Osilator Harmonik.docx

OSILATOR HARMONIK

Oleh Kelompok : VIII Fisika Dik D 2015    

RIKA MAWARNI NIDIA I SIMANGUNSONG SEPRIADI B SIMANJUNTAK ROMAULI OPI A SIRAIT

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam UNIMED 2016

i

KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan kekuatan untuk menyelesaikan makalah tugas mata kuliah Mekanika. Sejatinya makalah ini disajikan untuk memberikan peluang kepada mahasiswa untuk dapat berpikir secara logis dan matematis. Dalam penyusunan makalah ini, tidak sedikit hambatan yang kami hadapi. Namun kami menyadari bahwa kelancaran dalam penyusunan laporan ini tidak lain berkat bantuan, dorongan dan bimbingan dosen mata kuliah Mekanika sehingga kendala-kendala yang kami hadapi teratasi. Akhirnya, kami mengucapkan terimakasih atas kesediaan pembaca makalah Mekanika ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pihak yang membetuhkan, khususnya bagi kami sehingga tujuan yang diharapkan dapat tercapai. Saran dan kritikan yang membangun tentu saja sangat diharapkan untuk kesempurnaannya.

Medan, September 2016

Penulis

ii

DAFTAR ISI

Halaman sampul Kata pengantar…………………………………………………………………… ii Daftar isi…………………………………………………………………………. iii BAB I PENDAHULUAN ……………………………………………………………....1-2 RUMUSAN MASALAH .................................................................................... ..3 TUJUAN ............................................................................................................. ..3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA ………………………………………………………….. 4 2.1 Sejarah Osilator harmonik....................................................................................4 2.2 Osilasi Linear dan Non Linear ............................................................................4 2.3 Osilator Sederhana ..............................................................................................7 2.4 Energi Osilator Harrmonik Sederhana ................................................................9 2.5 Osilator Teredam ................................................................................................10 2.6 Faktor Kualitas ....................................................................................................12 2.7 Redaman Paksaan ................................................................................................12 2.8 Resonansi Amplitudo .......................................................................................... 14 2.9 Energi Resonansi .................................................................................................16 2.10Energi Disipasi.....................................................................................................17 BAB III KESIMPULAN …………………………………………………………………... 19 BAB IV DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………..............20

iii

BAB I LATAR BELAKANG Secara fisika, osilator harmonis mendeskripsikan getaran-getaran kecil di sekitar sebuah posisi kesetimbangan stabil, dan merupakan sebuah sistem yang sangat penting di dalam mekanika klasik. Informasi ini menunjukkan bahwa osilator harmonis adalah sebuah sistem fisika, seperti kebanyakan sistem fisika lain yang bergetar. Benda yang bergetar, secara klasik, dapat dimodelkan sebagai osilator harmonis, walaupun pada kenyataanya osilator harmonis itu tidak ada dalam kehidupan sehari-hari. Dalam mekanika kuantum, osilator harmonis sangat penting, misalnya ketika kita mempertimbangkan gerakan sebuah partikel dalam satu dimensi, yaitu getaran dari sebuah molekul diatomik yang inti atomnya bermassa m1 dan m2. Contoh lain sistem yang ditinjau melalui pendekatan osilator harmonis dalam mekanika kuantum adalah vibrasi atom-atom dalam kristal zat padat, yang kemudian akan memperkenalkan kita pada konsep tentang phonon, dan gelombang elektromagnetik yang terkuantisasi, dikenal sebagai photon. Sementara itu, ada contoh-contoh lain yang menarik dan telah dikembangkan melalui mekanika kuantum, seperti optika kuantum, komputasi kuantum, laser, NMR, dsb. Saya tertarik untuk mempelajari tentang sejarah mula-mula konsep osilator harmonis kuantum diperkenalkan, bagaimana penggunaannya, prinsip kerja, batasan-batasan, dan apa pentingnya konsep osilator harmonis. Ketika Planck menjelaskan fenomena BBR (Black Body Radiation) pada tahun 1900, osilator harmonis, yang telah dikenal sebelumnya dalam mekanika klasik, dipakainya sebagai pendekatan untuk menunjukkan bahwa energi yang dipancarkan dan diserap oleh setiap osilator tidaklah kontinyu melainkan dalam bentuk paket-paket energi yang diskrit. Kemudian konsep yang diusulkan oleh Planck membawa perubahan besar ketika Einstein menegaskan kembali sifat kuantisasi energi saat menjelaskan fenomena efek fotolistrik. Sejak saat itu, teori kuantum lahir dan photon adalah istilah yang dipakai untuk menyebut paket-paket energi diskrit tersebut. Dengan demikian, sejarah awal konsep osilator harmonis kuantum tidak dapat dipisahkan dari lahirnya mekanika kuantum. Dalam perkembangan selanjutnya, vibrasi atomik di dalam zat padat dapat dijelaskan dengan sederhana melalui pendekatan osilator harmonis kuantum. Einstein menggunakan 3N osilator harmonis yang tidak berpasangan untuk memperkirakan kapasitas panas dari sebuah kisi kristal, dan pendekatan tersebut lebih akurat daripada pendekatan klasik.

