Paper Cobb Douglas.docx

CUARTA PRÁCTICA CALIFICADA OPTIMO DEL CONSUMIDOR Y DEMANDA MODELO DE SIMULACION EN HOJA DE CÁLCULO ALUMNOS: ARMERO CAVEL, PEDRO GUILLERMO

20112112J.

POMA ENRIQUEZ, JUDITH

20150477A.

QUEZADA BAYLON, CARLOS ANTONIO

20161447A

SALAZAR DAVILA, ROGER ARTURO

20171485C

CURSO:

MATEMATICA III DOCENTE:

ALAN YSIQUE QUESQUEN

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INDICE RESUMEN ................................................................................................................................... 3 SUMMARY .................................................................................................................................. 4 INTRODUCCION ........................................................................................................................ 5 OBJETIVOS ................................................................................................................................ 6 MARCO TEÓRICO .................................................................................................................... 7 Restricción presupuestaria.................................................................................................... 7 Las preferencias ..................................................................................................................... 8 Utilidad ..................................................................................................................................... 9 Función de utilidad ................................................................................................................. 9 Elección de los consumidores ............................................................................................ 10 La Demanda del Individuo .................................................................................................. 11 Demanda de Mercado ......................................................................................................... 12 ESTRATEGIA A SEGUIR ....................................................................................................... 13 Multiplicadores de Lagrange............................................................................................... 14 1.

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA: ...................................................................... 14

2.

DIFERENCIACIÓN DEL LAGRANGIANO: .......................................................... 14

3.

RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES RESULTANTES: ................................ 15

La utilidad marginal del ingreso.......................................................................................... 16 La dualidad en la teoría del consumidor ........................................................................... 17 EJERCICIOS DE PRUEBA .................................................................................................... 20 BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................ 21

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RESUMEN En el presente trabajo de investigación elaborado especialmente para la Feria de Proyectos 2018, de la Facultad de Ingeniería Económica, Estadística y Ciencias Sociales (FIEECS), se tiene por iniciativa entre los integrantes, dos asuntos en particular: Contribuir con el desarrollo e investigación en microeconomía y a su vez informar del mismo, a toda persona interesada que desee involucrarse en la materia para los fines que estime convenientes. Se exponen detalladamente los siguientes temas de carácter exigente en el syllabus del curso; Optimo del Consumidor, en la cual se indica tanto la cuestión subjetiva como la objetiva, en la primera se señala la utilidad conseguida cuando se consumen bienes y servicios para la satisfacción de las necesidades, y, cabe mencionar que está más orientada a lo psicológico, así mismo como a las costumbres, respecto a la otro plano, se refiere a los ingresos y precios dados en el mercado; La Demanda Marshalliana, que es una función de demanda que relaciona los precios y cantidades de un bien, ante variaciones de los precios relativos y el ingreso real del individuo; Curva de Engel, donde se muestra como varia la demanda de un bien ante un cambio en el ingreso; Así mismo se señala que existe una canasta de bienes optima, que depende de las preferencias del consumidor para cada nivel de ingreso; Análisis Hicks, Análisis Slutsky, en este contexto se indica a la Ecuación de Slutsky que descompone el cambio en la cantidad demandada de un bien en dos efectos: Efecto Sustitución y Efecto Renta mediante los diferentes procedimientos requeridos para cada análisis ; Curva Ingreso Consumo, en la cual se aprecian el conjunto de combinaciones optimas del consumidor, que se van obteniendo al ir variando sus niveles de renta y manteniendo los precios de los bienes constantes. Se culmina la presente obra agradeciendo a los docentes y compañeros, que motivaron la realización del evento para compartir con el público, nuestro más preciado proyecto. Palabras clave: Efecto Renta, Efecto Sustitución, Ecuación de Slutsky, Demanda Compensada, Demanda Marshalliana.

