P3.pdf

Pr´actica 3.- Superposici´on de Ondas Escamilla Esquivel Mariana Astrid Hern´andez Rosagel Vanessa Ram´ırez Aguirre Jeimi Yesenia Ram´ırez Villa Bryan Steven Rodr´ıgues Rodr´ıguez Diego Velazquez Moreno Itzel Alicia 27 de Febrero del 2019

I.Resumen Una de las propiedades de la ecuaci´ on de onda es que se trata de una ecuaci´on lineal, esto quiere decir que admite el principio de superposici´ on. Esto significa que si y1 e y2 son las soluciones de la misma ecuaci´on de onda. ∂ 2 y1 ∂x2

−

1 ∂ 2 y1 v 2 ∂t2

∂ 2 y2 ∂x2

=0

−

1 ∂ 2 y2 v 2 ∂t2

=0

(esto es, ambas representan posibles ondas que se pueden propagar por la misma cuerda), entonces su suma tambi´en es soluci´on y = y1 + y2 →

∂2y ∂x2

−

1 ∂2y v 2 ∂t2

=0

Esto se aplica cualquiera que sean las ondas componentes. En el caso particular de pulsos de onda el resultado es que, aunque durante el periodo de coincidencia, la deformaci´on de la cuerda puede adoptar formas extra˜ nas, cuando se separan ambos pulsos contin´ uan sin haber sido afectados en absoluto por la ”colisi´on” con el otro.

II.Objetivo

forma de onda no peri´odica, como la mostrada en la Figura 1.

Encontrar las diferentes figuras de Lissajous por medio del osciloscopio. Analizar las figuras de Lissajous mediante la superposici´on de ondas.

III.Introducci´ on Superposici´on de ondas. La forma de onda resultante de la superposici´ on de ondas se obtiene sumando algebraicamente cada una de las ondas senoidales que componen ese movimiento complejo. Si superponemos ondas senoidales de igual frecuencia, aunque con eventuales distintas amplitudes y/o fases, obtendremos otra onda senoidal con la misma frecuencia, pero con distinta amplitud y fase. Eventualmente esas ondas pueden cancelarse, por ejemplo, si tuvieran igual amplitud, pero una diferencia de fase de 180◦ . De particular inter´es resulta el caso de superposici´on de ondas senoidales de distinta frecuencia y eventual distinta amplitud y fase (por constituir el caso descrito por Fourier para la descomposici´on de los movimientos complejos). Si superponemos parciales no arm´ onicos obtendremos una

Figura1.Onda compleja no peri´odica

La superposici´on de ondas senoidales cuyas frecuencias guarden una relaci´on sencilla de n´ umeros enteros (es decir, arm´onicos) resultar´a en un movimiento complejo peri´odico. Las pr´oximas figuras muestran la resultante de la superposici´on de distintos arm´onicos de una serie. La Figura 2 muestra la resultante de superponer el segundo y el tercer arm´onico de una seria, es decir dos sonidos separados por un intervalo de quinta.

Figura2.Resultante de la superposicion del segundo y tercer armonico

Figura4.Suma de los tres primeros armonicos con igual fase

N´otese que la forma de onda resultante en todos estos casos var´ıa en funci´on de la amplitud y la fase de cada una de las ondas senoidales que superponemos. La Figura 3 muestra las resultantes de superponer octavas con distintas amplitudes y fases. Es notoria la diferencia de las formas de ondas resultantes.

Figura5.Suma de los tres primeros armonicos con distintas fases (Obtenido de: Sears, Zemansky, ?F´ısica Universitaria?, Pearson, Pags, 487-517 http://www.eumus.edu.uy/docentes/maggiolo /acuapu/sup.html).

Figura3.Resultante de la superposicion del primer y segundo armonico, pero con diferentes amplitudes y angulos de fase.

Osiloscopio El osciloscopio, como se puede ver en la figura 6, es un dispositivo electr´onico de medici´on que representa gr´ aficamente se˜ nales el´ectricas variables en el tiempo, permite visualizar fen´omenos transitorios as´ı como formas de ondas en circuitos el´ectricos y electr´onicos.