1

Akan tetapi, model Einstein kemudian dikoreksi oleh Debye dengan mengasumsikan bahwa semua osilator tersebut sebenarnya terkopel (berpasangpasangan). Pendekatan Einstein cocok untuk temperatur tinggi, sedangkan pendekatan Debye cocok untuk temperatur rendah dan tinggi. Debye, pada tahun 1912, menerapkan teori kuantum pada gelombang bunyi di dalam zat padat. Tinjauan dimulai dengan sebuah gelombang bunyi klasik, di mana tekanan sebagai sebuah fungsi posisi, dan mendeskripsikan gelombang itu dengan sebuah fungsi gelombang kuantum, sebagai sebuah fungsi amplitudo, yang mana merupakan deret sebuah osilator harmonis (eksitasi-eksitasi) yang terkuantisasi dan berjarak sama satu dengan yang lain. Eksitasi-eksitasi tersebut dikenal sebagai phonon. Deret takhingga dari level-level energi diskrit yang berjarak sama mirip dengan apa yang ditemukan oleh Planck pada tahun 1900 berkaitan dengan mode/ragam medan gelombang elektromagnetik. Hal ini disebabkan karena fakta bahwa dekomposisi (penguraian) medan elektromagnetik menjadi mode-mode (ragam-ragam vibrasi) normal esensinya adalah dekomposisi menjadi osilator-osilator harmonis yang tidak terkopel. Akan tetapi, dalam pendekatan osilator harmonis kuantum untuk vibrasi atomik kristal zat padat, pada level energi n = 0, masih ada energi tertentu yang tidak nol, yaitu sebesar . Di sisi lain, energi terendah dari osilator harmonis klasik adalah nol. Nilai level energi keadaan dasar, yaitu (yang mana disebut sebagai zeropoint energy), adalah efek mekanika kuantum, dan secara langsung berkaitan dengan prinsip ketidakpastian. Nilai-nilai karakteristik osilator harmonis kuantum 1 dimensi, misalnya, bersifat non-degenerate, karena untuk setiap nilai karakteristik terdapat hanya satu fungsi karakteristik yang bersesuaian. Hingga saat ini, pendekatan osilator harmonis kuantum dapat dipakai untuk menjelaskan vibrasi atomik di dalam molekul diatomik. HCl adalah salah satu jenis molekul diatomik yang telah dipelajari melalui pendekatan osilator harmonis, dengan asumsi bahwa vibrasi atom H dan Cl yang terjadi tidak memiliki amlitudo getaran yang lebih besar daripada jarak rata-rata ikatan antaratom H dan Cl.

2

RUMUSAN MASALAH

1. Mengetahui apa yang dimaksud dengan osilator harmonik ? 2. Dapat mengetahui contoh dari osilator harmonik dalam kehidupan sehari hari ? 3. Dapat mengetahui persamaan yang terdapat pada osilator harmonik ?

TUJUAN 1. Mengetahui konsep dari osilator harmonik 2. Mengetahui contoh pengaplikasian dari osilator harmonik 3. Dapat memahami persamaan yang ada pada osilator harmonik

3

BAB II PEMBAHASAN 2.1. Sejarah Osilator Harmonik Ketika planck menjelaskan fenomena BBR (Black Body Radiation) pada tahun 1900 , osilator harmonis ,yang telah dikenal sebelumnya dalam mekanika klasik , dipakai sebagai pendekatan untuk menunjukan bahwa energi yang dipancarkan dan diserap oleh setiap osilator tidaklah kontiniu melainkan dalam bentuk paket paket energi yang diskrit. Kemudian konsep yang diusulkan oleh plack membawa perbahan besar ketika einstein menegaskan kembali sifat kuantisasi energi saat menjelaskan fenomena efek foto listrik. Sejak saat itu , teori kuantum lahir dan photon adalah istilah yang dipakai untuk menyebut paket – paket energi diskrit tersebut. Dengan demikian , sejarah awal konsep osilator harmonis kuantum tidak dapat dipisahkan dari lahirnya mekanika kuantum. 2.2 Osilasi Linier dan Non Linier Ditinjau suatu materi dengan massa m bergerak pada suatu medan gaya konservatif yaitu energi potensial sebagai fungsi simpangan seperti gambar,untuk daerah gaya konservatif maka energi E materi adalah : E=K+V =konstan

Gambar 1.sebuah materi dengan massa m dan energi E bergerak pada sembarang potensial V(x),ditunjukkan dengan kurva tebal .kurva garis patah merupakan pendekatan potensial V(x)

Jika 𝑥̇ merupakan kecepatan partikel maka 1

E = 2 𝑚 𝑥̇ 2 + 𝑉(𝑥)

4

Dalam hal ini 𝑥̇ =

𝑑𝑥 𝑑𝑡

2 [𝐸−𝑉(𝑥)] 𝑚

=±√

Untuk E = 0 ditunjukkan pada gambar 1 ,maka E0 – V(x) = 0 dan 𝑥̇ = 0 (𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑘𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑎𝑚) dalam keadaan setimbang pada x=xo Andaikan dalam hal ini energi partikel E1> E0. Untuk x1< x0 dan x> x2 ,maka 𝑥̇ akan berupa imajiner ,meskipun partikel tidak ada pada daerah tersebut .Dengan demikian suatu partikel dengan energi E1 akan dibatasi bergerak dalam suatu dinding antara x1 dan x2 . Posisi x(t) dari gerakan partikel dalam dinding potensial dapat diperoleh dengan mengintegralkan persamaan : 𝑚