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SUMMARY In the present work of investigation elaborated especially for the Fair of Projects 2018, of the Faculty of Economic Engineering, Statistic and Social Sciences (FIEECS), has by initiative between the members, two subjects in particular: Contribute with the development and investigation in microeconomics and in turn report it to any interested person who wishes to be involved in the subject for the purposes it deems appropriate. The following subjects of demanding character are exposed in detail in the syllabus of the course; Consumer Optimal in which both the subjective and the objective question are indicated, in the first the utility obtained when goods and services are consumed for the satisfaction of needs, and it is worth mentioning that it is more oriented to the psychological, likewise to the customs, regarding the other plane, it refers to the income and prices given in the market; The Marshallian Demand, which is a demand function that relates the prices and quantities of a good, to changes in relative prices and the real income of the individual; Engel curve, showing how the demand for a good varies with a change in income; Likewise, it is pointed out that there is an optimum basket of goods, which depends on the preferences of the consumer for each level of income; Hicks Analysis, Slutsky Analysis, in this context it is indicated to the Slutsky Equation that decomposes the change in the quantity demanded of a good in two effects: Substitution Effect and Income Effect through the different procedures required for each analysis; Consumption Curve Consumption, which shows the set of optimal consumer combinations, which are obtained by varying their income levels and keeping the prices of goods constant. The present work is completed by thanking the teachers and colleagues, who motivated the realization of the event to share with the public, our most precious project.

Keywords: Income Effect, Substitution Effect, Slutsky Equation, Compensated Demand, Marshallian Demand.

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INTRODUCCION La presente investigación ha sido recopilada de una variedad de fuentes, la cual tiene por finalidad dar a conocer a los estudiantes de ingeniería económica y carreras afines, la importancia de la microeconomía, en la cual nos interesa lograr tres objetivos que serán mencionados más adelante. Nuestros principales intereses fueron motivación para no solo participar de la feria de proyectos, sino manifestar que estamos comprometidos con la educación en todos los niveles, ya sea desde los colegios hasta la universidad, y su posterior culminación, en la cual queremos que nuestros futuros ingenieros economistas, así como nosotros, también sean conscientes de las problemáticas actuales, y busquen soluciones, es decir, dejar un precedente, que sea de raíz para las futuras generaciones, es momento de empezar a actuar y aprovechar el conocimiento que dejaron nuestros antecesores. En la presente obra abordamos temas acerca de la canasta básica familiar, en la cual intervienen los precios de los productos a consumir, así como también el salario o renta mensual de la cual se dispone, y todo esto se da en el mercado, donde coexisten un conjunto de restricciones para dichos movimientos de venta y compra, se hace un análisis detallado de como el consumidor puede lograr su mayor satisfacción teniendo en cuenta sus limitaciones financieras. Se agradece a la casa de estudios por la oportunidad brindada y se hace el más cordial saludo a las autoridades estudiantiles y docentes en general por permitir el desarrollo de la Feria de Proyectos 2018, asimismo manifestar que cumplimos una noble misión de aportar a la educación del país tanto para nuestros niños y jóvenes.

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OBJETIVOS Como se mencionó tres son los objetivos principales los cuales nos motivaron a realizar el siguiente trabajo: 1. Compartir nuestros conocimientos con el público interesado, docentes y compañeros de las diferentes facultades de la universidad. 2. Motivar a nuestros compañeros de nuestra casa de estudios a unirse al desarrollo de nuevos materiales de investigación. 3. Aplicar con esfuerzo y dedicación todo lo investigado a la

sociedad

peruana, así usándolo como una herramienta de trabajo. Complementariamente también nos motivó el hecho de que nuestro trabajo sirva a los profesores de las distintas clases de Microeconomía, que puedan mostrar todos los puntos que hemos abordado de manera más didáctica e interactiva y así poder motivar a los alumnos a que ellos también puedan y quieran realizar más trabajos como este. Este proyecto es solo el comienzo de un modelo que se piensa en ampliar mucho más, incluyendo más modelos aparte de solo el Cobb-Douglas, para que pueda ser un software mucho más completo.

