Optics Modified)

광학1 충남대학교 전민용 [email protected]

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출석 과제물 수시고사 연구실 : 426호실 전화번호 : 821-5459 E-mail : [email protected] Office Hours : 월요일 15~17시, 목요일 13 ~ 15시

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강의 개요 1 • 선수과목 : 일반물리학 1,2 • 사전지식 : 일반물리학1,2 특히 일반물리학 2의 전기, 자기 전자기이론, 자기, 전자기이론 광학 현대물리부분, 현대물리부분 전자기학, 전자기학 현대 물리 • 수업목표 : 광학에 대한 전반적인 현상을 이해한다. • 수업진행 : 빔 프로젝터를 이용하며, 강의 노트는 사 이버 캠퍼스에서 다운 받을 수 있다. • 평가방법 : 출석, 과제물, 수시고사 등을 종합한 평가 • 과제물 : 가끔씩 과제물 제시 (사이버 캠퍼스 꼭 확인 할 것) : 온라인 및 오프라인 과제 제시

강의 개요 2 • • • • • • • • •

1주 광학의 기초 2/3주 빛의 전파, 반사, 굴절, 편광 4/5주 간섭 6/7주 간섭응용 8주 중간고사 9/10주 기하광학 11/12주 회절 13/14주 회절 회 응용 15주 보충 및 기말고사

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빛은?

광과 파장

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입자인가? 파동인가? 파동이론 : 빛은 파동형태의 에너지를 연속적으로 퍼트리면서 파원 으로부터 나온다. 양자이론 : 빛은 독립된 광자로 되어 있고, 광자는 단일 전자에 의해 서도 흡수될 정도로 적다.

빛은 파동이다? • 양자역학이 완성되기 전까지의 물리학 에서 즉, 고전물리학에서 빛을 파동이라 고 설명하였음. 설명하였음 •WHY?

빛의 간섭때문.

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빛은 입자이다? 플랑크가 “빛의 에너지는 불연속적이다 !!!” 라는 불가사의한 발 견을 했을 무렵 아인슈타인 등장 !! E=nhν 라는 놀라운 발견이 실린 논문을 접하고 이에 대해 지대한 관심과 연구를 하였음. Î 1905년 그는 플랑크의 발견이 의미하 는 것을 쉽게 설명하는 대담하고도 간단 명료한 이론을 발표 “광 량자설 : The Photo Hypothrsis” Î노벨상을 수상. 빛은 파동이 아니라 E = nhν라는 에너지를 가진 입자이다.

빛이란 무엇인가? • 입자와 파동의 이중성을 동시에 갖는다. 파동이론 : 빛은 파동형태의 에너지를 연속적으로 퍼트리면서 파 원으로부터 나온다. 나온다 양자이론 : 빛은 독립된 광자로 되어 있고, 광자는 단일 전자에 의 해서도 흡수될 정도로 적다. 이중 슬릿 간섭무늬 : 1. 파동모형 : 스크린 상의 각 점에서의 빛의 세기는 E2에 비례함. 즉, 전자기파의 전기장 제곱의 한 주기 평균에 비례함. 2. 입자모형 : 빛의 세기는 Nhf 에 의존한다. (N은 은 스크린의 같은 은 장소에 단위 시간당 단위 면적당 도달하는 광자의 수) Î 빛의 세기에 대해 두 값은 같아야 하며, 따라서 N 과 E2 은 비례 한다. N이 충분히 크면 스크린에 보통의 이중-슬릿 간섭무늬가 보이며, 파동모형을 의심할 이유가 없다.

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빛의 이중성 만약, N이 적다면, 순간마다 하나의 광자만 도달 할 정도이면, 관측자는 일련의 무질서 한 번쩍임만 볼 것임. 것임 Î 양자현상 관측자가 오랜 시간 동안 이 현상을 관측하면, N 이 클 때와 동일시 됨. 결론 Î 관측자는 어떤 특정한 위치와 시간에서 광자를 발견 할 확률 은 그곳에서 그 때의 E2 에 비례한다고 결론 내릴 수 있음. Î 스크린 린위 위의 한 위 위치에서의 파동의 동 세기는 는광 광자가 거기에 도달할 달할 가능성을 결정한다. 슬릿을 통과할 때는 파동같이 행동하고, 스크린 과 부딪칠 때는 입자처럼 행동한다. Î 명백하게 빛은 파동처럼 나아 가고, 일련의 입자처럼 에너지를 흡수하거나 내어놓는다. 파동이론과 양자이론은 서로 상보적이다. (complementary)

빛의세기 = 파동함수의 확률분포

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빛의세기 = 파동함수의 확률분포

빛은? 파동이다. • 전기장과 자기장 진동은 결합되어 빛의 속도로 전파되고, 또 전형 적인 파동의 성질을 갖는다.

