Parte De Ezequiel-resumen.docx

Movimiento de proyectiles Ahora ya se dispone de lo necesario para deducir las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de un proyectil. Supóngase que la gravedad es la única fuerza que actúa sobre un proyectil después de su lanzamiento. Por tanto, el movimiento ocurre en un plano vertical que puede representarse por el sistema de coordenada x y y con el origen correspondiente a un punto sobre la superficie de la Tierra. Para un proyectil de masa m, la fuerza gravitatoria es: Fuerza Gravitatoria.

𝐹 = −𝑚𝑔

Donde la constante gravitatoria es mg 32 pies por segundo al cuadrado, o 9.81 metros por segundo al cuadrado. Por la segunda ley del movimiento de Newton, esta misma fuerza Produce una aceleración a at y satisface la ecuación F Por consiguiente, está dada por m r a = - mg , lo que implica que a

gj .

la aceleración del proyectil

Aceleración del proyectil.

TEOREMA 12.3 FUNCIÓN DE POSICIÓN DE UN PROYECTIL Despreciando la resistencia del aire, la trayectoria de un proyectil lanzado de una altura inicial h con rapidez inicial v0 y ángulo de elevación se describe por medio de la función vectorial 1 2 sin r t v0 cos ti h v0 t 2 gt j Donde g es la constante de la gravedad.

Solución Se tienen dados h = 3, v0 = 100, y segundo al cuadrado se obtiene

= 45°. Así, tomando g = 32 pies por

sin sen 2 r(t) = (100 cos 4 )t i + [3 + (100 ] 16t j 4 )t — = (50{2 t)i + (3 + 50{2 t — 16t 2)j v(t) = r (t) = 50{2 i + (50{2 — 32t)j.

La altura máxima se alcanza cuando y (t) = 50{2 — 32 t = 0 Lo cual implica que 25{2 t = 16 = 2.21 segundos. Por tanto, la altura máxima que alcanza la pelota es y25{2 = 3 + 50{2 25{2 2 — 16 ( 16 ) 649 = 8

( 16 )

= 81 feet. pies.

Altura máxima cuando t = 2.21 segundos.

La pelota está a 300 pies de donde fue golpeada cuando 300 = x(t) = 50{2 t. Despejando t de esta ecuación se obtiene t = 3{2 = 4.24 segundos. En este instante, la altura de la pelota es: y = 3 + 50{2 (3{2 ) — 16(3{2 )2 = 303 — 288 feet. = 15 pies.

Altura cuando t = 4.24 segundos.

Por consiguiente, la pelota pasará sobre la valla de 10 pies.

Vectores tangentes y vectores normales En la sección precedente se vio que el vector velocidad apunta en la dirección del movimiento. Esta observación lleva a la definición siguiente, que es válida para cualquier curva suave, no sólo para aquellas en las que el parámetro es el tiempo. DEFINICIÓN DEL VECTOR UNITARIO TANGENTE Sea C una curva suave en un intervalo abierto I, representada por r. El vector uni- tario tangente T(t) en t se define como r (t) T(t) = " r (t) ", r (t) G 0. Como se recordará, una curva es La recta tangente a una curva en un punto es la recta que pasa por el punto y es para- lela al vector unitario tangente. En el ejemplo 2 se usa el vector unitario tangente para hallar la recta tangente a una hélice en un punto. DEFINICIÓN DE VECTOR UNITARIO NORMAL PRINCIPAL Sea C una curva suave en un intervalo abierto I representada por r. Si T (t) G 0, entonces el vector unitario normal principal en t se define como T (t) N(t) = . " T (t)"

EJEMPLO 3: Hallar el vector unitario normal principal Hallar N(t) y N(1) para la curva representada por r(t) = 3t i + 2t 2j. Solución Derivando, se obtiene r (t) = 3i + 4t j y

" r (t)" = {9 + 16t2

lo que implica que el vector unitario tangente es T(t) = r (t) "r (t)" 1 = (3i + 4t j). {9 + 16t2

Vector unitario tangente.

