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Gota cargada Laboratorio de Introducción a la Física Departamento de Física Profesor Javier Duarte Chávez

Informe de Laboratorio

Segundo Proyecto de Aprendizaje Daniel Felipe Castro, Juan Guillermo Pérez, Juan Manuel López, Juan Felipe Numa, Juan Pablo Méndez

Introducción Se puede definir campo eléctrico como un espacio de fuerza generado por la atracción y repulsión de cargas eléctricas. El flujo eléctrico del campo se define como el área de la superficie del campo proyectada sobre un plano perpendicular al mismo. Se define como “Campo eléctrico uniforme” aquel campo eléctrico al cual todos los puntos de su espacio tienen la misma magnitud, dirección y sentido. Por otro lado, un campo gravitacional se define como un espacio de fuerzas capaces de representar la gravitación – La gravitación se define como la atracción de los cuerpos de acuerdo con su masa (Anónimo, s.f.) –. Es posible medir un campo eléctrico por medio de la intensidad de campo – La intensidad de campo se define como la fuerza que experimenta la unidad de masa en un punto del campo (Emeterio, s.f.)–. Este proyecto tiene como objetivo principal analizar e interpretar los distintos comportamientos de una partícula en un campo eléctrico uniforme y el campo gravitacional terrestre. En este caso se hará caer una gota de agua y se analizará su comportamiento.

Objetivos Objetivos generales -

Analizar el comportamiento de una gota cargada en un capo eléctrico producido por un capacitor de placas paralelas perpendicular al campo gravitacional generado por la tierra. Encontrar la carga de la gota que pasa a través de un capacitor de placas paralelas. Objetivos específicos

-

Calcular el campo eléctrico generado por el capacitor. Analizar a por medio de la cinemática el comportamiento de la gota, con el fin de encontrar la aceleración en cada uno de los componentes. Relacionar los datos obtenidos algebraicamente con los datos obtenidos por medio del uso de la herramienta tracker.

Marco teórico Para el óptimo desarrollo del proyecto es necesario tener en cuenta algunos conceptos básicos, los cuales serán de gran utilidad a la hora de realizar los respectivos cálculos y el análisis de los resultados, de acuerdo con esto se presentan las siguientes definiciones: Ley de Coulomb A partir de algunos de los experimentos de Coulomb, se generalizaron las propiedades de fuerza eléctrica entre dos partículas inmóviles con carga, esta establece que la magnitud de las fuerzas eléctricas con las que interactúan dos cargas son directamente proporcionales al producto de la magnitud de las cargas (Serway & Jewett, 2009). Debido a observaciones experimentales se terminó estableciendo la magnitud de la fuerza como: |𝐹⃗𝑒 | = 𝑘

|𝑞1 ||𝑞2 | 𝑟2 (Ecuación 1)

Donde |𝐹⃗𝑒 | es la magnitud de la fuerza eléctrica, |𝑞1 | y |𝑞2 | son las cargas, k es la constante de Coulomb que en este caso será tomada como 9,00 × 109 𝑁𝑚2 𝐶 −2 y r es la distancia que hay entre las dos cargas. Ley de Newton de gravitación universal A partir de esta ley se afirma que toda partícula en el universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distribución (Serway & Jewett, 2009). También definida por la ecuación |𝐹⃗𝑔 | = 𝐺

|𝑚1 ||𝑚2 | 𝑟2 (Ecuación 2)

Donde |𝐹⃗𝑔 | es la magnitud de la fuerza gravitacional, |𝑚1 | y |𝑚2 | son las masas, G es la constante gravitacional universal que en este caso será tomada como 6,67 × 10−11 𝑁𝑚2 𝑘𝑔−2 y r es la distancia que hay entre las dos cargas. Movimiento de partículas cargadas en campo eléctrico uniforme En el momento en el que una partícula con carga 𝑞 y masa 𝑚 se coloca en un campo eléctrico 𝐸⃗⃗ , la fuerza eléctrica aplicada en la carga es 𝑞𝐸⃗⃗ (Serway & Jewett, 2009). Además, si esta fuerza

eléctrica es la única aplicada a la partícula entonces podemos decir que la fuerza neta está dada por 𝐹⃗𝑒 = 𝑞𝐸⃗⃗ = 𝑚𝑎⃗ (Ecuación 3) En el caso de esta práctica la ecuación corresponde a la fuerza en el eje x, por lo tanto, la aceleración de la partícula en x estaría dada por: 𝑎⃗ =

