Oscilatii Si Unde Elastice

12

Modulul 2 OSCILAŢII ŞI UNDE ELASTICE Conţinutul modulului: 2.1 Caracteristici generale 2.2 Oscilaţii armonice libere 2.3 Compunerea oscilaţiilor armonice 2.4 Oscilaţii amortizate 2.5 Oscilaţii forţate şi rezonanţa 2.6 Ecuaţia undei plane 2.7 Caracteristici energetice ale undei 2.8 Elemente de acustică 2.9 Ultrasunetele şi aplicaţiile lor Evaluare: 1. Definirea mărimilor fizice şi precizarea unităţilor lor de măsură 2. Enunţul şi formula legilor fizice studiate 3. Răspunsuri la întrebările finale 2.1 Caracteristici generale În sens general, prin mişcare oscilatorie se înţelege orice transformare a energiei unui sistem dintr-o formă în alta, periodic sau cvasiperiodic, reversibil sau parţial reversibil. Pe scurt, sistemul care oscilează se numeşte oscilator, iar mişcarea ca atare – oscilaţie. Oscilaţia este periodică, dacă oscilatorul revine în aceeaşi stare după un interval de timp T numit perioadă, iar dacă perioadele diferă puţin, deci nu sunt strict egale, oscilaţia este cvasiperiodică. Dacă energia oscilatorului se păstrează constantă, procesul de oscilaţie este reversibil, iar dacă oscilatorul pierde o parte din energia sa, cedând-o mediului ambiant, mişcarea oscilatorie este un proces parţial reversibil, energia fiind pierdută printr-un proces ireversibil. Procesul de propagare a unei oscilaţii în mediul ambiant se numeşte undă. Şi unda este un fenomen periodic, iar din punct de vedere energetic are aceleeaşi tipuri de caracteristici ca şi oscilaţia, energia undei putând rămâne constantă sau putându-se pierde prin procese parţial reversibile sau ireversibile. Pentru caracterizarea cantitativă a unei oscilaţii va fi nevoie de o funcţie care să depindă de timp (numită elongaţie), iar pentru caracterizarea unei unde este necesară o funcţie care să depindă atât de timp, cât şi de variabilele spaţiale (numită funcţie de undă). Aceste funcţii trebuie să fie funcţii periodice atât în raport cu timpul, cât şi în raport cu variabilele spaţiale.

13

Cele mai importante oscilaţii sunt oscilaţiile armonice, adică acele oscilaţii în care mărimile caracteristice se modifică după o funcţie armonică (sinus, cosinus, exponenţială complexă). 2.2 Oscilaţii armonice libere Acest tip de oscilaţii este cauzat de acţiunea forţelor elastice Fe, forţe care sunt proporţionale şi de semn contrar cu elongaţia y (depărtarea faţă de poziţia de echilibru la un moment t): Fe = − ky , (2.1) unde k se numeşte constanta elastică. Dacă un corp de masă m este supus numai acţiunii forţei elastice, el va executa oscilaţii armonice libere şi, conform principiului al doilea al mecanicii clasice, vom putea scrie: d2y (2.2) m 2 = − ky . dt Aceasta este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi, cu coeficienţi constanţi şi omogenă (fără termen liber), care se poate scrie sub forma: d2y + ω 02 y = 0 . (2.3) 2 dt Mărimea notată cu ω0 , se numeşte pulsaţie proprie a oscilaţiei, legată de perioada oscilaţiilor proprii T0 prin relaţia: k 2π ω0 = = . (2.4) m T0 Se poate verifica prin calcul direct că ecuaţia diferenţială de mai sus admite o soluţie generală de forma: y = A sin (ωt + ϕ ) , (2.5) unde apar două constante de integrare: A – amplitudinea oscilaţiilor (distanţa sau depărtarea maximă a oscilatorului faţă de poziţia sa de echilibru) şi φ – faza iniţială, o mărime care precizează poziţia iniţială (la momentul t = 0) a oscilatorului, faţă de poziţia sa de echilibru. Constantele de integrare se pot determina dacă se cunosc două condiţii iniţiale privind oscilatorul. Argumentul funcţiei armonice (cosinus sau sinus) se numeşte faza oscilaţiei: α (t ) = ω 0 t + ϕ . (2.6) Viteza de oscilaţie v reprezintă viteza cu care se depărtează sau se apropie oscilatorul de poziţia sa de echilibru şi are expresia: dy v= = ω 0 A cos(ω 0 t + ϕ ) , (2.7) dt iar energia cinetică a oscilatorului este: 2 mω 02 2 m ⎛ dy ⎞ Ec = ⎜ ⎟ = A cos 2 (ω 0 t + ϕ ) . (2.8) 2 ⎝ dt ⎠ 2 Acţiunea forţei elastice determină oscilatorul să acumuleze o energie potenţială elastică:

14

k 2 mω 02 2 y = A sin 2 (ω 0 t + ϕ ) , (2.9) 2 2 astfel că energia mecanică totală a oscilatorului este: mω 02 2 E = Ec + E p = A = const . (2.10) 2 Această relaţie reprezintă legea conservării energiei în cazul oscilatorului armonic liniar liber. Energia cinetică şi energia potenţială elastică a oscilatorului sunt variabile în timp, transformându-se una în alta, dar în aşa fel încât suma lor (energia mecanică totală) să rămână constantă. Ep =