Las Figuras 4 y 5 muestran c´ omo var´ıa la resultante en funci´on de variaciones en el ´ angulo de fase de las componentes del movimiento complejo. La u ´nica diferencia entre Figura6. Osciloscopio ambas figuras es el ´angulo de fase del segundo y tercer arm´onico. Los tipos de se˜ nal que nos puede mostrar un osciloscopio son:

Ondas senoidales. Onda cuadrada o rectangular. Ondas triangulares. Con un osciloscopio podemos, entre otras cosas: -Determinar la frecuencia y la amplitud de una se˜ nal de voltaje. -Diferenciar en una se˜ nal que parte es en corriente continua y que parte es en corriente alterna. -Localizar errores en un circuito. -Medir el ruido que hay en una se˜ nal. -Medir la diferencia de fases entre dos se˜ nales. -Medir directamente el periodo de una se˜ nal. (Obtenido de: Castej´on, Agust´ın (1993) Tecnolog´ıa El´ectrica.)

IV. Desarrollo Experimental Materiales 1 Osciloscopio. 1 Generador de se˜ nales digital. 1 Generador de se˜ nales. 2 Cables BNC-BNC.

Actividad 1.- Identificando el periodo de una se˜ nal desconocida

Conectar el primer generador, el cu´al tiene frecuencia desconocida al canal 2 del osciloscopio (CH2-Y). Medir el periodo de la se˜ nal obtenida, determinar la frecuencia ν y anotar el resultado en la tabla 1. Al ingresar la frecuencia, la figura mostrada en el osciloscopio fue de Figuras de Lissajous Las figuras de Lissajous son el resultado de la composi- una onda senoidal como se muestra en la figura 8. ci´on de dos movimientos arm´ onicos simples (MAS) seg´ un dos direcciones perpendiculares. Si denominamos a estas direcciones X e Y podemos describir sus trayectorias individuales como: X = X0 cos(2πfX t); Y = Y0 (2πfY t + δ) donde X0 e Y0 son las amplitudes de los MAS, fX y fY son las frecuencias los MAS y δ es el desfase entre ambas MAS. Eliminando la variable tiempo en las expresiones anteriores se obtiene una ecuaci´ on de la trayectoria del tipo: f (X, Y, δ) = cte Figura8. Se˜ nal obtenida de la frecuencia desconocida que corresponde a las figuras de Lissajous. En la figura 7 se muestran las figuras de correspondientes a relaciones Frecuencia ν2 Periodo T [ms] de frecuencias fX : fY sencillas (en distintas filas), para [Hz] algunos desfases (en distintas columnas). Medida de la se˜ nal desconocida (ωx 2.8 357.14 o a) ´ (Obtenido de: https://www.ucm.es/data/cont/docs/76-2013-07-11-05 Tabla 1. C´alculo de periodo y frecuencia del generador Lissajousfigures.pdf) con frecuencia desconocida.

Actividad 2.- Generaci´ on de las figuras de Lissajous Incorporar el segundo generador al canal 1 (CH1X), mantener el valor de la frecuencia del generador 1 igual, primeramente introducir una se˜ nal en el que ambos generadores tengan la misma frecuencia y colocar el osciloscopio en funci´on de graficaci´on X-Y, registrar el resultado obtenido. Repetir el mismo procedimiento para todos los datos pedidos en la tabla 2.

Figura7. Figuras de Lissajous

ω = 2π(ν) = 1370,73

Caso

Frec ν1 [Hz]

Frec ν1 [Hz]

ω1 ω2

218.16

218.5

ω1 2ω2

218.16

436.32

2ω1 ω2

218.16

109.3

ω1 3ω2

218.16

654.1

Figura

Caso

Frec ν1 [Hz]

Frec ν1 [Hz]

3ω1 ω2

218.16

72.55

3ω1 2ω2

218.16

145.44

3ω1 4ω2

218.16

289.6

5ω1 4ω2

218.16

174.2

Figura

Caso

Frec ν1 [Hz]

Frec ν1 [Hz]

ω1 5ω2

218.16

1090

5ω1 ω2

218.16

40.62

ω1 = ν1 del generador 1,

Figura

ω2 = ν2 del generador 2,

Tabla 2. Frecuencias de ambos generadores y figura obtenida en el osciloscopio para cada caso indicado.

V. Conclusiones

oscilaci´on, pero no se mantiene en el tiempo.