𝑞𝐸⃗⃗ 𝑚 (Ecuación 4)

Pero este caso solo se puede dar en campos eléctricos constantes, puesto que solo así se puede afirmar que la aceleración debida a la fuerza del campo eléctrico es constante. Sumado a esto, si la partícula estuviese cargada positivamente la aceleración iría en la misma dirección del campo, mientras que si está cargada negativamente la partícula se moverá en dirección opuesta al campo eléctrico. Campo eléctrico a partir del potencial eléctrico de voltaje Conociendo el diferencial de potencial eléctrico, es posible calcular el campo eléctrico en una región especifica si el potencial eléctrico se conoce. Puesto que 𝑑𝑉 = −𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑠⃗ (Ecuación 5) Donde 𝑑𝑉 es un diferencial de potencial eléctrico y 𝑑𝑠⃗ es una distancia infinitesimal. Teniendo en cuenta que el campo eléctrico en este caso solo tiene componente en x, se puede afirmar que la distancia infinitesimal es un diferencial de x, por lo cual encontramos que el campo eléctrico está dado por 𝐸𝑥 = −

𝑑𝑉 𝑑𝑥 (Ecuación 6)

Es decir, que la componente en x del campo eléctrico es igual a la derivada del potencial eléctrico respecto a x (Serway & Jewett, 2009). Sumado a esto también conocemos por la ecuación 3 que 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑠⃗ = 𝑘

𝑞 𝑟̂ ∙ 𝑑𝑠⃗ 𝑟2 (Ecuación 7)

Pero es necesario realizar la integración en términos del radio por lo que es lícito afirmar que 𝑑𝑠⃗ cos 𝜃 = 𝑑𝑟 y encontramos que la diferencia de potencial eléctrico está dada por 𝑑𝑉 = −𝑘

𝑞 𝑑𝑟 𝑟2

(Serway & Jewett, 2009) (Ecuación 8)

Capacitor de placas paralelas Un capacitor está conformado por dos conductores. Cuando está cargado, cada conductor tiene una carga de igual magnitud, pero de signos opuestos, como se muestra en la imagen 1. Sumado a esto, la capacitancia de un capacitor se define como la relación entre la magnitud de la carga en cualquiera de los conductores y la magnitud de la diferencia de potencial entre dichos conductores (Serway & Jewett, 2009), también definida por la ecuación 𝑄 ∆𝑉

𝐶=

(Ecuación 9) Donde C es la capacitancia, Q es la carga y ∆𝑉 es el cambio en el potencial eléctrico, el cual se halla integrando la ecuación 8. En esta experimentación se trata con dos placas paralelas separadas por una distancia d, una de ellas cargada positivamente (Q+) y la otra cargada negativamente (Q-), las cuales cuentan también con una densidad de carga superficial de igual magnitud, pero diferente signo (Serway & Jewett, 2009), la cual está dada por 𝜎=

𝑄 𝐴 (Ecuación 10)

Donde 𝜎 es la densidad superficial de carga, Q es la carga y A es el área de la placa. También sabemos que la distancia es pequeña en relación al área, por lo que es válido asumir que el campo eléctrico es uniforme. En especial, para esta experimentación, podemos afirmar que el campo eléctrico está dado por 𝐸=

𝜎 𝑄 = 𝜖0 𝜖0 𝐴 (Ecuación 11)

En la cual 𝜖0 es la permitividad, que en este caso se tomara como 8,85 × 10−12 𝐹𝑚−1 . Debido a que el campo eléctrico es constante, podemos afirmar que la diferencia de potencial eléctrico es igual a 𝐸𝑑 (el campo eléctrico multiplicado por la distancia entre las placas). Por lo tanto ∆𝑉 = 𝐸𝑑 =

𝑄𝑑 𝜖0 𝐴 (Ecuación 12)

Al sustituir en la ecuación 9 podemos encontrar que la capacitancia está dada por 𝐶=

𝜖0 𝐴 𝑑 (Ecuación 13)

Imagen 1. Ejemplo de cómo se realizará la experimentación, también se muestra como están cargadas las placas y la distancia a la que se encuentran. Tomada de: (Serway & Jewett, 2009).