An electromagnetic wave is a traveling wave which has time varying electric and magnetic fields which are perpendicular to each other and the direction of propagation z.

~ 전자기파

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파동이란? •볼 수 있는 파동은? •볼 수 없는 파동은?

• 미시적인 운동 : 원자와 분자의 구성 요소들 (전자, (전자 양 성자, 중성자, 중간자 등의 경계 내에서의 운동 Î 파동) 원자와 분자 Î γ선, X 선, 광파, 열파, 라디오파를 방출 • 거시적인 운동 : 지진에 의한 땅의 흔들림, 바람이나 배의 움직임에 의한 파도의 운동, 공기중에서의 물체의 움직임 등 Î 파동 • 반복하는 운동 Î 주기운동 (예: 시계의 추, 스프링 운동 등) Î단순조화운동 주파수 = 1/주기, : 시간당 회전수 주기 : 완전한 한 진동에 필요한 시간

빛 -> 파동-> 진동 ‰ 진동의 정의 : 주기적으로 되풀이하는 운동 ‰ 단순조화 운동 (Simple Harmonic Motion) : 물체의 위치가 시간에 대한 조화함수로 기술되는 운동

‰ 진동상태가 물질(매질)을 따라 퍼져나가는 것을 파동이라 함. ‰ 파동은 한 장소에 존재할 수 없고 한 장소에서 다른 장소로 퍼져나가 야 함. ‰ 빛과 소리의 본질은 에너지로서 파동의 형태로 공간을 통해서 이동 함.

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파동의 종류에 대해 알아보자.

단순조화운동 ( SHM) ‰ 단순조화 운동 (Simple Harmonic Motion) : 물체의 위치가 시간에 대한 조화함수로 기술되는 운동 예 ) 용수철 운동Î sine 또는 cosine 형태의 변위로 나타남.

x(t ) = Asinωt

or

x(t ) = A cosωt

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One Dimensional Waves

Wave Optics : 광은 파동방정식에 따른 스칼라 파동함수로 기술 됨. 간섭, 회절 현상의 이해, 설명이 가능.

Wave Motion • 파동은 위치와 시간의 함수로 주어진다.

ψ ( x, t ) = f ( x, t ) • The Shape of the disturbance at a certain time

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Wave Motion Î The profile of the wave

ψ ( x,0) = f ( x,0) = f ( x)

파동의 방향 ψ ( x, t ) = f ( x − vt ) 시간이 지나도 동일한 위상에 위치하기 위해서는 x 가 증가 해야 함. Î 화살표 방향으로 진행.

화살표 반대방향으로 진행하는 파에 대해서는

ψ ( x, t ) = f ( x + vt ),

with

v>0

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• A new coordinate system, S’ , moving with the wave Î ψ = f (x’)

: 시간과 무관 : Profile 은 x’ 축을 따라 측정

• x’ = x –vt 의 경우에는

ψ ( x, t ) = f ( x − vt )

일차원 운동 파동함수

• t + Δt 시간 이후에는 x Î x + vΔt , t Î t + Δt 로 치환

f [( x − v(t + Δt )] ⇒ f ( x − vt )

Î 동일한 profile을 갖는다

• Negative 방향으로 진행하면,

ψ ( x, t ) = f ( x + vt ),

v>0

with

1-dim. Differential Wave Eq. • Start with

ψ = f ( x m vt ) and x' = x m vt

∂ψ ∂f = ∂x ∂x ∂ψ ∂f ∂x' ∂f , = = ∂x ∂x' ∂x ∂x' similarly , ∂f ∂ψ ∂f ∂x' , = mv = ∂x' ∂t ∂x' ∂t Î 두 식을 결합하면, 결합하면

