Parte Mecanisme - 2008

ELEMENTE DE INGINERIE MECANICĂ - CURS PARTEA A II-A: ELEMENTE DE TEORIA MECANISMELOR SUB. M1: DEFINIŢII ŞI NOŢIUNI INTRODUCTIVE DE TEORIA MECANISMELOR

1. Introducere: obiect de studiu; importanţă. Definiţii fundamentale Teoria maşinilor şi a mecanismelor a luat naştere încă din antichitate, odată cu utilizarea unor dispozitive mecanice simple precum pârghia, planul înclinar, scripetele, troliul şurubul etc. De exemplu, Arhimede (287 - 212 î. e. n.) a inventat o serie de "maşinării" menite să contribuie la apărarea oraşului Siracuza, iar Heron din Alexandria (118 - 81 î. e. n.) a construit chiar mecanisme şi maşini acţionate pneumatic. Desprinderea acestei teorii de "teoria-mamă" - MECANICA - se poate spune că s-a realizat pentru prima dată prin introducerea în planul de învăţământ al Şcolii Politehnice din Paris de către Gaspard Monge (1746-1818) a disciplinei "Teoria maşinilor" şi prin publicarea în 1808 a primului curs despre maşini şi elementele acestora de către Hachette, Lanz şi Betancourt. Disciplina Teoria maşinilor şi a mecanismelor are astăzi în obiectul său de studiu patru aspecte: a. Structura mecanismelor se ocupă cu fundamentarea noţiunilor de bază ale disciplinei: elemente cinematice, cuple cinematice, lanţuri cinematice, mecanisme şi mecanisme-motor. În această parte sunt date formulele structurale ale lanţurilor cinematice, precum şi clasificările structurale ale acestora; b. Analiza cinematică a mecanismelor se ocupă cu metodele grafo-analitice prin intermediul cărora se "trasează" (se determină analitic) traiectoriile diverselor puncte de interes ale elementelor cinematice (poziţii, viteze şi acceleraţii liniare şi unghiulare ale acestora în decursul ciclului cinematic); c. Cinetostatica mecanismelor se ocupă cu studiul forţelor exterioare şi interioare ce solicită elementele mecanismului, precum şi cu stabilirea valorilor reacţiunilor din cuplele cinematice şi ale forţelor de echilibrare; d. Dinamica mecanismelor studiază modalităţile de echilibrare statică şi dinamică a mecanismelor şi mişcarea maşinilor sub acţiunea forţelor exterioare. Conform definirii obiectului său, rezultă că importanţa studiului disciplinei de faţă constă în faptul că realizează trecerea de la domeniul mecanicii teoretice spre cunoaşterea construcţiei de maşini şi utilaje din orice domeniu industrial, sintetizând şi aplicând într-o concepţie unitară cunoţtinţe din domenii conexe: matematică, tehnologie, rezistenţa materialelor, organe de maşini, desen tehnic, protecţia muncii etc. Def.: - maşină = sistemul tehnic care realizează cel puţin una dintre următoarele funcţii: - transformă diferite forme de energie (termică, chimică, electrică, electromagnetică, nucleară etc.) în energie mecanică (lucru mecanic); - transformă şi transmite energia mecanică; - transformă energia mecanică în alte forme de energie. - mecanismul = părţi componente ale maşinilor ce sunt sisteme de corpuri în care mişcarea unora - numite elemente motoare - se transformă în mişcarea determinată (desmodromă) a celorlalte - numite elemente conduse. Potrivit funcţiilor îndeplinite, maşinile se clasifică în următoarele categorii: - maşini energetice (motoare) = diferite tipuri de energie se transformă în energie mecanică (motorul cu ardere internă, motorul electric; - maşini energetice (generatoare) = energia mecanică se transformă în alte forme de energie (generatorul de curent electric etc.) - maşini de lucru = pe baza consumului de energie mecanică, realizează un proces tehnologic. 2. Elementul cinematic Def.: - element cinematic - corp material component al unui mecanism care are rol, atunci când este mobil, de a transmite mişcarea şi forţa de la elementul anterior la ce posterior; - rangul elementului cinematic, j = numărul de legături pe care elementul cinematic le realizează cu elementele vecine. Conform definiţiei, un element cinematic poate fi: - mobil - numit în acest caz şi element cinematic propriu-zis (arborele cotit, tachetul, roata dinţată etc.); - fix (sau presupus fix) - numit în acest caz element-bază (batiul maşinilor unelte, carterul motorului etc.). Analiza diferitelor elemente cinematice permite identificarea a cinci tipuri principale: - elemente rigide - sunt formate dintr-o singură piesă numită organ de maşină sau din mai multe organe de maşină asamblate între ele rigid; - elemente flexibile - sunt elemente deformabile folosite pentru transmiterea la distanţă a mişcării şi, implicit, a puterii mecanice (cabluri, curele, lanţuri etc.); - elemente lichide - este vorba de apă sau uleiuri speciale utilizate la dispozitivele hidraulice (în general prese şi pompe) pentru transmiterea şi multiplicarea sau demultiplicarea forţei; - elemente gazoase - este vorba de aerul utilizat în dispozitivele pneumatice, având acelaşi rol ca elementele lichide; - elemente electrice - sunt componente electrice care transmit mişcarea şi forţa prin intermediul unor câmpuri electrice. În scopul identificării elementelor cinematice, conform uzanţelor, se utilizează o reprezentare convenţională prezentată în tabelul 1: Tabel 1. Reprezentarea elementelor cinematice în funcţie de rangul acestora Rangul Denumire Reprezentare convenţională elementului 1

