Parabola.docx

1.2- PARABOLA Parábola es un término que proviene del latín “parabŏla” y que tiene su origen más remoto en un vocablo griego. En el ámbito de la matemática, la parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de una recta y de un punto fijo, resultante de cortar un cono circular recto por un plano paralelo a una generatriz. La parábola constituye una curva cónica que suele trazarse en fenómenos frecuentes, como la caída de agua de una fuente o el movimiento de un balón que es lanzado por un jugador de básquetbol. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal `x' la altura `y' alcanzada por la pelota. Una vez situada la parábola en este marco, que es un sistema de coordenadas cartesianas, son visibles dos propiedades fundamentales: tiene un punto extremo, qué corresponde al instante en el que la pelota alcanza la altura máxima. Este punto es el vértice de la parábola; y la segunda, en la que las alturas a las que llega la pelota son las mismas en posiciones horizontales equidistantes de la abscisa del vértice. Por tanto, la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el vértice es el eje de simetría de la parábola. Según Figueroa, R. (1994). Una parábola es un conjunto P de todos los puntos en el plano R2 que equidistan de una recta fija, llamada directriz; y de un punto fijo, denominado foco que pertenece a la recta. Para Alva, R. (2005). La parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta fija y de un punto fijo. A la recta fija se le denomina DIRECTRIZ y al punto fijo FOCO. d (P, L) = d (P, F) Una parábola es una curva con dos brazos abiertos cada vez más, simétrica con respectó a la recta que pasa por el foco y perpendicular a la directriz. Esta recta se llama eje de simetría y el punto donde esta recta intersecta a la parábola se llama

1.2.1- Ecuación canónica La ecuación de la parábola toma su forma más simple o reducida cuando el vértice está en el origen y el eje coincide con uno de los ejes de coordenadas. Si el vértice está en el origen y el eje de la parábola coincide con el eje x, la ecuación de la parábola es:

También suele utilizarse a en lugar de p, siendo 2p la distancia de la directriz al foco F. Esta distancia se denomina parámetro de la directriz y su valor coincide con el de la ordenada focal, es decir, con la mitad de la longitud de la cuerda trazada por el foco perpendicularmente al eje. En general, para cualquier parábola (con eje paralelo al eje x) de vértice (h,k) se tiene que su ecuación canónica (o principal) es: La orientación del eje de la parábola la da el elemento que no esté al cuadrado; así una parábola en que el elemento al cuadrado es x, quiere decir que su eje es paralelo al eje y. Además, el signo de 4p indica la dirección de la apertura de la parábola: si 4p es positivo (mayor que cero), entonces la apertura es en dirección en que crece el respectivo eje.

1.2.2- Traslación de ejes Traslación

Traslación vertical y = x² + k Si k > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades. Si k < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades. El vértice de la parábola es: (0, k). El eje de simetría x = 0. Traslación

y = x² +2

y = x² −2

Traslación vertical y = x² + k Si k > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades. Si k < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades. El vértice de la parábola es: (0, k). El eje de simetría x = 0.

y = (x + 2)²

y= (x − 2)²

Traslación oblicua y = (x + h)² + k El vértice de la parábola es: (−h, k). El eje de simetría es x = −h.

y = (x − 2)² + 2

y = (x + 2)² − 2

1.2.4- Ecuación general Parábola con vértice en h, k y eje paralelo respectivamente al eje x o al eje y:

en donde

Ubicando la parábola para que el foco esté sobre un eje cartesiano, hay 4 posibles parábolas. El término lineal de la ecuación indicará sobre qué eje está

ubicado el foco (eje)

1.2.5- Exclusiva para lo ultimo :)

1.4.3- Traslación de eje

Las hipérbolas

son las más sencillas de representar.

Sus asíntotas son los ejes. El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen.

El centro de la hipérbola es: (0, a).

A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación. 1. Traslación vertical

Si a>0,

se desplaza hacia arriba a unidades.

El centro de la hipérbola es: (0, 3)

Si a<0,

se desplaza hacia abajo a unidades.

El centro de la hipérbola es: (0, -3)

2. Traslación horizontal

El centro de la hipérbola es: (-b, 0).

Si b> 0,

se desplaza a la izquierda b unidades.

El centro de la hipérbola es: (-3, 0)

Si b<0,

se desplaza a la derecha b unidades.

El centro de la hipérbola es: (3, 0)

3. Traslación oblicua

El centro de la hipérbola es: (-b, a)

El centro de la hipérbola es: (3, 4). Para representar hipérbolas del tipo:

se divide y se escribe como:

Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asíntotas paralelas a los ejes.

1.4.4-Ecuación general Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas. Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son: F'(−c,0) y F(c,0) Cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

Exclusivo para lo último de hipérbola : )

Intruduccion En este tema se da la investigación de temas muy importantes de la geometría analítica