2.3 Compunerea oscilaţiilor armonice Dacă un oscilator participă simultan la două sau mai multe mişcări oscilatorii armonice, mişcarea lui este compusă, el executând o mişcare dată de rezultanta mişcărilor oscilatorii armonice individuale. În cazul particular a două mişcări oscilatorii armonice de elongaţii y1 şi y2 , mişcarea rezultantă va fi tot o mişcare oscilatorie armonică, ce va avea elongaţia: y = y1 + y 2 . (2.11) Expresia acesteia se poate determina prin două metode: - metoda fazorilor, în care un fazor reprezintă un vector de modul A, care se roteşte cu viteza unghiulară ω0 şi la momentul iniţial se află orientat sub unghiul φ faţă de axa Ox. - metoda trigonometrică, metodă care se bazează pe separarea părţii temporale a fazei de partea care conţine faza iniţială, fapt ce revine la utilizarea formulelor trigonometrice: sin (α ± β ) = sin α cos β ± sin β cos α . (2.12) Există multe situaţii de compunere a oscilaţiilor armonice, iar dintre acestea vom aminti următoarele: a. Compunerea oscilaţiilor paralele şi de aceeaşi pulsaţie Să considerăm două oscilaţii armonice individuale de forma: y1 = A1 sin (ω 0 t + ϕ 1 ) ; y 2 = A2 sin (ω 0 t + ϕ 2 ) , (2.13) iar oscilaţia armonică rezultantă va fi de forma: y = A sin (ω 0 t + ϕ ) . (2.14) Să determinăm amplitudinea A şi faza iniţială φ a oscilaţiei armonice rezultante. În acest scop vom dezvolta funcţiile sinus din relaţiile precedente, utilizând formula trigonometrică indicată mai sus şi vom egala factorii din faţa funcţiilor sinus şi cosinus de argumentul ω0 t . După calcule elementare, vom obţine:

A=

A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ 1 ) ,

(2.15)

A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 . (2.16) A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2 Oscilaţia armonică rezultantă va avea amplitudinea cuprinsă în intervalul: tgϕ =

15

A1 − A2 ≤ A ≤ A1 + A2 ,

(2.17) valoarea ei minimă fiind zero dacă amplitudinile oscilaţiilor iniţiale sunt egale, iar diferenţa de fază egală cu π (opoziţie de fază). b. Compunerea oscilaţiilor paralele şi de pulsaţie puţin diferită Dacă pulsaţiile celor două oscilaţii diferă puţin, adică: ω1 = ω 0 şi ω 2 = ω 0 + ∆ω , (2.18) atunci fazele iniţiale ale oscilaţiilor individuale sunt (se bservă că faza iniţială a celei de a doua oscilaţii depinde uşor de timp): ϕ1 → ϕ1 şi ϕ 2 → ϕ 2 + ∆ω ⋅ t . (2.19) Putem aplica, astfel, raţionamentul anterior încât amplitudinea oscilaţiei rezultante va fi în acest caz: (2.20) A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(∆ω ⋅ t + ϕ 2 − ϕ 1 ) . În cazul particular, când amplitudinile oscilaţiilor iniţiale sunt egale (A1 = A2), expresia de mai sus devine: ⎞ ⎛ ∆ω ⋅ t + ϕ 2 − ϕ1 ⎟ . A = 2 A1 cos⎜ (2.21) ⎝ 2 ⎠ În acest caz, oscilaţia rezultantă poate fi considerată o oscilaţie armonică de pulsaţie ω0 , dar modulată în amplitudine de funcţia cosinus având argumentul de mai sus, iar faza ei iniţială depinde foarte uşor de timp (de aceea, se poate considera că faza iniţială este aproximativ constantă). Perioada Tb de modificare în timp a amplitudinii este dată de intervalul dintre momentele de timp în care aceasta devine zero, adică intervalul de timp în care argumentul funcţiei cosinus se modifică cu valoarea π : ∆ω ⋅ Tb + ϕ 2 − ϕ 1 = π + ϕ 2 − ϕ 1 (2.22) 2 şi rezultă expresia perioadei căutate: 2π 2π = Tb = . (2.23) ω 2 − ω1 ∆ω Acest fenomen poartă numele de fenomen de bătăi, prin analogie cu cazul din acustică, în care intensitatea sunetului prezintă întăriri şi slăbiri succesive. c. Compunerea oscilaţiilor perpendiculare de aceeaşi pulsaţie Dacă un oscilator este supus acţiunii a două forţe elastice de direcţii perpendiculare, adică execută două oscilaţii armonice individuale de forma: x = Ax cos(ω 0 t + ϕ 1 ) ; y = Ay cos(ω 0 t + ϕ 2 ) , (2.24) atunci are loc compunerea celor două oscilaţii armonice de aceeaşi pulsaţie, dar perpendiculare. Dezvoltând funcţiile cosinus şi utilizând formula: sin 2 ω 0 t + cos 2 ω 0 t = 1 , (2.25) obţinem că traiectoria mişcării oscilatorului va fi în acest caz o elipsă generalizată (adică o elipsă rotită în raport cu axele de coordonate ale sistemului de referinţă), ca în fig. 2.1 :

16

2

2

⎛ x ⎞ ⎛ y ⎞ x y ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ + 2 (2.26) cos(ϕ 2 − ϕ 1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ 1 ) ⎜ ⎟ Ax Ay ⎝ Ax ⎠ ⎝ Ay ⎠ Forma ei depinde atât de diferenţa de fază dintre cele două oscilaţii individuale, cât şi de mărimea celor două amplitudini. Dacă pulsaţiile oscilaţiilor perpendiculare sunt diferite,

Fig. 2.1 traiectoriile mişcării oscilatorului sunt, în general, nişte curbe deschise. Numai dacă raportul pulsaţiilor este un număr raţional traiectoriile sunt curbe închise, numite figurile lui Lissajoux.