Monar, j=1

2

Binar, j=2

3

Polinar cu j=3

4

Polinar cu j=4

1

SUB. M2: CUPLE CINEMATICE 3. Cuple cinematice Def.: - cuplă cinematică = legătura mobilă, directă şi permanentă dintre două elemente cinematice, realizată cu scopul limitării libertăţilor de mişcare relativă dintre acestea şi a transmiterii mişcării de la un element la altul; - clasa cuplei cinematice = numărul restricţiilor (mişcărilor împiedicate) ale unui element în mişcare relativ faţă de celălalt element. Dacă notăm cu m numărul restricţiilor (clasa cuplei) şi cu l numărul gradelor de libertate în mişcare relativă, avem relaţia generală impusă de mecanica solidului rigid: (1) m +l = 6 Ca urmare vom avea cinci clase de cuple, corespunzătoare condiţiilor m = 1, l = 5, …, m = 5, l = 1. În tabelul 2 sunt reprezentate principalele cuple cinematice fundamentale, denumirea, notaţia şi reprezentarea acestora. Tabel 2. Cuple cinematice fundamentale Clasa

Schemă constructivă

Notaţie

Denumire tehnică

Restricţii

1.

S-P

Sferă pe plan

vz=0

2.

C+P

Cilindru pe plan

ωy=0 vz=0

3.

S

Articulaţie sferică

vx=0 vy=0 vz=0

C

Cuplă cinematică cilindrică

vy=0 vz=0 ωy=0 ωz=0

R

Cuplă cinematică de rotaţie

vx=0 vy=0 vz=0 ωy=0 ωz=0

T

Cuplă cinematică de translaţie

vy=0 vz=0 ωx=0 ωy=0 ωz=0

4.

Reprezentare convenţională

5.

Stabilirea clasei cuplei cinematicese realizează în modul următor: - se fixează unul din elementele cuplei, în mod cât mai convenabil; - se ataşează celuilalt element un sistem triortogonal de axe Oxyz şi i se studiază posibilităţile de mişcare elementare în acesta; - rezultatele se înscriu într-un tabel având rubricile următoare; pentru fiecare posibilitate de mişcare se înscrie cifra "1", iar pentru fiecare mişcare interzisă se înscrie cifra "0"; în final, vom avea: l =

∑"1" şi m = ∑"0" = 6 −l

Tabel 3. Stabilirea clasei cuplei cinematice Axe Ox Oy Mişcări Rotaţie Translaţie

Oz

Exemplu: cupla cilindrică Cu fixarea elementului exterior şi alegerea sistemului de referinţă cartezian ca în schema constructivă din tabelul 2, completarea tabelului de tip 3 se face astfel: Axe Ox Oy Oz Mişcări Rotaţie 1 0 0 Translaţie 1 0 0 Conform formulelor anterioare, rezultă: l = 2, m = 4 2

SUB. M3: LANŢURI CINEMATICE 4. Lanţuri cinematice Def.: - lanţ cinematic = sistem format din elemente cinematice de diferite ranguri legate între ele în mod continuu prin cuple cinematice de diferite clase. În vederea reprezentării prin desene a lanţurilor cinematice şi mecanismelor se apelează la schema de reprezentare. Prin STAS 1543/1975 s-au definit:

-

schemele constructive - sunt cele în care reprezentările cuplelor cinematice şi elementelor se dau cu unele detalii constructive;

- schemele cinematice - sunt cele în care elementele şi cuplele cinematice au reprezentările convenţionale prezentate, la scară; - scheme structurale - sunt schemele de reprezentare a lanţurilor cinematice şi mecanismelor prin lanţuri cinematice, respectiv mecanisme fundamentale echivalente (despre care se va discuta ulterior). Clasificarea numeroaselor tipuri de lanţuri cinematice se face după forma acestora, după rangul elementelor şi după mişcarea acestora. Sintetic, aceasta este prezentată în tabelul 3.

Nr.

1.

Tabel 4. Clasificarea lanţurilor cinematice (şi a mecanismelor) Criteriu de Denumire Condiţii clasificare schemă constructivă

Simplu

Dacă rangul elementelor ≤ 2

Complex

Dacă există elemente cu rangul > 2

Exemplu schemă cinematică

După rangul elementelor

Deschis

2.

După forma lanţului cinematic Închis

3.

