Para 2do Medio Raices.docx

EXPRESIÓN DE UNA RAÍZ EN FORMA DE POTENCIA Una raíz

n

a p se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:

Ejemplo:

7

34  37

p

n

ap  an

4

Ejercicios: Expresa en forma de raíz las siguientes expresiones: 2

2

2)

 2  3

2 3

4)

 5 7

1 5

6)

 2x  4

8)

63

1)

33

3)

2

2

1

5)

4

7)

 4x  5

2

3

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES 1) 2)

an  a

n

 a

n

n

1) Ej:

a

2) Ej:

3)

n

a·n bn a·b (¡ojo!, raíces de mismo índice)

3) Ej:

4)

n

a na  b nb

4) Ej:

5) 6) 7)

 a  a p

n

n

n

p

5) Ej:

· ap  apq nq ·

n p

a

n·p

a

73  7

3

 5

4

4

5

3

4·3 53 20

5

7 57  3 53

 4  3

5

5

43

4 · 5 3 · 5 2 1 5 7 7 07

6) Ej:

4 3

7) Ej:

43

24·32122

Nota: Recuerda que una raíz se puede expresar en forma de potencia de la siguiente forma: n

1 n

n

p n

a  a y por lo tanto p

a  a , de forma que todas las propiedades de las raíces vistas en la lista anterior, se pueden considerar una

consecuencia de las propiedades de las operaciones con potencias.

Ejercicios: Calcula, si es posible, las siguientes raíces: 1)

64

2)

3

64

576

3)

3

512

4)

5)

5

32

6)

5

1024

7)

5

243

8)

3

8·27·64

49·121·169

9)

10)

5

243 32

Suma/Resta de raíces: Sólo podemos sumar raíces de índices iguales, es decir, con el mismo índice y el mismo radicando. Ejercicios: Realiza las siguientes sumas/restas de raíces. a)

6 3 4 3 5 3

b)

3 2  3 8  3 18

12  48  27  75

c)

d) 7 54  3 18 

e) 4 12 

f)

3

24 

3 50  6 5

3 2 3 48  27  75 2 3 5

16  3 54

g)

1  27 3

h)

1  2  4 2  6 8  4 64 2

i)

3 x  4 x  2 36 x

RACIONALIZACIÓN Racionalizar una fracción es transformarla en otra equivalente pero sin raíces en el denominador. Vamos a estudiar 3 casos diferentes: Caso 1: En el denominador hay una raíz cuadrada. Para “eliminar” la raíz del denominador, multiplicamos el numerador y el denominador por la raíz del denominador. Ejemplo:

3 2 3 2 5 3 10 3 10 3 10  ·    2 2·5 10 2 5 2 5 5 2 5

 

Ejercicios: Racionaliza: a)

5 5

b)

2 6 2

c)

2 12 5 3

d)

3 2

e)

2a ab

f)

3ab  1 3ab

g)

2  3 12 6

Caso 2: En el denominador hay una raíz de índice mayor que 2. En este caso se multiplica el numerador y el denominador por una raíz del mismo índice que la del denominador y con un radicando de exponente la diferencia entre el índice de la raíz y el exponente inicial. Ejemplo:

4 3 5 2 x2 y3



4 3 5 2 x2 y3

Ejercicios: Racionaliza: a)

b)

c)

d)

3 4

9a 3b

ab 5

ab 2

6 4 18

ab  3 ab 2 3

a 2b

5

24 x 3 y 2

5

24 x 3 y 2

·



4 5 24 x3 y 2 3 5 2 x 2 y 3 24 x 3 y 2



4 5 24 x3 y 2 3 5 25 x5 y 5



22 5 24 x3 y 2 2 5 24 x3 y 2  3·2 xy 3xy

Caso 3: El denominador es una suma o una diferencia en la que uno o ambos sumandos son una raíz cuadrada. Para “eliminar” la raíz o raíces cuadradas del denominador, multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador; es decir, el mismo denominador cambiado de signo en el medio. Ejemplo:



    

2 7 3 2 2 7 3  ·  2 7 3 7 3 7 3 7  3 Ejercicios: Racionaliza a)

1 2 3

b)

5 5 2

c)

3 5 2 3 2 3 3 5

d)

e)

f)

g)

2 2 1

2 3 2

1 2 1 2

5 2 3 2 5

2



2



7 3 73

  2

7 3 4



7 3 2



h)

i)

2x 2 x

5 2 3 2 3

3

j)

ab 2 2a  2b