Gráficas Teóricas Con el fin de realizar un correcto análisis en tracker, es importante introducir algunos conceptos de cinemática. Puesto que el movimiento esperado es un movimiento semiparabolico y con el fin de modelar el comportamiento de la gota podemos introducir dichos conceptos. Posición El vector posición de una partícula uniformemente acelerada cambia con el tiempo a medida que la partícula se mueve, este está representado por ⃗ = 𝒙𝒊̂ + 𝒚𝒋̂ 𝒔 (Ecuación 14) Además, la expresión para hallar el vector posición en función del tiempo esta dada por 𝟏 𝟐 ⃗𝒇 = 𝒔 ⃗𝒊+𝒗 ⃗ 𝒊𝒕 + 𝒂 ⃗𝒕 𝒔 𝟐 (Ecuación 15) ⃗ 𝒇 corresponde al vector posición final, 𝒔 ⃗ 𝒊 al vector posición inicial, 𝒗 ⃗ 𝒊 a la velocidad inicial, Donde 𝒔 ⃗ la aceleración y 𝒕 el tiempo, esta ecuación también puede ser calculada únicamente utilizando 𝒂 los componentes, y así encontrar las gráficas para cada componente en función del tiempo, donde el cada componente debe variar parabólicamente de acuerdo con la ecuación 15. Siendo así en la grafica 1 se muestra la forma en que se esperaría que se comportara el desplazamiento en el eje y en función del tiempo, en la grafica 2 se muestra el desplazamiento en el eje x en función del tiempo que se esperaría que tuviese la gota y en la grafica 3 se muestra la grafica de el desplazamiento en x versus el desplazamiento en y que se esperaría que tuviese la gota.

T (s)

Y

Grafica 1. Gráfica teórica del desplazamiento de la gota con respecto al eje y, en este no existe campo eléctrico alguno el cual afecte el desplazamiento, únicamente influye la gravedad sobre la gota.

X

T (s)

Grafica 2. Gráfica teórica del desplazamiento de la gota con respecto al eje x, en este afecta únicamente el campo eléctrico el cual va a atraer la gota hacia una de las placas, causando una desviación en la gota y no dejándola caer de forma recta y uniforme.

X

Y

Grafica 3. Gráfica teórica del desplazamiento en y versus el desplazamiento en x.

Velocidad Además, si se conoce el vector posición también se puede calcular la velocidad utilizando

⃗ = 𝒗

⃗ 𝒅𝒔 𝒅𝒕 (Ecuación 16)

Donde ⃗𝒗 representa la velocidad, y bien sabemos que la velocidad es igual al cambio en el desplazamiento. Cabe resaltar que esta corresponde a la velocidad instantánea, y esta tiene una componente en x y en y. Por lo que finalmente al derivar la ecuación 2 podríamos decir que la velocidad está dada por ⃗𝒇=𝒗 ⃗ 𝒊+𝒂 ⃗𝒕 𝒗 (Ecuación 17) La cual también puede ser calculada por componentes con el fin de ver como se comporta la velocidad en x y en y en función del tiempo. En este caso se esperaría que la componente en y de la velocidad se comportara similar a lo ilustrado en la gráfica 4, teniendo en cuenta que en este componente la única fuerza actuando es la del campo gravitacional. En la grafica 5 se muestra el comportamiento esperado de la grafica de velocidad en x vs tiempo y finalmente en la gráfica 6 se muestra el comportamiento esperado de la velocidad en x versus la velocidad en y.

