P02

2005/Rudens semestras/2 paskaita

1

Lyginamosios statikos analizė. Neišreikštinės funkcijos teorema

1. Jeigu vartotojo pomėgius galima išreikšti naudingumo funkcija u (x) kurios konkreti išraiška yra žinoma, pvz. n prekių Cobbo-Douglaso funkcija u ( x1 , x 2 ,..., x n ) = ∏i =1 xiβ i , čia n

β i ≡ naudingumo funkcijos parametras ( i = 1,..., n ), tai visą ekonomiškai reikšmingą informaciją apie tokio vartotojo elgseną galima sužinoti išsprendus naudingumo maksimizavimo uždavinį. Būtų galima tiksliai pasakyti kiek vartotojas pageidaus įsigyti tam tikros prekės, nes tai parodytų atitinkama paklausos funkcija n   m x *j = x j ( p, m) =  β j ∑ β i  . Atitinkami paklausos elastingumai (savos kainos, pajamų, i =1   pj kryžminiai) apibūdintų kiek vartotojas yra jautrus modelio ekonominių parametrų ( p, m) pokyčiams. Taigi, visą reikšmingą vartotojo elgseną apibūdintume kiekybiškai. 2. Jeigu manome ar žinome tik tiek, kad vartotojo pomėgius apskritai galima išreikšti kažkokia naudingumo funkcija u (x) , tačiau konkrečios jos išraiškos nežinome, vis tiek galime formuluoti iš principo empiriškai tikrinamus (verifikuojamus arba falsifikuojamus pagal Karlą Raimundą Popperį) teiginius. Tai daryti yra prasminga nes galima pritaikyti lyginamosios statikos – kokybinio pobūdžio analizės – metodą. (Mikroekonomika remiasi neoklasikine metodologija, o pastaroji mokslinėmis išvadomis laiko tik tokias teorines išvadas, kurias iš principo galima tikrinti empiriškai. Teorijos verifikavimas reiškia, kad remiantis šiuo metu žinomais tikrovės faktais tam tikros teorijos dar nepavyko paneigti, o falsifikavimas reiškia, kad pavyko rasti tikrovės faktų prieštaraujančių tam tikroms teorinėms išvadoms.) 3. Jei konkrečios naudingumo funkcijos išraiškos nežinome, tegalime užrašyti lygčių sistemą, kurią reiktų išspręsti jei naudingumo funkciją žinotume. ∂ ∂ = − = L x u x x x λ p ( , ,..., ) 0  1 1 1 2 1 n ∂L ∂x = u ( x , x ,..., x ) − λp = 0 2 2 1 2 2 n  . ..................................................... ∂L ∂x = u ( x , x ,..., x ) − λp = 0 1 2 n n n n  ∂L ∂λ = m − p1 x1 − p 2 x 2 − ... − p n x n = 0 4. Nors ir negalime iš šių lygčių sistemos rasti konkretaus sprendinio ( x1* , x 2* ,..., x n* , λ* ) , tačiau tarkime, kad apskritai jis egzistuoja – jeigu žinotume konkrečią naudingumo funkcijos išrašką, jį tikrai surastume. Taigi, nors konkrečios naudingumo funkcijos išraiškos nežinome, tačiau bandykime atsakyti į klausimą ar galima ką nors pasakyti apie egzogeninių modelio parametrų, tai yra prekių kainų ir vartotojo gaunamų pajamų ( p1 , p 2 ,..., p n , m ) poveikį endogeniniams kintamiesiems ( x1* , x 2* ,..., x n* ). Atsakyti padėtų dalinių išvestinių ∂x j ∂pi ir ∂x j ∂m ženklai. Teigiamas išvestinės ženklas rodytų teigiamą poveikį (pvz. ∂x j ∂m > 0 leistų daryti išvadą, kad padidėjus pajamoms padidės ir pareikalautas prekės kiekis), o neigiamas – neigiamą (pvz. ∂x j ∂p j < 0 leistų daryti išvadą, kad padidėjus savai kainai sumažėtų pareikalautas prekės kiekis). Nors ir nežinotume kiek ribinis parametro pokytis paveiktų tam tikrą endogeninį kintamąjį, tačiau žinotume poveikio kryptį. 5. Kad būtų paprasčiau toliau nagrinėkime tik dviejų prekių ( n = 2 ) atvejį. Tada turėsime lygčių ∂L ∂x1 = u1 ( x1 , x 2 ) − λp1 = 0  sistemą ∂L ∂x 2 = u 2 ( x1 , x 2 ) − λp 2 = 0 , ir jei apskritai egzistuoja jos sprendinys ∂L ∂λ = m − p x − p x = 0 1 1 2 2  * susidedantis iš x1 = x1 ( p1 , p 2 , m) , x 2* = x 2 ( p1 , p 2 , m) ir λ* = λ ( p1 , p 2 , m) , tai jis tenkina