Plan

dacă mişcarea elementelor este plană

Spaţial

dacă mişcarea elementelor este spaţială

După mişcarea elementelor

Cele două caracteristici importante ale lanţurilor cinematice sunt următoarele: Def.: - gradul de libertate al lanţului cinematic, L = numărul posibilităţilor elementare de mişcare ale tuturor elementelor lanţului (al numărului de coordonate necesare descrierii tuturor acestora); Dacă notăm cu e numărul de elemente şi cu cm pe cel de cuple de clasă m ale lanţului, în absenţa unor restricţii comune vom avea, evident: 5

∑mc

L = 6e −

m

(2)

m =1

Formula (2) se numeşte formula structurală a lanţurilor cinematice. În cazul unor lanţuri cinematice plane, ţinând cont că numărul maxim de grade de libertate este 3, iar fiecare cuplă anulează (m - 3) grade de libertate, se obţine următoarea formulă structurală a lanţurilor cinematice plane: 5

∑(m −3)c

L = 3e −

m

= 3e −2c 5 −c 4

(2')

m =4

Def.: 3

- mobilitatea (gradul de mobilitate al) lanţului cinematic, M = gradul de libertate al lanţului cinematic la care se fixează un element; Vom avea deci:

M = L −6

(3)

şi, dacă notăm cu n = e - 1 numărul elementelor mobile, obţinem expresia: 5

M = 6n −

∑mc

(4)

m

i =1

Def.: - lanţ cinematic desmodrom = lanţul cinematic la care, pentru o poziţie dată a unuia dintre elementele cinematice - numit element conducător în raport cu un element al lanţului considerat fix, celelalte elemente ocupă poziţii bine (univoc) determinate. Astfel, conform acestei definiţii, dacă se imprimă o mişcare oarecare unui element, toate celelalte vor avea mişcări bine determinate.

SUB. M4: MECANISME - PREZENTARE GENERALĂ 5. Mecanisme 5.1. Noţiuni generale Def. (prin noile noţiuni introduse): - mecanismul = lanţul cinematic desmodrom cu un element fix, numit bază. - mecanism-motor = mecanismul căruia i se precizează elementul/elementele conducător/conducătoare. Cea mai mare utilitate practică o are mecanismul motor la care elementul conducător este legat la bază. Clasificarea mecanismelor, prin definiţia acestora, va fi similară cu cea a lanţurilor cinematice (tabelul 4). Se diferenţiază însă o clasificare a mecanismelor după forma constructivă a acestora, conform cărora s-au delimitat următoarele categorii principale: - mecanisme cu bare - formate din elemente cinematice articulate; dintre acestea cele mai răspândite sunt mecanismele plane: mecanismul patrulater, mecanismul manivelă-piston şi mecanismul manivelă-culisă; - mecanisme cu came - sunt mecanismele compuse din trei elemente cu denumiri specifice: elementul fix 0, cama 1 şi tachetul 2; - mecanisme cu roţi dinţate -constituite din minim două roţi dinţate de construcţie diversă, având toate axele de rotaţie fixe (mecanisme ordinare) sau o parte mobile (mecanisme planetare); - mecanisme diverse - mecanismele cu cruce de Malta, mecanisme cu roţi de fricţiune etc. După rolul funcţional, elementele componente ale mecanismului pot fi:

- elemente motoare (conducătoare) - primesc mişcarea din afara mecanismului; - elemente conduse (comandate) - mişcarea acestora este dependentă de mişcarea elementelor conducătoare. Mecanismele pot fi formate din lanţuri cinematice deschise (ex.: roboţi industriali), din lanţuri cinematice închise (ex.: transmisiile mecanice) sau atât din lanţuri deschise, cât şi închise. Cu privire la acest fapt se defineşte următoarea noţiune: Def.: - contur al mecanismului = lanţ cinematic închis alcătuit din elemente cinematice componente ale mecanismului. Obs.: Trebuie remarcat că majoritatea consideraţiilor legate de acest aspect fac apel consistent la noţiuni de teoria grafurilor.

5.2. Familiile mecanismelor Def.: - familia mecanismului, f = numărul restricţiilor (constrângerilor) comune tuturor elementelor acestuia. Dacă un mecanism este format din contururi de familii diferite, în mod convenţional se defineşte familia aparentă a mecanismului respectiv prin relaţia: N

fa =

∑f

i

(5)

i =1

N

unde N este numărul de contururi, iar fi este familia conturului i. Pentru majoritatea mecanismelor, familia se poate determina din analiza restricţiilor tuturor elementelor cinematice componente raportate la acelaşi sistem de referinţă şi stabilirea celor comune. Uzual, această analiză se realizează sub formă tabelară, aceasta permiţând observaţia cea mai facilă cu privire la restricţiile comune. De exemplu: Tabel 5. Exemple de stabilire a familiei unor mecanisme Mecanism Denumire Schemă cinematică (descriere) Element

Familia mecanismului

Analiza restricţiilor comune

ωx

ωy

Şurub de Petersburg

Deplasări posibile = "•" ωz tx ty • • •

tz •

1

• Restricţii comune: ωx = 0

4

Deplasări posibile = "•" ωz tx ty • • • • • Restricţii comune: ωx = ωy = tz = 0 Element