T (s)

Vy (m/s) Grafica 4. Gráfica teórica de la velocidad con respecto al eje y, en la cual la pendiente representaría la aceleración.

Vx (m/s)

T (s) Grafica 5. Gráfica teórica de la velocidad con respecto al eje x. De igual forma se observa un crecimiento lineal, sin embargo, este no es tan significativo como el crecimiento en el eje y, esto ocurre debido a que lo único que condiciona la aceleración en x es el campo eléctrico, el cual genera una fuerza muy pequeña, por el contrario, en y, lo condiciona la gravedad.

vx(m/s)

vy (m/s) Grafica 6. Comportamiento esperado de la velocidad en x vs la velocidad en y. Aceleración Conociendo la velocidad es posible calcular la aceleración, la cual esta dada por ⃗ = 𝒂

⃗ 𝒅𝒗 𝒅𝒕 (Ecuación 18)

Porque es bien sabido que la aceleración corresponde al cambio en la velocidad. Teniendo en cuenta los distintos factores que afectan el sistema (la gota), podemos decir que en este caso la aceleración es un numero por lo que en el caso de la aceleración en y, la gráfica solo tendrá un valor y será el de la aceleración debido al campo gravitacional (la gravedad) como se muestra en la grafica 7, mientras que la aceleración en x será la aceleración debido al campo electromagnético puesto que es la única fuerza actuando en x por lo que su comportamiento se vera similar al ilustrado en la grafica 8.

T (s)

ay (m/s^2)

Grafica 7. Gráfica teórica de la aceleración con respecto a y. Se sabe que la gravedad es la única fuerza que actúa sobre la gota en el eje y, por ende, la aceleración será constante.

ax (m/s^2)

T (s)

Grafica 8. Gráfica teórica de la aceleración con respecto al eje x. De igual forma a la aceleración con respecto a y, en x también es constante, sin embargo, se sabe que va a ser mucho menor que la aceleración en y.

Procedimiento A continuación, podrá apreciar el montaje superficialmente y las fuerzas que influyen en ese sistema (Figura 1)

Figura 1. Fuerzas actuando en la gota

En la siguiente figura se evidencian las fuerzas que actúan sobre la gota de agua, por medio de un Diagrama de Cuerpo Libre (Figura 2)

Figura 2. DCL de la gota

Resultados Para esta experimentación dividiremos los resultados en tres partes, en la primera parte se mostrarán los cálculos realizados para obtener el campo eléctrico generado por las placas, en la segunda parte se mostrarán los resultados obtenidos a partir del uso de la herramienta tracker para la segunda experimentación, junto con el cálculo de la aceleración para cada componente y de la carga de la gota, y finalmente en la tercera parte se mostraran los resultados obtenidos para la segunda experimentación.

Cálculo del campo eléctrico Es posible calcular el campo eléctrico por medio del voltaje generado por las placas, y la distancia de separación entre ellas. Todo eso haciendo uno de la ecuación anteriormente expresada. Podemos decir que el campo eléctrico está dado por 𝑉 = 𝐸⃗ 𝑑 (Ecuación 19) Teniendo en cuenta que el voltaje utilizado en las placas fue de 15000 voltios y la separación entre ellas se tomó como 0,09m, al remplazar encontramos que 𝐸⃗ =

15000 0,09

= 1.67 ∗ 105 𝑁𝐶 −1 Ahora debemos calcular la incertidumbre del campo eléctrico, la cual está dada por ∆𝑉 ∆𝐷 ∆𝐸⃗ = ( + )∗𝐸 𝑉 𝐷 ∆𝐸⃗ = (

500 1 ∗ 10−3 + ) ∗ 1.67 ∗ 105 𝑁𝐶 −1 15000 9 ∗ 10−2 ∆𝐸⃗ = 7.42 ∗ 103 𝑁𝐶 −1 (Ecuación 20)

