Otdh Chuong 1 Lop 12 Moi
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Otdh Chuong 1 Lop 12 Moi as PDF for free.
More details
- Words: 10,895
- Pages: 22
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học
CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG CỦA ðẠO HÀM ðỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ðỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHUYÊN ðỀ 1: TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính ñơn ñiệu của hàm số I. Kiến thức cơ bản 1. ðịnh nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác ñịnh trên K: + Hàm số y = f(x) ñược gọi ñồng biến trên khoảng K nếu: ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) + Hàm số y = f(x) ñược gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu: ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) 2. Qui tắc xét tính ñơn ñiệu a. ðịnh lí Cho hàm số y = f(x) có ñạo hàm trên K: + Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số ñồng biến + Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến + Nếu f’(x) = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) không ñổi trên khoảng K b. Qui tắc B1: Tìm tập xác ñịnh của hàm số B2: Tính ñạo hàm của hàm số. Tìm các ñiểm xi (i = 1, 2,…,n) mà tại ñó ñạo hàm bằng 0 hoặc không xác ñịnh. B3: Sắp xếp các ñiểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. B4: Nêu kết luận về các khoảng ñồng biến, nghịch biến. II. Các ví dụ Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số Ví dụ 1. Xét sự ñồng biến và nghịch biến của hàm số: 1 1 a. y = x3 − x 2 − 2 x + 2 b. y = -x 2 + 3 x + 4 e. y = 3 2 x-1 c. y = x 4 − 2 x 2 + 3 d. y = x +1 Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau: a. y = 3x 2 − 8 x3 b. y = x 4 + 8 x 2 + 5 3- 2x d. y = x+7
x2 − 2x + 3 e. y = x +1
c. y = x 3 − 6 x 2 + 9 x f. y = 25-x 2
Loại 2: Chứng minh hàm số ñồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác ñịnh. Phương pháp + Dựa vào ñịnh lí. Ví dụ 3. Chứng minh hàm số y = 2 x − x 2 nghịch biến trên ñoạn [1; 2] Ví dụ 4 a. Chứng minh hàm số y = x 2 − 9 ñồng biến trên nửa khoảng [3; + ∞ ). 4 b. Hàm số y = x + nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2] x Ví dụ 5. Chứng minh rằng
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
x ( x − 3), (x > 0)
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học 3− x nghịch biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó. 2x +1 2 x 2 + 3x b. Hàm số y = ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó. 2x + 1
a. Hàm số y =
c. Hàm số y = − x + x 2 + 8 nghịch biến trên R.
Dạng 2. Tìm giá trị của tham số ñể một hàm số cho trước ñồng biến, nghịch biến trên khoảng xác ñịnh cho trước Phương pháp: + Sử dụng qui tắc xét tính ñơn ñiêu của hàm số. + Sử dụng ñịnh lí dấu của tam thức bậc hai 1 Ví dụ 6: Tìm giá trị của tham số a ñể hàm số f ( x) = x3 + ax 2 + 4 x + 3 ñồng biến 3 trên R. x2 + 5 x + m2 + 6 Ví dụ 7 : Tìm m ñể hàm số f ( x) = ñồng biến trên khoảng (1; +∞) x+3 m ñồng biến trên mỗi khoảng Ví dụ 8 : Với giá trị nào của m, hàm số: y = x + 2 + x −1 xác ñịnh của nó. x3 Ví dụ 9: Xác ñịnh m ñể hàm số y = − + (m − 1) x 2 + (m + 3) x ñồng biến trên khoảng 3 (0; 3) mx + 4 Ví dụ 10 : Cho hàm số y = x+m a. Tìm m ñể hàm số tăng trên từng khoảng xác ñịnh b. Tìm m ñể hàm số tăng trên (2; +∞) c. Tìm m ñể hàm số giảm trên (−∞;1) Ví dụ 11 : Cho hàm số y = x3 − 3(2m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 2 . Tìm m ñể hàm số: a. Liên tục trên R b. Tăng trên khoảng (2; +∞) Ví dụ 12: (ðH KTQD 1997)Cho hàm số y = x3 − ax 2 − (2a 2 − 7 a + 7) x + 2(a − 1)(2a − 3) ñồng biến trên [2:+∞) Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên ñể chứng minh BðT Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau: + Dấu hiệu ñể hàm số ñơn ñiệu trên một ñoạn. + f ( x) ñồng biến trên [a; b] thì f (a ) ≤ f ( x) ≤ f () + f(x) nghịch biến trên [a; b] thì f (a ) ≥ f ( x) ≥ f (b) Ví dụ 1. Chứng minh các bất ñẳng thức sau: π 1 x2 1 a. tanx > sinx, 0< x < b. 1 + x − < 1 + x < 1 + x, 0 < x < +∞ 2 2 8 2 2 3 x x c. cosx > 1 ,x >0 d. sinx > x , x>0 2 6 Ví dụ 2. Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học π a. Chứng minh rằng hàm số ñồng biến trên nửa khoảng 0; 2
π
b. Chứng minh rằng 2 sin x + tan x > 3 x, ∀x ∈ (0; ) 2 Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) = t anx - x π a.Chứng minh hàm số ñồng biến trên nửa khoảng 0; 2
π
b. Chứng minh tan x > x, ∀x ∈ (0; ) 2 4 π Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) = x − t anx, x ∈ [0; ] π 4 a. Xét chiều biến thiên của hàm số trên [0; b. Chứng minh rằng tan x ≤
4
π
π
4
]
x, ∀x ∈ [0; ] π 4
BÀI TẬP ÔN TẬP TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ 1)Tìm các khoảng ñơn ñiệu của các hàm số sau: 1 1 a. y = x3 − x 2 − x + 2 3 2 4 2 y = x − 2x + 2
x2 b. y = x −1
c.
d. y = x3 + 3x 2 + 3x + 5
e. y = 2 x − x 2
f.y= sin x
g. y = x 2 − 2 x − 3
h. y = (1 − x 2 )3
x2 − 2x + 2 1 j. y = x −1 ( x + 1) 2 2)Xét tính ñơn ñiệu của các hàm số sau:
i. y =
a. y = 2 x − x 2 b.y= x 2 − 3 x + 2
3)Tìm tập xác ñịnh và xét tính ñơn ñiệu của hàm số sau: x2 a. y = (ðHXD -1999). x2 −1 x +1 b.y= (ðề 7 -Bộ ðề 1996). x2 − x +1 4)Cho hàm số: 1 2 y = (m + 1) x 3 − (m − 1) x 2 + mx − .Tìm m ñể hàm số luôn ñồng biến.(ðHQGHN3 3 1996 Khối D). 5)Cho hàm số: y = −(m 2 + 5m) x 3 + 6mx 2 + 6 x − 6 .Tìm m ñể hàm số ñơn ñiệu trên R.Khi ñó hàm số ñồng biến hay nghịch biến?Tại sao?(ðH Huế 1997 -Khối A).
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học 1 6) Cho hàm số: y = − x 3 + (m − 1) x 2 + (m + 3) x .Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên 3 khoảng (0;1). (ðH An Ninh 1996). 1 7) Cho hàm số: y = x 3 − mx 2 + (2m − 1) x − m + 2 .Tìm m ñể hàm số nghịch biến trên 3 khoảng (-2;0).(ðH Ngoại Ngữ 1998). 8) Cho hàm số: y = x 3 + 3 x 2 + mx + m .Tìm m ñể hàm số nghịch biến trên một ñoạn có ñộ dài bằng 1 .(ðHQGHN 2000 -Khối D). 2 x 2 − 3x + m 9) Cho hàm số: y = . Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên khoảng x −1 (3;+ ∞) .(ðHTCKT 1997).
x 2 − (m + 1) x + 4m 2 − 4m + 2 . Tìm m ñể hàm số xác ñịnh và x − (m − 1) ñồng biến trên khoảng (0;+ ∞) (ðHSPHN 2000). 10) Cho hàm số: y =
x 2 − 8x . Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên khoảng 8( x + m) 1;+ ∞) .(ðHMðC2001)
11) Cho hàm số: y =
[
(m + 1) x 2 − 2mx − (m 3 − m 2 + 2) . Tìm m ñể hàm số luôn nghịch x−m biến trên các khoảng xác ñịnh của nó.(ðHTCKT 2001). (3m − 1) x − m 2 + m 13) Cho hàm số: y = (1) . Tìm m ñể hàm số (1) luôn ñồng biến x+m trên các khoảng xác ñịnh của nó.(CðKTKT Cần Thơ -2005-Khối A). 14)Giải bất phương trình: x + 9 + 2 x + 4 > 5 12)Cho hàm số: y =
CHUYÊN ðỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I.LÝ THUYẾT: 1)Khái niệm cực trị của hàm số: Cho hàm số y=f(x) xác ñịnh trên tập hợp D ( D ⊂ R) và x0 ∈ D ta có các ñịnh nghĩa sau: a) x0 ñược gọi là ñiểm cực ñại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa ñiểm x0 sao cho (a; b) ⊂ D và : f(x) < f(x0) với mọi x ∈ ( a; b ) \ { x0 } . Khi ñó f(x0) ñược gọi là giá trị cực ñại của hàm số f b) x0 ñược gọi là ñiểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa ñiểm x0 sao cho (a; b) ⊂ D và : f(x) > f(x0) với mọi x ∈ ( a; b ) \ { x0 } . Khi ñó f(x0) ñược gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f ðiểm cực ñại và ñiểm cực tiểu ñược gọi chung là ñiểm cực trị. Giá trị cực ñại và giá trị cực tiểu ñược gọi chung là cực trị. 2)Các ñịnh lý quan trọng: ðịnh lý 1:(ðiều kiện cần ñể hàm số ñạt cực trị) Nếu hàm số f(x) có ñạo hàm tại ñiểm x0 và ñạt cực trị tại ñó thì f ‘(x0) = 0 Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học ðịnh lý 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa ñiểm x0 và có ñạo hàm trên các khoảng (a; x0 ) và (x0 ; b). Khi ñó, nếu f ’(x) ñổi dấu qua ñiểm x0 thì x0 là ñiểm cực trị của hàm số f(x),cụ thể như sau: x f ’(x) f (x)
a
x0
b
+
f(x0) (cực ñại)
x f ’(x) f (x)
a
x0 -
b +
(cực tiểu) f(x0)
ðịnh lý 3: Giả sử hàm số f(x) có ñạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa ñiểm x0. f , ( x0 ) = 0 Nếu ,, thì x0 là một ñiểm cực trị của hàm số. Hơn nữa: f ( x0 ) ≠ 0 f , ( x0 ) = 0 * Nếu ,, thì x0 là ñiểm cực tiểu. f ( x0 ) > 0 f , ( x0 ) = 0 * Nếu ,, thì x0 là ñiểm cực ñại. f ( x0 ) < 0
II.BÀI TẬP: Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số Phương pháp: Dựa vào các ñịnh lý trên ñể tìm cực trị của hàm số y = f(x) Qui tắc I. Qui tắc II. B1: Tìm tập xác ñịnh. B1: Tìm tập xác ñịnh. B2: Tính f’(x). Tìm các ñiểm tại ñó f’(x) B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = = 0 hoặc f’(x) không xác ñịnh. 0 và kí hiệu là xi là các nghiệm của nó. B3. Lập bảng biến thiên. B3: Tính f ”(xi) B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị ( f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi; ( f ”(xi) < 0 thì hàm số có cực ñại tại xi) * Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp. Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = 2 x 3 + 3 x 2 − 36 x − 10 Qui tắc I. Qui tắc II TXð: R TXð: R 2 y ' = 6 x + 6 x − 36 y ' = 6 x 2 + 6 x − 36
y ' = 0 ⇔ 6 x 2 + 6 x − 36 = 0 x = 2 ⇔ x = −3
y ' = 0 ⇔ 6 x 2 + 6 x − 36 = 0 x = 2 ⇔ x = −3 y”= 12x + 6 y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số ñạt cực tiểu tại x = 2 và yct = - 54 y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số ñạt cực ñại tại x = -3 và
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học
x
-3
-∞ +
y'
0
-
0
+ +∞
71
y
ycñ =71
+∞
2
- 54
-∞
Vậy x = -3 là ñiểm cực ñại và ycñ =71 x= 2 là ñiểm cực tiểu và yct = - 54 Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau: a. y = 10 + 15x + 6x 2 − x3
b. y = x 4 − 8 x 3 + 432
c. y = x 3 − 3 x 2 − 24 x + 7
d. y = x 4 - 5x 2 + 4
e. y = -5x 3 + 3x 2 - 4x + 5 f. y = - x 3 - 5x Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: x+1 x2 + x − 5 (x - 4)2 a. y = 2 b. y = c. y = 2 x +8 x +1 x − 2x + 5 2 9 x − 3x + 3 x d. y = x - 3 + e. y = f. y = 2 x-2 x −1 x +4 Bài 3. Tìm cực trị các hàm số x+1 5 - 3x a. y = x 4 - x 2 b. y = c. y = 2 x +1 1 - x2 x x3 d. y = f. y = x 3 - x e. y = 10 - x 2 x2 − 6 Bài 4. Tìm cực trị các hàm số: a. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
d. y = sin2x
e. y = cosx +
1 cos2x 2
f. y = 2sinx + cos2x víi x ∈ [0; π ]
Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị ðể tìm ñiều kiện sao cho hàm số y = f(x) ñạt cực trị tại x = a B1: Tính y’ = f’(x) B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm ñược m B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn ñiều kiện ñã nêu không ( vì hàm số ñạt cực trị tại a thì f’(a) = 0 không kể Cð hay CT) Ví dụ 1. Tìm m ñể hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m - 1)x + 2 ñạt cực tiểu tại x = 2 LG y ' = 3 x 2 − 6 mx + m − 1 . Hàm số ñạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0 ⇔ 3.(2)2 − 6 m.2 + m − 1 = 0 ⇔ m = 1 x = 0 Với m = 1 ta ñược hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 có : y ' = 3 x 2 − 6 x ⇒ y ' = 0 ⇔ tại x x = 2 = 2 hàm số ñạt giá trị cực tiểu Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học
BÀI TẬP Bài 1. Xác ñịnh m ñể hàm số y = mx 3 + 3x 2 + 5 x + 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 Bài 2. Tìm m ñể hàm số 2 y = x 3 − mx 2 + (m − ) x + 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè cã C§ hay CT 3 x 2 + mx + 1 Bài 3. Tìm m ñể hàm số y = ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 x+m Bài 4. Tìm m ñể hàm số y = x 3 − 2 mx 2 + m 2 x − 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1 Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 1, f(1) = -3 và ñồ thị cắt trục tung tại ñiểm có tung ñộ bằng 2 q ñạt cực ñại tại ñiểm x = Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số f ( x ) = xp + x +1 -2 và f(-2) = -2
Dạng 3. Tìm ñiều kiện ñể hàm số có cực trị. Bài toán: ‘Tìm m ñể hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào ñó. Phương pháp B1: Tìm m ñể hàm số có cực trị. B2: Vận dụng các kiến thức khác. Chú ý: Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt. p( x ) Cực trị của hàm phân thức y = . Giả sử x0 là ñiểm cực trị của y, thì giá trị Q( x ) P( x0 ) P '( x0 ) của y(x0) có thể ñược tính bằng hai cách: hoặc y( x0 ) = hoÆc y(x 0 ) = Q( x0 ) Q '( x0 ) Ví dụ 1: Xác ñịnh m ñể các hàm số sau có cực ñại và cực tiểu 1 x 2 + mx − 2 m − 4 a. y = x 3 + mx 2 + (m + 6) x − 1 b. y = x+2 3 Hướng dẫn. a. TXð: R y ' = x 2 + 2 mx + m + 6 . ðể hàm số có cực trị thì phương trình: x 2 + 2 mx + m + 6 = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt m > 3 ∆ ' = m2 − m − 6 > 0 ⇔ m < −2 b. TXð: ℝ \ {−2}
y' =
(2 x + m)( x + 2) − ( x 2 + mx − 2 m − 4) x 2 + 4 x + 4 m + 4 = ( x + 2)2 ( x + 2)2
Hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi y ' = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -2 ⇔ x 2 + 4 x + 4 m + 4 = 0 ∆ ' > 0 4 − 4m − 4 > 0 ⇔ ⇔ ⇔m<0 4 − 8 + 4m + 4 ≠ 0 m ≠ 0 Ví dụ 2: Cho hàm số: y = mx4 +(m2 – 9)x2 + 10 (1).Tìm m ñể hàm số (1) có 3 ñiểm cực trị.(ðại học khối B năm 2002) Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học x 2 + (m + 1) x + m + 1 .chứng minh rằng : với m bất kỳ, ñồ x +1 thị hàm số luôn có ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai ñiểm ñó bằng 20 (ðại Học khối B năm 2005)
Ví dụ 3: Cho hàm số: y =
BÀI TẬP Bài 1. Tìm m ñể hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã C§, CT? x 2 − m(m + 1) x + m 3 + 1 luôn có cực ñại và cực tiểu. x−m Bài 3. Cho hàm số y = 2 x 3 + @ 2 − 12 x − 13 . Tìm a ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu và các ñiểm cực tiểu của ñồ thị cách ñều trục tung. m Bài 4. Hàm số y = x 3 − 2(m + 1) x 2 + 4 mx − 1 . Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu. 3 x 2 + mx Bài 5. Cho hàm y = . Tìm m ñể hàm số có cực trị. 1− x x 2 + mx − 2 m − 4 . Xác ñịnh m ñể hàm số có cực ñại và cực Bài 6. Cho hàm số y = x+2 tiểu.