Usando el teorema 12.2, se deriva T(t) con respecto a t para obtener 1 16t T (t) = (4j) — (3i + 4t j) {9 + 16t2 (9 + 16t 2)3/2 12 = (9 + 16t2)3/2(—4t i + 3j) 9 + 16t 12 2 " T (t)" = 12{ = . (9 + 16t2)3 9 + 16t2 Por tanto, el vector unitario normal principal es: N(t) = T (t) "T (t)" 1 = (—4t i + 3j). {9 + 16t 2

Vector unitario normal principal.

Cuando t = 1, el vector unitario normal principal es: 1 N(1) = (—4i + 3j) 5 como se muestra en la figura 12.22. El vector unitario normal principal puede ser difícil de evaluar algebraicamente. En curvas planas, se puede simplificar el álgebra hallando T(t) = x(t)i + y(t)j y observando que N(t) debe ser N 1 ( t ) = y( t ) i — x ( t ) j

Vector unitario tangente.

o

N2(t) = —y(t)i + x(t)j.

Como {[x(t)]2 + [y(t)]2 = 1, se sigue que tanto N1(t) como N 2(t) son vectores unitarios normales. El vector unitario normal principal N es el que apunta hacia el lado cóncavo de la curva, como se muestra en la figura 12.22 (véase ejercicio 94). Esto también es válido para curvas en el espacio. Es decir, si un objeto se mueve a lo largo de la curva C en el espacio, el vector T(t) apunta hacia la dirección en la que se mueve el objeto, mientras que el vector N(t) es T(t) y apunta hacia la dirección en que gira el objeto. ortogonal. EJEMPLO 4: Hallar el vector unitario normal principal Hallar el vector unitario normal principal para la hélice dada por r(t) = 2 cos t i + sin sen2

t j + t k.

Solución: De acuerdo con el ejemplo 2, se sabe que el vector unitario tangente es: 1 T(t) = (—2 sin sen t i + 2 cos t j + k). { 5

Vector unitario tangente.

Así, T (t) está dado por 1 T (t) = (—2 cos t i sen — 2 t j). sin {5 Como "T (t)" = 2/{5, se sigue que el vector unitario normal principal es N(t) = T (t) 1 sin sen = 2 (—2 cos t i — 2 t j) sin t j. Vector unitario normal principal. sen = —cos t i — " T (t)"

Componentes tangencial y normal de la aceleración Ahora se vuelve al problema de describir el movimiento de un objeto a lo largo de una curva. En la sección anterior, se vio que si un objeto se mueve con rapidez constante, las vectores velocidad y aceleración son perpendiculares. Esto parece razonable, porque la rapidez no sería constante si alguna aceleración actuara en dirección del movimiento. Esta afirmación se puede verificar observando que: r (t) · r (t) = 0 si " r (t) " es una constante. (Ver la propiedad 7 del teorema 12.2.) Sin embargo, si un objeto viaja con rapidez variable, los vectores velocidad y aceleración no necesariamente son perpendiculares. Por ejemplo, se vio que en un proyectil el vector aceleración siempre apunta hacia abajo, sin importar la dirección del movimiento. En general, parte de la aceleración (la componente tangencial) actúa en la línea del movimiento y otra parte (la componente normal) actúa perpendicular a la línea del movimiento. Para determinar estas dos componentes, se pueden usar los vectores unitarios T(t) y N(t), que juegan un papel análogo a i y j cuando se representan los vectores en el plano. El teorema siguiente establece que el vector aceleración se encuentra en el plano determinado por T(t) y N(t). TEOREMA 12.4 VECTOR ACELERACIÓN Si r(t) es el vector posición de una curva suave C y N(t) existe, entonces el vector aceleración a(t) se encuentra en el plano determinado por T(t) y N(t).