Mecanism plan situat în planul Oxy (R-RRR)

ωx

ωy

tz

3

5.3. Mobilitatea (gradul de mobilitate al) mecanismelor Def.: - mobilitatea (gradul de mobilitate al) mecanismului = numărul posibilităţilor sale de mişcare sau al gradelor de libertate ale elementelor mobile în raport cu elementul fix. Obs.: Determinarea mobilităţii unui mecanism este o operaţie obligatorie, deoarece valoarea sa arată dacă mecanismul construit funcţionează ( M>0) sau nu (M=0 sau M<0) şi indică numărul elementelor conducătoare necesare îndeplinirii condiţiei de desmodromie. Într-adevăr, conform definiţiei desmodromiei, asigurarea fiecărei posibilităţi de mişcare impune un element conducător; reciproc, fiecare element conducător asigură o posibilitate de mişcare.

Tratarea acestei probleme în cadrul mecanismelor se face ţinînd cont de două mari categorii de mecanisme: a) mecanisme fără contururi interne (simplu):

-

fără restricţii comune ale elementelor: este gradul de mobilitate al lanţului cinematic respectiv, scris anterior; 5

M = 6n −

∑mc

(6)

m

i =1

-

cu f restricţii comune (mecanism de familie f): în acest caz, numărul gradelor de libertate al fiecărui element este 6 - f, iar o cuplă cinematică de clasă m va avea numai m - f restricţii, astfel ca mobilitatea mecanismului va fi dată de formula adaptată (Dobrovolski) 5

M

f

=(6 − f ) n −

∑(m − f )c

m

(7)

m =f +1

De remarcat că mecanismele plane au familia f = 3. b) mecanisme cu contururi interne (complex): Pentru determinarea mobilităţii unui mecanism cu N contururi se ţine seama de faptul că un mecanism cu j contururi se obţine dintr-un mecanism cu j-1 contururi la care se adaugă un lanţ cinematic deschis (simplu) cu nj elemente şi cj = nj + 1 cuple cinematice; avem deci:

c1 = n1 +1 c 2 = n 2 +1 .......... ..... c N = n N +1

(8)

__________ c =n +N unde c este numărul total de cuple cinematice, n numărul total de elemente. Cu această relaţie, mobilitatea mecanismului se va scrie astfel: 5

M

f

5 5     mc m − f n − cm  = 6n − mc m − f ( n −c ) =   +1 m =f +1  m =f +1 

∑

= 6n −

m =f

∑

∑

5

= 6n −

∑mc

m

(9)

+ fN

m =f +1

5.4. Pasivitate şi multiplicitate Def.:

-

elemente/cuple cinematice pasive (de prisos) = sunt elemente/cuple cinematice ale mecanismelor care pot fi adăugate sau eliminate fără a se modifica mobilitatea reală a acestora;

-

cuple cinematice multiple = sunt cuple ale mecanismelor în care se întâlnesc mai mult de două elemente; dacă notăm cu i numărul de elemente incident într-o cuplă multiplă, atunci aceasta este echivalentă cu i -1 cuple fundamentale.

De aceste elemente trebuie să se ţină cont în stabilirea mobilităţii mecanismelor: elementele şi cuplele pasive trebuiesc eliminate, iar cele multiple trebuiesc descompuse. Discuţii şi exemple: 1. Elementele cinematice pasive îndeplinesc un triplu rol: - consolidează mecanismul; - uşurează trecerea prin poziţiile extreme; - evită rigidizarea (blocarea) temporară sau inversarea mişcării mecanismului. 2. Considerăm mecanismul patrulater consolidat a cărui reprezentare convenţională este prezentată în figura următoare:

5

Fig. 1. Mecanism patrulater consolidat Pentru calculul mobilităţii acestui mecanism aplicăm formula (7). Ţinem cont că mecanismul considerat este plan, deci f = 3; avem apoi n = 4 şi c4 = 0, c5 = 6, astfel că obţinem: M = 3·4 - 2·6 = 0 Aceasta ar însemna, în principiu, că sistemul respectiv este rigid (nu funcţionează). În realitate însă, mecanismul respectiv funcţionează având o singură mişcare determinată pentru un singur element conducător. Astfel, eliminând elementul cinematic pasiv 4 împreună cu cuplele sale C şi D şi recalculând gradul de mobilitate al mecanismului, avem, de data aceasta n = 3 şi c4 = 0, c5 = 4, astfel că se obţine: M = 3·3 - 2·4 = 1 ceea ce corespunde cu realitatea. 3. Cele mai cunoscute elemente cu mişcare de prisos sunt rolele. Ele sunt introduse în construcţia mecanismelor pentru a reduce frecarea prin înlocuirea frecării de alunecare cu cea de rostogolire, fără a influenţa caracterul mişcării mecanismului..