Bài 2. Tìm m ñể hàm sô y =
Dạng 4. Tìm tham số ñể các cực trị thoả mãn tính chất cho trước. Phương pháp + Tìm ñiều kiện ñể hàm số có cực trị + Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet ñể thoả mãn tính chất. Ví dụ : ax 2 + bx + c 1.Cho hàm số y= (a.d ≠ 0) .CMR:Phương trình ñường thẳng ñi qua hai dx + e 2ax + b cực trị của hàm số là y = . d u ( x) 2.Cho hàm số y= .CMR:Nếu x0 là ñiểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị tại x0 v ( x) u , (x ) là y0= , 0 (Có thể dùng ñể tính giá trị cực trị của hàm phân thức). v ( x0 ) 3.Tìm m ñể hàm số y =
x 2 + (2m + 3) x + m 2 + 4m có hai cực trị và hai giá trị cực trị x+m
trái dấu.(ðHTC-1999). x 2 − (m + 1) x − m 2 + 4m − 2 4.Cho hàm số y = .Tìm m ñể hàm số có cực trị.Tìm m ñể x −1 tích các giá trị cực trị nhỏ nhất.(ðHQGHN-1999). x 2 + 2mx + 2 5. Cho hàm số y = . Tìm m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu cách ñều x +1 ñường thẳng x+y+2=0.
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học x 2 + mx − 8 . Tìm m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu,khi ñó viết x−m phuơng trình ñường thẳng ñi qua cực ñại ,cực tiểu của ñồ thị hàm số. (ðHCS-2000). x 2 − (m + 1) x + 3m + 2 7.Cho hàm số y = . Tìm m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu x −1 ñồng thời giá trị cực ñại và cực tiểu cùng dấu.(CðSPTPHCM-2001). x 2 − mx + m 8. Cho hàm số y = .CMR:Với mọi m hàm số luôn có cực trị và khoảng x −1 cách giữa hai ñiểm cực trị là không ñổi.(ðHTL-1998). x 2 + mx − m + 8 9. Cho hàm số y = . Tìm m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu nằm ở x −1 hai phía của ñường thẳng 9x-7y-1=0.(ðHAN-1999). 10.Cho hàm số y=x3-3(m+1)x2+2(m2+7m+2)x-2m(m+2). Tìm m ñể ñồ thị hàm số có cực ñại ,cực tiểu và viết phương trình ñường thẳng ñi qua cực ñại cực tiểu ñó. (HVKTMM-1999). 11.Cho hàm số y=x3+3mx2+3(1-m2)x+m3-m2.Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị cuả ñồ thị hàm số.(ðH-2002-Khối A). 6.Cho hàm số y =
3 2 1 3 mx + m . Xác ñịnh m ñể ñồ thị hàm số có các ñiểm cực 2 2 ñại và cực tiểu ñối xứng nhau qua ñường thẳng y=x(ðH Huế 2001) x 2 + 2(m + 1) x + m 2 + 4m 13. Cho hàm số y = (1).Tìm m ñể hàm số (1) có cực ñại, x+2 cực tiểu, ñồng thời các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1) cùng với gốc tọa ñộ O tạo thành một tam giác vuông tại O.(ðH khối A -2007) 14. Cho hàm số y = - x3 +3x2 +3(m2 - 1)x – 3m2 – 1 (1) Tìm m ñể hàm số (1) có cực ñại ,cực tiểu và các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1) cách ñều gốc tọa ñộ. (ðH khối B năm 2007) 1 1 3 15. Cho y = x3 − (sin m + cos m) x 2 + sin 2m. x . Gọi x1, x2 là hoành ñộ 2 ñiểm cực 3 2 4 2 2 trị. Tìm m ñể x1 + x2 = x1 + x2
12.Cho hàm số y = x 3 −
CHUYÊN ðỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I.LÝ THUYẾT: 1.ðịnh nghĩa: Giả sử h/số f x/ñịnh trên D (D ⊂ R)
∀x∈D, f (x) ≤ M M = max f (x) ⇔ x∈D ∃x0 ∈D,voùi f (x0 ) = M
∀x ∈D, f (x) ≥ m m = min f (x) ⇔ x∈D ∃x0 ∈D,voùi f (x0 ) = m
2.Chú ý: Muốn chứng tỏ rằng số M (hoặc m) là GTLN (hoặc GTNN) của hàm số f trên tập D a) f(x) ≤ M (hoặc f(x) ≥ m) ∀x∈D b) Tồn tại ít nhất một ñiểm x0 ∈D sao cho: f(x0) = M (hoặc f(x0) = m)
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học 3.Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) trên tập D a. Tr/hợpD=[a;b] + Tính y’ + Tìm các giá trị x∈D sao cho y’(x )= 0 hoặc y’(x) không xác ñịnh Gsử là x1 ; x2 ;....; xk + Tính f(a); f(b); f( x1 ); f( x2 ); ...; f( xk ) + So sánh và kết luận b. Tr/hợpD không là [a;b] + Tính y’ + Tìm các giá trị x∈D sao cho y’(x) = 0 hoặc y’(x) không xác ñịnh + Lập BBT và dựa vào ñó kết luận
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x +
1 trên khoảng (0; +∞) x
Hướng dẫn: Dễ thầy hàm số liên tục trên (0; +∞)
x
1 x −1 y ' = 1 − 2 = 2 ⇒ y ' = 0 ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1 . y x x Dễ thấy x = −1 ∉ (0; +∞) Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số không có giá trị lớn nhất. Ví dụ 2. x3 Tính GTLN, GTNN của hàm số y = + 2 x 2 + 3 x − 4 trên ñoạn [-4; 0] 3 Hướng dẫn Hàm số liên tục trên [-4; 0], x = −1 f '( x ) = x 2 + 4 x + 3 ⇒ f '( x ) = 0 ⇔ x 2 + 4 x + 3 = 0 ⇒ x = −3 2
1
0 -
y'
0
+
+∞
+∞
2
−16 −16 , f (−3) = −4, f (−1) = , f (0) = −4 3 3 VËy Max y = −4 khi x = -3 hoÆc x = 0 f (−4) =
x∈[-4;0]
Min y =
x∈[-4;0]
−16 khi x = -4 hoÆc x = -1 3
II.BÀI TẬP Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có): a. f(x) = x 3 + 3x 2 − 9 x + 1 trªn [-4; 4]
c. f(x) = x 4 − 8 x 2 + 16 trªn ®o¹n [-1; 3] Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có): x trªn nöa kho¶ng (-2; 4] a. f(x) = x+2 c. f(x) = x 1 - x 2
b. f(x) = x 3 + 5x − 4 trªn ®o¹n [-3; 1] d. f(x) = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7 trªn ®o¹n [-4; 3]
1 trªn kho¶ng (1; +∞ x- 1 1 π 3π d. f(x) = trªn kho¶ng ( ; ) cosx 2 2
b. f(x) = x +2 +
Bài 3. Tìm GTLN,GTNN của các hàm số sau:
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học x2 + x +1 ( x > 0) a. y = x c. y = x2 b. y = 2 x + x +1
x +1 x2 +1
trên ñoạn [− 1;2] (ðH-Khối D-2003)
Bài 4.Gọi x1,x2 là các nghiệm của phương trình 12 x 2 − 6mx + m 2 − 4 + trị nào của m thì x13+x23 ñạt: a.GTLN. b.GTNN. Bài 5. Tìm GTLN,GTNN của hàm số: 1 y = sin x − cos 2 x + .(ðHGTVT-1997). 2 x Bài 6. Tìm GTLN của hàm số:f(x)= + sin 2 x trên ñoạn 2
Bài 7. Tìm GTLN của hàm số:f(x)= 4 x +
12 = 0 .Với giá m
−π π 2 ; 2 (ðHKTQD-2000).
9π 2 + sin x trên khoảng (0; + ∞ )(ðHKTQDx
1999). Bài 8. Tìm GTLN của hàm số:f(x)= x 3 + 3 x 2 − 72 x + 90 trên ñoạn [− 5;5] (ðHKTQD-1997). Bài 9. Tìm GTLN,GTNN của hàm số sau: y = 4 sin 2 x + 2 sin(2 x +
π 4
) (HVQHQT-
1996). Bài 10. Cho hàm số y = x 2 + 2 x + a − 4 ,tìm a ñể giá trị lớn nhất của hàm số trên
ñoạn [− 2;1] ñạt giá trị nhỏ nhất.(ðHLN-2001).
3 cos 4 x + 4 sin 2 x Bài 11. Tìm GTLN,GTNN của hàm số sau: y = (ðHSPHN-2001). 3 sin 4 x + 2 cos 2 x 1 1 Bài 12. Tìm GTNN của hàm số: y = + 4 cos x 1 − cos 4 x Bài 13.Tìm x ñể biểu thức sau ñạt giá trị nhỏ nhất:P=x(1-x)(x-3)(4-x).(ðHQGHN2001-Khối B). Bài 14. Tìm GTLN,GTNN của các hàm số sau: a.y=3sin2x+4sinx.cosx-5cos2x+2(ðHHH-1998). b.y=sin20x+cos20x(ðHLHN-1999). c.y= 4 sin x − cos x (ðHQGHN-1999-Khối B). sin x d. y = , x ∈ [0; π ] (ðHSPQN-1999). 2 + cos x −π π e.y=5cosx-cos5x trên (ðHCS-2001). ; 4 4 g. f(x)=(2sinx+cosx)(2cosx-sinx)(ðHCT-2001). 1 h.y= 2(1 + sin 2 x. cos 4 x) − (cos 4 x − cos 8 x) (ðH Dược HN-2001). 2 Bài 15. Với b là tham số hãy xác ñịnh giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y=x4-6bx2+b2(HVKTQS-1996).
