Optima Si

A. FUNGSI OBJEKTIF Optimasi sangat diperlukan pada tahap tertentu dalam desain proses. Masalah optimisasi dalam desain proses biasanya diperhatikan dengan memaksimalkan atau meminimalkan fungsi tujuan. Fungsi objektif biasanya untuk memaksimalkan potensi ekonomi atau meminimalkan biaya. Contohnya adalah pemanasan. 𝑄𝑅𝐸𝐶 = 𝑚𝐻 × 𝐶𝑃𝐻 × ( 𝑇𝐻𝑖𝑛 − 𝑇𝐻𝑜𝑢𝑡 ) 𝑄𝑅𝐸𝐶 = 𝑚𝐶 × 𝐶𝑃𝐶 × ( 𝑇𝐶𝑖𝑛 − 𝑇𝐶𝑜𝑢𝑡 )

Gambar 3.1 Pemulihan panas dari limbah uap melibatkan pertukaran antara pengurangan biaya energi dan peningkatan biaya modal penukar panas. Gambar 3.1a menggambarkan memanaskan aliran dingin. Misalkan massa mengalir, kapasitas panas dan suhu saluran masuk kedua aliran ditetapkan dan kebutuhan utilitas panas saat ini, unit biaya energi, secara keseluruhan koefisien perpindahan panas, koefisien biaya dan kebutuhan pertahun. Gambar 3.1b menggambarkan pengoptimalan jumlah energi pertahun dan total biaya. Jika massa mengalir dari aliran dingin melalui Penukar belum diperbaiki, pasti ada satu atau lebih kendala kesetaraan, dan ini akan memberikan tingkat kebebasan tambahan dan optimasi akan menjadi optimasi dua dimensi. Setiap derajat kebebasan memberikan peluang untuk optimalisasi. Gambar 3.1b menggambarkan bagaimana investasi dalam panas penukar dioptimalkan. Seperti jumlah panas yang dipulihkan meningkat, biaya energi untuk sistem berkurang. Di sisi lain, ukuran dan biaya modal dari panas Pertukaran peralatan meningkat. Peningkatan ukuran penukar panas dihasilkan dari jumlah panas yang ditransfer lebih besar. Secara teori, jika pemulihan diambil ke batas nol perbedaan suhu, penukar panas yang sangat besar dengan biaya modal yang jauh lebih besar akan dibutuhkan. Biaya energi dan biaya modal dapat dinyatakan pertahun, sebagaimana dijelaskan dalam Bab 2, dan digabungkan dan ditunjukkan pada Gambar 3.1b untuk mendapatkan total biaya. Jumlah seluruhnya biaya menunjukkan minimum, menunjukkan ukuran optimal penukar panas.

Diberikan model matematika untuk fungsi objektif di Gambar 3.1 (b), untuk menemukan titik minimum harus mudah dan berbagai strategi dapat digunakan untuk tujuan ini

Gambar 3.2 . Fungsi obyektif dapat menunjukkan perilaku yang kompleks Fungsi obyektif adalah kontinu, fungsi ini hanya dengan satu titik ekstrim yaitu maksimum atau minimum disebut unimodal. Sebaliknya, pertimbangkan fungsi obyektif pada Gambar 3.2. Gambar 3.2 (a) menunjukkan suatu tujuan fungsi yang harus diminimalkan yaitu diskontinyu. Jika mencari minimum dimulai pada titik x1, dapat dengan mudah disimpulkan bahwa titik optimal adalah pada x2, sedangkan optimum sebenarnya adalah pada x3. Gambar 3.2 (b) menunjukkan fungsi objektif yang memiliki sejumlah titik di mana gradiennya nol. Titik-titik di mana gradien nol dikenal sebagai stasioner poin. Fungsi yang menunjukkan sejumlah titik stasioner adalah dikenal sebagai multimodal. Jika fungsi pada Gambar 3.2 (b) menjadi diminimalkan, ia memiliki optimal lokal di x2. Jika pencarian dimulai pada x1, dapat disimpulkan bahwa global optimum adalah pada x2. Namun, global optimal adalah pada x3. Gradien adalah nol pada x4, yang merupakan titik pelana.

Gambar 3.3 Fungsi cembung dan cekung Gambar 3.3 (a) menunjukkan fungsi yang harus diminimalkan. jika ditarik garis lurus antara dua titik fungsi, maka fungsinya adalah cembung jika semua nilai ini garis terletak di atas kurva. Demikian pula, jika fungsi obyektif adalah untuk dimaksimalkan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.3 (b), dan garis lurus ditarik antara dua titik pada fungsi, maka jika semua nilai pada baris ini terletak di bawah kurva, fungsi tersebut cekung.

Gambar 3.4 Plot kontur dari fungsi multimodal yang akan diminimalkan Fungsi obyektif pada Gambar 3.4 bersifat multimoda, melibatkan lokal optimal dan global optimal. Fungsi Objektif pada Gambar 3.4 adalah tidak cembung. Garis lurus tidak bisa ditarik antara dua titik di permukaan yang diwakili oleh kontur untuk memastikan bahwa semua titik pada garis lurus ada di bawah permukaan. B. OPTIMASI VARIABEL TUNGGAL Optimasi Variabel Tunggal digunakan untuk mencari yang optimal (minimum) untuk fungsi objektif. Contoh metode untuk pencarian variabel tunggal adalah penghapusan wilayah. Fungsinya diasumsikan unimodal. Contohnya terdapat pada gambar berikut:

Optimasi lokasi ditunjukkan pada gambar diatas dengan dilakukan pendekatan berupa angka 0 sampai 1 dianggap sebagai batas. Kemudian dibagi menjadi empat interval yang sama dan untuk mengevaluasi di kedua batas dan titik internal. Gambar (a) belum bisa ditentukan dengan pasti di mana inti minimumnya. Namun, jika fungsinya dianggap unimodal, maka titik minimum harus terletak di antara 0 dan x2. Pada gambar (b) titik minimum adalah di x2. Dalam hal ini, karena fungsinya dianggap unimodal, titik minimum harus berada di antara x1 dan x3, dengan daerah antara 0 dan x1 dan antara x3 dan 1 dihilangkan. Gambar (c) nilai minimum terletak pada x3. Pada kasus ini, wilayah antara 0 dan x2 dapat dihilangkan. Dalam menentukan lokasi yang optimal diidentifikasi setelah wilayah tersebut dipersempit ke dalam batasan toleransi yang diinginkan. C. OPTIMASI MULTIVARIABEL Metode pencarian yang digunakan untuk optimisasi multivariabel dapat diklasifikasikan sebagai deterministik dan stokastik. Metode deterministik berikut ini mengikuti metode pencarian yang sudah ditentukan dan tidak melibatkan langkah acak apa

pun. Di sisi lain, metode pencarian stokastik menggunakan pilihan acak untuk memandu pencarian. Metode pencarian stokastik menghasilkan jalur acak ke solusi berdasarkan probabilitas. 1. Metode deterministik Metode deterministik lebih lanjut diklasifikasikan ke dalam metode pencarian langsung dan tidak langsung. Metode pencarian langsung tidak memerlukan turunan (gradien) dari fungsi. Metode tidak langsung menggunakan turunan, meskipun turunannya mungkin diperoleh secara numerik daripada analitik. a. Metode pencarian langsung Contoh metode pencarian langsung adalah pencarian univariat, seperti yang diilustrasikan pada Gambar 3.8. Semua variabel kecuali satu adalah tetap dan variabel sisanya dioptimalkan. Setelah titik minimum atau maksimum telah tercapai, variabel ini akan diperbaiki dan dioptimalkan untuk lainnya, dengan variabel yang tersisa akan diperbaiki. Analisis ini diulang sampai tidak ada peningkatan lebih lanjut dalam fungsi objektif. Sangat mudah untuk melihat bahwa jika titik awal untuk pencarian pada Gambar 3.8 memiliki nilai x1 yang lebih rendah, maka pencarian akan menemukan optimum lokal, daripada global optimum. Untuk mencari masalah optimisasi multivariabel, seringkali satu-satunya cara untuk memastikan bahwa optimum global telah tercapai adalah memulai optimasi dari titik awal yang berbeda.

b. Metode pencarian tidak langsung Metode pencarian tidak langsung menggunakan turunan (gradien) dari fungsi tujuan. Derivatif dapat diperoleh secara analitik atau numerik. Banyak metode tersedia untuk pencarian tidak langsung. Contohnya adalah metode keturunan paling curam dalam masalah minimisasi. Arah penurunan paling curam adalah arah pencarian yang memberikan tingkat perubahan maksimum untuk fungsi objektif dari titik saat ini. Satu masalah dengan metode pencarian ini adalah bahwa ukuran langkah yang sesuai tidak diketahui dan ini dalam keadaan ketika gradien mungkin berubah secara signifikan selama pencarian. Masalah lain adalah bahwa pencarian dapat melambat secara signifikan saat mencapai titik optimal. Jika pencarian dilakukan untuk maksimum dalam fungsi objektif, maka pencarian analog adalah salah satu pendakian paling curam. Salah satu kesulitan praktis mendasar dengan kedua metode pencarian langsung dan tidak langsung adalah bahwa, tergantung pada bentuk ruang solusi, pencarian dapat menemukan optima lokal, lebih baik daripada globaloptimum. poin awal yang berbeda dan ulangi prosesnya.