2005/Rudens semestras/2 paskaita

2

Lyginamosios statikos analizė. Neišreikštinės funkcijos teorema

minėtą lygčių sistemą. Todėl iš tiesų turime lygčių sistemą u1 ( x1 ( p1 , p 2 , m), x 2 ( p1 , p 2 , m)) − λ ( p1 , p 2 , m) p1 = 0  u 2 ( x1 ( p1 , p 2 , m), x 2 ( p1 , p 2 , m)) − λ ( p1 , p 2 , m) p 2 = 0 m − p x ( p , p , m) − p x ( p , p , m)) = 0 1 1 1 2 2 2 1 2  6. Tarkime, kad mus domina kuria kryptimi pasikeistų vartotojo pasirinkimas jei padidėtų jo pajamos m . Taikant lyginamosios statikos metodą visų pirma reikia diferencijuoti1 būtinąsias (pirmos eilės) sąlygas dominančio parametro atžvilgiu. Laikykime, kad naudingumo funkcija yra bent du kartus diferencijuojama (galima rasti ir antros eilės išvestines), todėl gauname tris ∂x1 ∂x 2 ∂λ  u11 ( x1 , x 2 ) ∂m + u12 ( x1 , x 2 ) ∂m − p1 ∂m = 0  ∂x ∂x ∂λ  = 0 . Diferencijuoti bus lengviau, jei lygtis u 21 ( x1 , x 2 ) 1 + u 22 ( x1 , x 2 ) 2 − p 2 ∂ ∂ m ∂ m m  ∂x1 ∂x 2  1 − p1 ∂m − p 2 ∂m = 0  atsiminsite, kad funkcijos išvestinė yra taip pat funkcija, ji priklauso nuo tų pačių kintamųjų kaip ir pirmykštė funkcija. Pavyzdžiui jei naudingumo funkcija yra u ( x1 , x 2 ) , tai jos ∂u ( x1 , x2 ) ir atitinkamos eilės dalinės išvestinės taip pat yra funkcijos: u1 ( x1 , x2 ) = ∂x1 ∂u1 ( x1 , x 2 ) ∂ 2 u ( x1 , x 2 ) = . Ieškodami išvestinių taip pat nepamirškite, kad ∂x1 ∂x12 dalinė išvestinė u i ( x1 , x 2 ) yra sudėtinė funkcija u i ( x1 , x 2 ) = u i ( x1 ( p1 , p 2 , m), x 2 ( p1 , p1 , m)) . 7. Gautos lygtys yra tiesinės ieškomų išvestinių ∂x1 ∂m , ∂x 2 ∂m ir ∂λ ∂m atžvilgiu. Jas u12 − p1   ∂x1 ∂m   0   u11  galima perrašyti matricų pavidalu  u 21 u 22 − p 2  ∂x 2 ∂m =  0  . Nesunku matyti, − p1 − p 2 0   ∂λ ∂m  − 1 Cramerio taisyklę bus prasminga taikyti tik tada, kai lygčių sistemos koeficientų matricos determinantas nebus lygus nuliui. Šiuo atveju koeficientų matrica yra vadinama įrėmintu Hessianu (žr. priedą). 8. Tačiau šios mums itin svarbios matricos determinantas yra reikšmingas ir naudingumo maksimizavimo su apribojimu uždavinio sprendinio egzistavimui. Savo ruožtu, sprendinio egzistavimas siejasi su naudingumo funkcijos ir biudžetinės aibės kreivumo pobūdžiu (žr. priedą). Biudžetinė aibė yra iškila kai atkarpa jungianti bet kuriuos du aibės taškus taip pat priklauso aibei. Biudžetinė aibė visada bus iškila, jei biudžetinis apribojimas tiesinis (pvz. vartotojas, pirkdamas didesnius prekių kiekius, negauna kainų nuolaidų). Naudingumo funkcija yra kvaziįgaubta, jei neblogesnių rinkinių aibės (weakly preferred sets) yra iškilosios. Pavyzdžiui, neblogesnių rinkinių aibės nebus iškilosios, jei viena iš prekių yra blogybė. Tobulųjų pakaitalų ar tobulųjų papildinių atveju pirmenybės yra silpnai iškilosios (du abejingumo kreivės taškus jungianti atkarpa gali būti abejingumo kreivės dalimi), tačiau Cobbo-Douglaso pomėgių atveju turėsime griežtą iškilumą. Pasirodo, kad naudingumo funkcijos kvaziįgaubtumo ir tiesinio biudžetinio apribojimo pakanka tam, kad egzistuotų naudingumo maksimizavimo uždavinio sprendinys. 9. Taigi galime būti tikri, kad visada egzistuos vartotojo, kuris mėgsta vartoti daugiau (pirmenybės yra monotoninės) ir mėgsta įvairovę (neblogesnių rinkinių aibė yra iškiloji), naudingumo maksimizavimo uždavinio sprendinys. Tačiau jei laikome, kad galioja u11 (x1 , x 2 ) =