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học
Bài 16. Tìm GTLN,GTNN của hàm số: y =
[ ]
ln 2 x trên ñoạn 1; e 3 .(ðH2004-KhốiB ) x
Bài 17. Tìm GTLN,GTNN của hàm số: y = x + 4 − x 2 (ðH KhốiB-2003).
Bài 18. Tìm GTLN,GTNN của hàm số: y = x 6 + 4(1 − x 2 ) 3 trên ñoạn [− 1;1] .
CHUYÊN ðỀ 4: TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ I. Kiến thức cần nắm Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị là (C) y = y0 là tiệm cận ngang của nếu một trong hai ñiều kiện sau ñược thoả mãn: lim f ( x ) = y0 , hoÆc lim f ( x ) = y0 x →+∞
x →−∞
x = x0 là tiệm cận ñứng của (C) nếu một trong các ñiều kiện sau ñựơc thoả mãn: lim+ = +∞, lim− = +∞, lim+ = −∞, lim− = −∞ x → x0
x → x0
x → x0
x → x0
ðường thẳng y = ax + b ( a ≠ 0 ) ñược gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai ñiều kiện sau thoả mãn: lim [f ( x ) − (ax + b)] = 0 hoÆc lim [f ( x ) − (ax+b)]=0 x →+∞
x →−∞
* Chú ý: ðể tìm các hệ số a, b trong phương trình tiệm cận xiên ta có thể áp dụng công thức sau: f ( x) a = lim ; b = lim [f ( x) − ax] x →+∞ x →+∞ x f ( x) hoặc a = lim ; b = lim [f ( x) − ax] x →+∞ x →+∞ x (a = 0 thì có tiệm cận ngang) II. Bài tập 1/ Tìm các ñường tiệm cận của ñồ thị hàm số: 2x + 1 x−2 x2 + x + 1 a) y = b) y = 2 c) y = x−3 x −9 3 + 2 x − 5x2 x2 − 6 x + 3 x3 + x + 1 d) y = e) y = x −3 x2 + 1 2/ Tìm các ñường tiệm cận của ñồ thị hàm số: −3 x a) y = (ðáp số: TCN y= -3 khi x→ +∞ và y= 3 khi x→ -∞) x2 + 3 x b) y = (ðáp số: TCð x= ±3 và TCN y= ±1) 2 x −9 −1 c) y = (ðáp số: TCð x= -2 và x=-3; TCN y=0) x 2 + 5x + 6 3/ Tìm các ñường tiệm cận của ñồ thị hàm số: 1 1 a) y = x 2 − x + 1 (ðáp số: TCX y= x - khi x→ +∞ và y= -x + khi x→ -∞) 2 2 b) y = x + x 2 + 2 x (ðáp số: TCX y= 2x +1 khi x→ +∞ và TCN y= -1 khi x→ ∞) c) y =
x 2 + 3 (ðáp số: TCX y= x khi x→ +∞ và y= -x khi x→ -∞)
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học
d) y = x +
2 (ðáp số: TCð x=0 khi x→ 0+ và y= x khi x→ +∞) x
BÀI TẬP TỰ GIẢI Bµi 1. T×m tiÖm cËn c¸c hµm sè sau: 2x - 1 3 - 2x a. y = b. y = x+2 3x + 1 x+ 1 1 e. y = f. y = 4 + 2x + 1 x- 2
5 2 - 3x -x + 3 g. y = x
Bµi 2. T×m tiÖm cËn cña c¸c hµm sè sau: x 2 − 12 x + 27 x2 − x − 2 a. y = b. y = x2 − 4x + 5 ( x − 1)2
e. y = 2x -1 +
-4 x+1 4-x h. y = 3x + 1
c. y =
d. y =
x2 + 3x c. y = 2 x −4
x + 2x x −3 2
1 x
f. y =
g. y = x- 3 +
1 2(x- 1)2
Bµi 3. T×m tiÖm cËn c¸c hµm sè: a. y =
x2 + x x −1
Bµi 4. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè: y =
x −3 cã ®óng 2 tiÖm cËn x + 2(m + 2) x + m 2 + 1
b. y =
x+ 3 x+ 1
c.y =
d. y =
h. y =
x +1 x2 − 4
2
®øng. Bµi 5. TÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c t¹o bëi tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ t¹o víi hai trôc to¹ ®é cña c¸c hµm sè: 3x 2 + x + 1 -3x 2 + x − 4 a. y = b. y = x −1 x+2 Bµi 6.(§HSP 2000). T×m m ®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ hµm sè x 2 + 2(m − 1) x − 4 m + 3 y= t¹o víi hai trôc to¹ ®é mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 8 x−2 (®vdt) x 2 + x (3m − 2) + 3 − 3m Bµi 7. Cho hµm sè: y = (1) x −1 a. T×m m ®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ ®i qua ®iÓm A(4; − 3) b. T×m m ®Ó ®−êng tiÖm cËn xiªn cña (1) c¾t Parabol y = x 2 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.
ðIỂM UỐN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ 1.ðiểm uốn của ñồ thị: Hàm f có ñạo hàm cấp 1 & liên tục trên (a;b) chứa x0, có ñạo hàm cấp 2 trên 2 khoảng (a;x0),(x0;b). Nếu f “(x) ñổi dấu khi x ñi qua x0 thì I(x0;f(x0)) là ñiểm uốn của ñồ thị hàm số. 2.Phép tịnh tiến hệ toạ ñộ: Tịnh tiến hệ trục toạ ñộ 0xy ñến hệ trục toạ ñộ IXY theo 0I với I( x0 ; y0 )
x = x0 + X y = y0 + Y
Ta có công thức chuyển hệ tọa ñộ:
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
x
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học
CHUYÊN ðỀ 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP SƠ ðỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ðỒ THỊ HÀM SỐ 1.Tìm TXð (Xét tính chẵn-lẻ;Tuần hoàn nếu có) 2.Chiều biến thiên +Tìm các giới hạn lim y Hoặc các tiệm cận (nếu có) x → ±∞
+ Tính y ‘; xét dấu y ‘; suy ra chiều biến thiên và các ñiểm cực trị + Lập BBT 3.Vẽ ñồ thị +Tính y’’ ; tìm ñiểm uốn(nếu có) +ðiểm ñặc biệt: giao ñiểm của ñồ thị với 2 trục 0x, 0y +Vẽ các tiệm cận(nếu có) +Vẽ ñồ thị và nhận xét
D¹ng 1: Kh¶o s¸t vµ vÏ hµm sè y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) VÝ dô 1. Cho hµm sè: y = − x 3 + 3 x 2 − 1 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. Tuú theo gi¸ trÞ cña m, biÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: − x 3 + 3x 2 − 1 = m H−íng dÉn a. 1. TX§: D = ℝ 2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè a. Giíi h¹n t¹i v« cùc 3 1 lim (− x 3 + 3x − 1) = lim x 3 (1 + 2 − 3 ) = +∞ x →+∞ x →+∞ x x -∞ ∞ 0 x 3 1 lim (− x 3 + 3x − 1) = lim x 3 (1 + 2 − 3 ) = −∞ 0 y' x →−∞ x →−∞ x x +∞ ∞ c. B¶ng biÕn thiªn y x = 0 2 2 y ' = −3 x + 6 x ⇒ y ' = 0 ⇔ −3 x + 6 x = 0 ⇒ x = 2 -1 Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (−∞;0) vµ (2; +∞) Vµ nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0; 2). Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x= 2 ; vµ yC§=y(2)= 3 Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x =0 vµ yCT = y(1) = -1 3. §å thÞ + Giao víi Oy: cho x = 0 ⇒ y = 0 . Vëy giao víi Oy t¹i ®iÓm O(0; -1) + y '' = 0 ⇔ −6 x + 6 = 0 ⇒ x = 1 . §iÓm A (1; 1) + NhËn ®iÓm A lµm t©m ®èi xøng. b. Sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ sè giao ®iÓm cña 2 ®å thÞ y = − x 3 + 3 x 2 − 1 vµ y =m Dùa vµo ®å thÞ ta cã kÕt qu¶ biÖn luËn: m > 3: Ph−¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm.
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
+
2 +
-
0 3
2
-5
-2
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học m = 3 ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm -1< m < 3: Ph−¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm. m = -1: Ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm m < -1: Ph−¬ng tr×nh cã 1nghiÖm
C¸c bµi to¸n vÒ hµm bËc ba Bµi 1(TNTHPT – 2008) Cho hµm sè y = 2 x 3 + 3 x 2 − 1 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. BiÖm luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh 2 x 3 + 3 x 2 − 1 = m Bµi 2 (TN THPT- lÇn 2 – 2008) Cho hµm sè y = x3 - 3x2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè ®@ cho. b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh x 3 − 3 x 2 − m = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. Bài 3 (TNTHPT - 2007) Cho hàm số y= x3 − 3 x + 2 có ñồ thị là (C) . a/ Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số . b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại ñiểm A(2 ;4) . Bài 4 (TNTHPT - 2006) Cho hàm số y= − x3 + 3 x 2 có ñồ thị (C) . a/ Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số . b/ Dựa vào ñồ thị biện luận số nghiệm phương trình : − x3 + 3 x 2 -m=0 . Bài 5 (TNTHPT – 2004- PB) Cho hàm số y= x3 − 6 x 2 + 9 x có ñồ thị là (C) . a/ Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số . b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại ñiểm cã hoµnh ®é lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh y’’=0 . c/ Với giá trị nào của m thì ñường thẳng y=x+m2-m ñi qua trung ñiểm của ñoạn thẳng nối cực ñại vào cực tiểu . Bài 6 (TNTHPT – 2004 - KPB) Cho hàm số y= x3 − 3mx 2 + 4m3 . a/ Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1 . b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại ñiểm có hoành ñộ x=1 . Bµi 7 (§H- A- 2002) Cho hµm sè y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m= 1 b. T×m k ®Ó ph−¬ng tr×nh: − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. c. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua 2 ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè (1). Bµi 8 (C§ SP MGTW- 2004) Cho hµm sè y = x3 - 3x2 + 4m a. Chøng minh ®å thÞ hµm sè lu«n cã 2 cùc trÞ. b. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m = 1
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học
Bµi 9 (§H-B- 2007) Cho hµm sè y = − x 3 + 3 x 2 + 3(m 2 − 1) x − 3m 2 − 1 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =1 b. T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i cùc tiÓu vµ c¸c ®iÓm cùc trÞ c¸ch ®Òu ®iÓm O. Bµi 10 (§H - D - 2004) Cho hµm sè y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 2 b. T×m m ®Ó nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh y’’= 0 thuéc ®−êng th¼ng y = x+ 1 Bµi 11 : Cho hµm sè y = (x -1)(x2 + mx + m) a. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt b. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m= 4 Bµi 12: Cho hµm sè y = 2 x 3 + 3(m − 1) x 2 + 6(m − 2) x − 1 a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =2 b. Víi gi¸ trÞ nµo cña m hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu. Bµi 13: (§H 2006- D) Cho hµm sè y = x 3 − 3 x + 2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè. b. Gäi d lµ ®−êng th¼ng qua ®iÓm A(3; 20) vµ cã hÖ sè gãc m. T×m m ®Ó ®−êng th¼ng d c¾t (C ) t¹i 3 ®iÓm phÇn biÖt. (Gîi ý ®−êng th¼ng d qua M(x0;y0) cã hÖ sè gãc m cã d¹ng: y = m(x - x0) + y 0) Bµi 14: Cho hµm sè y = (x - m)3 - 3x a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1 b. T×m m ®Ó hµm sè ®@ cho ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 0 Bµi 15: Cho hµm sè y = (x -1)(x2 + mx + m) c. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt d. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m= 4 Bµi 16: Cho hµm sè y = x 3 − 2 mx 2 + m 2 x − 2 a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m =1 b. T×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1
Dạng 2: Hµm bËc bèn trïng ph−¬ng vµ mét sè bµi tËp cã liªn quan I. Mét sè tÝnh chÊt cña hµm trïng ph−¬ng Hµm sè lu«n cã cùc trÞ víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè sao cho a ≠ 0 Hµm sè ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i, cùc tiÓu ⇔ y ' = 0 ⇔ 2 x (2 ax 2 + b) = 0 cã ba nghiÖm b ph©n biÖt ⇔ <0 2a §å thÞ hµm sè lu«n nhËn Oy lµ trôc ®èi xøng. NÕu hµm sè cã ba cùc trÞ trÞ chóng t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n. D¹ng to¸n: Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè VÝ dô 1 (TNTHPT-2008) Cho hµm sè y = x 4 − 2 x 2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = -2 VÝ dô 2. Cho hµm sè y = x 4 + 4 mx 3 + 3(m + 1) x 2 + 1 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =0 b. Víi gi¸ trÞ nµo cña m hµm sè cã 3 cùc trÞ