𝑥

𝑡2 − 𝑡1 = √ 2 ∫𝑥 2 1

𝑑𝑥 √𝐸−𝑉(𝑥)

𝑚

𝑥

Dengan periode T osilasi sempurna ditunjukan T=2(𝑡2 − 𝑡1 ) = √ ∫𝑥 2 2 1

𝑑𝑥 √𝐸−𝑉(𝑥)

Persamaan ini tidak dapat diselesaikan kecuali kita mengetahui bentuk fungsi potensial V(x) Andaikan sautu partikel berosilasi terhadap suatu titik setimbang x0 dalam hal ini potensial minimun adalah V(x0) pada x=x0 . Fungsi potensial V(x) 𝑑𝑣

menurut deret taylor terhadap titik x0 yakni 𝑣(𝑥) = 𝑣(𝑥0 ) + (𝑑𝑥)

x=𝑥0

1 𝑑2 𝑣 ( ) 2 𝑑𝑥 2 𝑥=𝑥0

(𝑥 − 𝑥0 ) +

(𝑥 − 𝑥0 )2 +

1 𝑑3 𝑣 ( ) 6 𝑑𝑥 3 𝑥=𝑥0

1

𝑑4 𝑣

(𝑥 − 𝑥0 )3 + 24 (𝑑𝑥 4 )

𝑥=𝑥0

4

(𝑥 − 𝑥0 ) + ⋯ …

(6) Untuk simpangan yang relatif kecil dalam potensial simetri ,suku V(𝑥0 ) merupakan suku yang konstan dan dapat diabaikan ,juga kerena 𝑥0 merupakan titik terendah maka untuk keadaan setimbang pada potensial simetris ,suku-suku ganjil harus 0

𝑑𝑣

(𝑑𝑥)

x=𝑥0

𝑑3 𝑣

= 0 ,(𝑑𝑥 3 )

𝑥=𝑥0

𝑑2 𝑣

Selama (𝑑𝑥 2 )

𝑥=𝑥0

=0

>0

5

untuk (𝑥 − 𝑥0 ) =x,

𝑑2 𝑣

(𝑑𝑥 2 )

𝑥=𝑥0

=𝑘

1 𝑑4 𝑣 ( ) 24 𝑑𝑥 4 𝑥=𝑥0

= +𝜀

Maka fungsi potensial dapat dituliskan 1

1

𝑣(𝑥 , ) = 2 𝑘𝑥 ,2 + 4 𝜀𝑥 ,4 + ⋯ … … ..

Diasumsikan titik pusat berada pad titik kesetimbangan sehingga 𝑥0 = 0 ; 𝑥 , = 𝑥 ,dengan mengabaikan suku orde tinggi maka persamaan ini menjadi 1

1

𝑣(𝑥) = 2 𝑘𝑥 2 + 4 𝜀𝑥 4 + ⋯ … … .. 𝑑𝑉

Oleh karena gerak partikel dalam medan gaya konservatif , 𝐹(𝑥) = − 𝑑𝑥 dan disubstitusikan untuk V(x) dari persamaan diatas diperoleh 𝐹(𝑥) = −𝑘𝑥 − 𝜀𝑥 3

Dapat dilakukan pendekatan dengan mengabaikan suku-suku dari persamaan kecuali suku pertama sehingga 1

𝑣(𝑥) = 2 𝑘𝑥 2 𝑑𝑎𝑛𝐹(𝑥) = −𝑘𝑥 (14) dan (15) 𝑑2𝑣 ) = 𝑑𝑥 2 𝑥=0

Dalam hal ini 𝑘 = (

𝑑𝐹 𝑑𝑥 𝑥=0

−( )

Dalam hal ini gaya 𝐹(𝑥) = −𝑘𝑥 selalu menuju ke keadaan semula ,proporsional dengan x ,dan disebut sebagai gaya pemulih linier. Potensial yang berkaitan dengan gaya pemulih ini bersifat parabolic ,yang menunjukkan adanya perubahan elastisitas dan dinyatakan sebagai hukum Hook

6

Grafik osilator non linier dan linier

Gambar 2.hubungan F(X) terhadap x ,dan V(x) pada berbagai macam sistem ,besar dan tanda 𝜀 ditentukan oleh keras lunaknya sistem yang digunakan Hal tersebut benar jika hanya perubahan kecil dan berada dalam batas elastisitas yang ditunjukkan pada gambar 2a .Jika simpangan sistem dari keadaan setimbang tidak kecil,maka tidak dapat suku kedua dari persamaan (12) dan (13). Dengan demikian persamaan (13) gaya tidak linier karena masih ada suku x3 ,sedangkan potensialnya tidak parabola lagi karena masih ada suku x4

2.3 Osilator Harmonik Sederhana Gerak periodik adalah gerak berulang dari suatu objek dalam jangka waktuyang sama. Sebagai suatu pengetahuan contohnya adalah bumi kembali ke posisiyang sama ketika setelah setahun mengitari matahari. Pada khususnya sebenarnyabanyak sistem yang melakukan gerak periodik yaitu molekul dalam zat padatberosilasi disekitar titik setimbangnya, gelombang elektromagnetik sepertigelombang cahaya, radar, dan gelombang radio merupakan karakteristik dariosilasi listrik dan medan magnet. Gerak periodik terjadi pada sistem mekanikketika gaya yang diberikan akan sebanding dengan jarak relatif obyek terhadaptitik setimbangnya. Jika gaya selalu diarahkan ke titik setimbangnya maka geraktersebut dikenal sebagai gerak harmonik sederhana.