SUB. M5: GRUPE MODULARE (CINEMATICE) Studiul cinematic şi cinetostatic al mecanismelor impune adoptarea unui sistem unitar de clasificare a mecanismelor care apar în tehnică într-o mare varietate constructivă. O astfel de clasificare are la bază noţiunea de grupă structurală (grupă modulară, grupă cinematică, grupă Assur - după numele celui ce a propus această clasificare). 6. Lanţuri cinematice fundamentale - noţiuni generale Def.: - lanţurile cinematice fundamentale = acele lanţuri cinematice care conţin doar cuple cinematice de clasă V, adică R şi T. Pentru astfel de lanţuri mobilitatea va fi dată de relaţia:

M

f

şi, înlocuind c = n + N se obţine

M

f

= 6n − 5c + fN

(10)

= n − N (5 − f )

(11)

Lanţurile cinematice fundamentale plane (f = 3) vor avea gradul de mobilitate exprimat prin relaţia:

M 3 = n − 2N (12) Cu privire la existenţa unei legături între acestea şi lanţurile cinematice generale, avem următoarea teoremă fundamentală a teoriei mecanismelor: Th. de echivalenţă a cuplelor cinematice (Gruebler, Harisberger): o cuplă cinematică de clasă k se poate înlocui cu un lanţ cinematic simplu deschis, format din (5 - k) elemente legate între ele prin (6 - k) cuple cinematice fundamentale de clasă a cincea (R şi T). 7. Grupe modulare (cinematice) Def.: - Grupele modulare (cinematice) = lanţuri cinematice fundamentale cu mobilitatea M din care se elimină un element. Pentru M = 0 se obţin grupele cinematice pasive, iar pentru M = 1 grupele cinematice motoare (active). Cazul mecanismelor plane: În acest caz, din relaţiile precedente obţinem următoarele relaţii numerice pentru obţinerea grupelor cinematice:

n = M + 2n c = M + 3N

(13)

Ca urmare vom avea:

-

grupe cinematice pasive (M = 0) importante:

-

diada (N = 1, n = 2, c = 3) - se obţine din lanţul cinematic fundamental zeromobil cu trei elemente, prin eliminarea unui element; distingem 5 tipuri:

Fig. 2. Tipurile diadei

-

triada (N = 2, c = 6, n = 4) - se obţine din lanţul cinematic fundamental zeromobil cu cinci elemente, prin eliminarea unui element de rang j = 3; 6

-

tetrda (N = 2, c = 6, n = 5) - se obţine din acelaşi lanţ cinematic fundamental zeromobil cu cinci elemente, prin eliminarea unui element de rang j = 2:

Fig. 3. Obţinerea triadei şi tetradei din lanţul fundamental zeromobil cu cinci elemente

- grupele modulare motoare (M = 1) importante sunt: - motoelementul (M = 1, N = 1, n = 1, c = 1) - fig. 4, a; - motodiada (M = 1, N = 1, n = 3, c = 4) - fig. 4, b.

Fig. 4. Grupe modulare motoare (M = 1)

8. Formarea şi descompunerea mecanismelor Prin formarea mecanismelor se înţelege legarea mecanică a mai multe grupe cinematice în vederea constituirii unui mecanism complex, cu mobilitate dată şi prezentând mişcările desmodrome dorite. O astfel de operaţie respectă, de regulă, câteva reguli: grupele pasive nu se leagă cu toate cuplele exterioare la acelaşi element; cel puţin o grupă modulară motoare se leagă cu toate cuplele exterioare la bază. Prin descompunerea unui mecanism se înţelege construcţia mecanismului echivalent acestuia, dar alcătuit numai din grupe cinematice. O astfel de operaţie este deosebit de utilă în analiza geometrică, cinematică, cinetostatică ori dinamică a unui mecanism. Există câteva etape de realizare pe care le vom urma şi noi în analiza biomecanismului centurii scapulare: - se întocmeşte schema cinematică a mecanismului; - se întocmeşte schema structurală a mecanismului fundamental; - se separă elementele motoare legate la bază; - se identifică celelalte grupe modulare.