2. Metode pencarian stokastik Dalam semua metode optimisasi yang dibahas sejauh ini, algoritma mencari fungsi tujuan mencari untuk meningkatkan fungsi tujuan pada setiap langkah, dengan menggunakan informasi seperti gradien. Sayangnya, asal sudah dicatat, proses ini dapat berarti bahwa penelitian ini diminati untuk menjalankan optimal. Di sisi lain, metode pencarian stokastik menggunakan pilihan acak untuk memandu pencarian dan dapat memungkinkan penurunan fungsi tujuan selama pencarian. Penting untuk mengetahui bahwa pencarian acak tidak berarti pencarian tanpa arah. Metode pencarian stokastik menghasilkan jalur acak ke solusi berdasarkan probabilitas. Peningkatan fungsi tujuan menjadi tujuan utama daripada tujuan langsung, dan beberapa penurunan fungsi tujuan ditoleransi, terutama selama tahap awal pencarian. Dalam mencari minimum dalam fungsi obyektif, alih-alih penelitian ini selalu mencoba menaiki bukit, metode pencarian stokastik memungkinkan pencarian juga terkadang naik. Demikian pula, jika fungsi obyektif ingin dimaksimalkan, metode pencarian stokastik memungkinkan pencarian untuk terkadang menurun. Ini membantu mengurangi masalah terjebak dalam optimal lokal. Metode pencarian stokastik tidak memerlukan informasi tambahan, seperti informasi derivatif, inordertoprogress. Mereka hanya memerlukan fungsi objektif untuk penelitian. Ini adalah metode pencarian stokastik yang dapat menangani masalah dalam perhitungan yang turunannya akan kompleks dan menyebabkan metode deterministik gagal. Dua metode pencarian stokastik yang paling populer adalah simulasi annealing dan algoritma genetika.  Simulasi annealing Simulated annealing mengemulasi proses fisik anil dari logam (Metropolis et al., 1953; Kirkpatrick, GelattandVecchi, 1983). Proses fisik, pada suhu tinggi, molekul-molekul logam cair bergerak dengan hati-hati, tanpa memperhatikan orang lain. Jika cumi-cumi didinginkan perlahan, mobilitas termal hilang. Atom-atom tersebut dapat melepaskan diri dari kristal yang sempurna dan sempurna. Kristal ini merupakan salah satu dari sistem energi minimum. Jika logam cair didinginkan dengan cepat, ia tidak akan mengetahui apakah ini berakhir pada polikristalin atau keadaan amorf yang memiliki energi lebih tinggi. Oleh karena itu esensi dari proses ini adalah pendinginan yang lambat, yang memungkinkan pendistribusian yang berlebihan dari kehilangan karena mereka kehilangan mobilitas untuk mencapai keadaan energi minimum. Dengan mengingat proses fisik ini, suatu algoritma dapat disarankan di mana suatu sistem bergerak dari satu titik ke titik lainnya. Suatu gerakan mungkin merupakan perubahan suhu, tekanan, aliran, dll, dalam masalah. Aturan harus ditentukan untuk membuat gerakan, misalnya ukuran perubahan langkah suhu. Bergerak tersebut kemudian dipilih secara acak. Jika fungsi tujuan dari iterasi i ke (i + 1) berubah dari Ei ke Ei + 1 dan fungsi tujuan harus diminimalkan, maka gerakan di mana (Ei + 1 Ei) negatif (yaitu fungsi obyektif membaik) adalah diterima. Jika (Ei + 1 Ei) positif, fungsi objektif memburuk, tetapi ini tidak berarti bahwa langkah tersebut akan ditolak. Probabilitas menerima perubahan di mana fungsi objektif memburuk dapat diasumsikan mengikuti hubungan similartothe distribusi kemungkinan Boltzmann, mempertahankan analogi dengan anil fisik (Metropolis et al., 1953) Persamaan 3.9 Di mana P adalah kemampuan, E adalah fungsi obyektif (analogi energi) dan T adalah parameter kontrol (analogi suhu pengatur). Untuk menentukan apakah perpindahan diterima atau tidak sesuai dengan Persamaan 3.9, generator angka acak menciptakan angka acak antara nol dan kesatuan. Jika Persamaan 3.9 memprediksi probabilitas yang lebih besar dari

generator angka acak, maka mereka akan diterima. Tanpa ragu, kemudian mereka ditolak dan ada langkah lain yang dicoba sebagai gantinya. Jelas dari Persamaan 3.9 bahwa ketika T adalah nilai yang besar, hampir semua modifikasi sistem harus diterima. Ketika T mendekati nol, hampir semua modifikasi yang menghasilkan (Ei + 1 Ei)> 0 ditolak. Dengan demikian, Persamaan 3.9 menentukan apakah suatu langkah diterima atau ditolak. Dengan cara ini, metode akan selalu menerima langkah menurun ketika meminimalkan fungsi tujuan, sementara kadang-kadang akan mengambil langkah menanjak. Algoritme dimulai dengan nilai T yang tinggi, memungkinkan probabilitas gerakan yang tinggi untuk diterima yang menyebabkan penurunan fungsi tujuan. Nilai T berkurang secara bertahap saat pencarian berlangsung. Pada nilai berapa pun T serangkaian gerakan acak dibuat yang merupakan rantai Markov. Dalam rantai Markov, algoritma bergerak dari satu keadaan ke keadaan lain dalam cara yang mirip rantai dalam proses acak di mana keadaan selanjutnya hanya bergantung pada keadaan saat ini dan bukan pada masa lalu.  Algoritma genetika Algoritma genetika menarik inspirasi mereka dari evolusi biologis (Goldberg, 1989). Tidak seperti semua metode optimasi yang dibahas sejauh ini, yang bergerak dari satu titik ke titik lain, suatu algoritma genetika bergerak dari satu set poin (disebut populasi) ke set poin yang lain. mewakili seperangkat parameter yang mendasarinya (misalnya suhu, tekanan atau konsentrasi). Algoritma genetika sederhana mengeksploitasi operator dasar: reproduksi (seleksi), crossover dan mutasi. Reproduksi atau seleksi adalah proses di mana anggota individu dari suatu populasi disalin sesuai dengan nilai fungsi tujuan untuk menghasilkan kumpulan populasi baru. Operator terinspirasi oleh "seleksi alam" dan "kelangsungan hidup yang terbaik". Cara termudah untuk memahami seleksi adalah membuat analogi dengan roda roulette. Dalam roda roulette, probabilitas pemilihan proporsional terhadap kasus di banyak roda. Algoritma genetik, kemampuan pemilihan pemilih adalah proporsional dengan kecocokan (fungsi objektif). Meskipun prosedur seleksi bersifat stokastik, kromosom yang lebih halus (dengan nilai fungsi objektif yang lebih baik) diberi peluang seleksi yang lebih baik (survival). Operator seleksi dapat diimplementasikan dalam algoritma genetika dalam banyak cara (Goldberg, 1989). Crossover melibatkan kombinasi bahan genetik dari dua orang tua yang sukses untuk membentuk dua anak (anak-anak). Crossover terlibat memotong kromosom woparent pada titik acak dan menggabungkannya secara berbeda untuk membentuk keturunan baru. Titik silang dihasilkan secara acak. Properti Perkebunan yang tersebar luas di antara populasi. Fraksi populasi baru yang dihasilkan oleh crossover umumnya besar (seperti yang diamati di alam) dan dikendalikan secara stokastik. Operator crossover dapat diimplementasikan dalam algoritma genetika dalam banyak cara (Goldberg, 1989). Mutasi menciptakan kromosom baru dengan mengubah secara acak (bermutasi) bagian-bagian kromosom, tetapi (seperti halnya alam) dengan kemungkinan rendah terjadi. Perubahan acak dilakukan pada salah satu gen untuk melestarikan keanekaragaman. Mutasi menciptakan solusi baru di sekitar titik mengalami mutasi. Namun, probabilitas mutasi biasanya ditetapkan rendah. Jika probabilitas mutasi ditetapkan terlalu tinggi, pencarian akan berubah menjadi pencarian acak primitif. Dengan demikian, suatu algoritma genetika bekerja dengan pertama-tama menghasilkan populasi awal secara acak. Populasi dievaluasi sesuai dengan kesesuaiannya (nilai fungsi objektif). Pilihan untukmelakukanpenyusutanpenyedian dalam populasi anak dengan menggunakanpilihan elastiktetapimenyediakanuntukmenyelamatkantesttest. Uji coba dan operator migrasi harusdilakukan pada populasi perantara untuk menciptakan generasi