Bµi tËp hµm sè trïng ph−¬ng Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học Bµi 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau: a. y= -x 4 + 2 x 2 b. y = x 4 + x 2 − 2 1 5 d. y = x 4 − 3 x 2 = e.y = -x 4 +2x 2 +3 2 2
c. y = x 4 − 6 x 2 + 1 f. y = x 4 +2x 2 +1
Bµi 2. Cho hµm sè y = x 4 − 2 m 2 x 2 + 1 a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =1 b. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè cã ba cùc trÞ lµ ba ®Ønh cña tam gi¸c vu«ng c©n. Bµi 3 (§H §µ L¹t - 2002) a. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 4 − 2 x 2 + 1 = 0 b. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y = x 4 − 2 x 2 + 1 c. BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x 4 − 2 x 2 + 1 − m = 0 Bµi 4 (§H Th¸i Nguyªn - 2002) Cho hµm sè y = − x 4 + 2 mx 2 (C m ) a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1 b. H@y x¸c ®Þnh m ®Ó hµm sè ®å thÞ hµm sè cã 3 cùc trÞ Bµi 5. (§H Vinh - 2002) 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y = − x 4 + 5 x 2 − 4 2. X¸c ®Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh x 4 − 5x 2 − m 2 + 3 = 0 cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. x4 9 Bµi 6: Cho hµm sè y = − 2x2 − 4 4 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè b. BiÖn luËn theo k sè giao ®iÓm cña (C) víi ®å thÞ (P) cña hµm sè y = k − 2 x 2 Bµi 7: Cho hµm sè y = x 4 − 2 mx 2 + m 3 − m 2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè khi m = 1 b. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ (Cm ) cña hµm sè ®@ cho tiÕp xóc víi trôc hoµnh t¹i 2 ®iÓm Bµi 8. (§H CÇn th¬ - 2002) Cho hµm sè y = x 4 − 2 x 2 + 2 − m (Cm) a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 0 b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ (Cm) cña hµm sè chØ cã hai ®iÓm chung víi Ox c. Chøng minh víi mäi m tam gi¸c cã 3 ®Ønh lµ ba cùc trÞ lµ mét tam gi¸c vu«ng c©n. Bµi 9.Cho hàm số y= mx4+(m2-9)x2+10 (1) (m là tham số). a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m=1. b.Tìm m ñể hàm số (1) có ba ñiểm cực trị.(ðH- Khối B-2002). Bµi 10.Cho hàm số y=x4-mx2+m-1 (1).(m là tham số). a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m=8. b.Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 ñiểm phân biệt.(ðH-2002 DB). Bµi 11.a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số y= x4-6x2 +5. b.Tìm m ñể phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt x4- 6x2- log2m = 0(ðH-2005-DB). Bµi 12. Cho hàm số y= x4-2m2x2+1 (1) (m là tham số). a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m=1. b.Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có ba ñiểm cực trị là ba ñỉnh của một tam giác vuông cân.(ðH-2004 DB). Bµi 13. Cho hàm số y= x4-5x2+4 (1)
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học a.Khảo sát hàm số (1). b.Tìm m ñể ñường thẳng y=m cắt ñồ thị hàm số (1) tại 4 ñiểm phân biệt. c.Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) chắn trên ñường thẳng y=m ba ñoạn bằng nhau.( ðH Huế-2000-Khối D). Bµi 14. Cho hàm số y= -x4+5x2-4 (1). a.Khảo sát hàm số (1). b.Tìm m ñể phương trình x4-5x2 –m2+ 3 m=0 có 4 nghiệm phân biệt.(ðHSPV2001D). 1 3 Bµi 15.Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + 2 2 a.Với m=2 :+Khảo sát hàm số. +Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm 3 A(0; ). 2 b.Tìm m ñể hàm số có cực tiểu mà không có cực ñại.(ðHCS-2000). Bµi 16.Cho hàm số y=x4-x2+1 có ñồ thị (C) . a.Khảo sát vẽ ñồ thị (C). b.Tìm tất cả các ñiểm trên Oy mà từ ñó kẻ ñược ñúng ba tiếp tuyến ñến (C). (ðHAG-2001A). Bµi 17.Cho hàm số y= x4-(m2 +10)x2 +9 (1) a.Khảo sát vẽ ñồ thị khi m=0. b.CMR:Với mọi m ≠ 0 ðTHS (1) luôn cắt trục hoành tại 4 ñiểm phân biệt trong ñó hai ñiểm có hoành ñộ nằm trong khoảng (-3;3) và hai ñiểm có hoành ñộ nằm ngoài khoảng (-3;3).(ðHNT-2001A). Bµi 18.a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số y= x4-2x2-1 b.Với giá trị nào của m thì phương trình x 4 − 2 x 2 − 1 = log 4 m có 6 nghiệm phân biệt.(ðHNT-2000). Bµi 19. Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 2 - m (Cm). a.Khảo sát vẽ ñồ thị khi m=0. b.Tìm m sao cho (Cm) chỉ có hai ñiểm chung với Ox. c.CMR:Với mọi m tam giác có ba ñỉnh là ba cực trị của hàm số (Cm) là tam giác vuông cân.(ðHCT-2001D). Bµi 20. Cho hàm số y=- x4+2mx2-2m+1 (Cm). a.Khảo sát vẽ ñồ thị khi m=1. b.CMR:(Cm) luôn ñi qua hai ñiểm cố ñịnh A,B khi m thay ñổi. c.Tìm m ñể các tiếp tuyến của (Cm) tại A,B vuông góc với nhau.(ðHH1998). Bµi 21. Cho hàm số y=- x4+2(m+1)x2-2m-1 (Cm). a. Khảo sát vẽ ñồ thị khi m=0.Gọi ñồ thị là (C) ,tìm tất cả các ñiểm thuộc Oy sao cho từ ñó có thể kẻ ñược ba tiếp tuyến với ñồ thị (C). b.Tìm m ñể ðTHS cắt Ox tại bốn ñiểm phân biệt có hoành ñộ lập thành cấp số cộng.(ðHYDTPHCM-1998). Bµi 22.a. Khảo sát vẽ ñồ thị hàm số y=(x+1)2(x-1)2 (C). b.Biện luận theo b số nghiệm của phương trình x4-2x2-2b+2=0. c.Tìm a ñể (P):y=ax2-3 tiếp xúc với (C).Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại tiếp ñiểm.(ðHQGHN-1995). Bµi 23.Cho hàm số y=- x4+2(m+2)x2-2m-3 (Cm). a.Tìm m ñể ðTHS cắt Ox tại bốn ñiểm phân biệt có hoành ñộ lập thành cấp số cộng. b.Tìm m ñể ðTHS chỉ có cực ñại mà không có cực tiểu.(HVQY-1996). Bµi 24. Cho hàm số y= x4+mx2-m-1 (Cm).
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học a. Tìm m sao cho (Cm) tiếp xúc với ñường thẳng y=2(x-1) tại ñiểm có hoành ñộ bằng 1.Khảo sát vẽ ñồ thị với giá trị m ñó. b.CMR:(Cm) luôn ñi qua hai ñiểm cố ñịnh . c.Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: 4x2(1-x2)=1-k.(ðH Huế 1998). Bµi 25. Cho hàm số y= x4-2mx2+m3-m2 (Cm). a.Khảo sát vẽ ñồ thị khi m=1. b. Tìm m sao cho (Cm) tiếp xúc với Ox tại hai ñiểm phân biệt(ðHQGTPHCM-1996). Bµi 26.Cho hàm số y= (1-m)x4-mx2+2m-1 (Cm). a. Tìm m ñể (Cm) cắt Ox tại bốn ñiểm phân biệt. b.Tìm m ñể hàm số có ñúng một cực trị.(ðHSPII-1997). Bµi 27.Cho hàm số y= m 2x4-2x2+m (Cm). a.Khảo sát vẽ ñồ thị khi m=1. b.Khảo sát sự biến thiên của hàm số khi m ≠ 0,từ ñó xác ñịnh m sao cho m 2x42x2+m ≥ 0, ∀x (ðHQGTPHCM-1998). Bµi 28.Cho hàm số y= 2x4 - 4x2 (1) a.Khảo sát vẽ ñồ thị khi (1). b.Với giá trị nào của m thì phương trình x 2 . x 2 − 2 = m có ñúng 6 nghiệm thực phân biệt (ðại học khối B-2009) Bµi 29.(ðại học khối D năm 2009) Cho hàm số y = x4 - (3m + 2) x2 (Cm). a.Khảo sát vẽ ñồ thị khi m = 0. b.Tìm m ñể ñường thẳng y = - 1 cắt ñồ thị (Cm) tại bốn ñiểm phân biệt ñều có hoành ñộ nhỏ hơn 2.
Dạng 3:Hàm số bậc hai trên bậc nhất. x 2 − 2x + m (1) (m là tham số ). x−2 a.Xác ñịnh m ñể hàm số (1) nghịch biến trên ñoạn [− 1;0] . b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m=1. c.Tìm a ñể phương trình sau có nghiệm: 1.Cho hàm số: y =
91+
1−t 2
− (a + 2).31+
1− t 2
+ 2a + 1 = 0 (ðH-2002DB).
x 2 + mx (1) (m là tham số ). 1− x a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m=0. b.Tìm m ñể hàm số (1) có cực ñại và cực tiểu.Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1) bằng 10? (ðH-2002DB). 2 mx + x + m 3.Cho hàm số: y = (1) (m là tham số ). x −1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m=-1. b. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt và hai ñiểm ñó có hoành ñộ dương.(ðH-2003-Khối A). 2x 2 − 4x − 3 4. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số y = (1) . 2( x − 1) b.Tìm m ñể phương trình 2 x 2 − 4 x − 3 + 2m x − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt. 2. Cho hàm số: y =
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học (ðH-2003DB). x + (2m + 1) x + m + m + 4 5. Cho hàm số: y = (1) (m là tham số ). 2( x + m) a.Tìm m ñể hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1). b.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m=0. (ðH-2003DB). x 2 − 2x + 4 6. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số y = (1) . x−2 b.Tìm m ñể ñường thẳng dm: y=mx+2-2m cắt ñồ thị hàm số (1) tại hai ñiểm phân biệt.(ðH-2003-Khối D). x 2 + 5x + m 2 + 6 7. Cho hàm số: y = (1) (m là tham số ). x+3 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m=1. b.Xác ñịnh m ñể hàm số (1) ñồng biến trên khoảng (1;+ ∞ ). (ðH-2003DB). 2 − x + 3x − 3 (1) 8.Cho hàm số: y = 2( x − 1) a. Khảo sát hàm số (1). b.Tìm m ñể ñường thẳng y=m cắt ñồ thị hàm số (1) tại hai ñiểm A,B sao cho AB=1.(ðH-2004-Khối A). 1 9.Gọi (Cm) là ñồ thị của hàm số y=mx + (*) (m là tham số). x 1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (*) khi m= . 4 b.Tìm m ñể hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ ñiểm cực tiểu của (Cm) ñến tiệm 1 cận xiên của (Cm) bằng .(ðH-2005-Khối A). 2 x 2 + (m + 1) x + m + 1 10. Gọi (Cm) là ñồ thị của hàm số: y = (*) (m là tham số ). x +1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (*) khi m=1. b.Chứng minh rằng với m bất kỳ,ñồ thị hàm số (Cm) luôn luôn có ñiểm cực ñại ,ñiểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai ñiểm ñó bằng 20 . (ðH-2005-Khối B). x2 + x +1 11.a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số y = . x +1 b.Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm M(-1;0) và tiếp xúc với ñồ thị (C). (ðH-2005DB). x 2 + 2x + 1 − m 2 12. Gọi (Cm) là ñồ thị của hàm số: y = (*) (m là tham số ). x−m a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (*) khi m=1. b. Tìm m ñể (Cm) có hai ñiểm cực trị nằm về hai phía của Oy. (ðH-2005DB). 2 x − 2mx + 2 (1) với m là tham số. 13.Cho hàm số y = x −1 2
2
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m=1. b.Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực trị Avà B.CMR:Khi ñó ñường thẳng AB song song với ñường thẳng 2x-y-10=0. (ðH-2004-DB). 1 14.Cho hàm số y=x+ (1) có ñồ thị (C). x a.Khảo sát hàm số (1). b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) ñi qua ñiểm M(-1;7). (ðH-2004-DB). x 2 + 2x + 2 15.Cho hàm số y = (*) x +1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (*) . b.Gọi I là giao ñiểm của hai tiệm cận của (C).Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) ñi qua ñiểm I. (ðH-2005DB).