1

Diferencijuoti reiškia rasti funkcijos f ( x ) išvestinę df ( x ) dx .

2005/Rudens semestras/2 paskaita

3

Lyginamosios statikos analizė. Neišreikštinės funkcijos teorema

pakankamoji apriboto maksimumo radimo sąlyga (žr. priedą), tai mums rūpimas determinantas yra ne tik, kad nenulinis, tačiau ir teigiamas. Taigi, lyginamosios statikos metodą galima taikyti daugumai vartotojo pasirinkimo atvejų. 10. Jeigu jau žinome, kad dėl padarytų prielaidų apie naudingumo funkcijos ir biudžetinės aibės kreivumą galioja A = H 2 > 0 , tai toliau belieka rasti kitus determinantus, kurių prireiks ieškant

mus dominančių išvestinių ir taikant Cramerio taisyklę. 0 u12 − p1 A1 = 0 u 22 − p 2 = (−1) 3+1 (−1)(−u12 p 2 + u 22 p1 ) = u12 p 2 − u 22 p1 , − 1 − p2 0

Randame

0 − p1 0 − p 2 = (−1) 3+ 2 (−1)(−u11 p 2 + u12 p1 ) = u12 p1 − u11 p 2 , ir −1 0

u11 A2 = u12 − p1

( ) A = (1 H )(u

∂x1 ∂m = A1 A = 1 H 2 (u12 p 2 − u 22 p1 ) ö0,

nes

∂x 2 ∂m = A2

nes

2

12

p1 − u11 p 2 ) ö0,

u12 p 2 − u 22 p1 ö0

ir

u12 p1 − u11 p 2 ö0.