2.4 Oscilaţii amortizate Dacă asupra unui corp (oscilator) de masă m acţionează, în afară de forţa elastică, o forţă de rezistenţă (de frecare), proporţională şi de semn contrar cu viteza: dy , cu b = const , (2.27) Fr = −b dt atunci oscilaţiile pe care le va executa corpul se numesc oscilaţii amortizate. Principiul al doilea al dinamicii se scrie în acest caz: dy d2y , (2.28) m 2 = − ky − b dt dt relaţie care conduce la ecuaţia diferenţială a mişcării: dy d2y + 2β + ω 02 y = 0 . (2.29) 2 dt dt În această ecuaţie am utilizat o noua notaţie: b β= , (2.30) 2m în care b este constanta de proporţionalitate a forţei de frecare, iar β se numeşte coeficient de amortizare. Dacă frecarea este mică, deci β < ω0 , atunci soluţia ecuaţiei diferenţiale a mişcării este: y = Ae − β ⋅t sin (ω ⋅ t + ϕ ) . (2.31)

17

Aici apare o nouă pulsaţie numită pulsaţia oscilaţiilor amortizate, care depinde de coeficientul de amortizare astfel: k b2 . (2.32) − m 4m 2 Oscilaţiile sunt amortizate deoarece amplitudinea acestora scade exponenţial în timp, după legea (fig. 2.2): A(t ) = Ae − β ⋅t , (2.33) iar oscilatorul, datorită frecării cu mediul, îşi micşorează în mod continuu energia, cedând-o mediului.

ω = ω 02 − β 2 =

Fig. 2.2 Pentru a caracteriza ritmul (rata) de scădere în timp a amplitudinii oscilaţiilor amortizate se utilizează mărimea numită decrementul logaritmic al amortizării, definit astfel: y (t ) A(t ) δ = ln = ln = βT , (2.34) y (t + T ) A(t + T ) relaţie în care apare perioada oscilaţiilor amortizate: T0 2π 2π = = T= . (2.35) 2 2 2 ω ω0 − β ⎛ β ⎞ 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ω0 ⎠ Oscilatorul amortizat are o perioadă de oscilaţie T mai mare (oscilează mai lent, deci cu o frecvenţă mai mică) decât perioada de oscilaţie T0 a oscilatorului armonic liber (neamortizat), datorită pierderii continue de energie prin amortizarea oscilaţiilor. Oscilaţiile din natură sunt amortizate, deoarece, întotdeauna, asupra oscilatorului acţionează forţe de frecare. 2.5 Oscilaţii forţate şi rezonanţa

Pentru a compensa pierderile de energie datorită amortizării oscilaţiilor, asupra oscilatorului trebuie acţionat cu o forţă perturbatoare exterioară periodică, forţă care determină oscilatorul să execute un nou tip de oscilaţii numite oscilaţii forţate. Sistemul oscilant (oscilatorul) va intra în regim de oscilaţii forţate dacă forţa exterioară este periodică.

18

Se ştie că orice funcţie periodică poate fi descompusă într-o serie Fourier de funcţii armonice. De aceea, să considerăm că forţa exterioară este de tip armonic (funcţiile armonice sunt funcţii periodice), având expresia: F = F0 sin ω p t , (2.36)

iar ecuaţia diferenţială corespunzătoare în acest caz se poate obţine în mod analog ca şi pentru cazurile precedente: F dy d2y + 2β + ω 02 y = 0 sin ω p t . (2.37) 2 dt m dt Aceasta este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi cu coeficienţi constanţi şi neomogenă (care are termen liber). Soluţia ei generală este o sumă dintre soluţia generală a ecuaţiei omogene (ecuaţia conţinută în membrul stâng, care este chiar ecuaţia oscilaţiilor amortizate) şi soluţia particulară a ecuaţiei neomogene ( care are, de obicei, forma termenului liber): y = Ae − β ⋅t sin (ω ⋅ t + ϕ ) + A p sin (ω p t + ϕ p ) . (2.38) Se observă că soluţia ecuaţiei omogene (primul termen), care scade exponenţial în timp, caracterizează regimul tranzitoriu şi, după un timp teoretic infinit, dar practic finit, ea devine egală cu zero. După acest moment soluţia va conţine doar termenul al doilea, iar mişcarea va intra într-un regim staţionar de oscilaţii forţate, adică nişte oscilaţii armonice neamortizate, cu amplitudinea Ap şi pulsaţie egală cu pulsaţia forţei exterioare perturbatoare ωp . Ecuaţia oscilaţiilor întreţinute sau a oscilaţiilor forţate este: y = A p sin (ω p t + ϕ p ) . (2.39) Deoarece acestă soluţie trebuie să fie valabilă în orice moment al regimului staţionar, înlocuind această expresie în ecuaţia diferenţială a oscilaţiilor amortizate şi alegând două momente de timp convenabile, se obţine un sistem de două ecuaţii algebrice din care se poate afla atât amplitudinea oscilaţiilor forţate: F0 Ap = , (2.40) 2 m ω 02 − ω 2p + 4 β 2ω 2p

(

)

cât şi faza iniţială a oscilaţiilor forţate : ⎛ 2 βω p ⎞ ⎟ . ϕ p = arctg ⎜ 2 (2.41) ⎜ω −ω 2 ⎟ p ⎠ ⎝ 0 Aceste două mărimi care caracterizează oscilaţiile forţate depind esenţial de pulsaţia ωp a forţei perturbatoare periodice exterioare. Dacă pulsaţia forţei exterioare ωp se apropie de valoarea pulsaţiei proprii ω0 a oscilatorului, atunci amplitudinea oscilaţiilor forţate creşte foarte mult. Acest fenomen poartă numele de fenomen de rezonanţă, iar oscilaţia cu amplitudine maximă a oscilatorului se numeşte oscilaţie de rezonanţă. Dacă nu ar exista frecare, deci dacă ar fi β = 0, atunci amplitudinea Ap la rezonanţă ar creşte foarte mult. Totuşi, acest fapt nu se întâmplă în mod practic deoarece, întotdeauna, frecarea este prezentă, chiar dacă β are valori foarte mici. În anumite cazuri, când ωp se apropie foarte mult de ω0 , amplitudinea Ap la