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MARCO TEÓRICO

Restricción presupuestaria Dentro de la teoría del consumidor la restricción presupuestaria juega un papel muy importante, limitando las opciones de elección de las personas; en este sentido, son las restricciones a las que se enfrentan los consumidores como consecuencia de su limitada renta. La recta de presupuesto definida dentro del análisis de la conducta del consumidor, nos da todas las combinaciones posibles de bienes con las que la cantidad total de dinero gastada es igual a la renta. Supongamos que el consumidor puede elegir entre varios bienes. En la vida real, pueden consumirse muchos bienes, pero para nuestros fines resulta más cómodo considerar únicamente dos, ya que de esa forma podemos describir gráficamente el problema de elección al que se enfrenta el consumidor. Sea la cesta de consumo del individuo (x1, x2). Esta cesta no es más que una lista de dos cifras que nos indica cuanto decide consumir el individuo del bien 1, x1, y cuanto del 2, x2. Algunas veces es más cómodo representarla mediante un único símbolo, por ejemplo, X que es sencillamente una abreviatura de la lista de dos cifras (x1, x2). Supongamos que podemos observar el precio de los dos bienes, (p1, p2), y la cantidad de dinero que el consumidor tiene para gastar, m. En ese caso, su restricción presupuestaria será: p1x1 + p2x2 ≤ m. En esta expresión, p1x1 es la cantidad de dinero que gasta el consumidor en el bien 1 y p2x2 la que gasta en el 2. Su restricción presupuestaria requiere que la cantidad gastada en los dos bienes no sea superior a la cantidad total que tiene para gastar. Las cestas de consumo que están a su alcance son las que no cuestan más de m.

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Las preferencias Dentro de la teoría del consumidor, las preferencias son entendidas como aquellas razones por las que las personas prefieren elegir una canasta (cesta) de bines y no otra. Si analizamos la elección del consumidor en el plano más general, necesitamos no sólo una lista completa de los bienes que podría consumir, sino también una descripción de cuándo, dónde y en qué circunstancias podría obtenerlos. Después de todo, a los individuos les preocupa saber cuántos alimentos tendrán mañana tanto como saber cuántos tienen hoy. Sin embargo, cuando centramos únicamente nuestra atención en un sencillo problema de elección, normalmente los bienes relevantes son bastante obvios. Muchas veces adoptaremos la idea descrita anteriormente de utilizar sólo dos bienes y de llamar a uno de ellos “todos los demás bienes”. Supondremos que dadas dos cestas de consumo cualesquiera, (x1, x2) y (y1, y2), el consumidor puede ordenarlas según su atractivo. Es decir, puede decidir que una de ellas es estrictamente mejor que la otra o bien que le son indiferentes.

Dentro del análisis de las preferencias existen supuestos que deben cumplirse por necesidad, es por eso que en muchos casos es apropiado usar el término de axiomas de la teoría del consumidor. Dichos axiomas son: 

Completas.

Suponemos

que

es

posible

comparar

dos

cestas

cualesquiera. 

Reflexivas. Suponemos que cualquier cesta es al menos tan buena como ella misma.



Transitivas. Si el consumidor piensa que la cesta X es al menos tan buena como Y y que la Y es al menos tan buena como la Z, piensa que la X es al menos tan buena como la Z.