11. Matome, kad apie naudingumo funkcijos pobūdį žinodami tik tiek, kad galioja jos kvaziįgaubtumo pakankamoji sąlyga, mažai ką galime pasakyti apie pajamų padidėjimo poveikį vartotojo elgsenai. Prekių paklausos gali ir padidėti ir sumažėti – tai priklauso ar prekė yra normali ar blogesnės kokybės. 12. Nors paprastai mus domina tik dydžiai stebimi tikrovėje (empiriškai tikrinami teiginiai), tačiau galime pasidomėti kaip pajamų padidėjimas paveiktų pajamų ribinį naudingumą λ . Deja, ir vėl poveikio vienareikšmiškai nustatyti negalima, nes u 11 u12 0 1 u 21 u 22 0 = (−1) 3+3 (−1)(u11u 22 − u122 ) = u122 − u11u 22 ö 0. ∂λ ∂m = Aλ A = H2 − p1 − p 2 − 1 13. Panagrinėkime p1 padidėjimo poveikį. Pilnai diferencijuodami būtinąsias uždavinio sprendimo sąlygas šio parametro atžvilgiu gauname  ∂x1 ∂x ∂λ −λ = 0 + u12 ( x1 , x 2 ) 2 − p1 u11 ( x1 , x 2 ) p p p ∂ ∂ ∂ 1 1 1   ∂x1 ∂x ∂λ + u 22 ( x1 , x 2 ) 2 − p 2 = 0 . Toliau perrašome matricų pavidalu u 21 ( x1 , x 2 ) ∂ ∂ ∂ p p p 1 1 1   ∂x ∂x − p1 1 − p 2 2 − x1 = 0 ∂p1 ∂p1   u11 u  21 − p1

− p1   ∂x1 ∂p1   λ  ir taikome − p 2  ∂x 2 ∂p1  =  0  0   ∂λ ∂p1   x1  u12 − p1 u 22 − p 2 = −λp 22 + (u 22 p1 − u12 p 2 ) x1 , − p2 0

u12 u 22 − p2

λ A1 = 0 x1

Cramerio

taisyklę.

Kadangi

2005/Rudens semestras/2 paskaita

4

Lyginamosios statikos analizė. Neišreikštinės funkcijos teorema

λ − p1 0 − p 2 = λp1 p 2 + (u11 p 2 − u12 p1 ) x1 , x1 0

u11 A2 = u12 − p1

tai

∂x1 ∂p1 = A1 A , ∂x 2 ∂p1 = A2 A ir ∂λ ∂p1 = A3 A . 14. Ieškodami pirmos prekės kainos ribinio pokyčio poveikio tos pačios prekės paklausai gauname ∂x1 ∂p1 = 1 H 2 (−λp 22 + (u 22 p1 − u12 p 2 ) x1 ) = − λp 22 H 2 + 1 H 2 (u 22 p1 − u12 p 2 ) x1 .

(

)

(

) (

)

Tačiau ieškodami pajamų pokyčio poveikio sužinojome, kad 2 ∂x1 ∂m = 1 H 2 (u12 p 2 − u 22 p1 ) . Todėl ∂x1 ∂p1 = − λp 2 H 2 − (∂x1 ∂m) x1 ö 0. Dabar

(

)

(

)

galime matyti, kad gavome Slutsky’o lygtį – pilnąjį kainos poveikį išskaidėme į pakeitimo ir pajamų efektus. Pakeitimo efektas (pirmasis narys) neabejotinai neigiamas, tačiau antrasis narys (pajamų efektas) gali būti teigiamas ( x1 normalioji prekė ⇔ ∂x1 ∂m > 0 ) arba neigiamas ( x1 blogesnės kokybės prekė ⇔ ∂x1 ∂m < 0 ). 15. Ieškodami pirmos prekės kainos ribinio pokyčio poveikio kitos prekės paklausai gauname ∂x 2 ∂p1 = 1 H 2 (λp1 p 2 + (u11 p 2 − u12 p1 ) x1 )

(

(

= λp1 p 2 H 2

) ) + (1

)

(

)

H 2 (u11 p 2 − u12 p1 )x1 = λp1 p 2 H 2 − (∂x 2 ∂m )x1 ö0.

