Osilasi Harmonik

CK.FI-111.04- 1

Osilasi Harmonik Osilasi → gerak yang berulang (periodik) Harmonik → mempunyai bentuk fungsi harmonik. sinus, cosinus

Benda yang mengalami gaya sebanding dengan posisinya kesetimbangan (gaya Hooke) bergerak harmonik sederhana.

yang dari akan

F = −kx i m

x

Dari hukum Newton

d 2x d 2x k  → a = = − − kx = m  x dt 2 dt 2 m  d 2x k + x = 0 suatu persamaan differensial orde dt 2 m dua. Untuk mendapatkan solusi persamaan differensial tersebut dapat dicoba bentuk fungsi

x (t ) = A cos(ωt + δ )

Amplitudo dan fasa awal dapat ditentukan dari syarat awal

yang ternyata memenuhi persamaan differensial tersebut, dengan ω =

k m

Pada gerak harmonik sederhana, percepatan yang dialami benda sebanding dengan besar simpangannya ax = −ω 2x

CK.FI-111.04- 2

dengan ω menyatakan frekuensi sudut gerak osilasi yang dapat ω 1 = dikaitkan dengan frekuensi (dan perioda) osilasi f = 2π T

Fungsi posisi x untuk suatu gerak harmonik sederhana (misalkan untuk sistem pegas-massa)

x (t ) = A cos(ωt + δ ) dan v (t ) =

d (x (t ) ) = −ωA sin(ωt + δ ) dt

Perioda dan frekuensi gerak osilasi harmonik sederhana tidak bergantung pada amplitudo. Untuk sistem pegas-massa perioda osilasinya adalah 2π k m ω= = → T = 2π

T

m

k

Bandul matematis Merupakan sistem benda titik yang digantung menggunakan tali.

θ

T

l Diagram benda bebasnya s

W

Gaya pulih yang bekerja pada benda, jika θ kecil (sedemikian sehingga sin θ ≈ θ)

d 2s s F = m 2 = −mg sin θ ≈ −mgθ = −mg l dt 2 d s  g s = −   dt 2 l

CK.FI-111.04- 3

Sehingga perioda gerak harmonik sederhana untuk bandul matematis g 2π l ω= = → T = 2π T l g

Energi total pada ghs Fungsi posisi x untuk suatu gerak harmonik sederhana

x (t ) = A cos(ωt + δ )

dan

v (t ) =

d (x (t )) = −ωA sin(ωt + δ ) dt

Energi total sistem pegas-massa 1 2

1 2

E = U + K = kx 2 + mv 2 1 kA 2 cos2 (ωt + δ ) + mω 2A 2 sin2 (ωt + δ ) 2 1 E = kA 2 2 =

(

)

Energi mekanik sistem yang melakukan gerak osilasi harmonik sederhana sebanding dengan kuadrat amplitudo geraknya

Untuk bandul sederhana

ds dθ d 2θ s = lθ → v = =l →a =l 2 dt dt dt energi kinetiknya 1 1  dθ  K = mv 2 = ml2   2 2  dt 

2

θ l

CK.FI-111.04- 4

dan energi potensialnya

U = mgh = mgl(1 − cos θ )

Jika θ kecil, maka dapat digunakan aproksimasi (pendekatan)

Posisi setimbang digunakan sebagai acuan nilai potensial

θ 2  cos θ ≈ 1 −   2 sehingga

U =

1 mglθ 2 2

Gerak Harmonik Teredam Jika benda yang mengalami gerak osilasi harmonik mengalami gaya lain (gaya redam), maka gerak osilasinya akan teredam (damped harmonic motion). Gaya redam tersebut biasanya sebanding dengan kecepatan benda dan arahnya berlawanan dengan arah gerak benda

Fredam = −bv = −b

dx dt

Akibat adanya gaya redaman ini persamaan gerak benda menjadi

dx d 2x − kx − b =m suatu persamaan dt dt 2 differensial orde dua

CK.FI-111.04- 5

Solusinya adalah (dapat dicoba dengan mensubstitusikan kembali ke persamaan differensial tersebut)

b2  b    k − t  sin x (t ) = A exp −   2 m m 4m 2   

  t + δ     

Amplitudo gerak benda mengalami redaman

Grafik osilasi yang teredam

Contoh keadaan teredam kritis, tidak sempat terjadi osilasi

CK.FI-111.04- 6

Sistem yang menggunakan fenomena teredam kritis misalkan pada peredam kejut (shock breaker) pada kendaraan bermotor atau pada pintu.

Osilasi yang dipaksa (driven harmonic motion) Jika gerak osilasi mendapat tambahan gaya luar yang periodik, maka

dx d 2x − kx − b + Fo sin(ωt ) = m dt dt 2 Untuk waktu yang lama (keadaan tunak) frekuensi osilasi benda akan sama dengan frekuensi gaya luar yang diberikan. Solusi untuk keadaan tunak ini adalah

x (t ) = A cos(ωt − ϕ ) dengan

A=

Fo m 2 (ω o2 − ω 2 )2 + b 2ω 2

dan

tan ϕ =

bω m (ω o2 − ω 2 )

ωo adalah frekuensi alami sistem (yaitu frekuensi osilasi tanpa gaya luar). Jika frekuensi gaya luar sama dengan frekuensi alami sistem (ω = ωo), maka akan terjadi resonansi yang ditandai dengan amplitudo yang maksimum.

CK.FI-111.04- 7

Jika dalam keadaan ini tak ada redaman (b = 0) maka amplitudo akan besar sekali.

Beberapa contoh
Sistem pegas-massa dengan pegas yang konstantanya k dan beban bermassa m. Sistem ini mengalami ghs. Jika pada saat awal (t = 0) benda berada di x = 0,5xo dengan laju sebesar −0,5vo, tentukan posisinya saat t sembarang.

Persamaan umum ghs

x (t ) = A cos(

k t +δ) m

→

v (t ) = −

k k A sin( t + δ ) m m

syarat awal memberikan

x (0) = 0,5x o = A cos(δ ) v (0) = −0,5v o = −

k A sin(δ ) m

v diperoleh δ = arctan o  xo

Selesaikan kedua persamaan untuk mendapatkan A dan δ

0,5x o m  dan A = cosδ k 


Benda bermassa m mengalami gerak harmonik sederhana dengan amplitudo Ao. Percepatan maksimumnya adalah ax. Tentukan perioda gerak, laju maksimum dan energi mekaniknya.

CK.FI-111.04- 8

Bentuk umum persamaan ghs: x (t ) = A sin(ωt + δ ) v (t ) = ωA cos(ωt + δ ) a (t ) = −ω 2A sin(ωt + δ )

• amax = ω 2Ao → ω =  a • v max = ωAo =  max  Ao

amax Ao

→T = 2π

Ao amax

 Ao = Aoamax  

k → k = mω 2 m 1 1 1 a  1 E = kA 2 = mω 2Ao2 = m  max Ao2 = mamaxAo 2 2 2  Ao  2

• ω=

Uraian MacLaurin untuk fungsi sinus dan cosinus

θ3 θ5 θ7 sin θ = θ − + − + ... 3! 5! 7! θ2 θ4 θ6 cos θ = 1 − + − + ... 2! 4! 6!