SUB. M6: ANALIZA CINEMATICĂ A MECANISMELOR PLANE CU BARE 10. Analiza cinematică şi dinamică (cinetostatică) a mecanismelor: aspecte generale În cadrul unei astfel de analize se studiază poziţiile, vitezele şi acceleraţiile elementelor conduse ale mecanismului considerat (fără a ţine seama de forţele care le determină), cunoscând mişcarea elementului conducător (sau a elementelor conducătoare). Aceste mărimi sunt necesare pentru: a) Determinarea traiectoriilor descrise de punctele caracteristice ale mecanismului pentru un ciclu cinematic este necesară atât în vederea dimensionării ansamblurilor maşinii - care nu trebuie să vină în contact cu elementele mecanismului ajunse în poziţii extreme - cât şi pentru stabilirea gabaritului ce urmează a fi ocupat de mecanism în cadrul maşinii (de ex.: analiza traiectoriilor descrise de diversele puncte ale mecanismului manivelă-piston în raport cu carterul maşinii); b) Cunoaşterea vitezelor diferitelor puncte şi elemente ale mecanismului este utilă: - direct, pentru stabilirea vitezei de deplasare a maşinii din care face parte mecanismul (ex.: vehicule rutiere, de cale ferată etc.) sau pentru calculul vitezei tehnologice de deplasare a elementului condus (ex.: viteza de aşchiere la maşinile-unelte); - indirect, pentru calculul de dimensionare al elementelor cinematice şi studiul dinamic al mecanismului, deoarece determinarea vitezelor precede stabilirea acceleraţiilor; c) Studiul acceleraţiilor diferitelor puncte şi elemente cinematice ale mecanismului este necesar determinării forţelor de inerţie care, la maşinile cu turaţii mari, ating valori foarte ridicate. Există mai multe metode de analiză cinematică a mecanismelor: metoda grafico, metoda grafoanalitică, metoda Newton-Raphson etc. În prezent, ca urmare a dezvoltării şi utilizării pe scară largă a computerelor, s-a generalizat metoda analitică, metodă ce presupune studiul mecanismului ca sistem de solide rigide interconectate, oarecare. Utilizarea calculatoarelor a facilitat însă şi abordarea metodelor grafoanalitice (grafică asistată), prin folosirea în special a produselor CAD (Computer Aided Design). Utilizarea acestora permite executarea construcţiilor geometrice pe de-o parte şi redarea coordonatelor oricărui punct indicat. Ca urmare, metodele grafice, deosebite prin simplitatea lor, devin actuale şi, în acelaşi timp "analitice", prin utilizarea produselor CAD. Având în vedere faptul că mecanismele se pot descompune în grupe structurale, analiza cinematică se reduce la studiul acestor grupe, cu scopul determinării traiectoriilor, vitezelor liniare şi a acceleraţiilor liniare ale diverselor puncte caracteristice mecanismului, precum şi a vitezelor şi acceleraţiilor unghiulare ale elementelor cinematice. În cele ce urmează, datorită aspectelor discutate aici, se va realiza analiza cinematică a diadei RRR (mecanism plan) prin metoda analitică (a proiecţiilor). 11. Relaţii cinematice din studiul analitic al mecanismelor 11.2. Studiul mişcării plan-paralele a elementelor mecanismului plan Distribuţia vitezelor în mecanism 7

După cum se ştie din mecanica solidului rigid, distribuţia vitezelor într-un element aflat în mişcare plan-paralelă este dată de relaţia lui  Euler. Astfel, dacă A şi B sunt două puncte oarecare ale elementului, iar ω este viteza unghiulară a acestuia (perpendicular pe planul mişcării), atunci avem relaţia:

   v B = v A +ω× AB

Uzual se notează

(14)

  v BA = ω× AB

şi

(15)

   v B = v A + v BA

 v BA

Este util de ştiut că viteza

Fig. 5. Viteza

(16)

 v BA

are următoarele proprietăţi:

- este perpendiculară pe AB ;  - roteşte segmentul AB în jurul punctului A în sensul dat de viteza unghiulară ω; - satisface relaţia scalară

v BA = ω ⋅ AB

.

Mişcări particulare: - mişcarea de rotaţie: considerând punctul A drept centru de rotaţie (caz uzual), atunci

  v B = ω× AB , v B = ω ⋅ AB -

mişcarea

de

translaţie:

avem

în

acest

 v A = 0 şi se obţine (17)



ω=0

caz

şi

atunci

  vB = v A

(18) Distribuţia acceleraţiilor în mecanism Corespunzător, această distribuţie este dată de relaţia lui Rivals; în cazul mişcării plan-paralele aceasta devine:



ε

   a B = a A −ω2 AB + ε × AB

(20)

fiind acceleraţia unghiulară. Uzual, notaţiile în acest caz sunt relativ la situaţia normală, respectiv tangenţială relativ la dreapta AB:

 2 aν BA = −ω AB   a τBA = ε × AB Se obţine relaţia cinematică

(21) (22)

    a B = a A + aνBA + a τBA

Fig. 6. Acceleraţiile

(23)

 τ aν BA , a BA

Acceleraţia normală se bucură de proprietăţile: - are sensul de la B spre A; 2 - satisface relaţia scalară ν ;

a BA = ω ⋅ AB

iar acceleraţia tangenţială: - este perpendiculară pe AB ;  - roteşte segmentul AB în jurul punctului A în sensul dat de viteza unghiulară ε ; - satisface relaţia scalară τ .

a AB = ε ⋅ AB

Mişcări particulare: - mişcarea de rotaţie: considerând punctul A drept centru de rotaţie (caz uzual), atunci

  a B = −ω2 AB +ε × AB -

mişcarea

de

translaţie:

   a B = aνB + a τB avem

în

aνB = ω 2 ⋅ AB acest

caz



 aA = 0

ω=0

şi se obţine

a τA = ε ⋅ AB ,



ε =0

(24)

şi

atunci

  aB = a A

(25) 11.2. Studiul mişcării relative (unul în raport cu altul) a elementelor mecanismului plan Distribuţia vitezelor în mecanism 8

Mişcarea relativă prezintă particularităţi în cazul existenţei cuplelor cinematice de translaţie şi a cuplelor superioare. În cele ce urmează se va considera în special cupla cinematică de translaţie. Studiul mişcării relative conduce la formula de compunere a vitezelor:

   v a = vt + v r

(26)

unde indicii semnifică: a - mişcare absolută, t - mişcare de transport, r - mişcare relativă.