Tai

ir

vėl

Slutsky’o lygtis, tačiau čia į pakeitimo ir pajamų efektus skaidome pilną kitos prekės kainos poveikį. Pirmasis narys neabejotinai teigiamas, o antrasis gali būti ir teigiamas ir neigiamas priklausomai nuo antrosios prekės tipo (normali ar blogesnės kokybės). Jei antroji prekė yra blogesnės kokybės, tai, padidėjus pirmos prekės kainai, vartotojas neabejotinai pirks daugiau antrosios prekės. Priedas: Matematiniai lyginamosios statikos metodo pagrindai 1. Šio matematinio priedo tikslas – pateikti kiek galima trumpesnį lyginamosios statikos metodo pagrindimą. Todėl dažnai pateiksiu tik metodą pagrindžiančias galutines išvadas, o siekiantys gilesnio ir griežtesnio nagrinėjimo gali pasiskaityti šiuos šaltinius: Chiang, psl. 204-214, 332352, 369-432, arba Silberberg, psl. 144-148, 156-189. Daugumos šiame priede pateikiamų dalykų nebūtina įsiminti, tačiau šį priedą verta įdėmiai perskaityti – lyginamosios statikos metodas turėtų tapti aiškesnis. 2. Jei naudingumo funkcija yra žinoma, tai išsprendę maksimizavimo uždavinį randame išreikštines paklausų funkcijas. Pavyzdžiui, jei naudingumo funkcija yra u = x1a x 2b , tai prekių paklausų funkcijos yra x1 ( p1 , p 2 , m) = (a (a + b) )(m p1 ) ir x 2 ( p1 , p 2 , m) = (b (a + b) )(m p 2 ) . Dešiniau lygybės ženklo matome konkrečias išraiškas, taigi šios funkcijos yra išreikštinės. 3. Jei naudingumo funkcija nėra žinoma, tai spręsdami Lagrange’o daugiklių metodu, tegalime rasti Lagrange’o funkcijos dalines išvestines. Kiekvieną iš jų prilyginę nuliui gautume lygčių sistemą. Neišreikštinės funkcijos teorema (Chiang, psl. 204-214, Silberberg, psl. 144-148) nurodo sąlygas, kurioms galiojant egzistuoja tokios sistemos sprendinys. 4. Tačiau iš pradžių išnagrinėkime labai paprastą neišreikštinės funkcijos teoremos taikymo pavyzdį dviejų kintamųjų atveju. Įsivaizduokime, kad duota lygtis F ( x1 , x 2 ) = 0 . Neišreikštinės funkcijos teorema teigia, kad egzistuoja šios lygties sprendinys x 2* = x 2 ( x1 ) jei galioja sekančios sąlygos. Pirma, tam tikrame taške ( x1* , x 2* ) tenkinančiame F ( x1 , x 2 ) = 0