Demostración: Para simplificar la notación, se escribe T en lugar de T(t), T en lugar de T (t), y así sucesivamente. Como T = r /"r " = v/"v ", se sigue que v = "v "T. Por derivación, se obtiene a = v = Dt ["v"]T + "v "T "T"

Regla del producto.

= Dt ["v "]T + "v "T (" T ") = Dt ["v "]T + "v " "T " N.

N = T /" T "

Como a se expresa mediante una combinación lineal de T y N, se sigue que a está en el plano determinado por T y N. A los coeficientes de T y de N en la demostración del teorema 12.4 se les conoce como componentes tangencial y normal de la aceleración y se denotan por aT = Dt ["v"] y aN = "v " "T ". Por tanto, se puede escribir a(t) = aTT(t) + aNN(t).

El teorema siguiente da algunas fórmulas útiles para aN y aT. TEOREMA 12.5 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACIÓN Si r(t) es el vector posición de una curva suave C [para la cual N(t) existe], entonces las componentes tangencial y normal de la aceleración son las siguientes. v· a aT = Dt ["v "] = a "v " ·T = "v × a" 2 2 aN = "v " "T " = a · N= Nótese que aN

{"a " — a T "v " =

0.

Componente centrípeta de la aceleración. Nótese que a se encuentra en el plano de T y N. Por tanto, se puede usar la figura 12.25 para concluir que, en cualquier instante t, las componentes de la proyección del vector aceleración sobre T y sobre N.

EJEMPLO 7: Movimiento de un proyectil El vector posición para el proyectil mostrado en la figura 12.27 está dado por r(t) = (50{2 t)i + (50{2 t Vector posición. — 16t2)j. Hallar la componente tangencial de la aceleración cuando t = 0, 1 y 25{2/16. Solución: v(t) = 50{2 i + (50{2 — 32t)j "v(t)" = 2{50 2 — 16(50){2 t + 16 2t 2 a(t)= —32j La componente tangencial de la aceleración es v(t) · a(t) 32t) aT(t) =

"v(t)"

=

2{502

—32(50{2 —

Vector velocidad. Velocidad. Vector aceleración.

Componente tangencial De la aceleracion.

. — 16(50){2 t + 162t 2

En los instantes especificados, se tiene —32(50{2 ) a T (0) = 100 = —16{2 = —22.6 —32(50{2 — 32) aT(1) = =— 15.4 2{50 2 — 16(50){2 + 16 2 aT(

25{2 —32(50{2 — 50{2 ) = 0. 50{2 16

)

= La componente tangencial es 0. Esto es razonable porque en ese punto la dirección del movimiento es horizontal y la componente tangencial de la aceleración es igual a la componente horizontal de la aceleración.

Longitud de arco y curvatura Longitud de arco En la sección 10.3 se vio que la longitud de arco de una curva plana suave C dada por las ecuaciones paramétricas x = x(t) y y = y(t), a t b, es b s = {[x (t)] 2 + [ y (t)]2 dt. a En forma vectorial, donde C está dada por r(t) = x(t)i + y(t)j, se puede expresar esta ecuación de la longitud de arco como b s = "r (t)" dt. a La fórmula para la longitud de arco de una curva plana tiene una extensión natural a una curva suave en el espacio, como se establece en el teorema siguiente.

J J

TEOREMA 12.6 LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA EN EL ESPACIO Si C es una curva suave dada por r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, en un intervalo [a, b], entonces la longitud de arco de C en el intervalo es b s = {[x (t)] 2 + [ y (t)]2 + [z (t)] "r (t)" dt. a 2 dt =

J

J

Parámetro longitud de arco Se ha visto que las curvas pueden representarse por medio de funciones vectoriales de maneras diferentes, dependiendo del parámetro que se elija. Para el movimiento a lo largo de una curva, el parámetro adecuado es el tiempo t. Sin embargo, cuando se desean estudiar las propiedades geométricas de una curva, el parámetro adecuado es a menudo la longitud de arco s. TEOREMA 12.7 PARÁMETRO LONGITUD DE ARCO Si C es una curva suave dada por r(s) = x(s)i + y(s)j o r(s) = x(s)i + y(s)j + z(s)k donde s es el parámetro longitud de arco, entonces "r (s)" = 1. Si t es cualquier parámetro para la función vectorial r tal que "r (t)" = 1, entonces t debe ser el parámetro longitud de arco.