19

rezonanţă creşte atât de mult încât poate duce la distrugerea mecanică a materialului din care este confecţionat oscilatorul. De aceea, la proiectarea podurilor, clădirilor, a dispozitivelor mecanice sau electronice, trebuie ţinut cont că este posibil să apară fenomenul de rezonanţă. Pentru a afla valorea amplitudinii maxime (amplitudinii de

Fig. 2.3 rezonanţă), să reprezentăm grafic dependenţa amplitudinii Ap de pulsaţia ωp a forţei exterioare, curbă care se numeşte curbă de rezonanţă (fig. 2.3). Impunând condiţia de maxim, obţinem: dA p F0 = 0 , rezultă: A p ,rez = , (2.42) dω p 2 βm ω 02 − β 2

expresie care se realizează pentru valorea pulsaţiei de rezonanţă egală cu:

ω p = ω rez = ω o2 − β 2 . (2.43) Pentru a compensa pierderile de energie prin frecare, trebuie injectată periodic din exterior energie şi aceasta se realizează prin acţiunea forţei periodice exterioare. Puterea instantanee absorbită de oscilatorul care execută oscilaţii forţate este atunci: dy p dL Pabs (t ) = abs = F p = F0ω p A p sin ω p t ⋅ cos(ω p t + ϕ p ) (2.44) dt dt De regulă, în practică ne interesează puterea absorbită medie pe o perioadă Tp , care este, după efectuarea calculelor: T ω 2p F02 1 ( ) Pabs = P t dt = . (2.45) β abs T p ∫0 m (ω 02 − ω 2p )2 + 4 β 2ω 2p p

În regim de oscilaţii forţate, oscilatorul (sistemul oscilant) pierde energie sub formă de căldură, datorită acţiunii forţei de frecare, astfel că puterea instantanee disipată este: 2 dy p ⎛ dy p ⎞ dLdis ⎟⎟ (2.46) = − Fr = 2mβ ⎜⎜ Pdis (t ) = dt dt ⎝ dt ⎠

20

În mod analog se calculează puterea disipată medie perioadă Tp :

pe o

Tp

1 Pdis (t )dt = mβω 2p A p2 . (2.47) ∫ Tp 0 După efectuarea calculelor se constată că, în regim de oscilaţii forţate, puterile medii pe o perioadă sunt egale între ele şi proporţionale cu pătratul amplitudinii: ω 2p F2 Pabs = Pdis ≡ P (ω p ) = mβω 2p A p2 = β 0 (2.48) m ω 02 − ω 2p 2 + 4 β 2ω 2p Pdis =

(

)

Înseamnă că oscilatorul absoarbe de la forţa exterioară exact atâta putere cât disipă mediului ambiant. Astfel se explică de ce amplitudinea oscilaţiilor forţate rămâne constantă.

Fig. 2.4 Dependenţa P = P(ωp) este dată de o curbă de rezonanţă a puterilor (fig. 2.4). Rezonanţa puterilor, adică realizarea puterii maxime are loc când pulsaţia ωp a forţei exterioare este egală cu pulsaţia proprie ω0 a oscilatorului, indiferent de valoarea coeficientului de amortizare β, ceea ce se poate verifica uşor prin calcul. Deci: 1 F02 dP . (2.49) = 0 , ? Pmax = P(ω 0 ) = mβω 02 A p2,max = dω p 4 mβ Se poate defini şi puterea efectivă, care este proporţională cu pătratul valorii efective a amplitudinii: 2 ⎛ A p ,max ⎞ P ⎟⎟ = max , Pef = mβω 2p A p2,ef = mβω p2 ⎜⎜ (2.50) 2 ⎝ 2 ⎠ precum şi lărgimea liniei sau curbei de rezonanţă , definită ca diferenţa celor două pulsaţii corespunzătoare puterii efective: ∆ω rez = ω 2 − ω 1 , unde: ω 1, 2 = ω 02 + β 2 m β

(2.51)

Factorul de calitate Q al oscilatorului (sau, în general, al sistemului oscilant) se defineşte ca fiind raportul dintre pulsaţia proprie şi lărgimea curbei de rezonanţă:

21

Q=

ω0 ω0 ω = = 0 = ω 0τ , ∆ω rez ω 2 − ω 1 2 β

(2.52)

unde τ este timpul de relaxare, adică timpul după care energia oscilatorului amortizat scade de e ori (unde e = 2,71828... este baza logaritmilor naturali) sau, ceea ce este echivalent, timpul de relaxare este timpul după care amplitudinea oscilaţiilor amortizate scade de e ori. Deci, un oscilator care execută oscilaţii întreţinute este cu atât mai bun (mai “calitativ”, deci cu un factor de calitate mai mare), cu cât curba de rezonanţă este mai îngustă.