Ramirez Aguirre Jeimi Yesenia Cuando dos movimientos ondulatorios se propagan por la misma regi´on del espacio, el efecto sumado de ambos sobre el medio se denomina interferencia, se producen de igual frecuencia y longitud de onda cuando est´ an en fase, la interferencia puede ser constructiva donde el resultado es una de igual frecuencia y longitud, pero una con amplitud igual a la suma de las componentes; destructiva donde el resultado es una onda de igual frecuencia y longitud, pero con una amplitud igual a la diferencia de las componentes y la u ´ltima interferencia puede ser de una onda estacionaria la cual se produce entre ondas id´enticas viajando en direcciones opuestas, en la onda resultante hay puntos que vibran con una amplitud m´ axima igual a la de las ondas componentes, y puntos que permanecen en reposo todo el tiempo que son conocidos como nodos.

Vanessa Hern´andez Rosagel Un osciloscopio es un instrumento que nos sirve para observar ondas, tambi´en nos sirve para describir graficas de se˜ nales el´ectricas, introducimos distintas frecuencias en la funci´on para graficar X-Y, de acuerdo a la tabla del manual de acuerdo a la primera frecuencia angular partiendo de la primera y observando c´omo cambia la frecuencia y al mismo tiempo obtenemos un distinto gr´ afico. Ram´ırez Villa Bryan Steven Cuando dos ondas se propagan en el mismo medio, en la misma dirccin o contraria, se superponen, es decir, las ondas individuales se suman produciendo una onda resultante. Cuando se produce la superpocicion de ondas, estas siguen avanzando, despues del encuentro conservando sus propiedades(amplitud, frecuencia, longitud de onda, velocidad). Una de las aplicaciones de las figuras de Lissajous fue determinar la frecuencia. Se aplica en el eje horizontal de un osciloscopio una se˜ nal de frecuencia conocida, y la se˜ nal cuya frecuencia se desea medir se aplica en el eje vertical. La forma de la figura resultante es funci´ on del cociente de las dos frecuencias.

Velazquez Moreno Itzel Alicia Las ondas senoidales son fundamentales porque poseen diferentes propiedades como la combinaci´ on de se˜ nales de este mismo tipo con diferentes amplitudes y frecuencias y se pueden reconstruir otras formas de ondas. Las se˜ nales que se tienen de las tomas de corriente tienen forma senoidal y las se˜ nales de test producidas por los circuitos Diego Rodr´ıguez Rodr´ıguez osciladores de un generador de se˜ nales son tambi´en senoi- Con ayuda del generador de se˜ nales y el osciloscipio pudales. En el caso de las se˜ nales amortiguadas en un caso dimos confirmar el fen´omeno f´ısico llamado superposici´ on especial este tipo de ondas se producen en fen´ omenos de de ondas. Imagino a los ingenieros en telecomunicaciones

enviando informaci´on por medio de nuevas ondas formadas apartir de dos o m´ as se˜ nales ya sean trigonom´etricas, escalonadas, etc. Las ondas nuevas pueden ser im´ agenes, v´ıdeos o cualquier informaci´on de inter´es. Me hubiese gustado un poco m´ as de tiempo con el equipo de laboratorio para saber c´ omo utilizarlo y sacarle el mayor provecho.

del osciloscopio, y por ello, las figuras se obtuvieron por medio de la visualizaci´on de las gr´aficas obtenidas a simple vista. Adem´as debido a la relaci´on de multiplicidad entre ambas frecuencias y la direcci´on perpendicular entre ambos movimientos fue posible visualizar las figuras de Lissajous.

VI. Bibliograf´ıa Escamilla Esquivel Mariana Astrid La actividades realizadas anteriorimente en las actividades realmente comprobaron la teor´ıa de superposici´on de ondas y consecuentemente las figuras de Lissajous, las cuales obtuvimos por medio de la superposici´ on de dos movimientos arm´onicos registrados a partir de los cambios en la frecuencia dependendiendo cada caso, los cuales formaron los nuevos movimientos dando como resultados las distintas figuras. En esta practica solo se hizo la relaci´ on por medio de la frecuencia, es decir no se consideraron otros datos, debido a la falta de conocimiento acerca del tema y del manejo

´ -CASTEJON, Agust´ın y otro (1993) Tecnolog´ıa El´ectrica. Madrid: McGraw-Hill. -HARPER Enriquez (1994) Fundamentos de Electricidad. Dispositivos y circuitos en corriente continua. Volumen 2. M´exico: Limusa. -Sears, Zemansky, ?F´ısica Universitaria?, Pearson, Pags, 487-517 http://www.eumus.edu.uy/docentes/maggiolo/acuapu /sup.html https://www.ucm.es/data/cont/docs/76-2013-07-11-05 Lissajousfigures.pdf