Por lo que el valor final del campo es de 𝐸⃗ = 1.67 ∗ 105 𝑁𝐶 −1 ± 7.42 ∗ 103 𝑁𝐶 −1 (Ecuación 21) Este valor del campo eléctrico será el mismo utilizado para hallar la carga de las distintas gotas. A continuación, se presenta una tabla con las diferentes medidas realizadas en la realización del Proyecto de Aprendizaje. (𝟎, 𝟏𝟗𝟓𝒎 × 𝟎, 𝟏𝟗𝟓𝒎)(±𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝒎) Dimensiones De La Placa Distancia entre las placas 0,900 ± 0,001𝑚 Voltaje experimentación 15000 ± 500𝑉 3 Cantidad de gotas en 1 Cm 22 ± 1 Valor del campo 1.67 ∗ 105 𝑁𝐶 −1 ± 7.42 ∗ 103 𝑁𝐶 −1

Resultados para la gota de cloro

Imagen 2. Imagen del vídeo a analizar en tracker para la gota de cloro

La siguiente es la gráfica de posición vs tiempo en el eje horizontal:

Gráfica 9. Desplazamiento en x de la gota en función el tiempo para el cloro.

Y la gráfica de posición vs tiempo en el eje vertical:

Gráfica 10. Desplazamiento en y de la gota en función el tiempo para el cloro.

Las respectivas regresiones parabólicas son Regresión desplazamiento en 𝑥 (Ecuación 22) Regresión desplazamiento en 𝑦 (Ecuación 23)

𝑥 = (−4,75 ∗ 10−1 𝑚𝑠 −2 )𝑡 2 + (−8,68 ∗ 10−3 𝑚𝑠 −1 )𝑡 + 1,08 ∗ 10−3 𝑚 𝑦 = (−5,00𝑚𝑠 −2 )𝑡 2 + (5,98 ∗ 10−1 𝑚𝑠 −1 )𝑡 + 9,81 ∗ 10−3 𝑚

Tabla 1. Regresión del desplazamiento en función del tiempo.

La siguiente es la gráfica de velocidad vs tiempo en x:

Gráfica 11. Velocidad en x de la gota en función el tiempo para el cloro.

Y la gráfica de velocidad vs tiempo en y:

Gráfica 12. Velocidad en y de la gota en función el tiempo para el cloro.

Las respectivas regresiones lineales son Regresión Velocidad en 𝑥 (Ecuación 25) Regresión Velocidad en 𝑦 (Ecuación 26)

𝑣𝑥 = (−1,02𝑚𝑠 −2 )𝑡 + 6,60 ∙ 10−4 𝑚𝑠 −1 𝑣𝑦 = (−9,83𝑚𝑠 −2 )𝑡 − 6,03 ∙ 10−1 𝑚𝑠 −1

Tabla 2. Regresión de la velocidad en función del tiempo. La siguiente es la gráfica de aceleración vs tiempo en x:

Gráfica 13. Aceleración en x de la gota en función el tiempo para el cloro.

Y la gráfica de aceleración vs tiempo en y:

Gráfica 14. Aceleración en y de la gota en función el tiempo para el cloro.

Se decidió no tomar los datos obtenidos en las gráficas 13 y 14 debido a que el comportamiento no fue el esperado, por lo tanto, se va a tomar la aceleración en x de la gráfica 9. Este proceso de analizar el comportamiento de la gota por medio de la cinemática tiene como fin el encontrar la carga de la gota – en este caso de cloro -. Por lo tanto, si sabemos que al derivar la posición hallamos la velocidad, y al derivar la velocidad hallamos la aceleración, entonces la aceleración está dada por 𝑎=

𝑑𝑉𝑦 𝑑𝑉𝑥 𝑖̂ + 𝑗̂ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 (Ecuación 27)

Al remplazar encontramos que 𝑎 = 2(−4,75 ∗ 10−1 𝑚𝑠 −2 )𝑖̂ + 2(−5,00𝑚𝑠 −2 )𝑗̂ −2 𝑖 − 1,00 ∗ 101 𝑚𝑠 −2 𝑗̂ ̂ = −9,50 ∗ 10−1 𝑚𝑠