populasi yang baru. Populasi baru dievaluasi sesuai dengan keabsahannya dan penelitiannya dihentikan dengan pemilihan, crossover dan mutasi sampai populasi memenuhi kriteria konvergensi yang diperlukan (mis. Jumlah generasi maksimum atau perbedaan antara nilai rata-rata dan maksimum). Pertimbangkan contoh fungsi (x, y) untuk yang x dan y harus dimanipulasi untuk meminimalkan fungsi, tunduk pada 0,5 x 7,5 dan 20,3 y 80,0. Nilai x dan y dapat dinormalisasi sehingga 0 x 1 dan 0 y 1; misalnya, untuk, katakanlah, (x, y) = (3,2,52.8). Normalisasi pemberian kita x = (3,2 0,5) / (7,5 0,5) = 0,3857 dan y = (52,8 20,3) / (80,0 20,3) = 0,5444. Dua nilai yang dinormalisasi kemudian dapat dikodekan sebagai gen [3857] dan [5444] ke dalam kromosom sebagai {38575444}. Kromosom ini menyandikan (x, y) = (3.2,52.8). Teknologi genetik dimulai dengan membuat populasi awal yang dihasilkan secara acak, misalnya {27066372}, {83876194}, {48473693}, dan sebagainya. Meskipun populasi awal ini biasanya dihasilkan secara acak, kromosom dapat disaring, mewakili nilai yang tidak dapat diperbaiki. Di sisi lain, nilai-nilai dapat dipaksa untuk dimasukkan dalam kromosom. Populasi awal ini kemudian diurutkan berdasarkan tingkat fungsinya (x, y). Fitchromosom, yang dengan demikian berarti memiliki nilai fungsi objektif yang rendah, dapat dipilih untuk reproduksi dengan menyalin ke generasi berikutnya sesuai dengan, misalnya, jika ada kesalahan pendekatan. crossover yang mencoba untuk menggabungkan bagian-bagian dari individu yang baik untuk mungkin membuat individu yang lebih baik. Perkenalan lintas budaya sepanjang kromosom dapat dipilih dengan cara yang berbeda. Misalnya, dua kromosom {27 | 0663 | 72} dan {48 | 4736 | 93} canbesubjecttocrossover untuk memberikan {27 | 4736 | 72} dan {48 | 0663 | 93}. Keturunan dari kedua orang tua ini diterjemahkan, dievaluasi dan mungkin diizinkan masuk ke generasi berikutnya. Mutasi mengubah satu atau lebih nilai dalam kromosom dari keadaan awalnya dan membantu mencegah populasi stagnan pada optimal lokal. Misalnya, mutasi kromosom {270 | 6 | 6372} mungkin ke {270 | 9 | 6372}. Setelah mutasi, kromosom didekodekan, dievaluasi dan mungkin diizinkan untuk generasi berikutnya. Algoritma genetika mencari sejumlah generasi tertentu untuk meningkatkan populasi. Kekuatan utama dari penelitian ini adalah metoda untuk dipelajari dapat mengatasi masalah optimasi yang paling sulit dengan tinggi probabilitas menemukan solusi di wilayah global optimal. Keuntungan utama lainnya adalah, jika ruang solusi sangat tidak teratur, mereka dapat menghasilkan berbagai solusi Menutup kinerja optimal, bukan titik optimal optimal. Ini membuka berbagai solusi untuk perancang, daripada hanya memiliki satu opsi. Namun, ada juga yang signifikan kerugian dengan metode optimasi pencarian stokastik. Mereka bisa sangat lambat dalam melakukan konvergensi. Berbagai operasi inthestochasticsearchmethodsrequireparameterstobeset.The nilai yang paling tepat untuk parameter ini bervariasi di antaranya kelas masalah yang berbeda dan biasanya perlu disesuaikan memecahkan masalah tertentu. Ini berarti bahwa metode perlu menyesuaikan agar sesuai dengan aplikasi yang berbeda. D. OPTIMASI TERBATAS Bentuk umum dari masalah optimasi melibatkan tiga elemen dasar: 1. Fungsi obyektif yang akan dioptimalkan (meminimalkan total biaya, memaksimalkan potensi ekonomi, dll.). 2. Kendala kesetaraan, yang merupakan persamaan yang menggambarkan model proses atau peralatan.

3. Ketidaksetaraan kendala, menyatakan batas minimum atau maksimum pada berbagai parameter. Ketiga elemen masalah optimasi umum dapat diekspresikan secara matematis sebagai berikut: f (x1, x2,......,xn) hi(x1, x2,......,xn) = 0 (i = 1, p) gi(x1, x2,......,xn) ≥ 0 (i = 1,q) Dalam hal ini, ada n variabel desain, dengan p kendala kesetaraan dan q kendala ketimpangan. Keberadaan kendala seperti itu dapat menyederhanakan masalah optimisasi oleh mengurangi ukuran masalah yang akan dicari atau dihindari daerah bermasalah dari fungsi tujuan. Secara umum, keberadaan kendala mempersulit masalah relatif terhadap masalah tanpa kendala.