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Utilidad La utilidad dentro de la teoría del consumidor es concebida como aquel beneficio que se obtiene por el hecho de haber elegido una cesta de bienes. La utilidad es un concepto ordinal y no cardinal. Podemos mostrar gráficamente las preferencias del consumidor por medio de curvas de indiferencia. Una curva de indiferencia representa todas las combinaciones de cestas de mercado que reportan el mismo nivel de satisfacción o utilidad a una persona. Por tanto, esa persona es indiferente entre las cestas de mercado representadas por los puntos situados en la curva. Para describir las preferencias de una persona por todas las combinaciones de alimentos y vestido, podemos representar un conjunto de curvas de indiferencia llamado mapa de curvas de indiferencia. Cada una de las curvas del mapa muestra las cestas de mercado entre las que es indiferente la persona. Una característica importante es que en un mismo mapa de curvas de indiferencia, dichas curvas que generan igual utilidad no pueden cortarse. Recordando las preferencias, X

> y: x es estrictamente preferida a y.

X ~ y: x e y son igualmente preferidas. X < y: x es preferida al menos tanto como y. Y cumpliéndose los tres axiomas de las preferencias, entonces una relación de preferencias que cumple las características de ser completas, reflexivas, transitivas y continua, puede ser representada por una función de utilidad continua (continuidad significa que cambios pequeños en la canasta de consumo provocan cambios pequeños en el nivel de preferencia).

Función de utilidad Una función de utilidad es una fórmula que asigna un nivel de utilidad a cada cesta de mercado. Supongamos, por ejemplo, que la función de utilidad de Felipe correspondiente a los alimentos (A) y al vestido (V) es u(A, V) = A + 2V. En ese

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caso, una cesta de mercado formada por 8 unidades de alimentos y 3 de vestido genera una utilidad de 8 + (2) (3) = 14. Una persona es, pues, indiferente entre esta cesta de mercado y otra que contenga 6 unidades de alimentos Y 4 de vestido [6 + (2) (4) = 14]. Por otra parte, prefiere cualquiera de las dos cestas de mercado a otra que contenga 4 unidades de alimentos y 4 de vestido. ¿Por qué? Porque esta última cesta solo tiene un nivel de utilidad de 4 + (4) (2) = 12. Asignamos niveles de utilidad a las cestas de mercado de tal manera que si se prefiere la cesta de mercado A a la B, el número será más alto en el caso de A que en el de B. Por ejemplo, la cesta de mercado A situada en la curva de indiferencia más alta de las tres, U3, podría tener un nivel de utilidad de 3, mientras que la cesta B situada en la segunda más alta, U2, podría tener un nivel de utilidad de 2 y la D situada en la curva de indiferencia más baja, U1, podría tener un nivel de utilidad de 1. Por tanto, la función de utilidad suministra la misma información sobre las preferencias que un mapa de curvas de indiferencia: ambos ordenan las decisiones de los consumidores en función de su nivel de satisfacción. Dentro de esta teoría trabajaremos con funciones de utilidad ordinal más que con funciones de utilidad cardinal; pues las primeras generan una ordenación de mayor a menor utilidad, dejando de lado en cuanto o por cuanto es mayor una de otra cesta.

Elección de los consumidores Dadas las preferencias y las restricciones presupuestarias, ahora podemos averiguar cómo elige cada consumidor la cantidad que va a comprar de cada bien. Suponemos que los consumidores toman esta decisión racionalmente, es decir, eligen los bienes con la idea de maximizar la satisfacción que reportan, dado el presupuesto limitado con que cuentan. La cesta de mercado maximizadora debe satisfacer dos condiciones: o Debe encontrarse en la recta presupuestaria. Para ver por qué, obsérvese que cualquier cesta de mercado situada a la izquierda y por

