Optimizacion De Emisiones Contaminantes

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica

Informe Investigación Operativa

Autor: Nicolás Bahamonde Profesor: José Ascencio Castillo Fecha de entrega: Martes 19 de junio de 2009

Índice Índice.............................................................................................................. ....2 Introducción....................................................................................................... .3 1 Resolución del problema..................................................................................3 1.1 Definición de variables...............................................................................3 1.2 Función objetivo.........................................................................................3 1.3 Restricciones:.............................................................................................3 2 Informe de Sensibilidad....................................................................................4 2.1 Variables de decisión..................................................................................6 2.2 Sección de Restricciones............................................................................7 3 Conclusiones....................................................................................................9

Introducción En el presente informe se entregará, en forma detallada, el análisis de sensibilidad para un problema de optimización de recursos para la empresa Anglo Copper Co. El cual consiste en la reducción de emisiones anuales de tres tipos principales de contaminantes. Esto se logrará mediante tres métodos de abatimiento que se consideraron los más efectivos, que son 1) aumentar las alturas de las chimeneas 2) usar filtros 3) utilizar mejores combustibles. Se llevó a cabo un análisis para estimar el costo total anual de cada método de abatimiento. Con los antecedentes entregados se solicitó formular y resolver, mediante un modelo de programación lineal, empleando el programa Solver de Excel, para obtener la solución al problema planteado al personal de ingeniería, considerando que el costo anual se determina proporcionalmente.

1 Resolución del problema 1.1 Definición de variables X11: % de tiempo de utilización en un año para reducción de emisiones por una chimenea en la fundición. X12: % de tiempo de utilización en un año para reducción de emisiones por una chimenea en la refinación. X21: % de tiempo de utilización en un año para reducción de emisiones por un sistema de filtros en la fundición. X22: % de tiempo de utilización en un año para reducción de emisiones por un sistema de filtros en la refinación. X31: % de tiempo de utilización en un año para reducción de emisiones por mejores combustibles en la fundición. X32: % de tiempo de utilización en un año para reducción de emisiones por mejores combustibles en la refinación.

1.2 Función objetivo Se trata de obtener una combinación de los tiempos a utilizar cada método de abatimiento al menor costo posible, de ahí la función: Min Z = 10X11+12X12+8X21+6X22+14X31+10X32

1.3 Restricciones: 10X11+ 9X12+25X21+20X22+18X31+20X32 ≥ 80 35X11+40X12+20X21+30X22+50X31+45X32 ≥ 160 35X11+50X12+28X21+24X22+29X31+20X32 ≥ 145 Xij ≥ 0 Xij ≤ 1

1ª restricción: la cantidad de emisión de partículas (en millones de libras anuales) que se puede eliminar de cada tipo de horno usando el método de abatimiento al máximo limite tecnológico. 2ª restricción: la cantidad de emisión de óxidos de azufre (en millones de libras anuales) que se puede eliminar de cada tipo de horno usando el método de abatimiento al máximo limite tecnológico. 3ª restricción: la cantidad de emisión hidrocarburos (en millones de libras anuales) que se puede eliminar de cada tipo de horno usando el método de abatimiento al máximo limite tecnológico. 4ª a la 9ª restricción son los máximos porcentajes de utilización en un año para mejores reducciones empleando los correspondientes métodos de abatimiento. Los resultados entregados por el programa son los siguientes: X11 = 0.92 X12 = 0,86 X21 = 0.92 X22 = 1.0 X31 = 0.0 X32 = 1.0 Min Z = 42,89 costo mínimo anual total, calculado proporcionalmente, que tendría la reducción óptima de las distintas emisiones contaminantes, en millones de dólares. Los costos asociados a cada variable son los siguientes (en millones de dólares): B1=9.17 B2=10.34 B3=7.39 B4=6.0 B5=0.0 B6=10.0

2 Informe de Sensibilidad Este Informe de Sensibilidad aporta información gerencial de particular importancia, la cual se presenta en dos secciones: (1) una sección con información sobre los coeficientes asociados a las variables de decisión y, (2) una sección con información sobre los coeficientes asociados a las restricciones. A continuación se adjunta el informe de sensibilidad entregado por el programa Solver de Excel.

Microsoft Excel 11.0 Informe de sensibilidad

Hoja de cálculo: [pryecto.xls]Hoja1 Informe creado: 07/06/2009 20:30:48 Celdas cambiantes Valor Celda Nombre Igual $A$15 x11 0,916554509

Gradiente reducido 0

$B$15 x12

0,861372813

0

$C$15 x21

0,923283984

0

$D$15 x22 $E$15 x31

1 0

0 1,033647376

$F$15 x32

1

0

Coeficiente Aumento objetivo permisible 10 0,271570014 0,59867549 12 7 7,35135135 8 1 3,08748317 6 6 14 1E+30 1,52086137 10 3