Curvatura Un uso importante del parámetro longitud de arco es hallar la curvatura, la medida de cuán agudamente se dobla una curva. Por ejemplo, en la figura 12.32 la curva se dobla más agudamente en P que en Q, y se dice que la curvatura es mayor en P que en Q. Se puede hallar la curvatura calculando la magnitud de la tasa o ritmo de cambio del vector unitario tangente T con respecto a la longitud de arco s, como se muestra en la figura 12.33. DEFINICIÓN DE CURVATURA Sea C una curva suave (en el plano o en el espacio) dada por r(s), donde s es el parámetro longitud de arco. La curvatura K en s está dada por = "T (s)". ds " K=

"d T

Un círculo tiene la misma curvatura en todos sus puntos. La curvatura y el radio del círculo están relacionados inversamente. Es decir, un círculo con un radio grande tiene una curvatura pequeña, y un círculo con un radio pequeño tiene una curvatura grande. Esta relación inversa se explica en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 4: Hallar la curvatura de un círculo Mostrar que la curvatura de un círculo de radio r es K = 1/r. Solución: Sin pérdida de generalidad, se puede considerar que el círculo está centrado en el origen. Sea (x, y) cualquier punto en el círculo y sea s la longitud de arco desde (r, 0) hasta (x, y), como se muestra en la figura 12.34. Denotando por el ángulo central del círculo, puede representarse el círculo por r( ) = r cos

sin i + r sen j.

es el parámetro.

Usando la fórmula para la longitud de un arco circular s = r , se puede reescribir r( ) en términos del parámetro longitud de arco como sigue. s s r(s) = r cos i + rsen sin La longitud de arco s es el parámetro. j

Así, r (s)

r

r

s i + cos j, de donde se sigue que "r (s)" = 1, lo que implica s sen que el =—sin r r

vector unitario tangente es T(s) =

r (s)

s s = —sin sen i + cos j "r (s)" r r

TEOREMA 12.8 FÓRMULAS PARA LA CURVATURA Si C es una curva suave dada por r(t), entonces la curvatura K de C en t está dada por "r (t) × r (t)" K = "T (t)" = . "r (t)"3 "r (t)" Como "r (t)" = ds/dt, la primera fórmula implica que la curvatura es el cociente de la tasa o ritmo de cambio del vector tangente T entre la tasa o ritmo de cambio de la lon- gitud de arco. Para ver que esto es razonable, sea A t un número “pequeño”. Entonces, T (t)

[T(t + At) — T(t)]/At

ds/dt =

[s(t + At) — = s(t)]/At

T(t + At) — T(t) AT = . s(t + At) — s(t) As

En otras palabras, para un As dado, cuanto mayor sea la longitud de AT, la curva se dobla más en t, como se muestra en la figura 12.35. El teorema siguiente presenta una fórmula para calcular la curvatura de una curva plana dada por y = f (x). TEOREMA 12.9 CURVATURA EN COORDENADAS RECTANGULARES Si C es la gráfica de una función dos veces derivable y = f (x), entonces la curvatura K en el punto (x, y) está dada por ly l K= . [1 + ( y )2] 3/2 se representa la curva C por r(x) = xi + f (x)j + 0k (donde x es el Demostracion : Si parámetro), se obtiene r (x) = i + f (x)j, "r (x)" = {1 + [ f (x)] 2 y r (x) = (x)j. Como r (x) × r (x) (x)k, se sigue que la curvatura es f =f K = "r (x) × r (x)" "r (x)"3 f (x)l = {1 +l [ f (x)] 2}3/2 ly l = . [1 + ( y )2] 3/2