Dạng 4:Hàm số bậc nhất trên bậc nhất. Bài 1. Cho hàm số y =
2x + 2 có ñồ thị (C). x −1
1) Khảo sát hàm số. 2) Viết phương trình ñường thẳng (d) ñi qua ñiểm A(0 ; 2) và tiếp xúc với (C). 3) Viết phương trình ñường thẳng (∆) ñi qua ñiểm B(2; 0) có hệ số góc k, Biện luận theo k số giao ñiểm của (∆) và (C) 2x + 2 Bài 2. Cho hàm số y = có ñồ thị (C). x −1 1) Khảo sát hàm số. 2) Viết phương trình ñường thẳng (d) ñi qua ñiểm A(0 ; 2) và tiếp xúc với (C). 3) Viết phương trình ñường thẳng (∆) ñi qua ñiểm B(2; 0) có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao ñiểm của (∆) và (C) 2x + 2 Bài 3. Cho hàm số y = có ñồ thị (C). x −1 1) Khảo sát hàm số. 2) Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm A(0 ; 2) và tiếp xúc với (C). 4) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ñã cho khi –2 ≤ x ≤ 0. −x−2 Bài 4. Cho hàm số y = x +1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số. 2) Biện luận theo m số giao ñiểm của (C) và ñt (d) y = x + m. x +1 Bài 5. Cho hàm số y = x −1 1) Khảo sát sự biến thiên, vẽ ñồ thị (C) của hàm số trên. 2) Chứng tỏ rằng ñường thẳng d : y = 2x + k luôn luôn cắt (C) tại 2 ñiểm thuộc 2 nhánh khác nhau. x+2 Bài 6. Cho hàm số y = (1) 2x + 3 1)Khảo sát và vẽ ñồ thị của hàm số (1) 2)Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến ñó cắt trục hoành trục tung tại hai ñiểm phân biệt A,B và tam giác OAB cân tại gốc tọa ñộ O (ðại Học khối A năm 2009)
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG CỦA ðẠO HÀM ðỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ðỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHUYÊN ðỀ 1: TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính ñơn ñiệu của hàm số I. Kiến thức cơ bản 1. ðịnh nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác ñịnh trên K: + Hàm số y = f(x) ñược gọi ñồng biến trên khoảng K nếu: ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) + Hàm số y = f(x) ñược gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu: ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) 2. Qui tắc xét tính ñơn ñiệu a. ðịnh lí Cho hàm số y = f(x) có ñạo hàm trên K: + Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số ñồng biến + Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến + Nếu f’(x) = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) không ñổi trên khoảng K b. Qui tắc B1: Tìm tập xác ñịnh của hàm số B2: Tính ñạo hàm của hàm số. Tìm các ñiểm xi (i = 1, 2,…,n) mà tại ñó ñạo hàm bằng 0 hoặc không xác ñịnh. B3: Sắp xếp các ñiểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. B4: Nêu kết luận về các khoảng ñồng biến, nghịch biến. II. Các ví dụ Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số Ví dụ 1. Xét sự ñồng biến và nghịch biến của hàm số: 1 1 a. y = x3 − x 2 − 2 x + 2 b. y = -x 2 + 3 x + 4 e. y = 3 2 x-1 c. y = x 4 − 2 x 2 + 3 d. y = x +1 Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau: a. y = 3x 2 − 8 x3 b. y = x 4 + 8 x 2 + 5 3- 2x d. y = x+7
x2 − 2x + 3 e. y = x +1
c. y = x 3 − 6 x 2 + 9 x f. y = 25-x 2
Loại 2: Chứng minh hàm số ñồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác ñịnh. Phương pháp + Dựa vào ñịnh lí. Ví dụ 3. Chứng minh hàm số y = 2 x − x 2 nghịch biến trên ñoạn [1; 2] Ví dụ 4 a. Chứng minh hàm số y = x 2 − 9 ñồng biến trên nửa khoảng [3; + ∞ ). 4 b. Hàm số y = x + nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2] x Ví dụ 5. Chứng minh rằng
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
x ( x − 3), (x > 0)
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học 3− x nghịch biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó. 2x +1 2 x 2 + 3x b. Hàm số y = ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó. 2x + 1
a. Hàm số y =
c. Hàm số y = − x + x 2 + 8 nghịch biến trên R.
Dạng 2. Tìm giá trị của tham số ñể một hàm số cho trước ñồng biến, nghịch biến trên khoảng xác ñịnh cho trước Phương pháp: + Sử dụng qui tắc xét tính ñơn ñiêu của hàm số. + Sử dụng ñịnh lí dấu của tam thức bậc hai 1 Ví dụ 6: Tìm giá trị của tham số a ñể hàm số f ( x) = x3 + ax 2 + 4 x + 3 ñồng biến 3 trên R. x2 + 5 x + m2 + 6 Ví dụ 7 : Tìm m ñể hàm số f ( x) = ñồng biến trên khoảng (1; +∞) x+3 m ñồng biến trên mỗi khoảng Ví dụ 8 : Với giá trị nào của m, hàm số: y = x + 2 + x −1 xác ñịnh của nó. x3 Ví dụ 9: Xác ñịnh m ñể hàm số y = − + (m − 1) x 2 + (m + 3) x ñồng biến trên khoảng 3 (0; 3) mx + 4 Ví dụ 10 : Cho hàm số y = x+m a. Tìm m ñể hàm số tăng trên từng khoảng xác ñịnh b. Tìm m ñể hàm số tăng trên (2; +∞) c. Tìm m ñể hàm số giảm trên (−∞;1) Ví dụ 11 : Cho hàm số y = x3 − 3(2m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 2 . Tìm m ñể hàm số: a. Liên tục trên R b. Tăng trên khoảng (2; +∞) Ví dụ 12: (ðH KTQD 1997)Cho hàm số y = x3 − ax 2 − (2a 2 − 7 a + 7) x + 2(a − 1)(2a − 3) ñồng biến trên [2:+∞) Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên ñể chứng minh BðT Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau: + Dấu hiệu ñể hàm số ñơn ñiệu trên một ñoạn. + f ( x) ñồng biến trên [a; b] thì f (a ) ≤ f ( x) ≤ f () + f(x) nghịch biến trên [a; b] thì f (a ) ≥ f ( x) ≥ f (b) Ví dụ 1. Chứng minh các bất ñẳng thức sau: π 1 x2 1 a. tanx > sinx, 0< x < b. 1 + x − < 1 + x < 1 + x, 0 < x < +∞ 2 2 8 2 2 3 x x c. cosx > 1 ,x >0 d. sinx > x , x>0 2 6 Ví dụ 2. Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học π a. Chứng minh rằng hàm số ñồng biến trên nửa khoảng 0; 2
π
b. Chứng minh rằng 2 sin x + tan x > 3 x, ∀x ∈ (0; ) 2 Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) = t anx - x π a.Chứng minh hàm số ñồng biến trên nửa khoảng 0; 2
π
b. Chứng minh tan x > x, ∀x ∈ (0; ) 2 4 π Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) = x − t anx, x ∈ [0; ] π 4 a. Xét chiều biến thiên của hàm số trên [0; b. Chứng minh rằng tan x ≤
4
π
π
4
]
x, ∀x ∈ [0; ] π 4
BÀI TẬP ÔN TẬP TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ 1)Tìm các khoảng ñơn ñiệu của các hàm số sau: 1 1 a. y = x3 − x 2 − x + 2 3 2 4 2 y = x − 2x + 2
x2 b. y = x −1
c.
d. y = x3 + 3x 2 + 3x + 5
e. y = 2 x − x 2
f.y= sin x
g. y = x 2 − 2 x − 3
h. y = (1 − x 2 )3
x2 − 2x + 2 1 j. y = x −1 ( x + 1) 2 2)Xét tính ñơn ñiệu của các hàm số sau:
i. y =
a. y = 2 x − x 2 b.y= x 2 − 3 x + 2
3)Tìm tập xác ñịnh và xét tính ñơn ñiệu của hàm số sau: x2 a. y = (ðHXD -1999). x2 −1 x +1 b.y= (ðề 7 -Bộ ðề 1996). x2 − x +1 4)Cho hàm số: 1 2 y = (m + 1) x 3 − (m − 1) x 2 + mx − .Tìm m ñể hàm số luôn ñồng biến.(ðHQGHN3 3 1996 Khối D). 5)Cho hàm số: y = −(m 2 + 5m) x 3 + 6mx 2 + 6 x − 6 .Tìm m ñể hàm số ñơn ñiệu trên R.Khi ñó hàm số ñồng biến hay nghịch biến?Tại sao?(ðH Huế 1997 -Khối A).
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học 1 6) Cho hàm số: y = − x 3 + (m − 1) x 2 + (m + 3) x .Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên 3 khoảng (0;1). (ðH An Ninh 1996). 1 7) Cho hàm số: y = x 3 − mx 2 + (2m − 1) x − m + 2 .Tìm m ñể hàm số nghịch biến trên 3 khoảng (-2;0).(ðH Ngoại Ngữ 1998). 8) Cho hàm số: y = x 3 + 3 x 2 + mx + m .Tìm m ñể hàm số nghịch biến trên một ñoạn có ñộ dài bằng 1 .(ðHQGHN 2000 -Khối D). 2 x 2 − 3x + m 9) Cho hàm số: y = . Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên khoảng x −1 (3;+ ∞) .(ðHTCKT 1997).
x 2 − (m + 1) x + 4m 2 − 4m + 2 . Tìm m ñể hàm số xác ñịnh và x − (m − 1) ñồng biến trên khoảng (0;+ ∞) (ðHSPHN 2000). 10) Cho hàm số: y =
x 2 − 8x . Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên khoảng 8( x + m) 1;+ ∞) .(ðHMðC2001)
11) Cho hàm số: y =
[
(m + 1) x 2 − 2mx − (m 3 − m 2 + 2) . Tìm m ñể hàm số luôn nghịch x−m biến trên các khoảng xác ñịnh của nó.(ðHTCKT 2001). (3m − 1) x − m 2 + m 13) Cho hàm số: y = (1) . Tìm m ñể hàm số (1) luôn ñồng biến x+m trên các khoảng xác ñịnh của nó.(CðKTKT Cần Thơ -2005-Khối A). 14)Giải bất phương trình: x + 9 + 2 x + 4 > 5 12)Cho hàm số: y =
CHUYÊN ðỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I.LÝ THUYẾT: 1)Khái niệm cực trị của hàm số: Cho hàm số y=f(x) xác ñịnh trên tập hợp D ( D ⊂ R) và x0 ∈ D ta có các ñịnh nghĩa sau: a) x0 ñược gọi là ñiểm cực ñại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa ñiểm x0 sao cho (a; b) ⊂ D và : f(x) < f(x0) với mọi x ∈ ( a; b ) \ { x0 } . Khi ñó f(x0) ñược gọi là giá trị cực ñại của hàm số f b) x0 ñược gọi là ñiểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa ñiểm x0 sao cho (a; b) ⊂ D và : f(x) > f(x0) với mọi x ∈ ( a; b ) \ { x0 } . Khi ñó f(x0) ñược gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f ðiểm cực ñại và ñiểm cực tiểu ñược gọi chung là ñiểm cực trị. Giá trị cực ñại và giá trị cực tiểu ñược gọi chung là cực trị. 2)Các ñịnh lý quan trọng: ðịnh lý 1:(ðiều kiện cần ñể hàm số ñạt cực trị) Nếu hàm số f(x) có ñạo hàm tại ñiểm x0 và ñạt cực trị tại ñó thì f ‘(x0) = 0 Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học ðịnh lý 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa ñiểm x0 và có ñạo hàm trên các khoảng (a; x0 ) và (x0 ; b). Khi ñó, nếu f ’(x) ñổi dấu qua ñiểm x0 thì x0 là ñiểm cực trị của hàm số f(x),cụ thể như sau: x f ’(x) f (x)
a
x0
b
+
f(x0) (cực ñại)
x f ’(x) f (x)
a
x0 -
b +
(cực tiểu) f(x0)
ðịnh lý 3: Giả sử hàm số f(x) có ñạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa ñiểm x0. f , ( x0 ) = 0 Nếu ,, thì x0 là một ñiểm cực trị của hàm số. Hơn nữa: f ( x0 ) ≠ 0 f , ( x0 ) = 0 * Nếu ,, thì x0 là ñiểm cực tiểu. f ( x0 ) > 0 f , ( x0 ) = 0 * Nếu ,, thì x0 là ñiểm cực ñại. f ( x0 ) < 0
II.BÀI TẬP: Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số Phương pháp: Dựa vào các ñịnh lý trên ñể tìm cực trị của hàm số y = f(x) Qui tắc I. Qui tắc II. B1: Tìm tập xác ñịnh. B1: Tìm tập xác ñịnh. B2: Tính f’(x). Tìm các ñiểm tại ñó f’(x) B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = = 0 hoặc f’(x) không xác ñịnh. 0 và kí hiệu là xi là các nghiệm của nó. B3. Lập bảng biến thiên. B3: Tính f ”(xi) B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị ( f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi; ( f ”(xi) < 0 thì hàm số có cực ñại tại xi) * Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp. Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = 2 x 3 + 3 x 2 − 36 x − 10 Qui tắc I. Qui tắc II TXð: R TXð: R 2 y ' = 6 x + 6 x − 36 y ' = 6 x 2 + 6 x − 36
y ' = 0 ⇔ 6 x 2 + 6 x − 36 = 0 x = 2 ⇔ x = −3
y ' = 0 ⇔ 6 x 2 + 6 x − 36 = 0 x = 2 ⇔ x = −3 y”= 12x + 6 y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số ñạt cực tiểu tại x = 2 và yct = - 54 y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số ñạt cực ñại tại x = -3 và
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học
x
-3
-∞ +
y'
0
-
0
+ +∞
71
y
ycñ =71
+∞
2
- 54
-∞
Vậy x = -3 là ñiểm cực ñại và ycñ =71 x= 2 là ñiểm cực tiểu và yct = - 54 Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau: a. y = 10 + 15x + 6x 2 − x3
b. y = x 4 − 8 x 3 + 432
c. y = x 3 − 3 x 2 − 24 x + 7
d. y = x 4 - 5x 2 + 4
e. y = -5x 3 + 3x 2 - 4x + 5 f. y = - x 3 - 5x Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: x+1 x2 + x − 5 (x - 4)2 a. y = 2 b. y = c. y = 2 x +8 x +1 x − 2x + 5 2 9 x − 3x + 3 x d. y = x - 3 + e. y = f. y = 2 x-2 x −1 x +4 Bài 3. Tìm cực trị các hàm số x+1 5 - 3x a. y = x 4 - x 2 b. y = c. y = 2 x +1 1 - x2 x x3 d. y = f. y = x 3 - x e. y = 10 - x 2 x2 − 6 Bài 4. Tìm cực trị các hàm số: a. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
d. y = sin2x
e. y = cosx +
1 cos2x 2
f. y = 2sinx + cos2x víi x ∈ [0; π ]
Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị ðể tìm ñiều kiện sao cho hàm số y = f(x) ñạt cực trị tại x = a B1: Tính y’ = f’(x) B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm ñược m B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn ñiều kiện ñã nêu không ( vì hàm số ñạt cực trị tại a thì f’(a) = 0 không kể Cð hay CT) Ví dụ 1. Tìm m ñể hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m - 1)x + 2 ñạt cực tiểu tại x = 2 LG y ' = 3 x 2 − 6 mx + m − 1 . Hàm số ñạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0 ⇔ 3.(2)2 − 6 m.2 + m − 1 = 0 ⇔ m = 1 x = 0 Với m = 1 ta ñược hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 có : y ' = 3 x 2 − 6 x ⇒ y ' = 0 ⇔ tại x x = 2 = 2 hàm số ñạt giá trị cực tiểu Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học
BÀI TẬP Bài 1. Xác ñịnh m ñể hàm số y = mx 3 + 3x 2 + 5 x + 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 Bài 2. Tìm m ñể hàm số 2 y = x 3 − mx 2 + (m − ) x + 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè cã C§ hay CT 3 x 2 + mx + 1 Bài 3. Tìm m ñể hàm số y = ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 x+m Bài 4. Tìm m ñể hàm số y = x 3 − 2 mx 2 + m 2 x − 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1 Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 1, f(1) = -3 và ñồ thị cắt trục tung tại ñiểm có tung ñộ bằng 2 q ñạt cực ñại tại ñiểm x = Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số f ( x ) = xp + x +1 -2 và f(-2) = -2
Dạng 3. Tìm ñiều kiện ñể hàm số có cực trị. Bài toán: ‘Tìm m ñể hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào ñó. Phương pháp B1: Tìm m ñể hàm số có cực trị. B2: Vận dụng các kiến thức khác. Chú ý: Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt. p( x ) Cực trị của hàm phân thức y = . Giả sử x0 là ñiểm cực trị của y, thì giá trị Q( x ) P( x0 ) P '( x0 ) của y(x0) có thể ñược tính bằng hai cách: hoặc y( x0 ) = hoÆc y(x 0 ) = Q( x0 ) Q '( x0 ) Ví dụ 1: Xác ñịnh m ñể các hàm số sau có cực ñại và cực tiểu 1 x 2 + mx − 2 m − 4 a. y = x 3 + mx 2 + (m + 6) x − 1 b. y = x+2 3 Hướng dẫn. a. TXð: R y ' = x 2 + 2 mx + m + 6 . ðể hàm số có cực trị thì phương trình: x 2 + 2 mx + m + 6 = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt m > 3 ∆ ' = m2 − m − 6 > 0 ⇔ m < −2 b. TXð: ℝ \ {−2}
y' =
(2 x + m)( x + 2) − ( x 2 + mx − 2 m − 4) x 2 + 4 x + 4 m + 4 = ( x + 2)2 ( x + 2)2
Hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi y ' = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -2 ⇔ x 2 + 4 x + 4 m + 4 = 0 ∆ ' > 0 4 − 4m − 4 > 0 ⇔ ⇔ ⇔m<0 4 − 8 + 4m + 4 ≠ 0 m ≠ 0 Ví dụ 2: Cho hàm số: y = mx4 +(m2 – 9)x2 + 10 (1).Tìm m ñể hàm số (1) có 3 ñiểm cực trị.(ðại học khối B năm 2002) Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học x 2 + (m + 1) x + m + 1 .chứng minh rằng : với m bất kỳ, ñồ x +1 thị hàm số luôn có ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai ñiểm ñó bằng 20 (ðại Học khối B năm 2005)
Ví dụ 3: Cho hàm số: y =
BÀI TẬP Bài 1. Tìm m ñể hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã C§, CT? x 2 − m(m + 1) x + m 3 + 1 luôn có cực ñại và cực tiểu. x−m Bài 3. Cho hàm số y = 2 x 3 + @ 2 − 12 x − 13 . Tìm a ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu và các ñiểm cực tiểu của ñồ thị cách ñều trục tung. m Bài 4. Hàm số y = x 3 − 2(m + 1) x 2 + 4 mx − 1 . Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu. 3 x 2 + mx Bài 5. Cho hàm y = . Tìm m ñể hàm số có cực trị. 1− x x 2 + mx − 2 m − 4 . Xác ñịnh m ñể hàm số có cực ñại và cực Bài 6. Cho hàm số y = x+2 tiểu.