Fig. 7. Mişcarea relativă în cupla de translaţie

Considerăm cazul general în care elementul 2 are mişcare relativă faţă de elementul 1. Avem, conform notaţiilor anterioare:

      v a = v A2 , vt = v A1 , v r = v A2 A1

astfel că relaţia (26) devine:

Viteza relativă

 v A2 A1

(27)

   v A2 = v A1 + v A2 A1

(28)

este, evident, în lungul suportului (Δ), deoarece elementul 2 nu poate luneca decât în lungul elementului 1.

Dacă se studiază mişcarea elementului 1 faţă de 2, atunci se obţine relaţia:

unde

   v A1 = v A2 + v A1 A2

  v A1 A2 = −v A2 A1 .

(29)

Distribuţia acceleraţiilor în mecanism Studiul mişcării relative pentru acelaşi mecanism conduce la următoarea formulă de compunere a acceleraţiilor:

    a a = at + a r + aC

(30)

unde indicii semnifică: a - mişcare absolută, t - mişcare de transport, r - mişcare relativă, C - efect Coriolis. După cum se arată, acceleraţia Coriolis are expresia:

   a C = 2ω × v r



ω fiind aici acceleraţia unghiulară a dreptei suport (Δ).

(31)

În notaţii similare celor anterioare, ţinând cont de semnificaţia celor patru acceleraţii,

  a a = a A2 ,

  a t = a A1 ,

  a r = a A2 A1 ,

  aC = a C A

2 A1

  = 2ω ×v A2 A1

(32)

obţinem pentru acceleraţia absolută a punctului A2 expresia:

    a A2 = a A1 + a A2 A1 + a C A

(33)

2 A1

Dacă se studiază mişcarea elementului 1 faţă de 2, atunci se obţine relaţia:

    a A1 = a A2 + a A1 A2 + a C AA 1

unde

  a A1 A2 = −a A2 A1 ,

  aC = −a C AA A 1

2

2 A1

(34)

2

    = −2ω×v A2 A1 = 2ω×v A1 A2

(35)

SUB. M7: ANALIZA CINEMATICĂ A DIADEI RRR 12. Analiza cinematică a diadei RRR 12.1. Formularea problemei Vom considera în continuare diada ABC din figura 8:

Fig. 8. Diada RRR

Analiza cinematică a acestui mecanism revine la următoarea problemă de mecanica sistemelor de solide rigide: Date: - poziţiile punctelor A, C şi lungimea segmentelor AB şi CB,

l 2 , respectiv l 3

; 9

 vA

- vitezele punctelor A şi C,

, respectiv

 aA

- acceleraţiile punctelor A şi C,

 vC

, respectiv

;

 aC

.

Cerinţe: - poziţia punctului B şi, eventual, poziţia unui punct K ce aparţin elementelor 2, respectiv 3; - vitezele unghiulare ale elementelor 2 şi 3,



ω2

, respectiv



ω3 ;

- viteza punctului B şi, eventual, viteza punctului K; - acceleraţiile unghiulare ale elementelor 2 şi 3,





ε2 , respectiv ε3 ;

- acceleraţia punctului B şi, eventual, acceleraţia punctului K. Raportând acum diada la un sistem de axe rectangulare Oxy, problema se pune astfel:

Fig. 9. Reprezentarea schematică a diadei RRR în vederea analizei cinematice prin metoda analitică

Cu această reprezentare, problema se refoemulează astfel:

( x A , y A ) , respectiv ( xC , y C ) , şi lungimea segmentelor AB şi CB,

Date: - structura diadei: coordonatele punctelor A şi C, respectiv

l3

;

- vitezele punctelor A şi C,

 vA

- acceleraţiile punctelor A şi C,

, respectiv

 aA

 vC

, respectiv

;

 aC

;

- K - un punct al elementului 3 pentru care se cunosc distanţele KB şi KC, Cerinţe: - coordonatele

( xB , y B )

ale punctului B ;

- vitezele unghiulare ale elementelor 2 şi 3,

l2 ,



ω2

- viteza punctului B şi viteza punctului K; - acceleraţiile unghiulare ale elementelor 2 şi 3,

, respectiv



l KB

, respectiv

l KC

.