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debajo de la recta presupuestaria deja sin asignar una parte de la renta, que si se gastara, podría aumentar la satisfacción del consumidor. Naturalmente, los consumidores pueden ahorrar —y a veces ahorran— parte de su renta para consumir en el futuro. En ese caso, no se elige simplemente entre los alimentos y el vestido, sino entre consumir hoy alimentos o vestido y consumir en el futuro. Sin embargo, de momento supondremos, para simplificar el análisis, que se gasta toda la renta ahora. Obsérvese también que con la renta disponible no es posible comprar ninguna cesta de mercado situada a la derecha y por encima de la recta presupuestaria. Por tanto, la única opción racional y viable es una cesta de mercado que se encuentre en la recta presupuestaria. o Debe suministrar al consumidor la combinación de bienes y servicios por la que muestra una preferencia mayor. La cesta que maximiza la satisfacción debe encontrarse en la curva de indiferencia más alta que toca la recta presupuestaria; y necesariamente debe cumplirse que la pendiente de la recta presupuestaria debe ser exactamente igual a la pendiente de la curva de indiferencia. Considerando a A como un bien y V como otro, entonces como la RMS (–ΔV/ΔA) es la pendiente de la curva de indiferencia con signo negativo, podemos decir que la satisfacción se maximiza (dada la restricción presupuestaria) en el punto en el que RMS = PA/PV Este resultado es importante: la satisfacción se maximiza cuando la relación marginal de sustitución (de V por A) es igual a la relación de precios (entre A y V). Por tanto, el consumidor puede obtener la máxima satisfacción ajustando su consumo de los bienes A y V, por lo que la RMS es igual a la relación de precios.

La Demanda del Individuo Cuando varía el precio de uno de los bienes, entonces variara el consumo de estos. Si consideramos dos bienes (alimentos y vestimentas) colocados en los ejes ordenados que miden las cantidades consumidas de ambos ( el eje vertical

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para vestimentas y el horizontal para alimentos) y que Al principio, el precio de los alimentos es de 1 dólar, el del vestido de 2 y la renta del consumidor de 20. Para dichos valores se encuentra un punto óptimo, es decir una canasta que se prefiere de todas las demás factibles y que maximiza la satisfacción o utilidad (dicho punto es 12 de alimentos y 4 de vestidos) por lo que obtiene el nivel de utilidad correspondiente a la curva de indiferencia. Supongamos que el precio de los alimentos sube a 2 dólares, entonces la recta de presupuesto gira hacia dentro en torno a la ordenada en el origen, volviéndose el doble de inclinada que antes. La subida del precio relativo de los alimentos ha aumentado la magnitud de la pendiente de la recta presupuestaria. Ahora el consumidor maximiza la utilidad en otro punto distinto al inicial y que se encuentra en una curva de indiferencia más baja (como ha subido el precio de los alimentos, ha disminuido el poder adquisitivo del consumidor y, por tanto, la utilidad alcanzable, el consumidor elige 4 de alimento y 6 de vestidos). Ahora si hacemos variar el precio de los alimentos (puede ser de cualquier otro), bajándolo o subiéndolo y permaneciendo los demás precios e ingresos como variables exógenas, es decir ya dadas, entonces se generaran una serie de puntos óptimos, de los cuales al unirlos obtendremos una curva llamada curva precio consumo. Al colocar dichos valores de los puntos óptimos en un sistema de coordenadas, el eje vertical para precios y el horizontal para cantidad del bien (alimentos en este caso) obtendremos la curva de demanda del individuo.

Demanda de Mercado La demanda de mercado se obtiene sumando horizontalmente todas las demandas individuales obtenidas mediante sus preferencias y sus restricciones de

presupuesto;

es

decir

sumando

las

cantidades

que

demandan

individualmente las personas a diferentes precios dados, para así obtener una demanda conjunta que relacione precios y cantidades.

