flujo de la válvula, con unidades

m3 s Pa

La gráfica q vs ∆p:

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En términos de las variables incrementales: ⎛ 1 ⎞ qˆ = ⎜ ⎟∆pˆ ⎝ Rh ⎠

1 dQ = Rh d∆p

∆p

Para una válvula: Rh =

2G

Cv

2

Q

Para la resistencia de pérdidas: _

Rh = 2k L G Q

Ejemplo 2.19: La ecuación Q vs. ∆p es no lineal, depende del punto de operación (q y ∆p ) . Si este punto cambia durante el ciclo de trabajo las características instaladas o dinámicas del elemento cambian. Dos elementos con características de restricción definidas por kL y CV serie:

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se conectan en

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Se asume que ∆p0 está determinado por el resto del sistema y se mantiene constante, independiente del flujo q. La caída de presión sobre el elemento uno se puede representar como:

∆p L = k L GQ 2 La caída de presión sobre la válvula es:

∆p v = G

( )

Q 2 CV

La caída de presión total es:

⎛ 1 ⎞ ∆p0 = ∆pV + ∆p L = ⎜⎜ 2 + k L ⎟⎟GQ 2 ⎝ CV ⎠ El flujo a través de la conexión serie de dos elementos restrictivos es:

Q=

CV 1 + k L CV

2

∆p 0 G

Este flujo es menor que el flujo que puede pasar a través de cualquiera de los elementos conectados independientemente. Bombas. En los sistemas hidráulicos la fuente de energía es una bomba constituida por un propulsor excitado por un motor eléctrico. APUNTES DE CLASE SISTEMAS DINÁMICOS CAPÍTULO 2 – SESIÓN 11

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La característica ∆p vs. q de una bomba centrífuga es no lineal y depende de la velocidad angular ( ω ) del propulsor.

Para analizar sistemas hidráulicos que incluyen bomba se define sobre la característica de la bomba el punto de operación (∆p, Q ) para una velocidad determinada ω .

∆pˆ = − KQˆ

1 Qˆ = − ∆pˆ K 1 dQ Con − = K d∆p (∆p ,Q ) Ejemplo 2.20. En un tanque de sección transversal constante entra líquido a una tasa qi (t )

y sale a través de una válvula descrita por la relación no lineal q = CV sección transversal es A y la densidad del liquido es ρ . APUNTES DE CLASE SISTEMAS DINÁMICOS CAPÍTULO 2 – SESIÓN 11

20

∆p . El área de la G

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Plantear la ecuación para la presión en el fondo del tanque, linealizar y obtener la función P (s) de transferencia 1 . Qin ( s ) Como A (h)=A •

p1 =

El flujo de salida es:

( p1 + pa ) − pa

q0 = CV

con G F = ρ

1 [qin (t ) − q0 (t )] Ch = CV

GF

p1 GF

ρw

p& 1 =

p1 ⎤ 1 ⎡ ⎢qin (t ) − CV ⎥ Ch ⎣ GF ⎦

Linealizando alrededor del punto de operación:

( p1 ) = •

p1 ≈

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1 ⎛ − ⎞ ⎜ p1 ⎟ + ⎝ ⎠ 2 p1

CV 1 qin (t ) − Ch C h GF

−

p1 −

p1

( p1 − p1 ) _

Cv _

( p1 − p1 )

2C h GF p1

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El punto de equilibrio: ⎡ ⎤ C ( p1 )⎥ ⎢qin − V GF ⎢⎣ ⎥⎦ C qin = v p1 = q0 GF

0=

1 Ch

El equilibrio del tanque se obtiene cuando la tasa de flujo entrante es igual a la saliente. Restando el punto de equilibrio de la ecuación original: •

pˆ1 =

1 Ch

⎡ ⎤ CV pˆ1 ⎥ ⎢qˆin (t ) − 2 GF ( p1 ) ⎦ ⎣

Si:

Rh =

2 GF p1 2GF qin = 2 CV CV

s pˆ 1 (s ) + La función de transferencia:

1 1 pˆ 1 (s ) = qˆ in (s ) Rh C h Ch

1 Ch Pˆ1 ( s ) = ˆ Qin ( s ) s + 1 C h

Sistema de capacidad sencillo con constante de tiempo: τ H = RC .

b) Si

A=2 m ; ρ =1000 ⎛⎜ Kg 3 ⎞⎟ , G F =1; CV = 5 X 10 −5 m ⎠ ⎝ 2

p a = 1,013 × 10 5 N

m2

m3

3 s ; q = 6 x10 −3 m ; in s N 2 m

. 2 × 6 × 10 -3 m 3 s N ⋅s R= = 4,8 × 10 6 8 m⋅s m /s 25 × 10 -10 N

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A m5 2m 2 = = 2,04 × 10 − 4 ρg 1000 Kg × 9,8 m N s m3 4,9 X 10 3 qˆ in (s ) τ = RC = 980s pˆ 1 (s ) = s + 1,02 X 10 −3

C=

Para un cambio fijo del 10% en el flujo entrante, respecto al punto de operación. qˆ in (s ) = qin − qin

( s ).

( s)

3 qin =6m m

3 El cambio es de 0, 6m m

qˆ in (s ) =

( s )− 6 X 10 (m s ) = 0.6 X 10 (m s )

3 6,6 X 10 −3 m

−3

3

3

−3

s

s

⎛ 4,9 X 10 3 ⎞⎛ 0,6 X 10 −3 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎜ pˆ 1 (s ) = ⎜⎜ −3 ⎟⎜ s ⎠ ⎝ s + 1,02 X 10 ⎠⎝ −t pˆ 1 (t ) = 2881⎛⎜1 − e 980 ⎞⎟ ⎝ ⎠

−t p1 (t ) = 2881⎛⎜1 − e 980 ⎞⎟ + p1 ⎝ ⎠

−t −1 h1 (t ) = (ρg ) pˆ 1 (t ) = 0.294⎛⎜1 − e 980 ⎞⎟ ⎝ ⎠

−t h1 (t ) = 0.249⎛⎜1 − e 980 ⎞⎟ + h1 ⎝ ⎠

Donde qin = q 0 = 5 X 10 −5

m3

( p1 − p a ) = 6 X 10 −3 m

s

N m

3

s

2

2

−3 ⎞ ⎛ ( p1 − pa ) = ⎜⎜ 6 × 10−5 ⎟⎟ N m 2 = 1,44 × 10 4 N m 2 ⎝ 5 × 10 ⎠ p1 = ρgh1 + p a

h1 =

1,57 × 10 5 N

m Kg 1000

( p1 ) = 1,44 × 10 4 N m 2 APUNTES DE CLASE SISTEMAS DINÁMICOS CAPÍTULO 2 – SESIÓN 11

2

− 1.013 × 10 5 N

× 9,8 m s m3 5 N + 1,013 × 10

23

m

2

m 2 = 1,469m = 1,157 × 10 5 N

m2

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−t hˆ1 (t ) = 0,294⎛⎜1 − e 980 ⎞⎟ + 1,469m ⎝ ⎠

un aumento del 20% Para t >>

(

)

pˆ 1 (t ) = 2881 + 1,157 X 10 5 N

= 1,158 X 10 5 N 2 m2 m La presión manométrica p g = p1 − p atmosferica = 0,172 N 2 t → ∞ y estaba en 0,144 m un cambio del 20%: como el sistema es no lineal el cambio del 10% a la entrada produce un cambio del 20% en p1 (h1 ) . La solución empleando MATLAB: %Ejemplo 2- 20 Tanque sencillo num = [4.9e+3] den = [1 1.02e-3] nivel = tf(num,den) t = 0.0:50:5000; u = (0.6e-03)*ones(size(t)); [presion,t,x]= lsim(nivel,u,t,0) subplot (2,1,1) ;plot (t, (1.157e+05 + presion)), title 'Presion' subplot (2,1,2) ;plot (t, (1.469 + 1.02e-04*presion)), title 'Nivel'

Se calcula la solución incremental y se grafica la respuesta completa.