7

1 𝑣(𝑥) = 𝑘𝑥 2 2 Dan gaya pemulihnya , 𝐹(𝑥) = −𝑘𝑥 Dari hukum II Newton , 𝐹(𝑥) = 𝑚(𝑑 2 𝑥/𝑑𝑡 2 𝑑2𝑥 𝑘 = − 𝑥 𝑑𝑡 2 𝑚 2 𝑑 𝑥 = −𝜔2 𝑥 𝑑𝑡 2 𝑘

Dengan 𝜔 ≡ √𝑚 adalah frekuensi anguler osilasi 𝜔 merupakan suatu konstan dan disebut sebagai frekuensi sudut alamiah sistem, maka dikalikan kedua sisinya dengan 2𝑥̇ sehingga, 2𝑥̇ 𝑥̈ = −2𝜔2 𝑥𝑥̇ Dan di integrasi diperoleh 𝑥̇ 2 = −𝜔2 𝑥 2 + 𝑐 , dalam hal ini c sebagai konstanta integrasi. Untuk syarat batas 𝑥 = 𝐴 , 𝑥̇ = 0 maka 𝑐 = 𝜔2 𝐴2 , sehingga 𝑥̇ = 𝜔2 (𝐴2 − 𝑥 2 )

𝑑𝑥

Maka ∫ √𝐴2

−𝑥 2

= 𝜔 ∫ 𝑑𝑡

Integrasi persamaan ini , maka diperoleh : 𝑥 𝑠𝑖𝑛−1 ( ) = 𝜔𝑡 + 𝜙 𝐴 Dalam hal ini 𝜙 merupakan konstanta phase sehingga diperoleh 𝑥(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜙)

8

2.4. Energi Osilator Harmonik Sederhana Untuk suatu sistem osilasi yang sederhana , simpangannya dapat dinyatakan dengan persamaan , 𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝜔0 𝑡 + 𝜙 Dan harga maksimum dari kecepatan 𝑉0 𝑘 𝑣0 = 𝜔0 𝐴 = [𝐴]√ 𝑚 Maka energi kinetik K , osilator adalah 1 1 𝐾 = 𝑚𝑥 2 = 𝑚𝜔0 2 𝐴2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔0 + 𝑡) 2 2 𝐾 = 𝐾0 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔0 𝑡 + 𝜙) Dalam hal ini 𝐾0 merupakan energi kinetik maksimum yakni , 𝐾0 =

1 1 𝑚𝜔0 2 𝐴2 = 𝑘𝐴2 2 2

Energi potensial sistem sama dengan kerja yang dilakukan gaya gaya digunakan yakni 𝐹0 = −𝐹 = −(−𝑘𝑥) = 𝑘𝑥 Dengan perpindahan jarak dari x=0 ke x=x , sehingga 𝑥

𝑥

1 𝑉(𝑥) = 𝑊 = ∫ 𝐹𝑎. 𝑑𝑥 = ∫ 𝑘𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 2 2 0 0 Substitusi harga x ,maka 𝑉(𝑥) =

1 2 2 𝑘𝐴 𝑠𝑖𝑛 (𝜔0 𝑡 + 𝜙) 2

𝑉(𝑥) = 𝑉0 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔0 𝑡 + 𝜙) Dalam hal ini 𝑉0 adalah energi potensial maksimum , ketika 𝑥 = 𝐴 ,yakni 𝑉0 =

1 2 𝑘𝐴 2

Maka total energi E 1 1 𝐸 = 𝐾 + 𝑉 = 𝑚𝑥 2 + 𝑘𝑥 2 2 2 9

2.5 Osilator Teredam Dalam keadaan nyata, osilasi lama kelamaan akan melemah (meredam) karena adanya gaya gesek benda dengan lingkungan. Pengaruh inilah yang disebut gaya nonkonservatif seperti gesekan atau hambatan udara mengahambat gerak.

Analisis sebelumnya dari osilator harmonik ideal bahwa telah gagal dalam memperhitungkan gaya gesek. Hal ini dikarenakan dalam sistem mekanis sampai batas tertentu. Analoginya, selalu ada sejumlah hambatan dalam sebuah rangkaian listrik. Untuk model tertentu, pertimbangkan objek m massa yang didukung oleh pegas cahaya kekakuan k. Kami berasumsi bahwa ada gaya perlambatan yang merupakan fungsi linear dari kecepatan, seperti yang dihasilkan oleh hambatan udara. Jika x adalah perpindahan dari kesetimbangan, maka gaya pemulih adalah kx, dan gaya perlambatan adalah -cx, di mana c adalah konstanta proporsionalitas. Persamaan diferensial gerak, oleh karena itu, mx = -kx-cx, atau mx+cx+kx=0 …………………………………………………………....…………3.4.1 Seperti kasus redaman, kita membagi Persamaan 3.4.1 oleh m untuk mendapatkan 𝑐

𝑘

x+𝑚 𝑥 + 𝑚 𝑥 = 0 …........................………………………………………………..3.4.2 Jika kita mengganti faktor redaman 𝛾 didefinisikan sebagai 𝑐