(Ecuación 28) Podemos asumir que la aceleración en x de la gráfica 1 es correcta debido a que la aceleración en y es cercana en magnitud a la gravedad. Ahora que conocemos la aceleración, debemos calcular la masa de la gota, la cual está dada por 𝑚=

𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑜𝑡𝑎𝑠

𝑚 = 5,16 ∗ 10−4 𝐾𝑔 (Ecuación 29) La incertidumbre para la masa se calculó

∆𝑚 =

∆𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑔𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑜𝑡𝑎𝑠 (Ecuación 30)

Sustituyendo por los valores ∆𝑚 =

0,1 ∙ 10−3 22

= 4,55 ∗ 10−6 𝑘𝑔 Por lo tanto, la masa sería 𝑚 = 5,16 ∗ 10−4 ± 4,55 ∗ 10−6 𝑘𝑔 Ahora con los datos obtenidos podemos remplazar en la siguiente ecuación 𝐹⃗𝑒 = 𝑚𝑎⃗ 𝑞𝐸⃗⃗ = 𝑚𝑎⃗ Donde si despejamos la carga sería igual a 𝑞=

𝑚𝑎𝑥 𝐸⃗

Y al remplazar hallamos que 𝑞=

(5,16 ∗ 10−4 )(9,50 ∗ 10−1 ) 1.67 ∗ 105 = 2,94 ∗ 10−9 𝐶

La incertidumbre está dada entonces por ∆𝑞 = ( ∆𝑞 = (

∆𝑚 ∆𝐸 + )𝑞 𝑚 𝐸

4,55 ∗ 10−6 7.42 ∗ 103 + ) 2,94 ∗ 10−9 𝐶 5,16 ∗ 10−4 1.67 ∗ 105 ∆𝑞 = 1,57 ∗ 10−10 𝐶

Por lo tanto, la carga es igual a 𝑞 = 2,94 ∗ 10−9 ± 1,57 ∗ 10−10 𝐶 Resultados para la gota de cloro

Imagen 2. Imagen del vídeo a analizar en tracker para la gota agua con sal.

La siguiente es la gráfica de posición vs tiempo en el eje horizontal:

Gráfica 15. Desplazamiento en x de la gota en función el tiempo para el agua con sal..

Y la gráfica de posición vs tiempo en el eje vertical:

Gráfica 16. Desplazamiento en y de la gota en función el tiempo para el agua con sal.

Las respectivas regresiones parabólicas son Regresión desplazamiento en 𝑥 (Ecuación 31 Regresión desplazamiento en 𝑦 (Ecuación 32)

𝑥 = (−3,85 ∗ 10−1 𝑚𝑠 −2 )𝑡 2 + (6,73 ∗ 10−2 𝑚𝑠 −1 )𝑡 + 1,52 ∗ 10−3 𝑚 −2 𝑦 = (−5,22𝑚𝑠 )𝑡 2 + (2,27 ∗ 10−1 𝑚𝑠 −1 )𝑡 + (2,04 ∗ 10−3 𝑚)

Tabla 3. Regresión del desplazamiento en función del tiempo. La siguiente es la gráfica de velocidad vs tiempo en x:

Gráfica 17. Velocidad en x de la gota en función el tiempo para el agua con sal.

Y la gráfica de velocidad vs tiempo en y:

Gráfica 18. Velocidad en y de la gota en función el tiempo para el agua con sal.

Las respectivas regresiones lineales son Regresión Velocidad en 𝑥 (Ecuación 33) Regresión Velocidad en 𝑦 (Ecuación 34)

𝑣𝑥 = (−8,00 ∗ 10−1 𝑚𝑠 −2 )𝑡 + 6,82 ∙ 10−2 𝑚𝑠 −1 𝑣𝑦 = (−1,08𝑚𝑠 −2 )𝑡 − 2,96 ∙ 10−1 𝑚𝑠 −1

Tabla 4. Regresión de la velocidad en función del tiempo. La siguiente es la gráfica de aceleración vs tiempo en x:

Gráfica 19. Aceleración en x de la gota en función el tiempo para el agua con sal.

Y la gráfica de aceleración vs tiempo en y:

Gráfica 20. Aceleración en y de la gota en función el tiempo para el agua con sal..