Gambar 3.10a menunjukkan daerah cembung. Di daerah cembung, garis lurus dapat ditarik di antara dua titik A dan B terletak di dalam daerah yang layak dan semua titik pada garis lurus ini juga akan berada dalam daerah yang layak. Gambar 3.10b menunjukkan daerah bukan. Kali ini ketika garis lurus ditarik di antara dua titik A dan B terletak di kawasan itu, beberapa di antaranya poin pada garis lurus bisa jatuh di luar yang layak wilayah. Gambar 3.10c menunjukkan daerah yang dibatasi oleh seperangkat kendala ketimpangan linear. Wilayah ditunjukkan dalam Gambar 3.10c adalah cembung. Tetapi perlu dicatat bahwa kendala ketidaksetaraan linear akan selalu memberikan daerah cembung. Gambar 3.11a menunjukkan diagram kontur yang memiliki kendala ketimpangan yang dipaksakan. Wilayah yang layak adalah cembung dan algoritma pencarian yang tepat harus bisa untuk menemukan optimum yang tidak dibatasi. Pada optimal tidak ada kendala yang aktif. Gambar 3.11b. Dalam hal ini, wilayah tersebut juga cembung, tetapi optimum tidak dibatasi terletak di luar wilayah yang layak. Kali ini, titik optimal aktif tepi wilayah yang layak dan salah satu kendala aktif. Ketika kendala ketimpangan terpenuhi, seperti pada Gambar 3.11b, itu menjadi kendala kesetaraan. Gambar 3.11c menggambarkan potensi masalah memiliki daerah bukan cembung. Jika pencarian dimulai di sebelah kanan bagian dari diagram pada nilai tinggi x1, maka kemungkinan besar bahwa pencarian akan menemukan global optimal. Namun, jika pencarian dimulai di sebelah kiri diagram di bawah nilai x1, kemungkinan pencarian akan menemukan lokal optimal. Perlu dicatat bahwa tidak cukup hanya memiliki wilayah cembung untuk memastikan bahwa pencarian dapat ditemukan optimal global. Fungsi objektif juga harus cembung jika ingin diminimalkan atau cekung jika mau dimaksimalkan. Perlu dicatat juga bahwa optimisasi stokastik metode yang dijelaskan sebelumnya mudah disesuaikan dimasukkannya kendala. jika gerakan yang disarankan secara acak mengambil solusinya di luar wilayah yang layak, maka algoritma bisa dibatasi untuk mencegah ini dengan hanya mengatur probabilitas dari pindah ke 0. E. PEMROGRAMAN LINEAR Merupakan jenis pemecahan permasalahan pada optimisasi terbatas, pada equality constrained dan inequality constrained dijadikan fungsi linear. Sebagai contoh jika terdapat dua variabel yaitu X1 dan X2 maka fungsi dinyatakan : 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑎𝑜 + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 Dimana 𝑎𝑜 , 𝑎1 , 𝑎2 adalah konstanta, cara penggunaannya adalah pertama mengubah inequalty constaint menjadi equal menggunakan variabel variabel yang diketahui, Lalu persamaan diselelsaikan sehingga mendapatkan nilai awal solusi yang memungkinkan. Setelah itu mencari titik ekstrem, tidak diperlukan untuk mencari semua titik ekstrim dalam mencari nilai optimum. Solusi yang dapat dilakukan dengan simple logarithm. Jika pemograman

linear tidak terbentuk maka itu tidak memiliki penyelasaian. Pemograman linear tersebut disebut degenerate seperti pada grafik dibawah

F. NONLINEAR PROGRAMMING Ketika fungsi objektif, persamaan atau ketidaksamaan dari persamaan 3.7 tidak linear, optimasi menjadi pemrograman nonlinear (NLP). Kasus terburuk adalah ketiga-tiganya nonlinear. Metode langsung dan tidak langsung yang dapat digunakan untuk optimasi nonlinear sebelumnya telah dibahas. Metode stokastik yang dibahas sebelumnya dapat dengan mudah menangani kendala dengan membatasi perpindahan ke solusi yang tidak layak, misalnya dalam simulasi anil dengan pengaturan probabilitasnya menjadi 0. Telah diamati pada Gambar 3.11 bahwa, tidak seperti masalah optimasi linear, untuk optimasi nonlinier masalah yang optimal mungkin atau mungkin tidak terletak di tepi wilayah yang pantas. Salah satu pendekatan yang telah diadopsi untuk menyelesaikan masalah pemrograman nonlinier umum berturut-turut pemrograman linier. Linier pemrograman kemudian diterapkan untuk menyelesaikan masalah. Metode lain untuk memecahkan pemrograman nonlinear masalah didasarkan pada pemrograman kuadratik (QP) Pemrograman quadratic adalah prosedur optimasi itu meminimalkan fungsi tujuan kuadratik tunduk linear ketidaksetaraan atau persamaan (atau kedua jenis) kendala. Untuk contoh, fungsi kuadrat dari dua variabel x1 dan x2 akan dari bentuk umum: f (x1, x2) = a0 + a1x1 + a2x2 + a11x12 + a22x22 + a12x1x2 di mana aij adalah konstan. Masalah pemrograman kuadratik adalah bentuk paling sederhana dari pemrograman nonlinear dengan kendala ketimpangan. Untuk suatu fungsi dari dua variabel, fungsi akan didekati dengan Persamaan 3.25. Dengan mendekati fungsi sebagai a kuadrat dan linierisasi kendala, ini berbentuk dari masalah pemrograman kuadratik yang diselesaikan di masing-masing iterasi1. Secara umum, pemrograman kuadratik berturut-turut cenderung berkinerja lebih baik daripada pemrograman linier berturut-turut, karena kuadrat daripada perkiraan linier digunakan untuk fungsi objektif.