2005/Rudens semestras/2 paskaita

5

Lyginamosios statikos analizė. Neišreikštinės funkcijos teorema

egzistuoja F ( x1 , x 2 ) funkcijos tolydžios dalinės išvestinės abiejų jos argumentų atžvilgiu ∂F ∂F ( F1 = ir F2 = ) ir antra, F2 ≠ 0 . ∂x1 ∂x 2 5. Neišreikštinės funkcijos teorema ypač svarbi tuo, kad ja remdamiesi galime rasti neišreikštinės funkcijos išvestinę dx 2 dx1 net jei negalime (ar nenorime) surasti pačios neišreikštinės funkcijos x 2 ( x1 ) konkrečios išraiškos. Toks teoremos pritaikymas vadinamas neišreikštinės funkcijos taisykle. Lygtis F ( x1 , x 2 ) = 0 yra ir tapatybė tam tikro taško aplinkoje, kurioje apibrėžiama neišreikštinė funkcija x 2 ( x1 ) , todėl galima pilnai diferencijuoti abi lygties puses. Gauname F1 dx1 + F2 dx 2 = 0 . Padalijame abi puses iš dx1 , pertvarkę gautą išraišką randame išvestinę dx 2 dx1 = − F1 F2 . 6. Teoremos ir taisyklės veikimą galima paaiškinti labai paprastu pavyzdžiu. Turime lygtį 4 x1 + 2 x 2 = 4 , ją perrašę F ( x1 , x 2 ) = 0 pavidalu gauname lygtį F ( x1 , x 2 ) = 4 x1 + 2 x 2 − 4 = 0 , kuri apibrėžia neišreikštinę funkciją x 2 ( x1 ) . Randame tolydžias išvestines F1 = 4 ir F2 = 2 , taigi pirmoji teoremos sąlyga galioja. Be to galioja ir antroji sąlyga F2 = 2 ≠ 0 , taigi neišreikštinė funkcija x 2 ( x1 ) egzistuoja. Tuo lengva įsitikinti – tereikia išreikšti x 2 kito kintamojo atžvilgiu. Gauname x 2 = 2 − 2 x1 . Nors galime lengvai rasti išreikštos funkcijos išvestinę x ′2 = (2 − 2 x1 )′ = −2 , tačiau pritaikykime neišreikštinės funkcijos taisyklę. Gauname dx 2 dx1 = − F1 F2 = − 4 2 = −2 . 7. Kai vartotojas renkasi n prekių kiekius randame atitinkamas Lagrange’o funkcijos dalines išvestines, kiekvieną jų prilyginam nuliui ir gauname n + 1 lygčių sistemą  Li = u i ( x1 , x 2 ,..., x n ) − λpi = 0, i = 1,..., n, Sistemos sprendinys – neišreikštinės (jų   Lλ = m − p1 x1 − p 2 x 2 − ... − p n x n = 0. išraiškos nežinomos) funkcijos xi* = xi ( p, m) ir λ* = λ ( p, m) – egzistuoja, jei galioja toliau išvardintos sąlygos 8.1. Egzistuoja funkcijų Li ir Lλ tolydžios dalinės išvestinės visų argumentų atžvilgiu – ir endogeninių kintamųjų ( x1 , x 2 ,..., x n , λ ) ir egzogeninių parametrų ( p1 , p 2 ,..., p n , m) . Kitaip tariant, galima surasti Lagrange’o funkcijos antrąsias dalines išvestines prekių kiekių, Lagrange’o daugiklio, prekių kainų ir pajamų atžvilgiu. 8.2. Matricos, kurią sudaro Lij ir Lλj , tai yra funkcijų Li ir Lλ dalinės išvestinės endogeninių ( x1 , x 2 ,..., x n , λ )

kintamųjų

atžvilgiu,

įvertintos

tam

tikrame

taške

( x , x ,..., x , λ , p1 , p 2 ,..., p n , m) tenkinančiame būtinąsias sąlygas, determinantas nelygus nuliui. Atkreipdami dėmesį į tai, kad Lij = u ij , Lλi = − pi ir Lλλ = 0 , galime * 1

* 2

* 3

*

" L1n L1λ u11 u12 " u1n − p1 u 21 u 22 " u 2 n − p 2 " L2 n L2 λ užrašyti # # % # # = # # % # # ≠ 0 . Taigi mus Ln1 Ln 2 " Lnn Lnλ u n1 u n 2 " u nn − p n Lλ1 Lλ 2 " Lλn Lλλ − p1 − p 2 " − p n 0 dominančią matricą sudaro antrosios naudingumo funkcijos išvestinės įrėmintos stulpeliu ir eilute susidedančia iš kainų vektoriaus ir nulio. Tokia matrica vadinama įrėmintu Hessianu (bordered Hessian matrix). Ji paprastai žymima H n , nors jos dimensijos yra L11 L21

L12 L22

(n + 1) × (n + 1) . Šios matricos determinanto | H n | ženklą lemia naudingumo funkcijos ir biudžetinio apribojimo įgaubtumo (iškilumo) pobūdis. Kaip matysime toliau, šios sąlygos