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ESTRATEGIA A SEGUIR Basándonos en la teoría microeconómica, especialmente en los principios básicos de la teoría de la demanda y apoyándonos indispensablemente en el análisis matemático (teoría de maximización y minimización de funciones de n variables, con y sin restricciones) a continuación se pasara a describir el conjunto de pasos que se empleó para dar solución a los fines que persigue el trabajo presente. La teoría de la conducta del consumidor se basa en el supuesto de que los consumidores maximizan la utilidad sujetos a la restricción de un presupuesto limitado y es sabido que podemos definir una función de utilidad para cada consumidor que asigne un nivel de utilidad a cada cesta de mercado. Cuando hay dos bienes, X e Y, el problema de optimización del consumidor puede formularse, pues, de la manera siguiente: Maximizar U(X, Y) Sujeta a la restricción de que toda la renta se gasta en los dos bienes: PxX + PyY = I Aquí, U ( ) es la función de utilidad, X e Y son las cantidades compradas de los dos bienes, Px y Py son sus precios e I es la renta; para averiguar la demanda de los dos bienes por parte del consumidor, elegimos los valores de X e Y que maximizan la función sujeta a la restricción. Cuando conocemos la forma concreta de la función de utilidad, podemos hallar directamente la demanda de X e Y del consumidor. Sin embargo, aunque expresemos la función de utilidad en su forma general U(X, Y), la técnica de la optimización restringida, en este caso la de los multiplicadores de LaGrange, puede utilizarse para describir las condiciones que deben cumplirse si el consumidor maximiza la utilidad.

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Multiplicadores de Lagrange El método de los multiplicadores de Lagrange es una técnica que puede utilizarse para maximizar o minimizar una función sujeta a una restricción o más. 1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA: En primer lugar, formulamos el lagrangiano del problema. El lagrangiano es la función que ha de maximizarse o minimizarse (en este caso, se maximiza la utilidad) más una variable que llamamos λ multiplicada por la restricción (en este caso, la restricción presupuestaria del consumidor). Enseguida interpretaremos el significado de λ. El lagrangiano es, pues, Φ = U(X, Y) – λ (PxX + PyY – I) Obsérvese que hemos formulado la restricción presupuestaria de la forma siguiente: PxX + PyY – I = 0 Es decir, como una suma de términos igual a cero. A continuación, insertamos esta suma en el lagrangiano.

2. DIFERENCIACIÓN DEL LAGRANGIANO: Si elegimos valores de X e Y que satisfagan la restricción presupuestaria, el segundo término de la ecuación será cero. Por tanto, maximizar será equivalente a maximizar U(X, Y). Diferenciando Φ con respecto a X, Y y λ e igualando entonces las derivadas a cero, obtenemos las condiciones necesarias para alcanzar un máximo. Las ecuaciones resultantes son ∂Φ —– = UMx (X, Y) – λPx = 0 ∂X

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∂Φ —– = UMy(X, Y) – λPy = 0 ∂Y

∂Φ —– = I – PxX – PyY = 0 ∂λ UM es una abreviatura de utilidad marginal: en otras palabras, UMx(X, Y) = ∂U(X, Y)/∂X, la variación de la utilidad provocada por un aumento muy pequeño del consumo del bien X.

3. RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES RESULTANTES: Las tres ecuaciones pueden formularse de la manera siguiente: UMX = λPX UMY = λPY PXX + PYY = I Ahora podemos resolver este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Los valores resultantes de X e Y son la solución del problema de optimización del consumidor: son las cantidades que maximizan la utilidad. Es mediante esta técnica de los multiplicadores de lagrenge que se obtienen los valores tanto de X como de Y que maximizan la función de utilidad, es decir, se obtiene el óptimo del consumidor. Luego de resolver se obtiene: X= X (Px, Py, I)

. . . (*)

Y=Y (Py, Px, I)

. . . (**)

Las ecuaciones anteriores que relacionan cantidades de bienes con sus respectivos precios, nos dicen como varia la cantidad de cada bien al variar los

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precios o el ingreso. Si tomamos la cantidad X como referencia y alteramos su precio de mercado, Px, y mantenemos constante los demás precios y el ingreso disponible, entonces obtenemos la función de demanda y su representación nos dará la curva de demanda individual. La función detallada y su aplicación se evidencian en la hoja de cálculo.  Se sabe por el estudio del método de los multiplicadores de Lagrange que si variamos el termino independiente de una de las restricciones (I en nuestro caso), entonces la variación de la función objetivo será aproximadamente igual al valor del multiplicador de Lagrange λ, multiplicado por la variación en el término de la restricción que varió; es decir: dF = db . λ Donde F es la función objetivo, b es el termino independiente de la restricción que ha variado y λ el multiplicador de Lagrange que optimiza la función. Aplicamos esto a nuestro problema de optimización.