Penting untuk dicatat bahwa baik linier berturut-turut maupun pemrograman kuadratik berturut-turut dijamin untuk ditemukan optimal global dalam pemrograman nonlinier umum masalah. Saat menggunakan metode ini untuk nonlinier umum masalah pemrograman, penting untuk mengenali ini dan untuk menguji optimalitas solusi dengan memulai optimasi dari berbagai kondisi awal. G. OPTIMASI PROFIL Ada banyak situasi dalam desain proses ketika perlu untuk mengoptimalkan profil. Misalnya, desain reactor mungkin melibatkan katalis padat yang dikemas ke dalam tabung dengan menghilangkan panas melalui pendingin di bagian luar tabung. Algoritma generator profil dapat dikembangkan untuk menghasilkan berbagai jenis kurva yang kontinyu berfungsi melalui ruang atau waktu. Salah satu caranya adalah dengan mengeksploitasi dua profil berbeda untuk menghasilkan berbagai bentuk.

Dalam merumuskan profil, penekanan harus diberikan mencari profil yang berkelanjutan dan mudah diimplementasikan dalam praktik. Karena itu, kurva itu termasuk serius diskontinuitas biasanya harus dihindari. Tidak ada artinya untuk memiliki solusi optimal global dengan profil yang kompleks dan praktis tidak dapat direalisasi. H. STRUKTURAL OPTIMASI 1. Mixed Integer Linear Programming. Struktural maupun optimasi parameter harus dilakukan dan dibatasi pada parameter optimasi. Metode yang dibahas untuk pemrograman linier dan nonlinier dapat diadaptasi untuk menangani optimasi struktural oleh memperkenalkan variabel integer (biner) yang mengidentifikasi apakah fitur ada atau tidak. Jika terdapat fitur, variabel binernya mengambil nilai 1. Jika fitur tidak ada, maka diatur ke 0. Pertimbangkan bagaimana berbagai jenis keputusan dapat dibuat dirumuskan menggunakan variabel-variabel biner. a) Batasan pilihan berganda

Diminta untuk memilih hanya dari satu opsi,secara matematis di mana yj adalah variabel biner yang akan ditetapkan ke 0 atau 1 dan jumlah opsi adalah J. Secara umum, mungkin diperlukan untuk memilih hanya item m dari sejumlah opsi: 𝐽

∑ 𝑦𝑗 = 𝑚 𝑗=1

Atau, mungkin diperlukan untuk memilih paling banyak item dari sejumlah opsi, dalam hal ini batasan dapat diwakili oleh: 𝐽

∑ 𝑦𝑗 ≥ 𝑚 𝑗=1

Di sisi lain, mungkin diperlukan untuk memilih setidaknya m item dari sejumlah opsi. Batasannya dapat ditulis dengan : 𝐽

∑ 𝑦𝑗 ≤ 𝑚 𝑗=1

b. Batasan implikasi. Tipe lain dari batasan logis mungkin jika Item k dipilih, Item j harus dipilih, tetapi tidak sebaliknya, maka ini diwakili oleh batasan : - yk − yj ≤ 0 Variabel biner dapat digunakan untuk mengatur variabel kontinu ke 0. Jika variabel biner y adalah 0, kontinu yang terkait variabel x juga harus 0 jika batasan diterapkan seperti itu maka : -

x - Uy ≤ 0, x≥ 0

c. Batasan yang lain Variabel biner juga bisa diterapkan dengan batasan lain yang dikenal sebagai batasan disjungtif. Misalnya, batasan g1 (x) ≤ 0 atau batasan g2 (x) ≤ 0 memiliki batasan: - g1 (x) - My ≤ 0 - g2 (x) - M (1 - y) ≤ 0 di mana M adalah nilai besar (arbitrer) yang mewakili suatu batas atas g1 (x) dan g2 (x).

Relax solusi LP ini berguna dalam memberikan batas bawah ke solusi integer campuran sebenarnya untuk masalah minimisasi. Untuk masalah maksimalisasi, Relax solusi LP membentuk batas atas ke solusi. Nilai-nilai noninteger kemudian dapat diatur ke 0 atau 1 dan solusi LP diulang. Pengaturan variabel biner menjadi 0 atau 1 menciptakan ruang solusi dalam bentuk pohon, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.15.

Untuk masalah maksimalisasi, relax solusi LP terbaik membentuk batas atas ke optimal dan solusi integer campuran sejati terbaik memberikan batas bawah. Metode yang paling populer dalam memecahkan masalah MILP adalah dengan menggunakan pencarian cabang dan terikat. Dengan demikian, solusi dari masalah MILP dimulai dengan memecahkan masalah relax LP pertama. Jika nilai integer diperoleh untuk variabel biner, masalahnya telah dipecahkan. Namun, jika nilai bilangan bulat tidak diperoleh, penggunaan batas diperiksa untuk menghindari bagian dari pohon yang diketahui suboptimal. Rangkaian solusi LP yang diperlukan untuk masalah MILP dapat diselesaikan secara efisien dengan menggunakan satu LP untuk menginisialisasi yang berikutnya. 2. Pemrograman Nonlinier Integer Campuran. Strategi umum untuk memecahkan masalah pemrograman integer campuran nonlinier mirip dengan masalah linier. Perbedaan utama adalah bahwa setiap node memerlukan solusi dari program nonlinier, bukan solusi dari program linier. Kekurangan dari pemrograman ini adalah mencari pohon dengan suksesi optimasi nonlinier bisa sangat mahal dalam hal waktu perhitungan yang diperlukan, karena informasi tidak dapat dengan mudah dibawa dari satu NLP ke yang berikutnya dan serangkaian optimasi nonlinier sedang dilakukan, tidak ada jaminan bahwa optimum bahkan akan mendekati optimal global, kecuali masalah NLP diselesaikan pada setiap node adalah cembung. Tentu saja, poin awal yang berbeda dapat dicoba untuk menyelesaikan masalah ini, tetapi masih belum ada jaminan optimalitas global untuk masalah umum. Cara lain untuk mengatasi masalah nonlinier adalah pertama perkirakan solusi menjadi linier dan terapkan MILP, lalu terapkan NLP untuk masalah tersebut. Metode ini kemudian beralih di antara MILP dan NLP. Untuk beberapa bentuk ekspresi matematis nonlinier, metode optimasi deterministik dapat dirancang untuk menemukan optimum global melalui penerapan transformasi matematika dan teknik penjilidan. 3) Optimalisasi Pencarian Stochastic. Optimasi pencarian stokastik dapat sangat efektif untuk optimasi struktural jika karakterisasi bersifat nonlinear. Pendekatan evolusi ini cocok untuk optimasi pencarian stokastik. Karena optimasi pencarian stokastik memungkinkan beberapa penurunan fungsi tujuan, itu tidak rentan terjebak oleh optimum lokal seperti MINLP. Namun, ketika mengoptimalkan masalah yang melibatkan variabel kontinu (mis. Suhu dan tekanan) dan perubahan struktural, algoritme optimisasi pencarian stokastik mengambil langkah-langkah tak terbatas untuk variabel kontinu dan tidak harus menemukan nilai pasti untuk pengaturan