ω3 ; 

ε2 , respectiv ε3 ;

- acceleraţia punctului B şi acceleraţia punctului K. 12.2. Analiza poziţiilor

ϕ1

Dterminarea poziţiei diadei la un moment dat se reduce, conform structurii acesteia, la determinarea unghiurilor

şi

ϕ2 . Pentru

aceasta avem : ► AC = CB + BC

⇒ l AC =

( xC

2 - th. Pitagora generalizată în ΔABC: l 3

- th. Pitagora în ΔAC'C:

tg ϕ AC =

− x A ) 2 + ( yC − y A ) 2 2 = l 22 + l AC − 2l 2 l AC cos α A

yC − y A xC − x A

⇒ ϕ AC = arctg

⇒ α A = arccos

2 l 22 + l AC − l 32 2l 2 l AC

yC − y A xC − x A -

ϕ2 = ϕ AC − α A ; (36)

2 - th. Pitagora generalizată în ΔABC: l 2 -

ϕ3 = ϕ AC − α C

2 = l 32 + l AC − 2l 3 l AC cos α C

⇒ α C = arccos

l 32

2 + l AC

− l 22

2l 3 l AC

;

x B = x A + l 2 cos ϕ 2 y B = y A + l 2 sin ϕ 2

.

12.3. Analiza vitezelor Relaţia Euler (14) ne dă pentru viteza punctului B în raport cu punctul A şi apoi C relaţiile:

     v B = v A +ω2 × AB = v C +ω3 ×CB

Proiectând ultima egalitate pe axele de coordonate carteziene, obţinem sistemul de 2 ecuaţii liniare cu necunoscutele

(37)

ω2 , ω3 : 10

 v A x− ω 2 ( y B − y A ) = vC x− ω 3 ( y B − yC )   v A x− ω 2 ( x B − x A ) = vC x− ω 3 ( x B − xC )

(38)

Obţinem de aici expresiile vitezelor unghiulare:

( vCx − v Ax )( x B − xC ) + (vCy − v Ay )( y B − y C ) ( x B − x A )( y B − y C ) − ( x B − xC )( y B − y A ) ( vCx − v Ax )( x B − x A ) + ( vCy − v Ay )( y B − y A ) ω3 = ( x B − x A )( y B − y C ) − ( x B − xC )( y B − y A ) ω2 =

(39)

Vitezele punctului B vor fi atunci date de relaţia (37), în care acum vitezele unghiulare sunt cunoscute:

v Bx = v Ax − ω 2 ( y B − y A ) v By = v Ay + ω 2 ( x B − x A )

(40)

12.4. Analiza acceleraţiilor Analog analizei vitezelor, relaţia Rivals (20) ne dă pentru acceleraţia punctului B în raport cu punctul A şi apoi C relaţiile:

     a B = a A + ε 2 × AB −ω22 AB = a C + ε 3 ×CB −ω32 CB

(41)

Proiectând ultima egalitate pe axele de coordonate carteziene, obţinem sistemul de 2 ecuaţii liniare cu necunoscutele

 − ε 2 ( y B − y A ) + ε 3 ( y B − yC ) = Ax   ε 2 ( x B − x A ) − ε 3 ( x B − xC ) = Ay

unde am notat mărimile cunoscute:

ε2 , ε3 :

(42)

 Ax = aC x− a A x+ ω 22 ( x B − x A ) − ω 32 ( x B − xC )  2 2  A y = aC y− a A y+ ω 2 ( y B − y A ) − ω 3 ( y B − yC )

(43)

Obţinem de aici expresiile acceleraţiilor unghiulare:

ε2 =

Ax ( x B − x C ) + A y ( y B − y C )

( x B − x A )( y B − y C ) − ( x B − xC )( y B − y A ) Ax ( x B − x A ) + A y ( y B − y A ) ω3 = ( x B − x A )( y B − y C ) − ( x B − xC )( y B − y A )

(44)

Acceleraţiile punctului B vor fi atunci date de relaţia (41), în care acum acceleraţiile unghiulare sunt cunoscute: a Bx = a Ax − ε 2 y B − y A − ω22 x B − x A a By = a Ay − ε 2 x B − x A − ω22 y B − y A

( (

) )

( (

) )

(45)

12.5. Elementele cinematice ale punctului arbitrar K - determinarea poziţiei punctului K:

2 - th. Pitagora generalizată în ΔBCK (fig. 8): l CK

2 = l 32 + l BK − 2l 3 l BK cos α B

⇒ α B = arccos -

2 2 l BK + l 32 − l CK 2l 3 l BK

x K = x B + l BK cos(ϕ 3 − ϕ B ) y K = y B + l BK sin ( ϕ 3 − ϕ B )

(46) - determinarea vitezelor: conform relaţiei Euler (40), scrisă pentru puctul K în raport cu punctul B, obţinem

v Kx = v Bx − ω 3 ( y K − y B ) v Ky = v By + ω 3 ( x K − x B )

(47)

- determinarea acceleraţiilor: conform relaţiei Rivals (45), scrisă pentru puctul K în raport cu punctul B, obţinem 11

a Kx = a Bx − ε 3 ( y K − y B ) − ω32 ( x K − x B )

a Ky = a Ky − ε 3 ( x K − x B ) − ω32 ( y K − y B )

(45)

12