Se decidió no tomar los datos obtenidos en las gráficas 19 y 20 debido a que el comportamiento no fue el esperado, por lo tanto, se va a tomar la aceleración en x de la gráfica 15. Este proceso de analizar el comportamiento de la gota por medio de la cinemática tiene como fin el encontrar la carga de la gota – en este caso de agua con sal -. Por lo tanto, si sabemos que al derivar la posición hallamos la velocidad, y al derivar la velocidad hallamos la aceleración, entonces la aceleración está dada por 𝑎=

𝑑𝑉𝑦 𝑑𝑉𝑥 𝑖̂ + 𝑗̂ 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Al remplazar encontramos que 𝑎 = 2(−3,85 ∗ 10−1 𝑚𝑠 −2 )𝑖̂ + 2(−5,22𝑚𝑠 −2 )𝑗̂ −2 𝑖 − 1,04 ∗ 101 𝑚𝑠 −2 𝑗̂ ̂ = −7,70 ∗ 10−1 𝑚𝑠

Podemos asumir que la aceleración en x de la gráfica 9 es correcta debido a que la aceleración en y es cercana en magnitud a la gravedad. Ahora que conocemos la aceleración, debemos calcular la masa de la gota, la cual está dada por 𝑚=

𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑜𝑡𝑎𝑠

𝑚 = 2,07 ∗ 10−4 𝐾𝑔 La incertidumbre para la masa se calculó

∆𝑚 =

∆𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑔𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑜𝑡𝑎𝑠

Sustituyendo por los valores 0,1 ∙ 10−3 ∆𝑚 = 22 = 4,55 ∗ 10−6 𝑘𝑔 Por lo tanto, la masa sería 𝑚 = 2,07 ∗ 10−4 ± 4,55 ∗ 10−6 𝑘𝑔 Ahora con los datos obtenidos podemos remplazar en la siguiente ecuación 𝐹⃗𝑒 = 𝑚𝑎⃗ 𝑞𝐸⃗⃗ = 𝑚𝑎⃗ Donde si despejamos la carga sería igual a 𝑞=

𝑚𝑎𝑥 𝐸⃗

Y al remplazar hallamos que 𝑞=

(2,07 ∗ 10−4 𝐾𝑔 )(−7,70 ∗ 10−1 ) 1.67 ∗ 105 = 9,72 ∗ 10−10 𝐶

La incertidumbre está dada entonces por ∆𝑞 = ( ∆𝑞 = (

∆𝑚 ∆𝐸 + )𝑞 𝑚 𝐸

4,55 ∗ 10−6 7.42 ∗ 103 + ) 9,72 ∗ 10−10 𝐶 2,07 ∗ 10−4 1.67 ∗ 105 ∆𝑞 = 6,46 ∗ 10−11 𝐶

Por lo tanto, la carga es igual a 𝑞 = (9,72 ∗ 10−10 ± 6,46 ∗ 10−11 )𝐶 Resultados para la gota de azúcar

Imagen 2. Imagen del vídeo a analizar en tracker para la gota de cloro

La siguiente es la gráfica de posición vs tiempo en el eje horizontal:

Gráfica 21. Desplazamiento en x de la gota en función el tiempo para el azúcar.

Y la gráfica de posición vs tiempo en el eje vertical:

Gráfica 22. Desplazamiento en y de la gota en función el tiempo para el azúcar.

Las respectivas regresiones parabólicas son Regresión desplazamiento en 𝑥 (Ecuación 35 Regresión desplazamiento en 𝑦 (Ecuación 36

𝑥 = (−2,79 ∗ 10−1 𝑚𝑠 −2 )𝑡 2 + (3.06 ∗ 10−2 𝑚𝑠 −1 )𝑡 − 3,78 ∗ 10−4 𝑚 𝑦 = (−5,10𝑚𝑠 −2 )𝑡 2 + (−1,83 ∗ 10−1 𝑚𝑠 −1 )𝑡 + 7,79 ∗ 10−3 𝑚

Tabla 5. Regresión del desplazamiento en función del tiempo. La siguiente es la gráfica de velocidad vs tiempo en x:

Gráfica 23. Velocidad en x de la gota en función el tiempo para el azúcar.