optimal. Karena itu, metode deterministik (mis. SQP) dapat diterapkan setelah optimasi pencarian stokastik untuk menemukan jawabannya. I. MENCARI SOLUSI PERSAMAAN MENGGUNAKAN OPTIMASI Optimasi sangat memudahkan proses pemecahan satu atau banyak masalah. Pencarian akar atau pemecahan masalah adalah kasus spesial untuk optimasi, dimana tujuannya adalah untuk mencapai nilai 0. Contoh permasalahan, jika terdapat soal untuk memecahkan fungsi f(x) untuk nilai x yang memenuhi f(x) = a, dimana a merupakan konstanta. Seperti diilustrasikan dalam gambar 3.17a, Permasalahan ini diselesaikan dengan f (x) – a = 0 Tujuan optimasi adalah untuk memenuhi konstrain yang diberikan pada persamaan 3.34 dengan nilai seoptimal mungkin.Terdapat beberapa cara untuk menspesifikkan optimasi dalam kasus ini. (i) (ii) (iii)

minimize [f (x)-a] minimize [f (x)-a]2 minimize (S1 +S2) Untuk persamaan f(x)-a +S1 – S2 = 0 S1 , S2 ≥ 0 Dimana S1 dan S2 merupakan variabel slack. Tujuan tujuan tersebut baik untuk digunakan tergantung dari algoritma optimasi yang digunakan, titik awal permasalahan. Contoh, meminimalisasi tujuan (i) pada persamaan 3.35 dapat menyebabkan masalah pada metode optimasi karena gradien menjadi diskontinyu. Namun, masalah dapat ditransformasi agar fungsi tujuan optimasi tidak mempunyai diskontinuitas pada gradiennya. transformasi tujuan yang memungkinkan adalah tujuan (ii) pada persamaan 3.36, seperti gambar 3.17 c

Ini menjadi gradien kontinu. Namun, masalah mendasar penggunaan transformasi ada persamaan 3.6 adalah jika persamaan yang akan diselesaikan adalah linear, fungsi tujuannya akan berubah dari linear menjadi non-linear. Juga, jika persamaan yang akan diselesaikan nonlinear, maka transformasi tersebut akan meningkatkan nonlinearitas. Pada sisi lan, Tujuan iii pada persamaan 3.37 menghindari peningkatan nonlinearitas dan diskontinuitas gradien., namun menambahkan slack variabel baru. Slack variabel S1pada persamaan 3.38 untuk S1 ≥ 0 memastikan bahwa F(x) - a ≤ 0 ( pers 3.40) Dimana slack variabel S2 pada persamaan 3.38 untuk S2 ≥ 0 memastikan bahwa F(x) - a ≥ 0 (pers 3.41) Persamaan 3.40 dan 3.41 hanya terpenuhi secara simultan oleh persamaan 3.34. Karena itu, x, S1 dan S2 bisa divariasi untuk memecahkan persamaan 3.37 hingga 3.39 tanpa menambah nonlinearitas. Pendekatan tersebut dapat diperluas untuk memecahkan persamaan yang banyak. Contoh jika suatu penyelesaian diperlukan untuk x1 dan x2 pada persamaan F1 (X1 , X2) = a1 dan F2 (X1 , X2) = a2 (Pers 3.42) 3 cara untuk memformulasikan tujuan optimasi adalah : (i) (ii) (iii)

Minimalisasi [f1 (x1 , x2)-a1] + [f2 (x1, x2) – a2] Minimalisasi [f1 (x1 , x2)-a1]2 + [f2 (x1, x2) – a2]2 Minimalisasi (S11 + S12 + S21 + S22) Untuk persamaan f1 (x1 , x2)-a1+S11 – S12 = 0 f2 (x1 , x2)-a2+S21 – S22 = 0 S11 , S12, S21, S22 ≥ 0

J. PENCARIAN UNTUK GLOBAL OPTIMALITAS Kesulitan yang terkait dengan mengoptimalkan masalah nonlinier jauh lebih besar daripada yang untuk mengoptimalkan masalah linier. Untuk masalah linier, menemukan can global optimum, di prinsip, dijamin. Sayangnya, ketika optimasi diterapkan ke yang paling relatif masalah desain besar, masalah biasanya melibatkan memecahkan optimasi nonlinier. Dalam situasi seperti itu, standar metode optimasi deterministik hanya akan menemukan yang pertama optimum lokal yang ditemui. Mulai dari inisialisasi yang berbeda dapat memungkinkan pengoptimalan untuk mengeksplorasi yang berbeda rute melalui ruang solusi dan mungkin membantu mengidentifikasi solusi alternatif. Namun, tidak ada jaminan menemukan global optimal. Untuk beberapa bentuk nonlinear ekspresi matematika, metode optimasi deterministik dapat disesuaikan untuk menemukan global optimal melalui penerapan transformasi matematika dan pembatas teknik.