𝛾 ≡ 2𝑚 …………….……………………………………………………………….3.4.3 dan 𝜔02 (= k/m) ke Persamaan 3.4.2, mengasumsikan bentuk sederhana x+2𝛾𝑥 + 𝜔02 𝑥 = 0 ………………………………………………………………...3.4.4

10

Terjadinya kecepatan tergantung jangka 2 𝛾𝑥 mempersulit masalah; sinus sederhana atau solusi cosinus tidak bekerja, karena telah dicoba dan dapat diverifikasi. Dari solusi yang bekerja cukup baik untuk persamaan diferensial orde kedua dengan koefisien konstan. Biarkan D menjadi d/dt Operator diferensial. Kami "beroperasi" pada x dengan kuadrat fungsi D dipilih sedemikian rupa sehingga kita menghasilkan Persamaan 3.4.4: [D2+2 𝛾𝐷𝜔02 ]𝑥=0 …………………….…………………………..………………3.4.5a Kami menafsirkan persamaan ini sebagai "operasi" dengan istilah dalam kurung pada x. Operasi dari D2 berarti pertama beroperasi pada x dengan D dan kemudian beroperasi pada hasil operasi itu dengan D lagi. Prosedur ini menghasilkan turunan kedua x, istilah pertama dalam Persamaan 3.4.4. Persamaan Operator dalam Persamaan 3.4.5a setara dengan persamaan diferensial pada Persamaan 3.4.4. Penyederhanaan yang kita dapatkan dengan menulis persamaan cara ini muncul ketika kita faktor yang jangka operator, menggunakan teorema binomial, untuk mendapatkan [D+𝛾 − √𝛾 2 − 𝜔02 ] [D+ 𝛾 + √𝛾 2 − 𝜔02 ] = 0 ………....…….…………………. 3.4.5b

Operasi di Persamaan 3.4.5b adalah identik dengan yang di Persamaan 3.4.5a, tapi kita harus mengurangi operasi dari kedua produk. Karena urutan operasi adalah bebas, solusi umumnya adalah jumlah dari solusi yang diperoleh pengaturan hasil dari setiap operasi pertama pada x sama dengan nol. Dengan demikian, kita memperoleh x(t) = A1𝑒 −(𝛾−𝑞)𝑡 +A2𝑒 −(𝛾+𝑞)𝑡 ………………………………………….……….. 3.4.6 dimana q = √𝛾 2 − 𝜔02 …………………………………………………………….………. 3.4.7 Dapat diverifikasi bahwa ini adalah solusi dengan substitusi langsung ke Persamaan 3.4.4. Masalahnya bahwa eksponen mungkin menjadi nyata atau kompleks, karena faktor q bisa imajiner. Ada tiga hal yang mungkin dapat terjadi: I.

q real >0

Osilasi teredam lebih

II.

q real = 0

Osilasi teredam kritis

III.

q imaginary

Osilasi teredam kurang

11

I.

Osilasi teredam lebih Kedua eksponen dalam Persamaan 3.4.6 adalah nyata. Konstanta A1 dan A2

ditentukan oleh kondisi awal. Gerak adalah peluruhan eksponensial dengan dua konstanta peluruhan yang berbeda, (𝛾 − q) dan (𝛾 + q). Massa, diberikan beberapa perpindahan awal dan dibebaskan dari sisa, kembali perlahan-lahan ke awal, dicegah dari berosilasi dengan gaya redaman yang kuat. II.

Osilasi teredam kritis Berikut q = 0. Dua eksponen dalam Persamaan 3.4.6 masing-masing sama ke

dua konstanta A1 dan A2 tidak lagi independen. Jumlah mereka membentuk variabel A. Konstan tunggal Solusinya berdegenerasi ke fungsi peluruhan tunggal eksponensial. Solusi umum dibutuhkan dua fungsi yang berbeda dan konstanta independen untuk memenuhi kondisi batas yang ditentukan oleh posisi awal dan kecepatan untuk menemukan solusi dengan dua konstanta independen, kita kembali ke Persamaan 3.4.5b (D+𝛾)(D+𝛾) = 0 ………………………………………….…………… 3.4.8 III. Osilasi teredam kurang Jika konstanta 𝛾 cukup kecil itu 𝛾 2 − 𝜔02 < 0, faktor q di Persamaan 3.4.7 adalah imajiner. Massa A awalnya tersimpan dan kemudian dibebaskan dari terisolasi, tidak jauh beda pada situasi yang dijelaskan sebelumnya tanpa gaya redaman sama sekali. Satu-satunya perbedaan adalah adanya faktor nyata - 𝛾 eksponen dari solusi yang mengarah ke akhir dari gerakan osilasi. Mari kita membalikkan faktor-tor di bawah persegi tanda akar dalam Persamaan 3.4.7 dan menulis q menjadi i𝜔𝑑 . Demikian 𝑘

𝑐2

𝜔𝑑 = √𝜔02 − 𝛾 2 = √𝑚 − 4𝑚2 ……………………………………………… 3.4.10

OSILATOR TEREDAM LEBIH Teredam lebih terjadi bila redaman parameter 𝛾 lebih besar dari sudut frekuensi Persamaan 3.4.6 kemudian memberikan solusi untuk gerak x(t) = A1𝑒 −(𝛾−𝑞)𝑡 +A2𝑒 −(𝛾+𝑞)𝑡 …………………..…………………………….. 3.5.14