Bài 2. Tìm m ñể hàm sô y =
Dạng 4. Tìm tham số ñể các cực trị thoả mãn tính chất cho trước. Phương pháp + Tìm ñiều kiện ñể hàm số có cực trị + Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet ñể thoả mãn tính chất. Ví dụ : ax 2 + bx + c 1.Cho hàm số y= (a.d ≠ 0) .CMR:Phương trình ñường thẳng ñi qua hai dx + e 2ax + b cực trị của hàm số là y = . d u ( x) 2.Cho hàm số y= .CMR:Nếu x0 là ñiểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị tại x0 v ( x) u , (x ) là y0= , 0 (Có thể dùng ñể tính giá trị cực trị của hàm phân thức). v ( x0 ) 3.Tìm m ñể hàm số y =
x 2 + (2m + 3) x + m 2 + 4m có hai cực trị và hai giá trị cực trị x+m
trái dấu.(ðHTC-1999). x 2 − (m + 1) x − m 2 + 4m − 2 4.Cho hàm số y = .Tìm m ñể hàm số có cực trị.Tìm m ñể x −1 tích các giá trị cực trị nhỏ nhất.(ðHQGHN-1999). x 2 + 2mx + 2 5. Cho hàm số y = . Tìm m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu cách ñều x +1 ñường thẳng x+y+2=0.
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học x 2 + mx − 8 . Tìm m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu,khi ñó viết x−m phuơng trình ñường thẳng ñi qua cực ñại ,cực tiểu của ñồ thị hàm số. (ðHCS-2000). x 2 − (m + 1) x + 3m + 2 7.Cho hàm số y = . Tìm m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu x −1 ñồng thời giá trị cực ñại và cực tiểu cùng dấu.(CðSPTPHCM-2001). x 2 − mx + m 8. Cho hàm số y = .CMR:Với mọi m hàm số luôn có cực trị và khoảng x −1 cách giữa hai ñiểm cực trị là không ñổi.(ðHTL-1998). x 2 + mx − m + 8 9. Cho hàm số y = . Tìm m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu nằm ở x −1 hai phía của ñường thẳng 9x-7y-1=0.(ðHAN-1999). 10.Cho hàm số y=x3-3(m+1)x2+2(m2+7m+2)x-2m(m+2). Tìm m ñể ñồ thị hàm số có cực ñại ,cực tiểu và viết phương trình ñường thẳng ñi qua cực ñại cực tiểu ñó. (HVKTMM-1999). 11.Cho hàm số y=x3+3mx2+3(1-m2)x+m3-m2.Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị cuả ñồ thị hàm số.(ðH-2002-Khối A). 6.Cho hàm số y =
3 2 1 3 mx + m . Xác ñịnh m ñể ñồ thị hàm số có các ñiểm cực 2 2 ñại và cực tiểu ñối xứng nhau qua ñường thẳng y=x(ðH Huế 2001) x 2 + 2(m + 1) x + m 2 + 4m 13. Cho hàm số y = (1).Tìm m ñể hàm số (1) có cực ñại, x+2 cực tiểu, ñồng thời các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1) cùng với gốc tọa ñộ O tạo thành một tam giác vuông tại O.(ðH khối A -2007) 14. Cho hàm số y = - x3 +3x2 +3(m2 - 1)x – 3m2 – 1 (1) Tìm m ñể hàm số (1) có cực ñại ,cực tiểu và các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1) cách ñều gốc tọa ñộ. (ðH khối B năm 2007) 1 1 3 15. Cho y = x3 − (sin m + cos m) x 2 + sin 2m. x . Gọi x1, x2 là hoành ñộ 2 ñiểm cực 3 2 4 2 2 trị. Tìm m ñể x1 + x2 = x1 + x2
12.Cho hàm số y = x 3 −
CHUYÊN ðỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I.LÝ THUYẾT: 1.ðịnh nghĩa: Giả sử h/số f x/ñịnh trên D (D ⊂ R)
∀x∈D, f (x) ≤ M M = max f (x) ⇔ x∈D ∃x0 ∈D,voùi f (x0 ) = M
∀x ∈D, f (x) ≥ m m = min f (x) ⇔ x∈D ∃x0 ∈D,voùi f (x0 ) = m
2.Chú ý: Muốn chứng tỏ rằng số M (hoặc m) là GTLN (hoặc GTNN) của hàm số f trên tập D a) f(x) ≤ M (hoặc f(x) ≥ m) ∀x∈D b) Tồn tại ít nhất một ñiểm x0 ∈D sao cho: f(x0) = M (hoặc f(x0) = m)
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học 3.Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) trên tập D a. Tr/hợpD=[a;b] + Tính y’ + Tìm các giá trị x∈D sao cho y’(x )= 0 hoặc y’(x) không xác ñịnh Gsử là x1 ; x2 ;....; xk + Tính f(a); f(b); f( x1 ); f( x2 ); ...; f( xk ) + So sánh và kết luận b. Tr/hợpD không là [a;b] + Tính y’ + Tìm các giá trị x∈D sao cho y’(x) = 0 hoặc y’(x) không xác ñịnh + Lập BBT và dựa vào ñó kết luận
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x +
1 trên khoảng (0; +∞) x
Hướng dẫn: Dễ thầy hàm số liên tục trên (0; +∞)
x
1 x −1 y ' = 1 − 2 = 2 ⇒ y ' = 0 ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1 . y x x Dễ thấy x = −1 ∉ (0; +∞) Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số không có giá trị lớn nhất. Ví dụ 2. x3 Tính GTLN, GTNN của hàm số y = + 2 x 2 + 3 x − 4 trên ñoạn [-4; 0] 3 Hướng dẫn Hàm số liên tục trên [-4; 0], x = −1 f '( x ) = x 2 + 4 x + 3 ⇒ f '( x ) = 0 ⇔ x 2 + 4 x + 3 = 0 ⇒ x = −3 2
1
0 -
y'
0
+
+∞
+∞
2
−16 −16 , f (−3) = −4, f (−1) = , f (0) = −4 3 3 VËy Max y = −4 khi x = -3 hoÆc x = 0 f (−4) =
x∈[-4;0]
Min y =
x∈[-4;0]
−16 khi x = -4 hoÆc x = -1 3
II.BÀI TẬP Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có): a. f(x) = x 3 + 3x 2 − 9 x + 1 trªn [-4; 4]
c. f(x) = x 4 − 8 x 2 + 16 trªn ®o¹n [-1; 3] Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có): x trªn nöa kho¶ng (-2; 4] a. f(x) = x+2 c. f(x) = x 1 - x 2
b. f(x) = x 3 + 5x − 4 trªn ®o¹n [-3; 1] d. f(x) = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7 trªn ®o¹n [-4; 3]
1 trªn kho¶ng (1; +∞ x- 1 1 π 3π d. f(x) = trªn kho¶ng ( ; ) cosx 2 2
b. f(x) = x +2 +
Bài 3. Tìm GTLN,GTNN của các hàm số sau:
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học x2 + x +1 ( x > 0) a. y = x c. y = x2 b. y = 2 x + x +1
x +1 x2 +1
trên ñoạn [− 1;2] (ðH-Khối D-2003)
Bài 4.Gọi x1,x2 là các nghiệm của phương trình 12 x 2 − 6mx + m 2 − 4 + trị nào của m thì x13+x23 ñạt: a.GTLN. b.GTNN. Bài 5. Tìm GTLN,GTNN của hàm số: 1 y = sin x − cos 2 x + .(ðHGTVT-1997). 2 x Bài 6. Tìm GTLN của hàm số:f(x)= + sin 2 x trên ñoạn 2
Bài 7. Tìm GTLN của hàm số:f(x)= 4 x +
12 = 0 .Với giá m
−π π 2 ; 2 (ðHKTQD-2000).
9π 2 + sin x trên khoảng (0; + ∞ )(ðHKTQDx
1999). Bài 8. Tìm GTLN của hàm số:f(x)= x 3 + 3 x 2 − 72 x + 90 trên ñoạn [− 5;5] (ðHKTQD-1997). Bài 9. Tìm GTLN,GTNN của hàm số sau: y = 4 sin 2 x + 2 sin(2 x +
π 4
) (HVQHQT-
1996). Bài 10. Cho hàm số y = x 2 + 2 x + a − 4 ,tìm a ñể giá trị lớn nhất của hàm số trên
ñoạn [− 2;1] ñạt giá trị nhỏ nhất.(ðHLN-2001).
3 cos 4 x + 4 sin 2 x Bài 11. Tìm GTLN,GTNN của hàm số sau: y = (ðHSPHN-2001). 3 sin 4 x + 2 cos 2 x 1 1 Bài 12. Tìm GTNN của hàm số: y = + 4 cos x 1 − cos 4 x Bài 13.Tìm x ñể biểu thức sau ñạt giá trị nhỏ nhất:P=x(1-x)(x-3)(4-x).(ðHQGHN2001-Khối B). Bài 14. Tìm GTLN,GTNN của các hàm số sau: a.y=3sin2x+4sinx.cosx-5cos2x+2(ðHHH-1998). b.y=sin20x+cos20x(ðHLHN-1999). c.y= 4 sin x − cos x (ðHQGHN-1999-Khối B). sin x d. y = , x ∈ [0; π ] (ðHSPQN-1999). 2 + cos x −π π e.y=5cosx-cos5x trên (ðHCS-2001). ; 4 4 g. f(x)=(2sinx+cosx)(2cosx-sinx)(ðHCT-2001). 1 h.y= 2(1 + sin 2 x. cos 4 x) − (cos 4 x − cos 8 x) (ðH Dược HN-2001). 2 Bài 15. Với b là tham số hãy xác ñịnh giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y=x4-6bx2+b2(HVKTQS-1996).
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học
Bài 16. Tìm GTLN,GTNN của hàm số: y =
[ ]
ln 2 x trên ñoạn 1; e 3 .(ðH2004-KhốiB ) x
Bài 17. Tìm GTLN,GTNN của hàm số: y = x + 4 − x 2 (ðH KhốiB-2003).