2.6 Ecuaţia undei plane Mediile continue (gaze, lichide şi solide) sunt sisteme de particule legate, adică particule (molecule, atomi sau ioni) care interacţionează între ele. De aceea, dacă una din particule oscilează, vor începe să oscileze şi particulele vecine, oscilaţia propagându-se de la particulă la particulă. Procesul de propagare a unei oscilaţii în mediul ambiant se numeşte undă. În decursul propagării undei, fiecare particulă a mediului oscilează în jurul poziţiei sale de echilibru, mişcarea oscilatorie propagându-se din aproape în aproape, dar nu instantaneu, ci cu o viteză u finită. Totalitatea punctelor la care a ajuns unda la un moment dat t şi care oscilează în fază, se numeşte suprafaţă de undă sau front de undă sau suprafaţă de fază constantă. Forma geometrică a frontului de undă determină denumirea undei (undă plană, undă sferică, undă cilindrică ). Pentru a deduce ecuaţia undei plane, să considerăm că punctul S , în care se găseşte sursa undelor, oscilează cu amplitudine constantă, deci fără amortizare, conform ecuaţiei: (2.53) y s = A sin ω ⋅ t . În general, elongaţia y nu trebuie neapărat să aibă semnificaţia unei lungimi, ea poate desemna şi o mărime fizică ondulatorie oarecare, de exemplu: presiunea, respectiv intensitatea câmpului electric sau intensitatea câmpului magnetic. În general, în aceste cazuri, elongaţia nu se notează cu y, ci cu Ψ, purtând numele de funcţie de undă. Un punct M din mediu, situat la distanţa x de sursă, va intra în oscilaţie mai târziu, după un interval de timp: x t1 = , (2.54) u adică exact timpul necesar ca unda, care se propagă cu viteza u, să străbată distanţa x dintre S şi M . Deci, în punctul M ecuaţia oscilaţiei va avea forma: y = A sin ω (t − t1 ) . (2.55) Ţinând cont că lungimea de undă λ a undei reprezintă distanţa străbătută de undă în timpul unei perioade T a oscilaţiei, adică: λ = uT , (2.56) vom obţine ecuaţia undei armonice monocromatice plane sub trei forme echivalente:

22

2π ⎛ x ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ t x⎞ (2.57) y = A sin ω ⎜ t − ⎟ = A sin ⎜ t − ⎟ = A sin 2π ⎜ − ⎟ T ⎝ u⎠ ⎝ u⎠ ⎝T λ ⎠ Dacă unda se propagă de-a lungul unei direcţii oarecare, aceasta trebuie precizată cu ajutorul unui vector numit vector de undă , vector care este orientat în direcţia şi sensul de propagare a undei: r r 2π r ω r k = kn = n= n . (2.58) u λ Printr-un raţionament perfect analog, se poate deduce ecuaţia undei armonice monocromatice plane pentru cazul propagării de-a lungul unei direcţii oarecare: r r y = A sin ω ⋅ t − k ⋅ r , (2.59) Argumentul funcţiei sinus se numeşte faza undei, mărime care depinde de variabilele spaţiale şi de timp :r r r α (r , t ) = ω ⋅ t − k ⋅ r . (2.60) Suprafeţele de undă sunt suprafeţe de fază constantă şi, dacă mediul este izotrop (deci cu aceleaşi proprietăţi de propagare în toate direcţiile), ele sunt perpendiculare pe direcţia de propagare a undei. Dacă faza undei α este constantă, ecuaţia de mai sus r reprezintă ecuaţia unui plan şi în orice moment vectorul de undă k este perpendicular pe acest plan. Unda se numeşte monocromatică deoarece lungimea ei de undă λ este constantă (sau, echivalent, frecvenţa este constantă, respectiv pulsaţia este constantă). Viteza undei armonice monocromatice plane coincide cu viteza de deplasare a fazei şi de aceea se numeşte viteza de fază. Expresia ei se obţine punând condiţia ca faza să fie constantă şi apoi diferenţiind faza undei. Deoarece faza undei depinde de variabilele spaţiale şi de timp, trebuie să diferenţiem faza ca o funcţie de două variabile: r r r r α = ω ⋅ t − k ⋅ r = const , dα = ω ⋅ dt − k ⋅ dr = 0 , (2.61) de unde viteza de fază este: r r dr ω r ω λ vf = = n , cu modulul: v f = = = u (2.62) dt k k T Unda armonică monocromatică plană este un concept idealizat în sensul că o undă sinusoidală, cu o întidere infinită în spaţiu şi timp nu poate purta cu sine nici o informaţie. Numai semnalele, adică perturbaţiile mărginite în spaţiu şi timp pot purta o informaţie. Semnalele (undele reale) nu sunt monocromatice ci prezintă un spectru oarecare de frecvenţe (mai multe frecvenţe apropiate ca valoare), deoarece orice proces perturbator care este sursa unei unde are o durată şi o întindere spaţială finită. O suprapunere de mai multe (infinit de multe) unde armonice monocromatice plane cu frecvenţe foarte apropiate se numeşte grup de unde sau pachet de unde , iar viteza cu care se propagă grupul de unde se numeşte viteza de grup,. care se identifică cu viteza de deplasare a maximului central. Se poate demonstra că viteza de grup are expresia: du dω d (uk ) du vg = = =u+k =u−λ . (2.63) dk dk dk dλ

(

)

23

Se observă că viteza de propagare a undei (viteza de fază u) depinde de modulul vectorului de undă, respectiv de lungimea de undă: u = u(k) sau u = u(λ). Acesta este fenomenul de dispersie a undelor: undele care au module ale vectorului de undă diferite, respectiv care au lungimi de undă diferite se propagă cu viteze diferite. Cu alte cuvinte, derivata vitezei de fază u în raport cu lungimea de undă λ este diferită de zero. Dacă undele mai lungi se propagă mai repede decât undele mai scurte, atunci dispersia se numeşte normală, iar dacă undele mai lungi se propagă mai încet decât undele mai scurte, atunci dispersia se numeşte anomală.