La utilidad marginal del ingreso Cualquiera que sea la forma de la función de utilidad, el multiplicador de Lagrange λ representa la utilidad adicional generada cuando se abandona la restricción presupuestaria, en este caso, añadiendo una unidad adicional al presupuesto. Para mostrar cómo funciona este principio, diferenciamos la función de utilidad U(X, Y) totalmente con respecto a I: dU/dI = UMX (X, Y) (dX/dI) + UMY (X, Y) (dY/dI) Dado que cualquier incremento del ingreso debe repartirse entre los dos bienes, se deduce que dI = PxdX + PydY Luego se obtiene dU/dI = λPx (dX/dI) + λPY (dY/dI) = λ (PxdX + PydY)/dI

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Y por último llegamos a conclusión de: DU/dI = λ (PxdX + PydY)/ (PxdX + PydY) = λ Por tanto, el multiplicador de Lagrange es la utilidad adicional resultante de una unidad adicional de ingreso. Volviendo a nuestro análisis inicial de las condiciones para maximizar la utilidad, vemos en la ecuación que la maximización exige que la utilidad generada por la cantidad de cada bien, por unidad adicional gastada en ese bien, sea igual a la utilidad marginal de una unidad adicional más de ingreso. Si no fuera así, la utilidad podría aumentarse gastando más en el bien que tiene el mayor cociente entre la utilidad marginal y el precio y menos en el otro. En las ecuaciones obtenidas en * y ** si variamos el ingreso y dejamos como variables exógenas, los precios de mercado de los bienes, entonces obtenemos funciones de X y Y que dependen del ingreso; uniendo estos puntos óptimos al variar el ingreso obtenemos la curva de ingreso-cantidad. Trasladando estos puntos a un sistema de coordenadas en el que en el eje de las ordenadas sea para el ingreso y el de abscisas para cantidades llegamos a la curva de Engel. En la hoja de cálculo se evidencia su aplicación.

La dualidad en la teoría del consumidor Existen dos maneras de analizar la decisión de optimización del consumidor. La elección óptima de X e Y puede analizarse no solo como un problema consistente en elegir la curva de indiferencia más alta —el valor máximo de U( )— que toca a la recta presupuestaria, sino también como un problema de elegir la recta presupuestaria más baja —el gasto presupuestario mínimo— que toca a una determinada curva de indiferencia. Utilizamos el término dualidad para referirnos a estas dos perspectivas. Para ver cómo funciona este principio, consideremos el siguiente problema dual de optimización del consumidor, a saber, el problema de la minimización del coste de alcanzar un determinado nivel de utilidad:

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Minimizar PXX + PYY Sujeta a la restricción de que U(X, Y) = U* El lagrangiano correspondiente viene dado por Φ = PxX + PyY − μ (U(X, Y) − U*) Donde μ es el multiplicador de Lagrange. Diferenciando Φ con respecto a X, Y y μ e igualando las derivadas a cero, hallamos las siguientes condiciones necesarias para la minimización del gasto: Px− μUMx(X, Y) = 0 Py − μUMy(X, Y) = 0 y U(X, Y) = U* Resolviendo las dos primeras ecuaciones y reordenando, observamos que μ = [Px/UMX(X, Y)] = [Py/UMY(X, Y)] = 1/λ Como también es cierto que UMX(X, Y)/UMY(X, Y) = RMSxy= Px/Py La elección de X e Y minimizadora del coste debe encontrarse en el punto de tangencia de la recta presupuestaria y la curva de indiferencia que genera la utilidad U*. Como este es el mismo punto que maximizaba la utilidad en nuestro problema inicial, el problema dual de minimización del gasto genera las mismas funciones de demanda que se obtienen en el problema de maximización directa de la utilidad. Para ver cómo funciona el enfoque dual, reconsideremos el ejemplo Cobb- Douglas. El análisis algebraico es algo más fácil de seguir si se utiliza la forma exponencial de la función de utilidad Cobb-Douglas, U(X, Y) = XaY1-a. En este caso, el lagrangiano viene dado por Φ = PxX + PyY − μ [X^a Y^1−a − U*]