Bài 18. Tìm GTLN,GTNN của hàm số: y = x 6 + 4(1 − x 2 ) 3 trên ñoạn [− 1;1] .
CHUYÊN ðỀ 4: TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ I. Kiến thức cần nắm Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị là (C) y = y0 là tiệm cận ngang của nếu một trong hai ñiều kiện sau ñược thoả mãn: lim f ( x ) = y0 , hoÆc lim f ( x ) = y0 x →+∞
x →−∞
x = x0 là tiệm cận ñứng của (C) nếu một trong các ñiều kiện sau ñựơc thoả mãn: lim+ = +∞, lim− = +∞, lim+ = −∞, lim− = −∞ x → x0
x → x0
x → x0
x → x0
ðường thẳng y = ax + b ( a ≠ 0 ) ñược gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai ñiều kiện sau thoả mãn: lim [f ( x ) − (ax + b)] = 0 hoÆc lim [f ( x ) − (ax+b)]=0 x →+∞
x →−∞
* Chú ý: ðể tìm các hệ số a, b trong phương trình tiệm cận xiên ta có thể áp dụng công thức sau: f ( x) a = lim ; b = lim [f ( x) − ax] x →+∞ x →+∞ x f ( x) hoặc a = lim ; b = lim [f ( x) − ax] x →+∞ x →+∞ x (a = 0 thì có tiệm cận ngang) II. Bài tập 1/ Tìm các ñường tiệm cận của ñồ thị hàm số: 2x + 1 x−2 x2 + x + 1 a) y = b) y = 2 c) y = x−3 x −9 3 + 2 x − 5x2 x2 − 6 x + 3 x3 + x + 1 d) y = e) y = x −3 x2 + 1 2/ Tìm các ñường tiệm cận của ñồ thị hàm số: −3 x a) y = (ðáp số: TCN y= -3 khi x→ +∞ và y= 3 khi x→ -∞) x2 + 3 x b) y = (ðáp số: TCð x= ±3 và TCN y= ±1) 2 x −9 −1 c) y = (ðáp số: TCð x= -2 và x=-3; TCN y=0) x 2 + 5x + 6 3/ Tìm các ñường tiệm cận của ñồ thị hàm số: 1 1 a) y = x 2 − x + 1 (ðáp số: TCX y= x - khi x→ +∞ và y= -x + khi x→ -∞) 2 2 b) y = x + x 2 + 2 x (ðáp số: TCX y= 2x +1 khi x→ +∞ và TCN y= -1 khi x→ ∞) c) y =
x 2 + 3 (ðáp số: TCX y= x khi x→ +∞ và y= -x khi x→ -∞)
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học
d) y = x +
2 (ðáp số: TCð x=0 khi x→ 0+ và y= x khi x→ +∞) x
BÀI TẬP TỰ GIẢI Bµi 1. T×m tiÖm cËn c¸c hµm sè sau: 2x - 1 3 - 2x a. y = b. y = x+2 3x + 1 x+ 1 1 e. y = f. y = 4 + 2x + 1 x- 2
5 2 - 3x -x + 3 g. y = x
Bµi 2. T×m tiÖm cËn cña c¸c hµm sè sau: x 2 − 12 x + 27 x2 − x − 2 a. y = b. y = x2 − 4x + 5 ( x − 1)2
e. y = 2x -1 +
-4 x+1 4-x h. y = 3x + 1
c. y =
d. y =
x2 + 3x c. y = 2 x −4
x + 2x x −3 2
1 x
f. y =
g. y = x- 3 +
1 2(x- 1)2
Bµi 3. T×m tiÖm cËn c¸c hµm sè: a. y =
x2 + x x −1
Bµi 4. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè: y =
x −3 cã ®óng 2 tiÖm cËn x + 2(m + 2) x + m 2 + 1
b. y =
x+ 3 x+ 1
c.y =
d. y =
h. y =
x +1 x2 − 4
2
®øng. Bµi 5. TÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c t¹o bëi tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ t¹o víi hai trôc to¹ ®é cña c¸c hµm sè: 3x 2 + x + 1 -3x 2 + x − 4 a. y = b. y = x −1 x+2 Bµi 6.(§HSP 2000). T×m m ®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ hµm sè x 2 + 2(m − 1) x − 4 m + 3 y= t¹o víi hai trôc to¹ ®é mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 8 x−2 (®vdt) x 2 + x (3m − 2) + 3 − 3m Bµi 7. Cho hµm sè: y = (1) x −1 a. T×m m ®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ ®i qua ®iÓm A(4; − 3) b. T×m m ®Ó ®−êng tiÖm cËn xiªn cña (1) c¾t Parabol y = x 2 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.
ðIỂM UỐN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ 1.ðiểm uốn của ñồ thị: Hàm f có ñạo hàm cấp 1 & liên tục trên (a;b) chứa x0, có ñạo hàm cấp 2 trên 2 khoảng (a;x0),(x0;b). Nếu f “(x) ñổi dấu khi x ñi qua x0 thì I(x0;f(x0)) là ñiểm uốn của ñồ thị hàm số. 2.Phép tịnh tiến hệ toạ ñộ: Tịnh tiến hệ trục toạ ñộ 0xy ñến hệ trục toạ ñộ IXY theo 0I với I( x0 ; y0 )
x = x0 + X y = y0 + Y
Ta có công thức chuyển hệ tọa ñộ:
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
x
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học
CHUYÊN ðỀ 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP SƠ ðỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ðỒ THỊ HÀM SỐ 1.Tìm TXð (Xét tính chẵn-lẻ;Tuần hoàn nếu có) 2.Chiều biến thiên +Tìm các giới hạn lim y Hoặc các tiệm cận (nếu có) x → ±∞
+ Tính y ‘; xét dấu y ‘; suy ra chiều biến thiên và các ñiểm cực trị + Lập BBT 3.Vẽ ñồ thị +Tính y’’ ; tìm ñiểm uốn(nếu có) +ðiểm ñặc biệt: giao ñiểm của ñồ thị với 2 trục 0x, 0y +Vẽ các tiệm cận(nếu có) +Vẽ ñồ thị và nhận xét
D¹ng 1: Kh¶o s¸t vµ vÏ hµm sè y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) VÝ dô 1. Cho hµm sè: y = − x 3 + 3 x 2 − 1 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. Tuú theo gi¸ trÞ cña m, biÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: − x 3 + 3x 2 − 1 = m H−íng dÉn a. 1. TX§: D = ℝ 2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè a. Giíi h¹n t¹i v« cùc 3 1 lim (− x 3 + 3x − 1) = lim x 3 (1 + 2 − 3 ) = +∞ x →+∞ x →+∞ x x -∞ ∞ 0 x 3 1 lim (− x 3 + 3x − 1) = lim x 3 (1 + 2 − 3 ) = −∞ 0 y' x →−∞ x →−∞ x x +∞ ∞ c. B¶ng biÕn thiªn y x = 0 2 2 y ' = −3 x + 6 x ⇒ y ' = 0 ⇔ −3 x + 6 x = 0 ⇒ x = 2 -1 Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (−∞;0) vµ (2; +∞) Vµ nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0; 2). Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x= 2 ; vµ yC§=y(2)= 3 Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x =0 vµ yCT = y(1) = -1 3. §å thÞ + Giao víi Oy: cho x = 0 ⇒ y = 0 . Vëy giao víi Oy t¹i ®iÓm O(0; -1) + y '' = 0 ⇔ −6 x + 6 = 0 ⇒ x = 1 . §iÓm A (1; 1) + NhËn ®iÓm A lµm t©m ®èi xøng. b. Sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ sè giao ®iÓm cña 2 ®å thÞ y = − x 3 + 3 x 2 − 1 vµ y =m Dùa vµo ®å thÞ ta cã kÕt qu¶ biÖn luËn: m > 3: Ph−¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm.
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
+
2 +
-
0 3
2
-5
-2
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học m = 3 ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm -1< m < 3: Ph−¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm. m = -1: Ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm m < -1: Ph−¬ng tr×nh cã 1nghiÖm
C¸c bµi to¸n vÒ hµm bËc ba Bµi 1(TNTHPT – 2008) Cho hµm sè y = 2 x 3 + 3 x 2 − 1 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. BiÖm luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh 2 x 3 + 3 x 2 − 1 = m Bµi 2 (TN THPT- lÇn 2 – 2008) Cho hµm sè y = x3 - 3x2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè ®@ cho. b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh x 3 − 3 x 2 − m = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. Bài 3 (TNTHPT - 2007) Cho hàm số y= x3 − 3 x + 2 có ñồ thị là (C) . a/ Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số . b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại ñiểm A(2 ;4) . Bài 4 (TNTHPT - 2006) Cho hàm số y= − x3 + 3 x 2 có ñồ thị (C) . a/ Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số . b/ Dựa vào ñồ thị biện luận số nghiệm phương trình : − x3 + 3 x 2 -m=0 . Bài 5 (TNTHPT – 2004- PB) Cho hàm số y= x3 − 6 x 2 + 9 x có ñồ thị là (C) . a/ Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số . b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại ñiểm cã hoµnh ®é lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh y’’=0 . c/ Với giá trị nào của m thì ñường thẳng y=x+m2-m ñi qua trung ñiểm của ñoạn thẳng nối cực ñại vào cực tiểu . Bài 6 (TNTHPT – 2004 - KPB) Cho hàm số y= x3 − 3mx 2 + 4m3 . a/ Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số khi m=1 . b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại ñiểm có hoành ñộ x=1 . Bµi 7 (§H- A- 2002) Cho hµm sè y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m= 1 b. T×m k ®Ó ph−¬ng tr×nh: − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. c. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua 2 ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè (1). Bµi 8 (C§ SP MGTW- 2004) Cho hµm sè y = x3 - 3x2 + 4m a. Chøng minh ®å thÞ hµm sè lu«n cã 2 cùc trÞ. b. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m = 1
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học
Bµi 9 (§H-B- 2007) Cho hµm sè y = − x 3 + 3 x 2 + 3(m 2 − 1) x − 3m 2 − 1 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =1 b. T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i cùc tiÓu vµ c¸c ®iÓm cùc trÞ c¸ch ®Òu ®iÓm O. Bµi 10 (§H - D - 2004) Cho hµm sè y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 2 b. T×m m ®Ó nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh y’’= 0 thuéc ®−êng th¼ng y = x+ 1 Bµi 11 : Cho hµm sè y = (x -1)(x2 + mx + m) a. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt b. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m= 4 Bµi 12: Cho hµm sè y = 2 x 3 + 3(m − 1) x 2 + 6(m − 2) x − 1 a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =2 b. Víi gi¸ trÞ nµo cña m hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu. Bµi 13: (§H 2006- D) Cho hµm sè y = x 3 − 3 x + 2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè. b. Gäi d lµ ®−êng th¼ng qua ®iÓm A(3; 20) vµ cã hÖ sè gãc m. T×m m ®Ó ®−êng th¼ng d c¾t (C ) t¹i 3 ®iÓm phÇn biÖt. (Gîi ý ®−êng th¼ng d qua M(x0;y0) cã hÖ sè gãc m cã d¹ng: y = m(x - x0) + y 0) Bµi 14: Cho hµm sè y = (x - m)3 - 3x a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1 b. T×m m ®Ó hµm sè ®@ cho ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 0 Bµi 15: Cho hµm sè y = (x -1)(x2 + mx + m) c. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt d. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m= 4 Bµi 16: Cho hµm sè y = x 3 − 2 mx 2 + m 2 x − 2 a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m =1 b. T×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1
Dạng 2: Hµm bËc bèn trïng ph−¬ng vµ mét sè bµi tËp cã liªn quan I. Mét sè tÝnh chÊt cña hµm trïng ph−¬ng Hµm sè lu«n cã cùc trÞ víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè sao cho a ≠ 0 Hµm sè ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i, cùc tiÓu ⇔ y ' = 0 ⇔ 2 x (2 ax 2 + b) = 0 cã ba nghiÖm b ph©n biÖt ⇔ <0 2a §å thÞ hµm sè lu«n nhËn Oy lµ trôc ®èi xøng. NÕu hµm sè cã ba cùc trÞ trÞ chóng t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n. D¹ng to¸n: Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè VÝ dô 1 (TNTHPT-2008) Cho hµm sè y = x 4 − 2 x 2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = -2 VÝ dô 2. Cho hµm sè y = x 4 + 4 mx 3 + 3(m + 1) x 2 + 1 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =0 b. Víi gi¸ trÞ nµo cña m hµm sè cã 3 cùc trÞ
Bµi tËp hµm sè trïng ph−¬ng Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học Bµi 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau: a. y= -x 4 + 2 x 2 b. y = x 4 + x 2 − 2 1 5 d. y = x 4 − 3 x 2 = e.y = -x 4 +2x 2 +3 2 2
c. y = x 4 − 6 x 2 + 1 f. y = x 4 +2x 2 +1