2.7 Caracteristici energetice ale undei Propagarea undelor elastice într-un mediu determină o mişcare de oscilaţie a particulelor mediului, deci a fiecărui volum elementar din mediul de propagare al undei, în jurul poziţiei sale de echilibru. Deci, unda elastică posedă energie mecanică, sub formă de energie cinetică şi energie potenţială elastică. Într-un interval de timp oarecare ∆t, fiecare volum elementar al mediului de propagare al undei elastice suferă şi o deformaţie elastică şi, datorită propagării undei elastice, îşi modifică energia cinetică cu valoarea ∆Wc , iar energia potenţială cu valoarea ∆Wp . Într-un mediu conservativ, deci care nu are pierderi de energie, energia mecanică totală primită de mediu este egală cu energia mecanică totală a undei: W = Wc + W p . (2.64) Să considerăm că mediul de propagare al undei este format din particule identice, fiecare de masă m1 şi are densitatea ρ. Pentru Ecuaţia undei elastice are expresia: ⎛ x⎞ y = A sin ω ⎜ t − ⎟ . (2.65) ⎝ u⎠ Energia cinetică pe care o primeşte o particulă la care a ajuns unda este: 2

1 ⎛ ∂y ⎞ 1 ⎛ x⎞ Wc ,1 = m1 ⎜ ⎟ = m1ω 2 A 2 cos 2 ω ⎜ t − ⎟ , (2.66) 2 ⎝ ∂t ⎠ 2 ⎝ u⎠ iar energia cinetică a tuturor particulelor din volumul ∆V , care conţine ∆n particule, cu masa totală ∆m este: 1 ⎛ x⎞ (2.67) ∆Wc = ρ ⋅ ∆Vω 2 A 2 cos 2 ω ⎜ t − ⎟ . 2 ⎝ u⎠ Pe de altă parte, să considerăm că o forţă elastică Fe acţionează asupra unui mediu oarecare (de exemplu, asupra unei bare elastice de lungime iniţială l0 , secţiune ∆S şi modul de elasticitate E) şi produce o deformaţie absolută (alungire sau comprimare) x. Conform legii lui Hooke, forţa elastică este proporţională cu deformaţia relativă ε sau cu deformaţia absolută (elongaţia) x: ∆S Fe = − E∆Sε = − E x ≡ −kx , (2.68) l0

24

unde k este constanta elastică a materialului. Pentru a realiza o deformaţie absolută ∆l, trebuie efectuat lucrul mecanic egal cu: ∆l

2

∆l ∆S E ⎛ ∆l ⎞ E L = ∫ Fel ⋅ dx = − E x ⋅ dx = − ⎜⎜ ⎟⎟ (l 0 ∆S ) = − ε 2 ∆V (2.69) ∫ l0 0 2 ⎝ l0 ⎠ 2 0 Utilizând teorema de variaţie a energiei potenţiale, energia potenţială elastică înmagazinată de mediu cu ocazia efectuării lucrului mecanic al forţei elastice este: 1 E ∆W p = − L = ε 2 ∆V = ρu 2 ε 2 ∆V , (2.70) 2 2 unde am ţinut cont de legătura dintre expresia vitezei de propagare a undei şi modulul de elasticitate al lui Young. În cazul propagării unei unde elastice, deformaţiei absolute ∆l îi corespunde variaţia absolută a elongaţiei ∆y , iar deformaţiei relative ε – derivata în raport cu x a elongaţiei, adică: ∆l ∂y x⎞ ω ⎛ = = − A cos ω ⎜ t − ⎟ . ε= (2.71) l 0 ∂x u ⎝ u⎠ Astfel, energia potenţială elastică a elementului de volum ∆V al mediului de propagare al undei este: 1 ⎛ x⎞ ∆W p = ρ∆Vω 2 A 2 cos 2 ω ⎜ t − ⎟ . (2.72) 2 ⎝ u⎠ Densităţile de energie ale undei (densitatea de energie totală, densitatea de energie cinetică şi densitatea de energie potenţială elastică) în mediul de propagare sunt definite astfel: dW ∆W ⎛ x⎞ w= = lim = wc + w p = ρω 2 A 2 cos 2 ω ⎜ t − ⎟ . (2.73) 0 V ∆ → dV ∆V ⎝ u⎠ Ambele densitatăţi de energie fiind dependente de timp, este util a se calcula valoarea medie a densităţii totale de energie în decursul unei perioade: T 1 1 w = ∫ w(t )dt = ρω 2 A 2 = const . (2.74) T 0 2 Deci, densitatea de energie medie transportată de unda elastică este proporţională cu densitatea mediului de propagare, cu pătratul pulsaţiei undei şi cu pătratul amplitudinii undei. Acest rezultat va fi utilizat de multe ori în cele ce urmează. În concluzie, unda elastică transportă energie, iar această energie este transmisă de la sursa undei către toate punctele mediului în care se propagă unda. Energia undei se caracterizează şi cu ajutorul altor mărimi, dintre care amintim: Fluxul de energie este mărimea fizică ce reprezintă cantitatea de energie transmisă de undă printr-o suprafaţă oarecare, în unitatea de timp: dW [Φ ]SI = 1 J = 1W . Φ= , (2.75) s dt

25

Intensitatea energetică a undei reprezintă fluxul de energie transportat de undă prin unitatea de suprafaţă, perpendicular pe această suprafaţă: r r dΦ r W d ⎛ dW ⎞ d 2W dr I = r = r⎜ = w ⋅ u , [I ]SI = 1 2 , (2.76) ⎟= 2 m dS dS ⎝ dt ⎠ dV dt unde la numitor apare elementul de volum infinitezimal de ordinul 2, r r adică dV 2 = dS ⋅ dr , definit ca produsul scalar a unei suprafeţe infinitezimale orientate (o suprafaţă căreia i se ataşează versorul normalei exterioare) şi a unei deplasări infinitezimale. Intensitatea energetică a undei se mai numeşte şi vectorul lui Poynting şi el arată că unda transportă energie în direcţia şi sensul propagării sale, adică în direcţia şi sensul vitezei de fază. Dacă unda se propagă printr-un mediu absorbant, atunci are loc absorbţia treptată a energiei undei de către particulele mediului, iar amplitudinea undei scade după o lege exponenţială: rr r A(r ) = A0 e −γ n⋅r , (2.77) unde A0 este amplitudinea undei la distanţa r = 0, γ este coeficientul de r atenuare, iar n este versorul vectorului de undă. Ecuaţia undei se scrie în acest caz astfel: r r rr y = A0 e − γn⋅r sin ω t − k ⋅ r . (2.78) Cum intensitatea undei este proporţională cu amplitudinea, în cazul unui mediu absorbant obţinem legea de absorbţie a lui Beer: I (d ) = I 0 e −κ d , (2.79) r r care permite aflarea expresiei intensităţii undei la distanţa d = n ⋅ r de pătrundere în mediul absorbant, iar κ = 2γ este coeficientul de absorbţie al mediului.