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Diferenciando con respecto a X, Y y μ e igualando a cero, tenemos que Px = μaU*/X Py = μ(1 − a)U*/Y Multiplicando la primera ecuación por X y la segunda por Y y sumando, tenemos que PxX + PYY = μU* En primer lugar, sea I el gasto que minimiza el coste (si el individuo no gasta todo su ingreso para obtener el nivel de utilidad U*, U* no podría ser el máximo de utilidad en el problema inicial). En ese caso, μ = I/U*. Introduciendo estos resultados en las ecuaciones anteriores, obtenemos X = aI/PX e Y = (1 − a)I/PY Estas son las mismas funciones de demanda que se obtienen al aplicar los multiplicadores de Lagrange.  Ya sea considerando tanto el problema de maximización o minimización

obtenemos el mismo punto que optimiza ambos requerimientos. Si consideramos maximizar la utilidad en donde esta estará sujeta a la restricción

presupuestaria

entonces

obtendremos

las

llamadas

Demandas marshallianas u ordinarias, donde las cantidades estarán en función de los precios y el ingreso; y si consideramos el problema de minimización del gasto sujeto a una curva de indiferencia dada, entonces obtendremos las Demandas hicksianas o compensadas, donde las cantidades estarán en función de los precios y la utilidad dada. En la hoja de cálculo se detalla su aplicación.

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EJERCICIOS DE PRUEBA 1. Karina disfruta jugando vóley (V) y ajedrez (A) todas las semanas en el club de su barrio y obtiene placer de acuerdo con la función de utilidad: U=V^(1/2)A^(1/2).Ella tiene un presupuesto de I=$24semanales para gastar en estas dos actividades y el precio de un partido de vóley, como el de una partida de ajedrez es igual a UM$ 4. Determine, entonces, lo siguiente:

a) ¿Cuántos partidos de vóley y cuántas partidas de ajedrez deberá realizar, a la semana, para maximizar su utilidad? b) Sin embargo, Karina solo tiene una reducida cantidad de tiempo disponible (16 horas) para realizar sus actividades recreativas todas las semanas. Si un partido de vóley dura 4 horas y una partida de ajedrez 2 horas c) ¿Cómo debería reasignar sus actividades recreativas para maximizar su utilidad con la restricción temporal ahora impuesta?, observe si cumple la restricción presupuestal mencionada anteriormente. d) Represente gráficamente este nuevo nivel de maximización de la utilidad y muestre que también satisface la restricción temporal

2. Felipe tiene una función de utilidad igual a U=x^2y^2. Se sabe, también, que los precios de los bienes X e Y son px=$2/unidad, py=$2/unidad. Además, el ingreso que dispone Felipe para adquirir ambos bienes es I=$150/mes. Determine, entonces lo siguiente: a) Obtenga las funciones de demanda de ambos bienes b) Obtenga las demanda de equilibrio c) Suponga, ahora, que el precio px, se incrementa a px=$3/unidad. Calcule el efecto sustitución y el efecto ingreso según Hicks. d) Presente la gráfica de los resultados de la parte (c) y expóngalos.

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BIBLIOGRAFIA 1. Microeconomía , Robert S. Pindyck, Daniel L. Rubinfeld 2. Microeconomía intermedia, 8a ed. Hal R. Varian

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