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Departamento de Ciˆ encias Exatas, Biol´ ogicas e da Terra Instituto do Noroeste Fluminense de Educa¸ c˜ ao Superior

´ ALGEBRA I-PEB 00020 Segunda Prova Professor: Miguel Zamora Escolha as quest˜oes cuja pontua¸c˜ao some 10 sendo que a quest˜ao 4 ´e obrigat´ oria. 1. (3,5) (a) (0,5) Um grupo G tem menos de 100 elementos e subgrupos de ordem 10 e 25. Determine a ordem de G. (b) (0,5) Seja G um grupo de ordem 275. Prove que se H ≤ G ´e um subgrupo com ordem |H| ≥ 56, ent˜ao H = G. (c) (0,5) Seja G um grupo, e K, H ≤ G subgrupos tais que |H| = 47 e |K| = 60. Mostre que H ∩ K = {e}. (d) (0,5) Seja G um grupo no abeliano de orden 35. Mostre que |Z(G)| = 1. (e) (0,5) Mostre que 23 | a154 − 1 para qualquer a n´ umero natural com (a, 23) = 1. (f) (0,5) Em S6 sejam f = (1, 4, 3, 2), g = (1, 6, 2, 5), e h = (1, 5, 3, 6, 2). Mostre que f gh = (1, 4, 3)(2, 6, 5). Z ∼ (g) (0,5) Mostre que = Zn . nZ 2. (2,0) (a) (1,0) Seja ϕ : G → H um epimorfismo de grupos e suponha que G ´e um grupo abeliano, prove que H ´e abeliano. (b) (1,0) Seja F o grupo multiplicativo das fun¸c˜oes cont´ınuas f : R → R. Seja (R∗ , ·) o grupo multiplicativo dos n´ umeros reais n˜ao nulos e seja ϕ : F → R∗ a aplica¸ca˜o definda por Z 1

ϕ(f ) =

f (x)dx. 0

Determine se a aplica¸ca˜o ϕ ´e um homomorfismo. 3. (3,0) (a) (1,5) Sejam G = S3 e K < G, onde K = {(1), (1, 2)}. Consideremos x = (1, 2, 3), determine xK e Kx. Quanto vale (G : K)? K ´e um subgrupo normal de G? (b) (1,5) Seja G um grupo. Sejam A  G e B  C < G. Mostre que AB  AC. 4. Segundo Teorema dos Isomorfismos. (3,0) Seja G um grupo e K e N subgrupos de G, com N  G. Como N  G ent˜ao o produto N K = {nk | n ∈ N, k ∈ K} ´e um subgrupo de G que cont´em ambos K e N . 1

(a) (0,5) Prove que N  N K. (b) Prove que a aplica¸ca˜o ϕ : K →

NK , dada por f (k) = N k ´e: N

i. (0,5) Um homomorfismo. ´ sobrejetiva. ii. (0,75) E iii. (0,75) Kerϕ = K ∩ N . K ∼ NK . (c) (0,5) Conclua que = K ∩N N Se a opera¸ca˜o ´e a soma, o isomorfismo no item (c) fica como

K ∼ N +K . = K ∩N N

5. (1,5) Sejam a, b ∈ Z e considere os subgrupos aditivos aZ e bZ de Z. Assuma j´a provado que: aZ + bZ = M DC(a, b)Z e aZ ∩ bZ = M M C(a, b)Z. (a) (1,0) Mostre que M DC(a, b)Z ∼ bZ . = aZ M M C(a, b)Z Dica: Use o exerc´ıcio anterior. (b) (0,5) Dedu¸ca que ab = M DC(a, b) · M M C(a, b). 6. (1,0) Na seguinte figura temos os diagramas de Cayley para o grupo de Quaterniones Q4 .

(a) (0,5) Se 1 ´e o elemento neutro, ent˜ao o que representam as setas vermelhas no diagrama para Q4 ? O que representam as setas azuis? (b) (0,25) Quanto vale i2 ? ji? (c) (0,25) Quanto vale ijk? Santo Antˆonio de P´adua, 9 de julho de 2018.

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