Bµi 2. Cho hµm sè y = x 4 − 2 m 2 x 2 + 1 a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =1 b. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè cã ba cùc trÞ lµ ba ®Ønh cña tam gi¸c vu«ng c©n. Bµi 3 (§H §µ L¹t - 2002) a. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 4 − 2 x 2 + 1 = 0 b. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y = x 4 − 2 x 2 + 1 c. BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x 4 − 2 x 2 + 1 − m = 0 Bµi 4 (§H Th¸i Nguyªn - 2002) Cho hµm sè y = − x 4 + 2 mx 2 (C m ) a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1 b. H@y x¸c ®Þnh m ®Ó hµm sè ®å thÞ hµm sè cã 3 cùc trÞ Bµi 5. (§H Vinh - 2002) 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y = − x 4 + 5 x 2 − 4 2. X¸c ®Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh x 4 − 5x 2 − m 2 + 3 = 0 cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. x4 9 Bµi 6: Cho hµm sè y = − 2x2 − 4 4 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè b. BiÖn luËn theo k sè giao ®iÓm cña (C) víi ®å thÞ (P) cña hµm sè y = k − 2 x 2 Bµi 7: Cho hµm sè y = x 4 − 2 mx 2 + m 3 − m 2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè khi m = 1 b. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ (Cm ) cña hµm sè ®@ cho tiÕp xóc víi trôc hoµnh t¹i 2 ®iÓm Bµi 8. (§H CÇn th¬ - 2002) Cho hµm sè y = x 4 − 2 x 2 + 2 − m (Cm) a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 0 b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ (Cm) cña hµm sè chØ cã hai ®iÓm chung víi Ox c. Chøng minh víi mäi m tam gi¸c cã 3 ®Ønh lµ ba cùc trÞ lµ mét tam gi¸c vu«ng c©n. Bµi 9.Cho hàm số y= mx4+(m2-9)x2+10 (1) (m là tham số). a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m=1. b.Tìm m ñể hàm số (1) có ba ñiểm cực trị.(ðH- Khối B-2002). Bµi 10.Cho hàm số y=x4-mx2+m-1 (1).(m là tham số). a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m=8. b.Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 ñiểm phân biệt.(ðH-2002 DB). Bµi 11.a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số y= x4-6x2 +5. b.Tìm m ñể phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt x4- 6x2- log2m = 0(ðH-2005-DB). Bµi 12. Cho hàm số y= x4-2m2x2+1 (1) (m là tham số). a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m=1. b.Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có ba ñiểm cực trị là ba ñỉnh của một tam giác vuông cân.(ðH-2004 DB). Bµi 13. Cho hàm số y= x4-5x2+4 (1)
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học a.Khảo sát hàm số (1). b.Tìm m ñể ñường thẳng y=m cắt ñồ thị hàm số (1) tại 4 ñiểm phân biệt. c.Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) chắn trên ñường thẳng y=m ba ñoạn bằng nhau.( ðH Huế-2000-Khối D). Bµi 14. Cho hàm số y= -x4+5x2-4 (1). a.Khảo sát hàm số (1). b.Tìm m ñể phương trình x4-5x2 –m2+ 3 m=0 có 4 nghiệm phân biệt.(ðHSPV2001D). 1 3 Bµi 15.Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + 2 2 a.Với m=2 :+Khảo sát hàm số. +Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm 3 A(0; ). 2 b.Tìm m ñể hàm số có cực tiểu mà không có cực ñại.(ðHCS-2000). Bµi 16.Cho hàm số y=x4-x2+1 có ñồ thị (C) . a.Khảo sát vẽ ñồ thị (C). b.Tìm tất cả các ñiểm trên Oy mà từ ñó kẻ ñược ñúng ba tiếp tuyến ñến (C). (ðHAG-2001A). Bµi 17.Cho hàm số y= x4-(m2 +10)x2 +9 (1) a.Khảo sát vẽ ñồ thị khi m=0. b.CMR:Với mọi m ≠ 0 ðTHS (1) luôn cắt trục hoành tại 4 ñiểm phân biệt trong ñó hai ñiểm có hoành ñộ nằm trong khoảng (-3;3) và hai ñiểm có hoành ñộ nằm ngoài khoảng (-3;3).(ðHNT-2001A). Bµi 18.a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số y= x4-2x2-1 b.Với giá trị nào của m thì phương trình x 4 − 2 x 2 − 1 = log 4 m có 6 nghiệm phân biệt.(ðHNT-2000). Bµi 19. Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 2 - m (Cm). a.Khảo sát vẽ ñồ thị khi m=0. b.Tìm m sao cho (Cm) chỉ có hai ñiểm chung với Ox. c.CMR:Với mọi m tam giác có ba ñỉnh là ba cực trị của hàm số (Cm) là tam giác vuông cân.(ðHCT-2001D). Bµi 20. Cho hàm số y=- x4+2mx2-2m+1 (Cm). a.Khảo sát vẽ ñồ thị khi m=1. b.CMR:(Cm) luôn ñi qua hai ñiểm cố ñịnh A,B khi m thay ñổi. c.Tìm m ñể các tiếp tuyến của (Cm) tại A,B vuông góc với nhau.(ðHH1998). Bµi 21. Cho hàm số y=- x4+2(m+1)x2-2m-1 (Cm). a. Khảo sát vẽ ñồ thị khi m=0.Gọi ñồ thị là (C) ,tìm tất cả các ñiểm thuộc Oy sao cho từ ñó có thể kẻ ñược ba tiếp tuyến với ñồ thị (C). b.Tìm m ñể ðTHS cắt Ox tại bốn ñiểm phân biệt có hoành ñộ lập thành cấp số cộng.(ðHYDTPHCM-1998). Bµi 22.a. Khảo sát vẽ ñồ thị hàm số y=(x+1)2(x-1)2 (C). b.Biện luận theo b số nghiệm của phương trình x4-2x2-2b+2=0. c.Tìm a ñể (P):y=ax2-3 tiếp xúc với (C).Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại tiếp ñiểm.(ðHQGHN-1995). Bµi 23.Cho hàm số y=- x4+2(m+2)x2-2m-3 (Cm). a.Tìm m ñể ðTHS cắt Ox tại bốn ñiểm phân biệt có hoành ñộ lập thành cấp số cộng. b.Tìm m ñể ðTHS chỉ có cực ñại mà không có cực tiểu.(HVQY-1996). Bµi 24. Cho hàm số y= x4+mx2-m-1 (Cm).
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học a. Tìm m sao cho (Cm) tiếp xúc với ñường thẳng y=2(x-1) tại ñiểm có hoành ñộ bằng 1.Khảo sát vẽ ñồ thị với giá trị m ñó. b.CMR:(Cm) luôn ñi qua hai ñiểm cố ñịnh . c.Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: 4x2(1-x2)=1-k.(ðH Huế 1998). Bµi 25. Cho hàm số y= x4-2mx2+m3-m2 (Cm). a.Khảo sát vẽ ñồ thị khi m=1. b. Tìm m sao cho (Cm) tiếp xúc với Ox tại hai ñiểm phân biệt(ðHQGTPHCM-1996). Bµi 26.Cho hàm số y= (1-m)x4-mx2+2m-1 (Cm). a. Tìm m ñể (Cm) cắt Ox tại bốn ñiểm phân biệt. b.Tìm m ñể hàm số có ñúng một cực trị.(ðHSPII-1997). Bµi 27.Cho hàm số y= m 2x4-2x2+m (Cm). a.Khảo sát vẽ ñồ thị khi m=1. b.Khảo sát sự biến thiên của hàm số khi m ≠ 0,từ ñó xác ñịnh m sao cho m 2x42x2+m ≥ 0, ∀x (ðHQGTPHCM-1998). Bµi 28.Cho hàm số y= 2x4 - 4x2 (1) a.Khảo sát vẽ ñồ thị khi (1). b.Với giá trị nào của m thì phương trình x 2 . x 2 − 2 = m có ñúng 6 nghiệm thực phân biệt (ðại học khối B-2009) Bµi 29.(ðại học khối D năm 2009) Cho hàm số y = x4 - (3m + 2) x2 (Cm). a.Khảo sát vẽ ñồ thị khi m = 0. b.Tìm m ñể ñường thẳng y = - 1 cắt ñồ thị (Cm) tại bốn ñiểm phân biệt ñều có hoành ñộ nhỏ hơn 2.
Dạng 3:Hàm số bậc hai trên bậc nhất. x 2 − 2x + m (1) (m là tham số ). x−2 a.Xác ñịnh m ñể hàm số (1) nghịch biến trên ñoạn [− 1;0] . b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m=1. c.Tìm a ñể phương trình sau có nghiệm: 1.Cho hàm số: y =
91+
1−t 2
− (a + 2).31+
1− t 2
+ 2a + 1 = 0 (ðH-2002DB).
x 2 + mx (1) (m là tham số ). 1− x a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m=0. b.Tìm m ñể hàm số (1) có cực ñại và cực tiểu.Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1) bằng 10? (ðH-2002DB). 2 mx + x + m 3.Cho hàm số: y = (1) (m là tham số ). x −1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m=-1. b. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt và hai ñiểm ñó có hoành ñộ dương.(ðH-2003-Khối A). 2x 2 − 4x − 3 4. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số y = (1) . 2( x − 1) b.Tìm m ñể phương trình 2 x 2 − 4 x − 3 + 2m x − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt. 2. Cho hàm số: y =
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học (ðH-2003DB). x + (2m + 1) x + m + m + 4 5. Cho hàm số: y = (1) (m là tham số ). 2( x + m) a.Tìm m ñể hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1). b.Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m=0. (ðH-2003DB). x 2 − 2x + 4 6. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số y = (1) . x−2 b.Tìm m ñể ñường thẳng dm: y=mx+2-2m cắt ñồ thị hàm số (1) tại hai ñiểm phân biệt.(ðH-2003-Khối D). x 2 + 5x + m 2 + 6 7. Cho hàm số: y = (1) (m là tham số ). x+3 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m=1. b.Xác ñịnh m ñể hàm số (1) ñồng biến trên khoảng (1;+ ∞ ). (ðH-2003DB). 2 − x + 3x − 3 (1) 8.Cho hàm số: y = 2( x − 1) a. Khảo sát hàm số (1). b.Tìm m ñể ñường thẳng y=m cắt ñồ thị hàm số (1) tại hai ñiểm A,B sao cho AB=1.(ðH-2004-Khối A). 1 9.Gọi (Cm) là ñồ thị của hàm số y=mx + (*) (m là tham số). x 1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (*) khi m= . 4 b.Tìm m ñể hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ ñiểm cực tiểu của (Cm) ñến tiệm 1 cận xiên của (Cm) bằng .(ðH-2005-Khối A). 2 x 2 + (m + 1) x + m + 1 10. Gọi (Cm) là ñồ thị của hàm số: y = (*) (m là tham số ). x +1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (*) khi m=1. b.Chứng minh rằng với m bất kỳ,ñồ thị hàm số (Cm) luôn luôn có ñiểm cực ñại ,ñiểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai ñiểm ñó bằng 20 . (ðH-2005-Khối B). x2 + x +1 11.a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số y = . x +1 b.Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm M(-1;0) và tiếp xúc với ñồ thị (C). (ðH-2005DB). x 2 + 2x + 1 − m 2 12. Gọi (Cm) là ñồ thị của hàm số: y = (*) (m là tham số ). x−m a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (*) khi m=1. b. Tìm m ñể (Cm) có hai ñiểm cực trị nằm về hai phía của Oy. (ðH-2005DB). 2 x − 2mx + 2 (1) với m là tham số. 13.Cho hàm số y = x −1 2
2
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m=1. b.Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực trị Avà B.CMR:Khi ñó ñường thẳng AB song song với ñường thẳng 2x-y-10=0. (ðH-2004-DB). 1 14.Cho hàm số y=x+ (1) có ñồ thị (C). x a.Khảo sát hàm số (1). b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) ñi qua ñiểm M(-1;7). (ðH-2004-DB). x 2 + 2x + 2 15.Cho hàm số y = (*) x +1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (*) . b.Gọi I là giao ñiểm của hai tiệm cận của (C).Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) ñi qua ñiểm I. (ðH-2005DB).
Dạng 4:Hàm số bậc nhất trên bậc nhất. Bài 1. Cho hàm số y =
2x + 2 có ñồ thị (C). x −1
1) Khảo sát hàm số. 2) Viết phương trình ñường thẳng (d) ñi qua ñiểm A(0 ; 2) và tiếp xúc với (C). 3) Viết phương trình ñường thẳng (∆) ñi qua ñiểm B(2; 0) có hệ số góc k, Biện luận theo k số giao ñiểm của (∆) và (C) 2x + 2 Bài 2. Cho hàm số y = có ñồ thị (C). x −1 1) Khảo sát hàm số. 2) Viết phương trình ñường thẳng (d) ñi qua ñiểm A(0 ; 2) và tiếp xúc với (C). 3) Viết phương trình ñường thẳng (∆) ñi qua ñiểm B(2; 0) có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao ñiểm của (∆) và (C) 2x + 2 Bài 3. Cho hàm số y = có ñồ thị (C). x −1 1) Khảo sát hàm số. 2) Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm A(0 ; 2) và tiếp xúc với (C). 4) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ñã cho khi –2 ≤ x ≤ 0. −x−2 Bài 4. Cho hàm số y = x +1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số. 2) Biện luận theo m số giao ñiểm của (C) và ñt (d) y = x + m. x +1 Bài 5. Cho hàm số y = x −1 1) Khảo sát sự biến thiên, vẽ ñồ thị (C) của hàm số trên. 2) Chứng tỏ rằng ñường thẳng d : y = 2x + k luôn luôn cắt (C) tại 2 ñiểm thuộc 2 nhánh khác nhau. x+2 Bài 6. Cho hàm số y = (1) 2x + 3 1)Khảo sát và vẽ ñồ thị của hàm số (1) 2)Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến ñó cắt trục hoành trục tung tại hai ñiểm phân biệt A,B và tam giác OAB cân tại gốc tọa ñộ O (ðại Học khối A năm 2009)
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Giải tích 12 – Ôn thi ðại Học
Khuất Quang Cương – THPT Tùng Thiện – Sơn Tây – Hà Nội
Related Documents
Otdh Chuong 1 Lop 12 Moi
June 2020 2
Giay Moi Hop Lop
July 2020 10
Lop 12
November 2019 1
Chuong 12
November 2019 5
Chuong 12
June 2020 2