12

di mana semua eksponen ada. Diambil turunan dari persamaan ini, dapat ditemukan x(t) – 𝛾𝑥 + 𝑞𝑒 −𝛾𝑡 (𝐴1 𝑒 𝑞𝑡 − 𝐴2 𝑒 −𝑞𝑡 ) …………………….…………………….… 3.5.15 Seperti dalam kasus redaman kritis, jalur fase mendekati nol sepanjang garis lurus. Namun, pendekatan sepanjang dua baris yang berbeda akan terjadi. Mengingat kondisi, sedikit ilmu aljabar menghasilkan nilai berikut untuk A1 dan A2 : (𝛾+𝑞)

A1 =

2𝑞

x0

A2 =−

(𝛾−𝑞) 2𝑞

x0 …………………….………………. 3.5.16

Beberapa lebih aljabar menghasilkan berikut untuk dua kombinasi linear yang berbeda dari x dan x: x+(𝛾 − 𝑞)𝑥 = (𝛾 − 𝑞)x0𝑒 −(𝛾+𝑞)𝑡 …………………………...…………….. 3.5.17a x+(𝛾 + 𝑞)𝑥 = (𝛾 + 𝑞)x0𝑒 −(𝛾−𝑞)𝑡 …………………………………………. 3.5.17b Istilah di sisi kanan dari masing-masing persamaan di atas yang diberikan oleh pasang garis lurus: x = −(𝛾 − 𝑞)𝑥 ………………….………………………………………...... 3.4.18a x = −(𝛾 + 𝑞)𝑥 …………………….………………………………......…… 3.4.18b Kecuali untuk kasus khusus, jalur ruang fase gerak selalu mendekati nol sepanjang asimtot yang kemiringannya −(𝛾 − 𝑞). Asimtot yang selalu "muncul menjadi ada" banyak lebih cepat dari yang lain, karena faktor peluruhan eksponensial adalah (𝛾 + q) (Persamaan 3.5.17), yang lebih besar dari dua.

2.6 Faktor Kualitas (Q) Kualitas Faktor (Q), merupakan frekuensi yang digunakan dalam sistem osilasi mekanik. Besaran Q merupakan suatu besaran tak berdimensi (tak bersatuan) dan menyatakan tingkat redaman dari suatu osilator. Faktor kualitas (Q) didefinisikan sebagai 2 𝜋 dikalikan perbandingan antara energi yang disimpan terhadap energi rata-rata yang hilang tiap perioda, sehingga : 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑜𝑠𝑖𝑙𝑎𝑡𝑜𝑟

Q = 2𝜋 𝑅𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖 𝑑𝑖𝑠𝑖𝑝𝑎𝑠𝑖 𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 Jika P didefinisikan sebagai daya yang hilang dan periode osilasi T 1= 2𝜋/𝜔 1 , maka dapat dituliskan PT1 = P2𝜋/𝜔1 Sehingga menjadi Q = 2𝜋

𝐸 𝑃2𝜋/𝜔1

13

=

𝐸 𝑃/𝜔1

Oleh karena 1/ 𝜔 1 merupakan waktu yang diperlukan untuk bergerak dalam satu radian, sehingga Q=

𝑆𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑜𝑠𝑖𝑙𝑎𝑡𝑜𝑟

𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖 𝑟𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑖𝑝𝑎𝑠𝑖 𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛

2.7 Redaman Paksaan Pada isolator sederhana akan selamanya berosilasi , tetapi kenyataanya pada setiap sistem mempunyai redaman sehingga sistem akan berhenti berosilasi . Untuk mempertahankan osilasi suatu sistem osilator, maka energi berasal dari “sumber luar “ harus diberikan pada sistem yang besarnya dengan energi disiparsi yang ditimbulkan oleh medium peredamnya ,osilasi yang demikian dinamakan sebagai osilasi paksaan. Jika pada sistem osilasi dikenai gaya “gerak” Fd ,maka gaya neto yang bekerja pada sistem tersebut, 𝐹𝑛𝑒𝑡 = 𝐹𝑠 + 𝐹𝑓 + 𝐹𝑑 Dalam hal ini 𝐹𝑠 = −𝑘𝑥 ,dan 𝐹𝑓 = −𝑏𝑥̇ Berdasarkan hukum II Newton 𝐹𝑛𝑒𝑡 = 𝑚𝑥̈ Oleh karena pada bagian ini dibatasi pada osilasi linear maka diasumsikan gaya “gerak” nya mempunyai bentuk sinusioda yaitu : 𝐹𝑑 = 𝐹0 cos(𝜔𝑡 + 𝜃0 ) Maka menjadi 𝑚𝑥̈ + 𝑏𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝐹0 cos(𝜔𝑡 + 𝜃0 ) Yang merupakan persamaan diferensial linear orde dua nonhomogen. Diasumsikan sebagai penyelesaiannya mempunyai bentuk persamaan 𝑥𝑖 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝜙) Bila disubstitusikan 𝑥𝑖 dan 𝜃0 = 0 didapatkan −𝑚𝜔2 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝜙) − 𝑏𝜔𝐴 sin(𝜔𝑡 − 𝜙) + 𝑘 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝜙) = 𝐹0 cosωt Sehinga koefisien dari suku cosωt dan sinωt yakni (𝑘 − 𝑚𝜔2 )𝑐𝑜𝑠 𝜙 + 𝑏𝜔𝑠𝑖𝑛 𝜙 =