(

)

2.8 Elemente de acustică

Undele elastice cu frecvenţe cuprinse între limitele 16 Hz şi 20 kHz, produc o senzaţie auditivă şi se numesc unde sonore sau sunete. Acustica se ocupă cu studiul producerii, propagării şi recepţionării undelor acustice şi cu studiul efectelor produse în urma interacţiunilor acestora cu mediul prin care se propagă. În funcţie de senzaţia auditivă produsă, sunetele se deosebesc după înălţime, timbru şi intensitate (tăria). Înălţimea este calitatea sunetelor de a fi mai "înalte" (mai "ascuţite") sau mai "joase" (mai "grave"), după cum frecvenţa lor ν este mai înaltă sau mai joasă. Timbrul este proprietatea sunetelor prin care pot fi deosebite două sunete de aceeaşi intensitate şi înălţime, dar produse de surse sonore diferite. Se datorează faptului că majoritatea sunetelor reprezintă superpoziţii oscilaţii armonice cu amplitudini diferite şi cu frecvenţe care sunt multiplii întregi ai unei frecvenţe minime, cu intensitatea cea mai mare, numită frecvenţă fundamentală ν1 ( pulsaţia ω1) sau sunet fundamental. Frecvenţele care sunt multiplii frecvenţei fundamentale se numesc armonice. Sunetul compus are ecuaţia:

26

∞

y = ∑ An sin (nω1 ⋅ t + ϕ n ) .

(2.80)

n =1

Timbrul sunetelor se datorează prezenţei sau absenţei anumitor armonice din spectrul sunetelor provenind de la surse sonore diferite. Intensitatea sau tăria este legată de faptul că urechea poate percepe un sunet de o anumită frecvenţă numai dacă acesta are o intensitate cuprinsă între o valoare minimă, numită prag de audibilitate (P.A.) şi o intensitate maximă, numită pragul senzaţiei dureroase (P.S.D.) (fig. 2.5). În afara acestor limite, care depind de frecvenţă, sunetul nu poate fi perceput ca atare, deoarece este fie prea slab, fie pentru prea puternic, producând senzaţii de durere. Urechea omenească are cea mai mare sensibilitate acustică în domeniul de frecvenţe între 1000 Hz şi 4000 Hz, domeniu în care intensitatea sonoră (energetică) are valoarea Is0 = 10-12 W / m2 . De aceea, frecvenţa ν0 = 103 Hz a fost luată drept frecvenţă standard. Intensitatea maximă corespunzătoare pragului auditiv superior este Is,max = 102 W / m2 . Deci intervalul de intensităţi sonore este foarte larg, adică 14 ordine de mărime. De aceea, s-a întrodus o mărime nouă numită nivel de intensitate sonoră, ca fiind de 10 ori logaritmul zecimal al raportului dintre intensitatea sonoră a sunetului respectiv de frecvenţă oarecare ν şi intensitatea sonoră a sunetului de frecvenţă standard ν0 : I (2.81) N s = 10 lg s , cu unitatea: [N s ]SI = 1dB . I s0 Unitatea de măsură în SI a nivelului de intensitate sonoră se numeşte decibel şi are simbolul dB: I I N s = 1dB ; 1 = 10 lg s ; s = 10 0,1 = 1,26 (2.82) I s0 I s0 Prin urmare, 1 dB reprezintă nivelul intensităţii sonore a unui sunet de o frecvenţă oarecare a cărui intensitate sonoră este de 1,26 ori mai mare decât intensitatea sonoră de pe pragul de audibilitate corespunzătoare sunetului standard de referinţă, de frecvenţă 1000 Hz.

Fig. 2.5

27

Intervalul nivelului sonor al sunetelor percepute de urechea umană se întinde în intervalul de la 0 la 140 dB. Tăria unui sunet recepţionat este o mărime subiectivă, care depinde de receptorul auditiv şi nu permite o măsurare cantitativă precisă. Totuşi, experimental s-a constatat că există o legătură între intensitatea sonoră şi senzaţia produsă asupra urechii. Urechea percepe două sunete care au aceeaşi intensitatea sonoră Is , dar frecvenţe ν diferite, ca două sunete de tărie sau senzaţie S diferită. Definirea acestei noi mărimi se bazează pe legea WeberFechner, stabilită experimental, fiind o lege psiho-fizică. Această lege stabileşte că creşterea minimă percepută a senzaţiei auditive ∆S produse de un sunet este direct proporţională cu creşterea relativă a intensităţii sonore a sunetului respectiv: ∆I dI ∆S = k s sau, infinitezimal : dS = k s . (2.83) Is Is Prin integrarea acestei relaţii, se obţine: I S 2 − S1 = k lg s 2 . (2.84) I s1 Cu alte cuvinte, dacă intensitatea sonoră creşte de 100 de ori, senzaţia auditivă (tăria sunetului) creşte abia cu 2 unităţi. Datorită diferenţelor cu care sunt percepute diferite sunete de către ureche, în sensul că asupra urechii ele produc senzaţii diferite, se impune ordonarea sunetelor după senzaţia pe care acestea o produc. Pentru aceasta, se impune introducerea unei mărimi noi, numită intensitate auditivă Ia . Prin definiţie, intensitatea auditivă Ia a unui sunet de frecvenţă ν este egală cu intensitatea sonoră Is a sunetului standard de referinţă, de frecvenţă ν0 = 1000 Hz (pentru care urechea are maximum de sensibilitate), care produce aceeaşi senzaţie auditivă ca şi sunetul dat: I a ;ν = I s ;ν 0 şi, evident: I a ;ν 0 = I s ;ν 0 . (2.85) Se poate defini nivelul intensităţii auditive, ca fiind egal cu de 10 ori logaritmul raportului dintre intensitatea auditivă a sunetului de studiat şi intensitatea auditivă a sunetului standard de referinţă: I a;ν N a = 10 lg (2.86) , cu unitatea: [N a ]SI = 1 fon . I a;ν 0 În mod cu totul analog ca şi pentru un decibel , nivelul auditiv de 1 fon reprezintă nivelul auditiv al unui sunet de o frecvenţă oarecare a cărui intensitate auditivă este de 1,26 ori mai mare decât intensitatea auditivă a sunetului standard de referinţă, care produce aceeaşi senzaţie auditivă ca şi sunetul de studiat. Evident, că cele două unităţi sunt egale 1 dB = 1 fon, însă măsoară mărimi fizice diferite. 2.9 Ultrasunetele şi aplicaţiile lor