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5

1.19

Presion

x 10

1.18 1.17 1.16 1.15

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

3000

3500

4000

4500

5000

Nivel 2

1.8

1.6

1.4

0

500

1000

1500

2000

2500

Ejemplo 2.21 Encontrar la función de transferencia para H 2 (s ) , nivel en el segundo tanque, en función de Qin (s ) y Qd (s ) , disturbio presente en el primer tanque.

( s ) , altura en m, tanque de sección transversal constante.

3 Flujo en m

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La ecuación de conservación para el primer tanque es, asumiendo densidades constantes:

ρ

dh1 ρ = [qin (t ) − q1 (t ) − q d (t )] dt A1

hay dos flujos salientes del tanque 1:

( p1 + p a ) − p a

q1 (t ) = CV1

GF

q1 (t ) = CV′1 h1

= CV1

⇒ CV′1 = CV

ρg h1 GF

ρg GF

El flujo a través de la válvula 1 es independiente de la existencia del segundo tanque: los sistemas no interactúan. Linealizando y restando las condiciones de equilibrio ∧

∧

qin (t ) − q d (t ) − C1 hˆ1 (t ) = A1 H 1 (s ) =

dhˆ1 dt

K1 K1 qˆ in (s ) − qˆ d (s ) τ 1s + 1 τ 1s + 1

Con

C1 =

1 CV′ 2 1

( h) ; −1

1

τ1 =

A1 1 ; K1 = C1 C1

∧

Si aumenta el disturbio Qd (s ) baja el nivel. ∧

Si Qd (s ) =0 H 1 (s ) =

K1 qˆ in (s ) τ 1s + 1

Pero

ρg pˆ 1 ( s ) = ρgHˆ 1 ( s ) =

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1 C1

A1 s +1 C1

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qˆ in (s )

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pˆ 1 ( s ) =

ρg

qˆ in (s ) =

A1 s + C1

pˆ 1 (s ) =

R=

ρg 1 A 1 s + C1

A1

Ch qˆ (s ) ρg C1 in s+ A1 ρg

1

Ch qˆ in (s ) CV1 1 s+ C h 2 ρg h1

2 ρg h1 CV1 ρg

qˆ in (s ) =

1

=

GF

2 ρgh1 CV1 G F

=

2 ρgh1 K

equivalente al análisis anterior. Para el segundo tanque se emplea un procedimiento igual:

ρ

dh1 ρ = [q1 (t ) − q 2 (t )] dt A

Con q 2 (t ) = CV′2 h2 (t ) la condición de equilibrio q1 (t ) = q 2 (t ) . Después de linealizar se obtiene la función de transferencia: H 2 (s ) =

K2 H 1 (s ) τ 2s +1

H 2 (s ) =

⎤ K 2 K1 ⎡ 1 1 qˆ in (s ) − qˆ d (s )⎥ ⎢ τ 2 s + 1 ⎣τ 1 s + 1 τ 1s + 1 ⎦ −1

⎛ − ⎞ A C 1 C 2 = CV′2 ⎜⎜ h2 ⎟⎟ ; τ 2 = 2 ; K 2 = 1 2 C2 C2 ⎠ ⎝ Dos sistemas de primer orden en cascada: dos polos reales negativos y las constantes de

tiempo efectivas son:

τ 1eff = τ 1 ; τ 2eff = τ 2 .

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Ejemplo 2.22: Sistema hidráulico interactuante.

La diferencia de presión sobre la válvula 1. ∆p(t ) = [ p a + ρgh1 (t )] − [ p a + ρgh2 (t )] = ρg [h1 (t ) − h2 (t )] El flujo a través de esta válvula es: q1 (t ) = CV1

ρg [ h1 (t ) − h2 (t )] GF

⎛ ρg ⎞⎟ = ⎜⎜ CV1 GF ⎟⎠ ⎝

[h1 (t ) − h2 (t )]

Este es un proceso interactuante: el flujo a través de la válvula depende del nivel de los dos tanques. La relación causa-efecto es bidireccional. Planteando nuevamente las ecuaciones de balance:

ρ

dh1 ρ = [qin (t ) − q1 (t ) − q d (t )] dt A1 q1 (t ) = CV′1 h1 (t ) − h2 (t )

(1)

(2)

La ecuación de balance para el segundo tanque

ρ

dh2 ρ = [q1 (t ) − q 2 (t )] dt A2

(3)

El flujo de salida q 2 (t ) = CV2

ρg h2 (t )

ρg

h2 (t ) (4) GF GF Cuatro ecuaciones con cuatro incognitas: los dos niveles y los dos flujos de salida. APUNTES DE CLASE SISTEMAS DINÁMICOS CAPÍTULO 2 – SESIÓN 11

= CV2

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Es necesario linealizar la dos ecuaciones del flujo de salida de lo tanques (2) y (4):

[

]

[

q1 (t ) = q1 + C 4 h1 (t ) − h1 − C 4 h2 (t ) − h2

dq C4 = 1 dh1

dq =− 1 dh2

Xe

1 ' CV (h1 − h2 ) 2 1

−

= Xe

[

q 2 (t ) = q 2 + C 2 h2 (t ) − h2

dq C2 = 2 dh2

Xe

⎛ m3 ⎜ s ⎜ m ⎜ ⎝

1 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

] ⎛ m3 ⎜ s ⎜ m ⎜ ⎝

1 − 1 ' = CV21 (h2 ) 2 2

]

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Restando las ecuaciones en el punto de equilibrio: dhˆ1 1 = [qˆ in (t ) − qˆ1 (t ) − qˆ d (t )] dt A1 Pero

[ ] [ ]

qˆ1 = C 4 hˆ1 − C 4 hˆ2

Trasformando al plano s y reorganizando:

sHˆ 1 (s ) =

(

)

1 (qˆ in (s ) − qˆ d (s )) − C 4 Hˆ 1 (s ) − Hˆ 2 (s ) A1 A1

Hˆ 1 (s ) =

1 C4 A1

C4

s +1

(qˆin − qˆd ) + A

1

1 C4

s +1

Hˆ 2

A1 1 ; K4 = C4 C4 C4 C4 + C2 Hˆ 2 (s ) = Hˆ 1 (s ) A2 s +1 C4 + C2

τ4 =

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τ5 =

A2 C4 ; K5 = C4 + C2 C4 + C2

El diagrama de bloques del sistema interactuante:

La interacción produce una realimentación interna en este caso positiva: La función de K4 K5 1 − K5 transferencia total: Hˆ 2 (s ) = [qˆ in (s ) − qˆ d (s )] τ 4τ 5 2 τ 4τ 5 s + s +1 1 − K5 1 − K5 Las constantes de tiempo de la respuesta de tiempo de h2 (t ) , τ 1eff y τ 2eff se encuentran a partir de las raíces del denominador: s1, 2 =

− (τ 1 + τ 2 ) ±

(τ 1 + τ 2 )2 − 4(τ 1τ 2 )(1 − K1 K 2 ) 2(τ 1τ 2 )

Asumiendo dos tanques iguales τ 1 = τ 2 = τ

s1, 2 =

−1+

τ 1, 2 eff =

(K 1 K 2 ) , (τ ) τ

1+

(K 1 K 2 )

−1−

,

(K 1 K 2 ) (τ ) τ

1−

(K 1 K 2 )

la relación es:

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τ 2eff 1+ = τ 1eff 1−

(K 1 K 2 ) 〉1 para τ 1 = τ 2 = τ (K 1 K 2 )

Mientras que en el sistema no interactuante:

τ 2eff τ2 = = 1 para τ 1 = τ 2 = τ τ 1eff τ1 Dependiendo de los valores de sistema interactuante puede tener raíces reales negativas, complejos conjugados y aun llegar a ser oscilatorio. Actuadores Hidráulicos.3 Cuando se requiere manejar continuamente dispositivos masivos es necesario emplear actuadores y manejadores hidráulicos, que son precisos, de arranque y parada rápidos, fáciles para revertir el sentido de movimiento y seguros. Integrador Hidráulico: consta de un amplificador controlado por una válvula piloto y un cilindro de potencia. Se asume que el fluido es incompresible y que la masa del piston es pequeña comparada con la carga externa conectada al cilindro de potencia. Además el ancho del tapón montado sobre el eje de la válvula piloto, es exactamente igual al diámetro de los puertos de entrada y salida de la válvula. Cuando la señal de comando x desplaza el vástago de la válvula piloto hacia la derecha, los dos puertos quedan descubiertos: el suministro de aceite de alta presión queda conectado al puerto II y el puerto I queda conectado al drenaje o exhosto. Esta conexión establece una diferencial de presión sobre el tapón del cilindro de potencia que lo desplaza de derecha a izquierda. Cuando el desplazamiento x es hacia la izquierda, el desplazamiento y del cilindro de potencia es hacia la derecha.

3

Tomado de Referencia 4. Páginas 209 a 212

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Si se toma el flujo de aceite en unidades másicas (kg/s), la densidad del aceite es ρ (kg/m3) y A (m2) es el área del piston: m& = ρvA La velocidad de desplazamiento del pistón es: v=

dy dt

m& = ρ

dy A dt

Si se asume que el flujo másico de aceite es proporcional al desplazamiento x del vástago de la válvula piloto ( caso ideal de perfecto acople entre el diámetro del puerto y las dimensiones del pistón) :

m& = K1 x dy K1 = x dt ρA Y ( s) K = X ( s) s

La función de transferencia corresponde a un integrador. Actuador Proporcional.

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Si al integrador anterior se le adiciona una realimentación mecánica por medio de una palanca se obtiene la función de transferencia de un amplificador.

Se asume que inicialmente y esta en su punto de operación y se aplica una señal e en el punto A, hacia la derecha: el punto B se desplazará x unidades hacia la derecha, el puerto II queda conectado al suministro de aceite a alta presión y el puerto I conectado al drenaje: el pistón de potencia se desplaza y unidades hacia la izquierda. Este desplazamiento de C hace que B se mueva hacia la izquierda, oponiéndose al cambio inicial y trayendo a los tapones a las posiciones I y II nuevamente: acción de realimentación que vuelve a traer a B a su posición nominal. La relación entre Y(s) y X(s) ya se conoce: Y (s) =

K X ( s) s

Para la señal aplicada en e y asumiendo C en equilibrio, el desplazamiento x se calcula como: e x = a+b b ⎛ b ⎞ x=⎜ ⎟e ⎝a+b⎠ Para el siguiente paso, señal aplicada en C se asume e en equilibrio:

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y x = a+b a a x= y a+b

Estas relaciones y funciones de transferencia se pueden representar en un diagrama de bloques:

La función de transferencia : K Y ( s) b s = K a E ( s) a + b 1 + s a+b bK s(a + b) + Ka En el rango de frecuencias y valores para los cuales el término Ka es mayor que s(a+b), la función de transferencia se puede aproximar a: Y ( s) b = E (s) a La función de transferencia corresponde a un amplificador de ganancia variable, ajustando la relación de longitudes de la palanca. Ejemplo 2.234

4

Tomado de Nagrath I.J. and Gopal M. Control Systems Engineering. 2nd Edition. New York: John Wiley & Sons. 1982 – page 129

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El control de posición electro-hidráulico maneja una masa M con muy baja fricción. La tasa de flujo de aceite entrante (Puerto Inlet) esta dada por la ecuación:

Kxx − KP p Donde x es la apertura de la válvula de control y p es la diferencial de presión entre las dos caras del pistón de potencia. Se asumen despreciables la masa del pistón y las fugas de aceite; el aceite es incompresible.

a. Dibujar el diagrama de flujo Y ( s) X ( s) c. Obtener el diagrama de Bode de amplitud, definir el ancho de banda.

b. Evaluar la función de transferencia

d. Graficar la respuesta paso unitaria. Los valores de los componentes son:

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M = 1000kg K x = 200 cm K p = 0.5 K1 = 1

3

s cm

cm3

s dina cm2

V cm

mA V cm K 3 = 0.1 mA A = 100cm2

K 2 = 500

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