14

𝐹0 𝐴

Dan (𝑘 − 𝑚𝜔2 ) sin 𝜙 − 𝑏𝜔 cos 𝜙 = 0 Berdasarkan pernyataan di atas untuk menyatakan sudut phase nya yakni 𝑡𝑔𝜙 =

𝑏𝜔⁄ 𝑚 𝑘⁄ 𝑘 − 𝑚𝜔 2

Atau 𝑡𝑔 =

2𝛾𝜔 𝜔0 2 − 𝜔 2

Dengan demikian akan didapatkan 𝑠𝑖𝑛𝜙 =

2𝛾𝜔 √(𝜔0 2 − 𝜔 2 )2 + 4𝛾 2 𝜔 2

Dan 𝑐𝑜𝑠𝜙 =

𝜔0 2 − 𝜔 2 √(𝜔0 2 − 𝜔 2 )2 + 4𝛾 2 𝜔 2

Maka substitusikan persamaan di atas sehingga menjadi, 𝐹0⁄ 𝑚 𝐴= 2 2 √(𝜔0 − 𝜔 )2 + 4𝛾 2 𝜔 2 Dengan demikian 𝑥𝑖 (𝑡) =

𝜔0 2 − 𝜔 2 √(𝜔0 2 − 𝜔 2 )2 + 4𝛾 2 𝜔 2

𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜙)

Dalam hal ini 𝜙 = 𝑡𝑔−1

2𝛾𝜔 𝜔0 2 − 𝜔 2

2.8 Resonansi Amplitudo Amplitudo dan sudut phase 𝜙 pada gerak keadaan lunak “steady-state” sesuai denga persamaan (98) dan (100) yakni

15

𝐹0⁄ 𝑚 𝐴= 2 √(𝜔0 − 𝜔) + 4 𝛾 2 𝜔 2 𝜙 = 𝑡𝑔−1

2𝛾𝜔 𝜔0 2 − 𝜔 2

Pada nilai 𝜔0 tertentu ,variasi A dan 𝜙 dengan frekuensi penggerak 𝜔untukharga berbeda dari 𝛾. Besaran 𝜙 menyatakan beda fase antara gaya penggerak F dan hasil gerak x,dalam hhal ini 𝜙 = 0 ketika 𝜔 = 0 ,pertambahan menjadi 𝜙 =

𝜋 2

untuk 𝜔 = 𝜔0 dan mencapai 𝜙 = 𝜋

karena 𝜔 → ∞ .Pada frekuensi tinggi osilasi sistem adlah 180o melebihi fase gaya penggerak dan hal ini akan bertambah ketika 𝛾 mendekati nilai dan oerubahan fase terjadi lebih cepat lagi serta keadaan ekstrimnya ketika 𝛾 = 0 . Perubahan fase dengan mendadak dari nol ke 𝜋 pada saat 𝜔 = 𝜔0 . Suatu frekuensi yang menghasilkan amplitudo osilasi A maksimun dinamakan sebagai frekuensi resonansi (𝜔𝑟 )yang dapat diitentukan dari persamaan (108) yakni: 𝑑𝐴 = ] 𝑑𝜔 𝜔=𝜔𝑟

0

1

Sehingga didapatkan 𝜔 = 𝜔𝑟 = (𝜔𝑜 2 − 2𝛾 2 )2 1 2𝛾 2 2 𝜔𝑜 2

Dengan menggunakan teorema binomial 𝜔𝑟 = 𝜔0 (

+⋯)

maka diperoleh 𝜔𝑟 ≅ 𝜔0 −

𝛾2 𝜔0

1

Dari persamaan diperoleh 𝜔𝑟 = (𝜔𝑜 2 − 𝛾 2 )2 dan untuk nilai 𝛾 yang kecil maka 𝛾2

𝜔𝑟 ≅ 𝜔0 − 2𝜔

0

16

Gambar variasi A dan 𝜙dengan frekuensi gerak 𝜔 untuk harga 𝛾 yang berbeda 𝑘

Sedangkan untuk osilator bebas 𝜔0 2 = 𝑚 maka 𝜔1 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 𝜔𝑟 ,sedangkan 𝜔0 masih lebih jauh dari 𝜔𝑟 .Dengan demikian amplitudo maksimun nya 𝐴 = 𝐴0 ,terjadi pada 𝜔 = 𝜔𝑟 dalam hal ini diperoleh

𝐹0⁄ 𝑚 𝐴= 2𝛾√𝜔𝑜 2 − 𝛾2

2.9 Energi Resonansi Energi total dari suatu sistem osilasi adalah sebangding dengan kuadrat amplitudonya pada saat resonansi, dalam hal ini akan dicari variasi 𝐴2 terhadap 𝜔 dengan 𝜔0 dibuat tetap. x = A cos(𝜔𝑡 + 𝜑) v = 𝑥̇ = -𝜔. 𝐴𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜑) persamaan diatas menghasilkan : 1. Energi kinetik 1

1

= 2 𝑚𝑣 2 = 2 𝑚𝜔2 𝐴2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔𝑡 + 𝜑)