Alternatif lain, optimasi stokastik (mis. Simulasi algoritma annealing atau genetik) dapat digunakan. Ini sudah keuntungan, pada prinsipnya, dapat menemukan global optimal untuk optimasi nonlinier paling umum masalah. Mereka tidak membutuhkan inisialisasi dan lakukan tidak memerlukan gradien untuk didefinisikan. Namun, mereka terlibat parameter yang tergantung pada sistem dan mungkin perlu disesuaikan untuk masalah yang berbeda dalam karakter. Kerugian lain adalah mereka bisa sangat luar biasa lambat dalam memecahkan masalah optimisasi kompleks besar. Keunggulan relatif deterministik dan metode stokastik dapat dikombinasikan menggunakan metode hybrid, dengan menggunakan metode stokastik untuk memberikan titik awal yang baik untuk metode deterministik. Seperti disebutkan sebelumnya, stokastik dan metode deterministik juga dapat digabungkan untuk dipecahkan masalah optimasi struktural. Dalam Bab 1, fungsi obyektif untuk nonlinier optimalisasi disamakan dengan medan di berbagai gunung. Jika fungsi tujuan ingin dimaksimalkan, setiap puncak di jajaran pegunungan mewakili optimum lokal dalam fungsi obyektif. Puncak tertinggi mewakili global optimal. Optimasi memerlukan pencarian sekitar pegunungan dalam kabut tebal untuk menemukan puncak tertinggi, tanpa manfaat peta dan hanya kompas untuk diceritakan arah dan altimeter untuk menunjukkan ketinggian. Saat mencapai Di atas puncak apa pun, tidak ada cara untuk mengetahui apakah itu puncak puncak tertinggi karena kabut. Ketika memecahkan masalah optimasi nonlinier seperti itu, itu tidak diinginkan untuk menghentikan pencarian di puncak itu jauh lebih rendah daripada puncak tertinggi. Solusinya bisa diperiksa dengan mengulangi pencarian tetapi mulai dari yang berbeda titik awal. Optimasi stokastik memiliki kelebihan, karena dapat memberikan berbagai solusi di wilayah yang optimal.

SUMMARY – OPTIMIZATION Sebagian besar masalah desain memerlukan pengoptimalan yang dilakukan pada beberapa tahap. Kualitas desainnya dicirikan oleh fungsi objektif yang akan dimaksimalkan (jika potensi ekonomi dimaksimalkan) atau diminimalkan (jika biaya diminimalkan). Bentuk tujuan fungsi sangat penting dalam menentukan strategi optimasi. Jika fungsi objektifnya cembung dalam minimalisasi masalah atau cekung dalam masalah maksimalisasi, lalu ada titik optimal tunggal. Jika ini bukan masalahnya, maka bisa menjadi optima lokal serta global optimal. Berbagai strategi pencarian dapat digunakan untuk menemukan lokasi optimal. Strategi pencarian tidak langsung tidak menggunakan informasi pada gradien, sedangkan strategi pencarian langsung memerlukan informasi. Metode ini selalu berusaha untuk meningkatkan fungsi obyektif dalam setiap langkah dalam pencarian. Sebaliknya, metode pencarian stokastik, seperti disimulasikan algoritma annealing dan genetik, memungkinkan beberapa penurunan fungsi tujuan, terutama selama tahap awal dari pencarian, untuk mengurangi bahaya kecenderungan tertarik ke optimal lokal daripada global optimal. Namun, optimasi stokastik bisa sangat lambat konvergen, dan biasanya perlu diadaptasi untuk menyelesaikannya masalah khusus. Menyesuaikan metode yang sesuai dengan spesifik aplikasi membuatnya jauh lebih efisien.

Penambahan kendala ketimpangan mempersulit optimasi. Kendala ketimpangan ini dapat membentuk cembung atau daerah non-cembung. Jika wilayah itu bukan cembung, maka ini berarti bahwa pencarian dapat ditarik ke lokal optimal, bahkan jika fungsi objektif cembung di kasus masalah minimalisasi atau cekung dalam kasus masalah maksimalisasi. Dalam hal ketidaksetaraan kendala linear, wilayah yang dihasilkan selalu cembung. Kasus umum optimasi di mana tujuannya yaitu fungsi, hambatan kesetaraan dan ketidaksetaraan semua linier dapat diselesaikan sebagai masalah pemrograman linier. Ini dapat diselesaikan secara efisien, pada prinsipnya, jaminan optimalitas global. Namun yang sesuai masalah pemrograman nonlinear tidak bisa, secara umum, menjadi penyelesaian secara efisien dan dengan jaminan optimalitas global. Masalah-masalah seperti itu diselesaikan secara linear atau berturut-turut pemrograman kuadratik. Metode optimasi stokastik bisa sangat efektif dalam menyelesaikan optimasi nonlinear, karena mereka kurang rentan terjebak dalam optimal lokal daripada metode deterministik. Salah satu pendekatan yang dapat digunakan dalam desain adalah untuk melakukan optimasi struktural dan parameter superstruktur. Optimalisasi struktural yang diperlukan dapat dilakukan dengan menggunakan program linear integer campuran, di Indonesia kasus masalah linier atau bilangan bulat nonlinier campuran pemrograman dalam kasus masalah nonlinear. Optimisasi stokastik juga bisa sangat efektif untuk struktural masalah optimasi.