Y la gráfica de velocidad vs tiempo en y:

Gráfica 24. Velocidad en y de la gota en función el tiempo para el azúcar.

Las respectivas regresiones lineales son Regresión Velocidad en 𝑥 (Ecuación 37) Regresión Velocidad en 𝑦 (Ecuación 38)

𝑣𝑥 = (−5,97 ∗ 10−1 𝑚𝑠 −2 )𝑡 + 3,63 ∗ 10−3 𝑚𝑠 −1 𝑣𝑦 = (−1,09𝑚𝑠 −2 )𝑡 − 6,34 ∗ 10−2 𝑚𝑠 −1

Tabla 6. Regresión de la velocidad en función del tiempo. La siguiente es la gráfica de aceleración vs tiempo en x:

Gráfica 25. Aceleración en x de la gota en función el tiempo para el cloro.

Y la gráfica de aceleración vs tiempo en y:

Gráfica 6. Aceleración en y de la gota en función el tiempo para el cloro.

Se decidió no tomar los datos obtenidos en las gráficas 13 y 14 debido a que el comportamiento no fue el esperado, por lo tanto, se va a tomar la aceleración en x de la gráfica 9. Este proceso de analizar el comportamiento de la gota por medio de la cinemática tiene como fin el encontrar la carga de la gota – en este caso de cloro -. Por lo tanto, si sabemos que al derivar la posición hallamos la velocidad, y al derivar la velocidad hallamos la aceleración, entonces la aceleración está dada por 𝑎=

𝑑𝑉𝑦 𝑑𝑉𝑥 𝑖̂ + 𝑗̂ 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Al remplazar encontramos que 𝑎 = 2(−2,79 ∗ 10−1 𝑚𝑠 −2 )𝑖̂ + 2(−5,10𝑚𝑠 −2 )𝑗̂ = −5,58 ∗ 10−1 𝑚𝑠 −2 𝑖 − 1,02 ∗ 101 𝑚𝑠 −2 𝑗̂ Podemos asumir que la aceleración en x de la gráfica 1 es correcta debido a que la aceleración en y es cercana en magnitud a la gravedad. Ahora que conocemos la aceleración, debemos calcular la masa de la gota, la cual está dada por 𝑚=

𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑜𝑡𝑎𝑠

𝑚 = 2,05 ∗ 10−4 𝐾𝑔 La incertidumbre para la masa se calculó ∆𝑚 =

∆𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑔𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑜𝑡𝑎𝑠

Sustituyendo por los valores 0,1 ∙ 10−3 ∆𝑚 = 22 = 4,55 ∗ 10−6 𝑘𝑔 Por lo tanto, la masa sería 𝑚 = 2,05 ∗ 10−4 ± 4,55 ∗ 10−6 𝑘𝑔 Ahora con los datos obtenidos podemos remplazar en la siguiente ecuación 𝐹⃗𝑒 = 𝑚𝑎⃗ 𝑞𝐸⃗⃗ = 𝑚𝑎⃗ Donde si despejamos la carga sería igual a 𝑞=

𝑚𝑎𝑥 𝐸⃗

Y al remplazar hallamos que 𝑞=

(2,05 ∗ 10−4 )(5,58 ∗ 10−1 ) 1.67 ∗ 105 = 6,85 ∗ 10−10 𝐶

La incertidumbre está dada entonces por ∆𝑞 = ( ∆𝑞 = (

∆𝑚 ∆𝐸 + )𝑞 𝑚 𝐸

4,55 ∗ 10−6 7.42 ∗ 103 + ) 6,85 ∗ 10−10 𝐶 2,05 ∗ 10−4 1.67 ∗ 105 ∆𝑞 = 4,56 ∗ 10−11 𝐶

Por lo tanto, la carga es igual a 𝑞 = 6,85 ∗ 10−9 ± 4,56 ∗ 10−11 𝐶