Î 이 식의 해는,

⇒

∂ 2ψ ∂ 2 f = ∂x 2 ∂x'2 ⇒

∂ 2ψ ∂2 f = v2 2 2 ∂t ∂x'

∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ = ∂x 2 v 2 ∂t 2

Î 1차원 differential wave Eq.,

ψ = C1 f ( x − vt ) + C2 g ( x + vt )

~ 두개의 해가 존재한다. (+ wave and – wave)

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Harmonic Waves

A wave with sine or cosine profile,

ψ ( x,0) = A sin kx = f ( x) ~ k ; propagation number, number A: amplitude A traveling wave by replacing x by ( x – vt ),

ψ ( x, t ) = A sin[k ( x − vt )] = f ( x − vt ) ~ Periodic in both space and time

Spatial period :Wavelength The spatial period : wavelength λ (m)

ψ ( x ± λ , t ) = ψ ( x, t )

sin[k ( x − vt )] ⇒ sin k[( x ± λ ) − vt ] ⇒ sin[k ( x − vt ) ± λk ] Position change by

±λ

Phase, ϕ =2πÎk k= 2π / λ k ; propagation number Î k= 2π / λ

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Temporal period :Frequency The temporal period : Frequency,

f = 1/τ {Hertz]

ψ ( x, t ± τ ) = ψ ( x, t )

sin[k ( x − vt )] ⇒ sin k[ x − v(t ± τ )] ⇒ sin[k (( x − vt ) m vτ )] Time change by

±τ

= 2π / κ Î τ = λ / v

The temporal p Frequency, q y

f = 1/τ

Therefore,

v = fλ

Angular frequency

ω = 2πf

Wavenumber or spatial frequency=κ

1/ λ

Harmonic Wave ψ = A sin k ( x m vt ) x

t

ψ = A sin 2π ( m ) λ τ ψ = A sin 2π (κx m ft ) ψ = A sin(kx m ωt ) x v

ψ = A sin 2πf ( m t )

A wave with a single frequency Î Monochromatic Wave

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Q : 진동수가 100 Hz 인 파동은 1초에 몇 번 진동하는가? Q : 서울에 있는 63빌딩은 0.1 Hz 의 진동수로 흔들리고 있다. 주 기는 얼마인가? 파동 만들어 보기 : 종이 위에 사이펜을 직선상으로 왕복 운동시키면서 운동 방향에 수직인 방향으로 종이를 잡아당겨 본다. 어떻게 되는가? 종이를 더 빠르게 잡아당기면서 파장의 크기가 어떻게 변하는지 살펴보자. 살펴보자

Phase and Phase Velocity A harmonic wave

ψ ( x , t ) = A sin( kx − ω t + ε ) Initial Phase The entire argument : Phase, j The physical meaning of ε Î Initial I i i l contribution ib i at the h generator Phase?

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Phase velocity? 그 수박이 1초 동안 두번 요동칠 만큼 진행 했다 2m 4m 6m

파동 위에 떠 있는 수박 2m

4m

6m

파동이 요동치는 거리 =(파장) = λ =2m 1초에 요동치는 횟수 =(진동수) = ν =2(사이클/초) 1초간 파장이 진행하는 거리가 파동이 진행하는 속도, 즉 위상속도임.

v p = λν

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Initial Phase

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Phase Velocity ψ ( x , t ) = A sin( kx − ω t + ε )

phase = kx − ω t + ε = const . 일정한 위상 ϕ가 δt의 시간 동안 δx만큼 이동할 때 위상속도를 정 의할 수 있다.

ω − (∂ϕ / ∂t ) x ⎛ ∂x ⎞ = ± = ±v ⎜ ⎟ = (∂ϕ / ∂x) t k ⎝ ∂t ⎠ϕ

Phase Velocity The rate of change of the phase with time. Î Angular frequency The rate of change of the phase with distance. Î Propagation number

⎛ ∂ϕ ⎞ ⎜ ⎟ =ω ⎝ ∂t ⎠ x ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎜ ⎟ =k ⎝ ∂x ⎠t

The speed of propagation of the condition of constant phase.