Ultrasunetele sunt unde elastice a căror frecvenţă este mai mare decât 20 kHz, limita aceasta, desigur, nu trebuie înţeleasă în mod strict, frecvenţele maxime atinse în prezent fiind de ordinul a 2 · 109 Hz

28

(adică 2 GHz). Generarea ultrasunetelor se realizează prin două metode electroacustice principale, bazate pe două fenomene: efectul piezoelectric invers şi efectul magnetostrictiv. Efectul piezoelectric direct constă în următoarele: dacă o plăcuţă cristalină (cuarţ sau titanat de bariu), tăiată în mod convenabil, de-a lungul anumitor axe, este supusă unei comprimări mecanice, plăcuţa se polarizează, adică pe feţele ei apar sarcini de semn opus. Efectul piezoelectric invers constă în aplicarea pe feţele plăcuţei cristaline a unei tensiuni alternative, drept rezultat, plăcuţa va suferi deformaţii mecanice (se va alungi sau comprima) în ritmul frecvenţei tensiunii alternative. Aceste deformaţii mecanice se vor transmite în mediul ambiant sub formă de unde ultrasonore. Dacă plăcuţa are grosimea d, în ea se vor induce unde mecanice staţionare, la capetele plăcuţei fiind situate nodurile undei. Pentru unda cu frecvenţa fundamentală condiţia este ca grosimea plăcuţei să fie egală cu o semilungime de undă. Ţinând cont de expresia vitezei undelor în medii solide, frecvenţa ultrasunetului generat este: λ 1v 1 E 1 E d= = = , de unde: ν = . (2.87) 2 2 ν 2ν ρ 2d ρ Efectul magnetostrictiv constă în proprietatea corpurilor feromagnetice (de exemplu, o bară de nichel) de a se deforma mecanic (comprima sau dilata) atunci când sunt supuse acţiunii unui câmp magnetic alternativ. Deformaţiile mecanice ale barei magnetostrictive se transmit în mediul ambiant sub formă de unde ultrasonore, frecvenţa acestora calculându-se cu o formulă similară. Aplicaţiile ultrasunetelor se bazează în principal pe trei proprietăţi remarcabile ale acestora. - Deoarece au frecvenţe foarte mari, undele ultrasonore transportă energii considerabile. - Având frecvenţe foarte mari şi, deci, lungimi de undă foarte mici, fenomenul de difracţie este foarte puţin prezent pentru obstacolele obişnuite şi, în consecinţă, undele ultrasonore pot fi emise şi recepţionate pe direcţii riguros determinate. - Frecvenţa lor fiind în afara domeniului de audibilitate, undele ultrasonore nu se aud, deci funcţionarea aparatelor cu ultrasunete nu este deranjantă. Din punct de vedere al interacţiunii ultrasunetelor cu mediul ambiant, aplicaţiile ultrasunetelor se împart în două categorii: aplicaţii pasive, în care ultrasunetele nu modifică structura şi proprietăţile mediului prin care se propagă, ci servesc numai la obţinerea de informaţii referitoare la calitatea sau dimensiunile corpului examinat, precum şi aplicaţii active, în care ultrasunetele, interacţionând cu mediul de propagare, îi modifică acestuia atât structura, cât şi proprietăţile.Aplicaţiile pasive cele mai importante ale ultrasunetelor sunt următoarele: defectoscopia ultrasonoră, microscopia ultrasonoră, hidrolocaţia ultrasonoră, comunicaţia între submarine, sonicitatea etc. Aplicaţiile active cele mai importante ale ultrasunetelor sunt următoarele: cavitaţia, prelucrarea materialelor solide (şlefuire, tăiere, perforare), schimbarea structurii metalelor (prin micşorarea granulaţiei

29

acestora), obţinerea de aliaje a unor metale nemiscibile, lipirea şi cositorirea ultrasonoră, distrugerea bacteriilor şi microorganismelor, modificarea unor funcţii biologice etc Intrebări pentru verificarea însuşirii cunoştinţelor şi pentru evaluare: 1. Care sunt deosebirile dintre o oscilaţie şi o undă elastică ? 2. Prin ce se caracterizează fiecare tip de oscilaţie ? 3. Care sunt mărimile fizice care caracterizează o undă elastică şi ce unităţi de măsură au ele ? 4.Cum se pot caracteriza sunetele şi care sunt mărimile fizice aferente?