K(t) 2. Energi mekanik

1

1

= 2 𝑘𝑥 2 = 2 𝑘𝐴2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔𝑡 + 𝜑)

U(t) 3. Energi mekanik E(t)

= K(t) + U(t) =

1

1

𝑚𝜔2 𝐴2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔𝑡 + 𝜑) + 2 𝑘𝐴2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔𝑡 + 𝜑) 2

Dengan menstubtisikannya nilai A sari persamaan (108) kepersamaaan (117) diperoleh 1

K(t) = 𝑚𝜔 2

2

𝐹02/𝑚2 (𝜔0 2 −𝜔2 ) 2 + 4𝛾2 𝜔2

𝑠𝑖𝑛2 (𝜔𝑡 + 𝜑)

Sehingga rata-ratanya 〈𝐾〉 =

1 𝐹02 𝜔2 4 𝑚 (𝜔0 2 − 𝜔 2 ) 2 + 4𝛾 2 𝜔 2

Dalam hal ini resonansi kinetik terjadi pada saat frekuensi bebas alami 𝜔0 . 𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑘𝑎𝑟𝑛𝑎 𝑈(𝑡) =

1 2

𝑘𝑥 2 , resonansi potensial energi dapat terjadi pada posisi

17

yang sama seperti pada resonansi amplitudo, yakni frekuansi resonansi energi potensial 𝜔0 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 (111) 𝑏𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎 𝜔𝑢 = 𝜔𝑟 = (𝜔0 2 − 2𝛾2)1/2 Energi total rata-rata 〈𝐸〉 dari persamaan (119)dapat dinyatakan dengan persamaan 〈𝐸〉 =

1 𝑚 𝐴2 (𝜔0 2 + 𝜔2 ) 4

Bila disesuaikan nilai amplitudo A dari persamaan (108) didapatkan 〈𝐸〉 =

1 𝐹02 𝜔 + 𝜔0 2 4 𝑚 (𝜔0 2 − 𝜔 2 ) 2 + 4𝛾 2 𝜔 2

Untuk harga 𝛾 << 𝜔0 , maka 𝜔2 − 𝜔0 2 ≅ 2𝜔0 ( 𝜔 − 𝜔0 ) dan 𝜔0 2 + 𝜔2 ≅ 2𝜔0 sehingga persaannya menjadi 〈𝐸(𝜔)〉 =

1 𝐹02 1 8 𝑚 (𝜔 − 𝜔0 ) 2 + 𝛾 2

Bila dinyatakan dalam bentuk lain : 〈𝐸(𝜔)〉

8𝑚 1 2 = (𝜔 − 𝜔 ) 2 + 𝛾 2 = 𝐿(𝜔) 𝐹0 0

Untuk osilasi teredam ringan, ditunjukkan harga “faktor kulitas” yakni Q = pada lebar resonansi ∆𝜔 = 2𝛾 maka Q≅

ω0 ∆ω

2.10 Energi Disipasi Energi disipasi adalah Daya rata-rata dapat dinyatakan dengan 〈𝑃〉 = 〈

𝑑𝑤 𝑑𝑡

〉 = 〈𝐹0 𝑥̇ cos 𝑤𝑡〉 atau 〈𝑃〉 =

1 2

𝐹0 𝑥0̇ sin 𝜑

18

𝜔0 2𝛾

, dan

BAB III KESIMPULAN Gerak harmonik terjadi jika suatu sistem jenis tertentu bergetar disekitar konfigurasi setimbangnya. Sistemnya bisa terdiri dari benda yang digantung pada sebuah pegas atau terapung pada zat cair, molekul dwi atom, sebuah atom dalamkisi kristal terdapat banyak sekali contoh dalam dunia mikroskopik dan jugamakroskopik. Persyaratan supaya gerak harmonik terjadi adalah terdapatnya gayapemulih yang beraksi untuk mengembalikan ke konfigurasi setimbangnya jikasistem itu diganggu, kelembaman massa yang bersangkutan mengakibatkan bendamelampaui kedudukan setimbangnya, sehingga sistem itu berosilasi terus menerusjika tidak terdapat proses disipatif. Fungsi gelombang yang bersesuaian dengan keenam tingkat energi yangpertama dari sebuah osilator harmonik. Dalam masing masing kasus daerah yangberosilasi secara klasik dengan energi total En akan terbatas seperti ditunjukkan,jelaslah bahwa partikel itu dapat menerobos ke daerah terlarang secara klasikdengan perkataan lain, melebihi Amplitudo (A) yang ditentukan oleh energinyadengan peluang yang menurun secara eksponensial, sama seperti situasi sebuahpartikel dalam kotak dengan dinding tegar.

19

DAFTAR PUSTAKA Aditya., 2009., Pengkajian Osilator Harmonik Secara Kuantum Dengan Simulasi Menggunakan BahasaPemrograman Delphi 7.0., Universitas Sebelas Maret., Surakarta Kurniawan, Dedy., 2010.,Osilator Harmonik (Persamaan Shroedinger)., diakses pada tanggal 29 Oktober 2014. http://kurniafisika.wordpress.com/2010/01/07/osilatorharmonik/ Wikipedia., 2014., Osilator Harmonik., diakses pada tanggal 23 November 2014 http://id.wikipedia.org/wiki/Osilator

20