Disminución permisible 0,365577483

Restricción lado derecho 80 160 145 1 1 1 1 1 1

Aumento

Disminución

permisible 1,628571429 0,621242485 1,525925926 1E+30 1E+30 1E+30 0,142068966 1E+30 0,054569536

permisible 3,678571429 1,731092437 0,756097561 0,083445491 0,138627187 0,076716016 0,048973144 1 0,020058234

0,504765035 1,828571429 1E+30 1,033647376 1E+30

Restricciones Valor

Sombra

Celda Nombre Igual precio $I$16 1ª 80 0,086137281 $I$17 2ª 160 0,183041723 $I$18 3ª 145 0,078061911 $I$19 4ª 0,916554509 0 $I$20 5ª 0,861372813 0 $I$21 6ª 0,923283984 0 $I$22 7ª 1 -3,087483176 $I$23 8ª 0 0 $I$24 9ª 1 -1,520861373

2.1 Variables de decisión El presente informe de sensibilidad aporta la información siguiente para cada una de las variables de decisión: (1) valor final en el optimo o valor igual (“Final Value”) de la variable xij ,(2) Gradiente Reducido (“Reduced Cost”) correspondiente, (3) coeficiente cj de la variable de decisión xij en la función objetivo (“Objective Coefficient”), (4) incremento permisible (“Allowable Increase”), (5) decremento permisible (“Allowable Decrease”). En esta sección los costos o gradientes reducidos representan los precios sombra o duales asociado con las restricciones de no negatividad correspondientes a cada una de las variable de decisión. Una manera de interpretar un costo reducido no nulo (zj-cj >0) es la siguiente : el costo reducido asociado a una variable (xi j) de decisión indica en cuanto debe incrementarse el coeficiente correspondiente en la función objetivo (cj) para que el empleo de dicha variable en la solución óptima resulte rentable. Para el problema planteado en el óptimo, las seis variables de decisión, son positivas (x11 = 0.92, x12 = 0.86, x21=0.92, X22 = 1.0,X31 = 0.0, X32 = 1.0), luego la restricción de no negatividad no esta activa (“not binding”) y su Costo Reducido (“gradiente reducido”) es 0. El coeficiente de estas variables en la función objetivo es (c1 = 10, c2 = 12, c3=8, c4=6, c5=14, c6=10).

Que cada variable tenga el valor asignado, implica el porcentaje de utilización en un año, de cada método de abatimiento correspondiente. Esto es; para el cado de la variable x11, que tenga el valor 0.92 significa que dentro de un año, la chimenea, en un horno de fundición, debiera ser usada el 92% del tiempo total del proceso, obteniéndose, de esta manera, un nivel menor de uso para lograr cualquier fracción en las reducciones de las tasas de emisiones. El incremento permitido y el decremento permitido indican los límites del intervalo tolerado para permanecer en la misma solución óptima, para cada uno de los coeficientes c1, c2, c3, c4, c5 y c6. Para cualquier cj su intervalo permitido para permanecer óptimo es el intervalo de valores para el que la solución actual permanezca óptima. Calculando el intervalo permitido para los cj a partir del valor del coeficiente y de la información sobre su Incremento y Decremento permisible entregados por el Solver: (a) en el caso de c1: [10-0.366,10+.272]= [9.63; 10.27] Por lo que este costo tiene un efecto importante en la solución óptima, ya que su rango es “estrecho”. (b) en el caso de c2: [11.50; 12.60] se comporta de manera similar al caso (a) (c) en el caso de c3: [6.17; 15.35] se observa que el rango puede variar ampliamente, no perjudicando significativamente la solución óptima. (d) en el caso de c4: [-infinito; 9.09], el significado de –infinito implica que cualquier intervención externa a la empresa resultaría como un costo negativo para ésta. Es por esto que no tiene mucha influencia en la solución óptima. (e) en el caso de c5: [12.97; infinito] Dado que la variable asociada a este costo no pertenece a la base de la solución optima, ésta solo cambiara si este costo disminuye por debajo de los $12.97 millones, ya que comenzaría a ser solución alternativa y luego formaría parte de la base óptima. Es por eso que el límite superior es infinito. Dado que el costo estimado es de $14 millones, consideramos que afecta medianamente a la solución optima. (f) en el caso de c6: [-infinito; 11.52] es similar al caso (d).