ω − (∂ϕ / ∂t ) x ⎛ ∂x ⎞ = ± = ± v Î Phase Velocity ⎜ ⎟ = (∂ϕ / ∂x) t k ⎝ ∂t ⎠ϕ The phase velocity is accompanied by a positive sign when the wave moves in the direction of increasing x and a negative one in the direction of decreasing x. This is consistent with our development of v as the magnitude of the wave velocity : v > 0. 즉, 앞에서 배운 파동의 진행방향과 일치시키기 위하여 위상속도 식에서 편미분 앞에 – 부호를 붙인 것이다.

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Example (Circular Waves)

Superposition Principle Suppose that the wave functions 1 and 2 are each separation solution of the wave equation: it follows that (1 + 2) is also a solution. Î Superposition Principle

∂ ψ 1 1 ∂ 2ψ 1 = 2 ∂x 2 v ∂t 2 2

and

∂ 2ψ 2 1 ∂ 2ψ 2 = 2 ∂x 2 v ∂t 2

∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ 2 1 ∂ 2ψ 1 1 ∂ 2ψ 2 + = 2 + ∂x 2 ∂x 2 v ∂t 2 v 2 ∂t 2 ∂2 1 ∂2 ( ψ + ψ ) = (ψ 1 + ψ 2 ) 1 2 ∂x 2 v 2 ∂t 2 The resulting disturbance at each point in the region of overlap is the algebraic sum of the individual constituent waves at that location. (그림 2-13 참조) IN -PHASE, OUT-OF-PHASE

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대수적인 방법 E (t ) = E0 sin(ωt + α )

~ 파동방정식의 해 ~ E0는 x축으로 진행하는 조화파의 진폭

E1 (t ) = E01 sin(ωt + α1 )

E2 (t ) = E02 sin(ωt + α 2 )

삼각함수 가법 정리: sin(ωt + α ) = cos ωt sin α + sin ωt cos α 두 파를 선형적으로 중첩시키고, 삼각함수 가법 정리를 이용하여,

여기서 괄호 안은 시간에 대하여 일정하므로, 일정하므로 따라서, 합성 조화 파동은,

대수적인 방법(계속) 윗 식으로부터 다발밀도 (Flux density)는

E02 = E012 + E022 + 2 E01 E02 cos(α 2 − α1 ) ~ 간섭항, ( 두 파동사이의 위상차) 일 때 진폭은 최대 : In-Phase (위상이 맞다) 일 때 진폭은 최소 : Out-of-Phase (위상이 완전히 맞지 않는다.) 위상변화는 두 파가 통과하여 지나간 길이의 차이에서 오므로,

파장과 굴절률과의 관계에서

n=

c λ0 = v λ

여기서 n(x1-x2)를 광로차 (optical path)라고 한다.

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다수의 파에 대한 중첩 같은 주파수, 같은 방향으로 진행하는 다수의 파에 대한 중첩을 계산해보자 N

일반 파동식 동식 E = ∑ E0i cos((α i ± ωt ) i =1

Flux Density 는

Complex Representation Complex number

~ z = x + iy real

:

i = −1

Imaginary g y parts p

극좌표를 사용하면,

Euler formula

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Argand Diagram Argand (아르간) Diagam :실수부와 허수부를 나뉘어서 함수를 그림 으로 표현하는 방법.

Operation Addition: M ltipli ti n: Multiplication: Division: The Modulus

~ z * = ( x + iy )* = ( x − iy ) ~ z * = r (cos ( θ − i sin i θ) = re −iθ

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Complex Expressions Complex exponential ~

e z = e x +iy = e x e iy

Î Modulus

~

ez = ex

It is periodic : Any complex number

~ z = Re(~ z ) + i Im(~ z ) = r cosθ + ir sinθ ÎEither real or imaginary part can represent p s nt a h harmonic m ni wave

복소수 방법에 의한 중첩 일반적으로 복소수로 표시하면,

E = E0 cos(α + ωt ) ⇒ E = E0 ei (α +ωt ) N개의 파동에 대해서

N=2 인 경우의 예를 들면,

E02 = ( E0 e iα )( E0 eiα )* 를 이용하여

Î 대수적인 방법으로 얻은 결과와 동일함.