2005/Rudens semestras/2 paskaita

6

Lyginamosios statikos analizė. Neišreikštinės funkcijos teorema

bus tenkinamos jei galios pakankama naudingumo funkcija kvaziįgaubtumo sąlyga, o biudžetinis apribojimas bus tiesinis. 9. Funkcijos įgaubtumas ar iškilumas yra svarbus jos kreivumo pobūdžio apibūdinimas. Galima išskirti įvairius atvejus – kvazi, griežtą, negriežtą įgaubtumą ar iškilumą (pvz. griežtas kvaziįgaubtumas). Nuo funkcijos kreivumo pobūdžio priklauso tai ar galima surasti maksimumo ar minimumo tašką. 10. Jei norime rasti kažkokios vieno kintamojo diferencijuojamos funkcijos u (x) maksimumą nesant jokių apribojimų x reikšmėms (įsivaizduokite, kad vartotojas nėra saistomas jokio biudžetinio apribojimo), tai visų pirma reikia rasti u ′(x) , po to sudaryti lygtį u ′( x) = 0 ir ją išspręsti. Nors ši sąlyga yra būtina, kad galiotų u ( x * ) > u ( x), ∀x , tačiau jos nepakanka, nes galėjome rasti ne maksimumą, o minimumą, tai yra u( x * ) < u ( x), ∀x . Jei funkcija didėtų ( u ′( x) > 0 ) iki taško x * , už taško x * mažėtų ( u ′( x) < 0 ), tai taške x * funkcijos liestinės nuolydis būtų lygus nuliui ( u ′( x) = 0 ) ir minėtame taške funkcijos reikšmė būtų maksimali. Kita vertus, jei funkcija iš pradžių mažėtų, o po to didėtų, tai taške x * funkcijos reikšmė būtų minimali. 11. Tačiau jei funkcijos nuolydis (pirmosios išvestinės reikšmė) visą laiką mažėtų, tai to pakaktų, kad lygties u ′( x) = 0 sprendinys x * būtų maksimumo taškas. Kita vertus, u ′′( x) < 0, ∀x , pakanka, kad funkcija būtų (griežtai) įgaubta (concave), o u ′′( x) > 0, ∀x , kad būtų (griežtai) iškila (convex). 12. Toliau panagrinėkime geometrinius apibrėžimus (Chiang, psl. 340-352), jie lengviausia suprantami. 12.1. Funkcija yra griežtai įgaubta jei atkarpa jungianti bet kuriuos du skirtingus jos kreivės taškus yra ištisai po jos kreive išskyrus atkarpos galus. Negriežtai įgaubtos funkcijos atveju atkarpa gali sutapti su kreive. Griežtas įgaubtumas yra ypatingas įgaubtumo atvejis. 12.2. Funkcija yra griežtai iškila jei atkarpa jungianti bet kuriuos du skirtingus jos kreivės taškus yra ištisai virš jos kreive išskyrus atkarpos galus. Negriežtai iškilos funkcijos atveju atkarpa gali sutapti su kreive. Griežtas iškilumas yra ypatingas iškilumo atvejis. 12.3. Nežemiau už žemesnį: Funkcija yra kvaziįgaubta jei visi taškai jos kreivės dalyje tarp bet kurių dviejų skirtingų taškų u ( xˆ ) ≤ u ( ~ x ) , išskyrus pačius u (xˆ ) ir u (x~ ) , yra nežemiau už u (xˆ ) . Neaukščiau už aukštesnį: Funkcija yra kvaziiškila jei visi taškai jos kreivės dalyje tarp bet kurių dviejų skirtingų taškų u ( xˆ ) ≤ u ( ~ x ) , išskyrus pačius u ( xˆ ) ir u (x~ ) , yra neaukščiau už u (x~ ) . Esant griežtam kvaziįgaubtumui tarpiniai taškai turi būti griežtai aukščiau už žemesnį galą, o esant griežtam kvaziiškilumui – griežtai žemiau už aukštesnį galą. Griežto kvaziįgaubtumo pavyzdys – varpo pavidalo funkcija, griežto kvaziiškilumo – apversto varpo pavidalo funkcija. 13. Jei funkcija u (x) yra griežtai įgaubtoji, tai būtinoji sąlyga u ′( x) = 0 leis surasti vienintelį maksimumą, nes jos nuolydis griežtai mažėja. Jei funkcija yra negriežtai įgaubtoji, surastas maksimumas nebūtinai bus vienintelis. Taigi, jei u ′′( x) < 0, ∀x tai to pakanka, kad naudingumo funkcija būtų įgaubtoji ir taikydami būtinąją sąlygą ( u ′( x) = 0 ) rasime funkcijos maksimumą. 14. Kai sprendžiame vartotojo naudingumo maksimizavimo uždavinį, vartotojas paprastai renkasi n prekių kiekius ir negali pažeisti biudžetinio apribojimo. Pritaikę Lagrange’o daugiklių metodą, vartotojo uždavinį galime užrašyti max L( x, λ ) = u ( x) + λ (m − px) , čia x ,λ