2.2 Sección de Restricciones De manera similar este informe de sensibilidad también aporta la siguiente información para cada una de las restricciones: (1) Valor Final en el Optimo (“Final Value”) de la restricción, (2) Precio Sombra o dual correspondiente, (3) Coeficiente bi de la restricción i (“Constraint Right Hand Side” RHS), (4) Incremento Permitido (“Allowable Increase”), (5) decremento permitido (“Allowable Decrease”). El Precio Sombra para cada una de las restricciones representa el cambio a nivel de la función objetivo como consecuencia de una modificación marginal (de una unidad) del Lado Derecho de las restricciones (el límite de disponibilidad del recurso). Se asume que la solución es óptima y que todos los otros parámetros del problema se mantienen constantes. Los Precios Sombra pueden ser calculados modificando el Lado Derecho de la restricción de una unidad, resolviendo el sistema y luego comparando la diferencia a nivel de la función objetivo Para el problema planteado, el Precio Sombra correspondiente a la 4ª, 5ª,6ª y 8ª Restricción (% de utilización en un año para reducción de emisiones

por una chimenea en la fundición y refinación , % de utilización en un año para reducción de emisiones por un sistema de filtros en la fundición y % de utilización en un año para reducción de emisiones por mejores combustibles en la fundición, respectivamente.) son iguales a 0.0, esto implica que cambios en el límite de estas restricciones no tienen efecto en el Z* hallado, sin embargo el Precio Sombra del las restricciones 1,2 y 3(la cantidad de emisión de partículas, óxidos de azufre e Hidrocarburos (en millones de libras anuales), que se puede eliminar de cada tipo de horno usando el método de abatimiento al máximo limite tecnológico). Es de 0.09, 0.18 y 0.08 respectivamente. Estos pecios duales permanecen constantes solamente al interior de un rango de valores, dentro del cual la restricción continúa estando activa, al que se denomina Intervalo permitido de factibilidad. El intervalo permitido para permanecer factible es el intervalo de valores del coeficiente bi (correspondiente a la restricción i) en el que la solución óptima permanece factible. Estos Intervalos o Rangos pueden ser calculados a partir de la información disponible a nivel del Informe de Sensibilidad: Incremento permitido y Decremento permitido. Así analizando el problema: el Intervalo para seguir factible en el caso de las Restricciones son: Para la 1ª [76.32; 81.63] o sea [80 – 3.68; 80 + 1.63] que implica que la reducción requerida en la tasa de contaminación anual de partículas se conserve entre 76.32 y 81.63 millones de libras. Por el rango de variación, comparado con los otros dos rangos se puede asegurar que esta restricción afecta medianamente nuestra solución optima. 2ª [158.27; 160.62] Dado el rango de 2.35 millones de libras de contaminación anual de Óxidos de azufre, se considera que esta restricción tiene gran incidencia en nuestra solución optima. 3ª [144.24; 146.53] Debido al rango de la reducción requerida en la tasa de contaminación anual de hidrocarburos, de 2.29 millones de libras, se considera que esta restricción tiene gran incidencia en nuestra solución optima. 4ª [0.92; infinito] 5ª [0.86; infinito] 6ª [0.92; infinito] 7ª [0.95; 1.14] 8ª [0.0; infinito] 9ª [0.98; 1.05] Cualquier modificación dentro de este rango, no modifica la naturaleza factible de la solución óptima, si se asume que todos los otros parámetros del modelo permanecen constantes. Fuera de este Rango de valores, se requiere reoptimizar, o sea resolver el problema para determinar el nuevo valor de la función objetivo. Si las modificaciones están al interior del intervalo permitido de factibilidad, se puede predecir el valor de la función de objetivo óptimo mediante la multiplicación del cambio en el lado derecho de la restricción (modificación del límite de la disponibilidad) por su precio dual. Analizando el problema, si se incrementara la cantidad de emisiones de partículas (b1 = 80) en 5 unidades, entonces la función objetivo se incrementaría de 0.09 x 5 = 0.45 unidades. En caso de que se redujera b1 de 1 unidad, entonces la función

objetivo se reduciría de 0.09 x 1 = 0.09 unidades. Donde el múltiplo de valor 0.09 representa el precio dual de la primera restricción. Este mismo análisis se realiza para todas las restricciones. Observar que si la restricción no está activa, su Precio Sombra es 0. Esto se cumplirá siempre, ya que si la solución óptima no emplea toda la disponibilidad de ese recurso, entonces un incremento de la disponibilidad de ese recurso no tendrá ningún efecto, ya que existe un monto de ese mismo recurso en exceso. Este es el caso de las 4ª, 5ª, 6ª y 8ª restricciones cuyos intervalos para seguir factibles se muestran más arriba.

3 Conclusiones La solución óptima al problema significa que la empresa debe invertir un total de 42.89 millones de dólares anuales distribuidos en: 9.27M destinados a la construcción de chimeneas más altas para los hornos de fundición, la cual debe ser utilizada el 92% del tiempo anual de operación;10.34M en a la construcción de chimeneas mas altas en los hornos de refinación, las cuales deben ser utilizadas el 86% del tiempo anual de operación; 7.39M al uso de filtros en las chimeneas de los hornos de fundición los cuales deben ser utilizados el 92% del tiempo anual de operación; 6M al uso de filtros en las chimeneas de los hornos de refinación los cuales deben se usados permanentemente, y 10M al uso de limpiadores de alto grado en los combustibles utilizados en los hornos de refinación los cuales también deben ser utilizados permanentemente. Las variaciones de cada variable y restricción están especificadas en el contenido del presente informe, variando según su incidencia en la variación de la solución óptima.