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맥놀이 • 맥놀이란? 다른 주파수를 가진 파동의 합침. • 주파수가 다른 두 파에 대해서 생각해 보자.

E1 = E01 cos(k1 x − ω1t ),

E2 = E02 cos(k 2 x − ω2t )

• 삼각함수의 함수 관계식 cos α + cos β = 2 cos 1 (α + β ) cos 1 (α − β ) 을 이용하여 용 2

2

• 평균 각주파수 ω와 평균 파수 k를 다음과 같이 정의하고,

• 변조 주파수ωm과 변조 파수km을 다음과 같이 정의하면,

맥놀이(계속) 합성파는 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 E0 (x, t) = 2 E01 cos( k m x − ω m t ) 를 나타내며 시간에 따라서 변조된 진폭을 나타낸다. http://www.walter-fendt.de/ph11e/beats.htm 세기는

윗 식의 물리적 의미 : E02 (x,t)는 2E012의 주위를 주파수 2ωm, 즉 (ω1-ω2) 로 진동하는데 이를 맥놀이 주파수라고 한다. 맥놀이의 응용 : 도플러 효과, 브릴루인 산란, 자이로스코우프에서 링레이 저를 이용하여 회전의 결과로 유도되는 주파수 차이 등.

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Harmonic Wave Expression A harmonic wave is usually represented by the real part of

ψ ( x , t ) = Re [Ae i (ωt − kx + ε ) ] ⇒ A cos( ω t − kx + ε )

~ z

The wave function, in general

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Phasors and Addition of Waves The rotating arrow in the Argand diagram for a wave Î Phasor,

Ae i ( ω t − kx )

A∠ϕ

Sum of two phasors at a fixed time and location

Plane Waves The surface of a constant phase form a plane. The phase plane is perpendicular to propagation direction.

r

Position vector : r = xiˆ + yˆj + zkˆ 원점 O 에서 임의의 위치 (x,y,z) 까지의 변 위를 r 이라 하고, 임의의 점에 대해 여기서 다음과 같이 정하게 되면, 벡터(r-r0)가 점유하는 평면은 벡터 k와 수직하다. 수직하다 평면파 (Plane wave)는 벡터 k의 방향에 수직이다. 즉,

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Plane Waves (cont’d) 평면파 (Plane wave)를 다음과 같이 쓸 수 있다.

Î 위 표현식은 대해 일정하다.

r r k ⋅ r = constant 에 의해 정의된 모든 평면에

The periodic nature of a plane wave

r

r kˆ : unit vector of k

r

ψ ( r + λ kˆ ) = ψ ( r )

Propagation vector

Plane Waves (cont’d)

Surfaces joining points of equal phase Î wavefronts [Fig. 2.20] A plane wave with time dependence rr ik ⋅ r m iωt

r

ψ (r , t ) = Ae

The plane wave in Cartesian coord.

r ( k = k x2 + k y2 + k z2 ) The phase velocity [velocity of the wavefront)

r

r

ψ ( r + Δrkˆ, t + Δt ) = ψ ( r , t )

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Plane Waves (cont’d)

Two plane waves with the same wavelength Îk1 = k2 = 2π/λ r r

r

ik ⋅ r − i ω t = A1e ik1 z −iωt Wave 1: A1e 1 r r

r

W Wave 2: 2 A2 e ik 2 ⋅r −iωt = A2 e ik 2 (sin θy + cosθz ) −iωt In general,

ψ ( x , y , z , t ) = Ae i[ k (αx + β y + γz ) m ωt ] r

where, ( k = k x2 + k y2 + k z2 )

α2 + β 2 +γ 2 =1

: Direction cos ines

Cosine of the angle subtended by

kˆ and xˆ .

r r E0 exp[i (k ⋅ r − ω t )] is called a “plane wave.” % A plane wave’s contours of maximum phase, called “wave-fronts” or “phase-fronts,” are planes. They extend over all space.

Wave-fronts are helpful for drawing pictures of interfering waves.

A wave's wavefronts sweep along at the speed of light.

A plane wave's wave-fronts are equally spaced, a wavelength apart. They're perpendicular to the propagation direction.

Usually, we just draw lines; it’s easier.

