Ordem E Caos

CAOS E ORDEM A dualidade que rege o universo desde o seu primórdio.

“Efeito Borboleta” A moderna investigação do caos começou com a constatação humilhante, feita nos anos 60, de que sistemas tão complexos como uma queda de água podiam ser reproduzidos por equações matemáticas simples. Diferenças mínimas na entrada podiam tornar-se facilmente diferenças enormes na saída - um fenómeno a que se chamou "dependência sensível das condições iniciais". Em termos de clima, por exemplo, isso traduz-se naquilo que é conhecido, semijocosamente, por Efeito Borboleta- a noção de que uma borboleta que agite o ar hoje em Pequim pode influenciar tempestades no próximo mês em Nova Iorque. Para os jovens físicos e matemáticos que conduziram a revolução, o ponto de partida foi o "Efeito Borboleta“. In Infinito

“O Caos é a linha sobre a qual a realidade é escrita.” Henry

Miller "Como é que a Matemática que é, antes de tudo, um produto do pensamento humano, independente da experiência, pode adaptar-se tão admiravelmente aos objectos da realidade?"

“A mais bela e profunda experiência que um homem pode ter é o sentido do misterioso. É o princípio que está por detrás da religião, assim como de todos os empenhamentos sérios quer na arte, quer na ciência. Aquele que nunca teve esta experiência parece-me, se não morto, pelo menos cego. Sentir que por detrás de qualquer coisa que pode ser experimentada há algo que a nossa mente não consegue agarrar, cuja beleza e perfeição nos chega apenas indirectamente: isto é religiosidade.” Albert Einstein

“O matemático, como o pintor ou o poeta é um mestre dos padrões.” G. H. Hardy

O caos que surge da ordem

A espiral dos irracionais 4

3 2

5

1 6

2 = 1,414213562........

1

7 8 9 10 11

A RAZÃO DE OURO

1+ 5 φ= = 1, 6180339 89........ 2

π

π

Perímetro C1 = 28,33

Perímetro C2 = 19,46

Perímetro C3= 15,26

Diâmetro = 4,86 Diâmetro = 9,02

PerímetroC1 = 3,14 diâmetro

Diâmetro = 6,19

PerímetroC2 = 3,14 diâmetro

PerímetroC3 = 3,14 diâmetro

n

 1 lim  1 +  = e  n un

e

O

n

2,71828182845904 52353602874713 52662497757247 09369995.......... ....................... .......................

A ordem que surge da ordem

Os dados estão lançados!...

Platão admitia que, por intervenção inteligente, os poliedros regulares se transformavam uns nos outros, à excepção do tetraedro, que se transformava em si próprio.

Triângulo de Pascal 01 0

C

11

11

C0

2

2

1 C0

31

10 C

51 6

C10

7 8

•

C61

6

6

15 C2

8 8 C1

•

8

28 C2 •

•

C

5

10 C3

7 35 4

15 C

66

6 C6 C5 1

721 5

C

8

5

54 C

6 20 15 C3 6C 4

C

C

41 4

C

5

735 3

856 3

C3

44 3

C

C

7C1 721 C2

31

C2

510 2

C1

C2

46 2

C

7

1 C0

1C0

44 1

21

33

C1

55

C0

21 C

33

C0

4

C1

C

7

7 C6

70 C4

856 5

828 6

•

•

•

C

C

71

C7

8

8C7 •

8

1C8 •

A ordem que surge do caos

Dados & a Curva de Gauss

“Pode-se prever, mas... não se pode prever!” Jaime Carvalho e Silva

y

Potências de 10

xa

y=

1x 0

No todo está a parte... e... na parte está o todo. O que é o todo e a parte?!...   Somos parte do todo e o todo existe em cada um de nós!...

O

x

Que fazer!

E quando queremos “agarrar” o caos?...

Procuramos Janelas para o Infinito

Fractais

Mundos Fractais

Esfera inicial

1ª iteração

2ª iteração

3ª iteração

10ª iteração

100ª iteração

1000ª iteração

do Zé Pedro 12 A1.3 - 2000/01

Na construção destas imagens foi utilizado um algoritmo simples. Parte-se de uma esfera inicial, e de um vector aleatório com origem no centro da esfera. Determina-se o plano que passa pelo centro da esfera ao qual o vector é perpendicular. Aos pontos de um dos hemisférios divididos pelo plano aumenta-se a distância ao centro num dado valor, e diminuise a mesma aos pontos do hemisfério contrário, no mesmo valor. Repete-se o procedimento com vários vectores aleatórios, até que se obtém uma imagem similar à nº 6.

Terrenos Fractais

Setas – deslocar terreno Teclado numérico – rodar terreno A – Aproximar Q - Afastar

Executar Executar programa programa

A génese de terrenos fractais é muito utilizada no ramo dos videojogos (simuladores de voo, jogos de estratégia, etc...) e do cinema. O algoritmo mais utilizado é o do diamante. Começa-se com uma malha de pontos (no exemplo de 5x5). Aos pontos dos cantos da malha são atribuídos valores aleatórios de altura. Seguidamente, determina-se a altura do ponto central, que é dada pela soma da média dos quatro pontos iniciais com uma componente aleatória. De seguida, determina-se a altura dos pontos médios dos lados da malha, que é dada pela média dos quatro pontos adjacentes aos mesmos, mais um valor aleatório. Surgem então quatro quadrados com um quarto da área do inicial. Repete-se o procedimento para cada um desses quadrados, o que vai originar 16 quadrados com 1/16 da área do quadrado inicial. Se este procedimento for repetido um número elevado de vezes, vamos obter um terreno fractal com detalhe proporcional ao número de vezes que a repetição é efectuada. O resultado final será uma imagem cada vez mais próxima da de um terreno real, gerado pela natureza.

Morreu John Maynard Smith, o cientista que aplicou a matemática à evolução

Investigador britânico foi um dos grandes nomes da síntese entre as ideias de Darwin e a genética moderna. (...) Num artigo publicado na revista “Nature”, intitulado “A lógica da Agressividade Animal”, Maynard Smith e George Price aplicaram uma equação que demonstra, em termos matemáticos, algo que em linguagem comum se pode explicar como um jogo entre duas pessoas em que ambas chegam à conclusão de que têm mais a ganhar se cooperarem, em vez de se traírem mutuamente. in Público 24/4/04

Porque é que devemos ser bons, justos, generosos, entusiastas? Traz-nos alguma vantagem? A única resposta honesta é não. (...) Na nossa época desencantada, que não acredita no inferno e no paraíso, deveremos ser capazes de demonstrar com um raciocínio que é conveniente ser bons, e dar uma demonstração científica disso. disso Mas, não há de facto nenhum cálculo de ganhos e perdas que justifique o sermos bons. «Não se ganha nada com isso». E, então, porque é que deve ser? A única resposta é esta: por dádiva, porque gostamos de alguém, porque queremos fazer o bem ao nosso filho, aos nossos amigos, à nossa cidade, à natureza, a quem vier. Se não existir este «bem-querer» original, livre, imotivado, gratuito, esta dádiva que surge directamente da nossa natureza humana e da nossa liberdade, não poderá existir nenhuma moralidade. moralidade Francesco Alberoni (Sociólogo, professor na Universidade de Milão)

Criámos o Caos?!… Bibliografia:  “Infinito 12” – (Ana Jorge, Conceição Alves, Graziela Fonseca, Judite Barbedo)  “A Experiência Matemática” – Philip J. Davis e Reuben Hersh  Internet  Com a colaboração preciosa do aluno da turma 12 A1.3, José Pedro Ferreira.

Maria José Vaz da Costa

Nuvem Fractal