Or

1、 (1) (2)

機率的定義 Probability Definition 0 ≤ P(A) ≤ 1，for each event A of S. P(S)＝1 (3) For any finite # K of mutually exclusive events defined on S.

 k  k P U Ai  = ∑ P( Ai )  i =1  i =1 (4)

If A1 ， A2 ， A3 ，…，is a denumerable sequence of mutually exclusive events defined on S，then

 ∞  ∞ P U Ai  = ∑ P( Ai )  i =1  i =1 二、p.d.f (Probability density function) (1) To be p.d.f the following condition has to be true. ∞

∫

0

f x ( X ) dx =1

∞

∞

1 0 e −λx dx ＝ λe −λx ( − ) | ∞ 0 ＝ 0+ e ＝1

∞

⇒ ∫0 λe −λx dx ＝ λ∫0

λ

∞

(2) u＝E(X)＝ ∫0 xf x ( x ) d x ＝ ∫0 xλe −λx dx ，let u＝x，dv＝λe-λxdx ⇒ du＝dx，v＝ －e-λx ∞

−λx dx ＝ 0＋0＋〔e-λx( ＝(-xe-λx) | ∞ 0 ＋∫ e 0

−1

λ

)〕 ∞ 0 ＝0＋

1

λ

， u＝

1

λ

利用了部份積分法： ∫udv = uv − ∫vdu (3) σ2＝E(x2)－u2 ＝

∞

∫

0

∞

x 2 f x ( x ) d x －u2 ＝ ∫ x 2 λe −λx dx －u2 0

Let u＝x2，dv＝λe-λxdx ⇒ du＝2xdx，v＝－e-λx ∞

∞

−λx dx －u2 ＝ (0＋0)+2 ∫ xe −λx dx －u2 ＝2 ＝(-x2e-λx) | ∞ 0 ＋ ∫ 2 xe 0 0

2 −1

1

1

＝ σ2 λ λ2 三、擲兩個銅板三次的正反面： Ｓ＝｛HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT｝ X(HHH)＝3， X(HHT)＝2， X(HTH)＝2， X(HTT)＝1， X(THH)＝2， X(THT)＝1， X(TTH)＝1， and X(TTT)＝0 The range space of X is Rx＝｛0，1，2，3｝ ＝

2

＝

Px(X＝0) ＝ X P x

1 3 3 1 ， Px(X＝1) ＝ ， Px(X＝2) ＝ ， Px(X＝3) ＝ 8 8 8 8

0

1

2

3

1 8

3 8

3 8

1 8

1

－ ( )2 λ λ 2

(1) u＝mean ＝ E(x) ＝

∑x

Px ( X i ) ＝0( 1 )＋1( 3 )＋2( 3 )＋3( 1 )＝1.5 8 8 8 8

i

i

2 2 (2) σ2 ＝Variance ＝ E(X2)－u2 ＝ ∑xi Px ( xi ) − u i

＝02(

1 3 3 1 3 +12 + 9 −18 6 3 )＋12( )＋22( )＋32( )－(1.5)2＝ ＝ ＝ 8 8 8 8 8 8 4

(3) σ＝standard deviation＝ σ 2 ＝

3 3 ＝ 4 2

四、擲一對公平的骰子，求它的點數機率(Px 有兩種寫法，請參考 Px(X=3)的寫法) E: Toss a pair of fair dice and observe the outcome in pairs. S: ｛(1，1)…(1，6)，(2，1)…(2，6)… (6，1)，(6，6)｝ Define X＝the sun of the “up” faces. Rx＝｛2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12｝ X｛(1，1)｝＝ 2 ， X｛(1，2)｝＝ 3 ， …，X｛6，6｝＝ 12 Px(X＝2) ＝ Px｛(1，1)｝＝

1 36

Px(X＝3) ＝ Px｛(1，2)，(2，1)｝＝Px｛(1，2)｝＋Px｛(2，1)｝＝ Px(X＝4) ＝Px｛(1，3)，(3，1)，(2，2)｝＝

2 36

3 36

Px(X＝5) ＝Px｛(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)｝＝

4 36

Px(X＝6) ＝Px｛(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)｝＝

5 36

Px(X＝7) ＝Px｛(1，6)，(6，1)，(2，5)，(5，2)，(3，4)，(4，3)｝＝ Px(X＝8) ＝Px｛(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)｝＝ Px(X＝9) ＝Px｛(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)｝＝ Px(X＝10) ＝Px｛(4，6)，(6，4)，(5，5)｝＝ Px(X＝11) ＝Px｛(5，6)，(6，5)｝＝ Px(X＝12) ＝Px｛(6，6)｝＝ (1)

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1 36

Tabular presentation 表格表示法 X 2 3 4 5 6

7

8

9

10

11

12

Px

1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

(2)

Graphical presentation 圖形表示法 或請參考機率分配那頁 p.4 做圖

(3)

Mathematical presentation 數學表示法

X −1  3 6 , if x = 2,3,4,5,6,7 Px(X)＝   1 3− X , if x = 7,8,9,1 0,1 1,1 2  3 6

5 36

4 36

3 36

2 36

1 36