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Laser beams vs. Plane waves A plane wave has flat wave-fronts throughout all space. It also has infinite energy. It doesn doesn’tt exist in reality. reality A laser beam is more localized. We can approximate a laser beam as a plane wave vs. z times a Gaussian in x and y:

z

w

y Localized wave-fronts

x

Laser beam spot on wall

3-dim. Differential Wave Eq.

One-dim. result can be extended to three dimensions by using the same argument for all three components of the vector. In this case, the derivative ∂/∂x is replaced by the directional derivative, or gradient, operator, which is written as

v ∂ ∂ ˆ ∂ ˆ ∇ = iˆ + j+ k ∂x ∂y ∂z in Cartesian coordinates. Thus, the wave equation becomes

r r 1 ∂ 2ψ ( x , t ) ∇ ψ ( x, t ) = 2 v ∂t 2 2

where ∇ 2 is called the Laplacian p operator, p , and is defined f as

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3-dim. Differential Wave Eq. ∂ 2ψ = −α 2 k 2ψ ∂x 2 ∂ 2ψ = − β 2 k 2ψ 2 ∂y ∂ 2ψ = −γ 2 k 2ψ ∂z 2 ∂ 2ψ = −ω 2ψ And, 2 ∂t

Adding the three spatial derivatives and utilizing the fact that

α 2 + β 2 +γ 2 =1 Then, Combining this with the time derivative, and using v = ω/k

One of the solution is a plane wave Note that the following is also a solution

Spherical Waves 물탱크 안에 돌을 하나 던져 넣어보자. 그러면 돌이 들어간 자리를 원 점으로 하여 이차원 원형 물결을 일으키며 퍼져나간다. 3차원으로 확 장하면 구 형태로 퍼져나가게 된다. Consider an idealized point source of light. Î Isotropic. ÎDescribe them in terms of spherical polar coordinates (Fig.) Then the Laplacian operator is

1 ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂2 ∇ = 2 ⎜r ⎟+ ⎜ sin θ ⎟+ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ r 2 sin 2 θ ∂φ 2 2

x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ A spherical wave is spherically symmetrical, independent of θ and φ.

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Spherical Waves (cont’d) Then, the Laplacian is

∇ 2ψ ( r ) =

1 ∂ ⎛ 2 ∂ψ ⎞ ⎜r ⎟ ∂r ⎠ r 2 ∂r ⎝

Ex minin only Examining nl th the x x-dependence, d p nd n we h have

r

ψ (r ) = ψ (r ) Using x2 + y2 + z2 = r2 and ,

∂r x = ∂x r

Similarly,

Spherical Waves (cont’d)

Then wave eq. is

∇ 2ψ ( r ) =

∂ 2ψ 2 ∂ψ 1 ∂2 2 + ⇔ ∇ ψ ( r ) = ( rψ ) ∂r 2 r ∂r r ∂r 2

The differential wave eq. Can then be written as

Notice: this expression is the one-dim. Differential wave eq. The solution is

~ 원점으로부터 퍼져나가는 spherical wave 를 나타낸다.

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Spherical Waves (cont’d) A special case of the general solution

ψ ( r , t ) = C1

f ( r − vt ) g ( r + vt ) + C2 r r

is the harmonic spherical wave

The spherical wave decreases in amplitude as it propagates

Spherical Waves (cont’d) As a spherical wavefront propagates out, its radius increases. For enough away from the source source, a small area of the wavefront will closely resemble a portion of a plane wave.

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Cylindrical Waves

The Laplacian operator of ψ in cylindrical coordinates is

∇2 =

1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂2 ∂2 + 2 ⎜r ⎟ + 2 2 r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂θ ∂z

Th cylindrical The li d i l ssymmetry mm t requires i s

r

ψ (r ) = ψ (r ,θ , z ) = ψ (r )

x = r cos θ , y = r sin θ , z=z

The θ-independence means that a plane perpendicular to the z-axis will intersect the wavefront in a circle, which may vary in r, at different values of z. In addition, the z-independence further restricts the wavefront to a right circular cylinder centered on the z-axis and having infinite length. The differential wave equation becomes

Cylindrical Waves (cont’d) The solution is given by Bessel functions.

Cylindrical waves emerging from a long, narrow slit.

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