x = ( x1 ,..., x n ) ir p = ( p1 ,..., p n ) . Radę atitinkamas dalines išvestines ir kiekvieną jų prilyginę nuliui turėsime n + 1 būtiną sąlygą. Kadangi būtinosios sąlygos susijusios su pirmosiomis optimizuojamos funkcijos išvestinėmis, tai jos dažnai vadinamos pirmos eilės sąlygomis.

2005/Rudens semestras/2 paskaita

7

Lyginamosios statikos analizė. Neišreikštinės funkcijos teorema

15. Pakankamosios sąlygos galiojimą galima tikrinti determinantų testu. Sudarome įrėmintą u12 " u1n − p1   L11 L12 " L1n L1λ   u11 L   u 22 " u 2 n − p 2   21 L22 " L2 n L2 λ   u 21 Hessiano matricą H n =  # # % # # = # # % # #  . Jei     u n 2 " u nn − p n   Ln1 Ln 2 " Lnn Lnλ   u n1  Lλ1 Lλ 2 " Lλn Lλλ  − p1 − p 2 " − p n 0  iš šios įrėmintos Hessiano matricos išmestume visas eilutes išskyrus paskutines dvi ir visus stulpelius išskyrus paskutinius du, tai gautume 2 × 2 įrėmintą matricą H 1 . Jei išmesdami paliktume paskutines tris eilutes ir paskutinius tris stulpelius tai gautume 3× 3 įrėmintą matricą H 2 . Jei paliktume paskutines keturias eilutes ir paskutinius keturis stulpelius tai gautume 4 × 4 įrėmintą matricą H 3 ir taip toliau. Jei šių matricų determinantams galioja H 2 > 0 , H 3 < 0 , H 4 > 0 , …, (−1) n H n > 0 , tai to pakanka, kad, iš būtinųjų sąlygų būtų galima rasti maksimumą (Chiang, psl. 384-385, Silberberg, psl. 173-180). Determinantų ženklų sąlyga yra pakankamoji arba antros eilės sąlyga, pastarasis pavadinimas kilęs iš to, kad šiai sąlygai suformuluoti prireikia antrųjų išvestinių. Kaip jau buvo minėta, pakankamoji maksimumo radimo sąlyga glaudžiai siejasi su naudingumo funkcijos kreivumo pobūdžiu. Jei biudžetinis apribojimas yra tiesinis, tai pakankamos maksimumo radimo sąlygos galiojimas reikš ir naudingumo funkcijos kvaziįgaubtumo pakankamosios sąlygos galiojimą (Chiang, psl. 394-397). Taigi, norint taikyti lyginamosios statikos metodą pakanka padaryti prielaidą, kad vartotojo pomėgius galima išreikšti bent du kartus diferencijuojama kvaziįgaubta naudingumo funkcija. 16. Jei vartotojas renkasi dviejų prekių kiekius ( n = 2 atvejis), tai tereikia sudaryti matricą u12 − p1   u11  H 2 =  u 21 u 22 − p 2  ir apskaičiuoti jos determinantą (tik vieną) − p1 − p 2 0  H 2 = − p1 (−1) 3+1 (−u12 p 2 + u 22 p1 ) − p 2 (−1) 3+ 2 (−u11 p 2 + u 21 p1 ) = = u12 p1 p2 − u22 p12 − u11 p22 + u21 p1 p2 = 2u12 p1 p2 − u22 p12 − u11 p22 . Jei galioja H 2 > 0 , tai to pakanka, kad galėtume rasti maksimizavimo uždavinio sprendinį, kita vertus tai taip yra ir pakankama naudingumo funkcijos kvaziįgaubtumo sąlyga.